03第二章 单摆

在程序里，我们对初位 置相同但初速度不同的 两个摆球求出了它们摆 角的数值解，分别存储 在变量as和bs里，解算 时间都是20s，经过替换 ，这两个解的插值函数 分别用θ 1和θ 2来表示
当我们运行上面的程序，就会看到一个动画如下，两个不同颜色 的圆点带便两个摆球，它们沿着水平轴往复振荡。上不得指示条 代表着时间进度，摆球振荡的速度可以通过中间的两个按钮控制 ，很容易看出两个摆球的“失步”过程
2.2.4 周期拟合公式所揭示的秘密
得到周期拟合公式是一个重要的成果 ，我们用拟合公式来计算更多角度下 的周期值，排列起来，并与数值计算 得出的周期值进行比较，观察规律 函数Table[ ]的功能是组织一个表 ，格式： Table[exper,I,i1,i2,di}]] Partiton[θ T,4] //TableForm将 新的θ T按4个一组拆分，作为新元 素，组成一个三维的表
2.3 阻尼摆
2.3.1 运动方程、数值解与相图 摆球在摆动中收到一些空气或者液体的“粘滞力”，在低 速情况下，流体力学告诉我们：阻力大小近似地正比于摆 球的速度大小，阻力的方向与速度方向相反
所以引入一个阻力系数η 来表示方程中与阻力有关的参数 ，单摆在切向的运动方程就变成了
没有阻力时，我们看到的是一个等幅、周期性震荡的单摆； 现在有了阻力，单摆的机械能要被消耗，振幅肯定要随时间 变小，但是以何种方式变小呢？减小的速度有多快呢？现在 有了数值解，这些问题都可以得到比较满意的解答

PlotStyle→Thickness[0.004],AxesS tyle→Thickness[0.003]分别表示曲 线的粗细和坐标轴的粗细 θ →InterpolatingFunction[{{0.,10 .}},<>] 函数θ （t）的数值解是一个插值函数 给出的，将个分立点连接起来 摆角随时间是周期性震荡的，像正弦 函数，单摆是在作周期性运动
第二章 单摆
( Simple Pendulum )
2.1、单摆震动方程与数值解
2.2、振幅、周期和相位
2.3、阻尼摆
2.4、无阻尼单摆周期的准确 表达式
单摆概念 ： 从物理意义实体来讲，是一个比较
重的小球，用一根细线或细杆拴着 ，悬挂在某个固定点，组成的物理 系统
支配单摆系统的动力学是牛顿运动理论，其核心 是牛顿第二定律：
结论： 1.单摆周期是随着叫振幅的增大而 增大的，增大的速率可以从数值上 定量看出来 2.每个角度下，两种方法所得的周 期在样的思路，将这样的对比扩展到1.5°以下， 初速度间隔改为0.01m/s，结果如下 这个表告诉我们，在0.5° 以下，单摆周期就不再发 生变化 结论： Mathematica是指计算的单 摆周期只在很接近0°的地 方才与小角度近似周期一致 ！0.5°才能算“小角度” ，单摆的小角度说法获得了 定量的表示！
结论： 虽然摆角不按严格的正弦规律摆动 ，但与正弦摆动差别很小，在要求 不高的情况下，可以当做正弦振动
2.2.6 本节附录：关于曲线拟合 下面以广泛采用的“最小平方拟合”法为例，设有变量 x和y，它们在理论上满足线性方程
其中a、表示位置的参数，通过实验测量得到它们的一 组数据点 {x1,y1},{x2,y2},„,{xn,yn} 找到一组对参数（a,b）使线性方程“最接近”这些测 量的数据，就是把每个点{xn,yn}带入线性方程的左边 ，当如下差值的平方和为最小值（a，b）的值即为该 方法下的最佳值
2.2.5 单摆振动与正弦振动的差别
摆角随时间变化的图，看上去像一条 正弦函数曲线，但毕竟正弦函数不是 方程的解！因此曲线一定不会是正弦 函数，那么，差别有多大呢？ 设单摆拉平了再释放，初始角位置就 是π /2，初始角速度为0，解出给定初 始条件下的数值解，再求出它的振幅 和周期
图中实线为数值解，虚线为正弦函数
本程序使用了一个新函数
ParametricPlot[{x[t],y[t]} ,{t,t1,t2},options] 它表示“参数作图”，即对参 数方程进行作图。例如在平面 上，参数方程： X=5cost Y=5sint 描绘的就是一个半径为5的圆
Out[5]是表示单摆的角度与时间的关系，在有阻力的情 况下单摆不再是等幅振荡，而是衰减的振荡，在经过 100s之后，摆角基本上变成了0，即停止摆动，但是衰 减的振荡基本上还是保持了周期性振荡的特点角振幅的 衰减似乎是指数衰减
Out[6]叫“相图”，即用 角度与角速度作图。 是阻尼单摆的相图，这个 图上的曲线是从曲线上最 高的点开始的，然后围绕 着圆点转动，而且是越转 越靠近圆点，最后停止在 原点上，表示较低和角速 度最后都趋于0，单摆停 振了，这与out[5]表示的 函数是一致的
2.3.2 周期与时间的关系
在有阻尼的情况下，单摆还是不是等周期运动？摆角衰减符合的 是指数规律吗? 只要我们把前面求解角振幅的程序再借用一次， 稍加改造，就能完成这个任务
现在换作数值方法来求最大摆角，只要获得了数值解，就可 以求插值函数的极大值
求解角振幅的关键是使用函数: FindMaximum[θ [t],{t,0.5}] 它是求函数局部极大值的，其 第一项是函数，包括自变量； 第二项指出极大值的近似位置
我们看到，所求得的角振幅0.0521699rad与理论值 0.05217rad几乎完全一致！
2.2.3 周期与振幅的关系
现在我们要来研究单摆的周期T 和角振幅θ m之间的关系，既然 可以从数值解里得到角振幅和周 期的信息，则只要改变角振幅， 就可以得到不同的周期
单摆周期的确是随着角振幅增大而 增大的，但变化缓慢
我们来分析程序的结构,程序的重点结构式由： Do[„,{V0,0.1,5.4,0.1}]
2.1.2 单摆方程的数值解
由于之前的讨论都是在小角度的近似结果，如果是任意角度 的摆动，则无法给出解析解，只能求数值解，即曲线上某点 的值
而对于mathematica，解这个问题很容易，有一个函数 NDSolve[ ]是专门求微分方程数值解，使用格式： NDSolve[{微分方程和初始条件}，函数名，{t，t1,t2}]
在Do[ ]循环中，...表示循环体，是一个复合语句，各 个语句之间用分号连接
AppendTo[θ T,{θ
m1,T}]
是往一个表里增加新元素的函数每次添加的新元素都排 在表的尾部，θ T最后的形式: {{θ m1，T1},{θ m2,T2},{θ m3,T3},...} Fit[θ T,{1,θ ,θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6}, θ ] 是拟合数据的函数，在得到了角振幅与周期的数据以后 使用了θ 的多达6次方的多项式来拟合这些数据
具体写法： 1.微分方程的等号，必须改为双等号“==”，中间不能有空格 2.初始条件也必须用双等号连接 3.各个双等号连接的项需要用逗号分隔
然后用作图函数Plot[ ]把摆角θ (t)随时间变化的图形画出 来 格式：
g 表示“重力加速度”，它的值取9.8 L 表示“摆长” Ω 表示（赝）“角频率”，即 g L V0 表示“初始速度” ω 0 表示“初始角速度” s 表示“数值解”
可得近似公式：
1 2 T To( 1 sin ) 4 2
结束！
2.1 单摆震动方程与数值 解 2.1.1 方程的推导与分析
1.单摆究竟随时间作怎样的运动？ 2.某一刻摆球处在什么位置？ 3.摆球的往复是等周期的吗？ 4.周期是多少？跟什么因素有关？
要用一个最简单运动方程去描述摆角θ (t)随时间 变化的一般规律:
如果要求单摆的运动周期，则根据圆频率与周期的 关系得到：
它们的相位大约差了90°， 角速度相位超前，这与理论 预期一致：因为角速度等于 角度的时间导数，如果角度 差不多按正弦变化，则角速 度将差不多按余弦变化，二 者差了90°
先考察摆球在两个不同初 速度（取0.2和3）情况下 的摆动曲线，将时间拉长 ，设它们初始的位置和运 动方向都相同，即它们在 开始计算的时刻是同步的 ，如果它们因为振幅不同 而周期不用，时间一长， 应该有“失步”现象
随着时间的延续，两个震 动的失步越来越明显（即 峰值错位），而且是摆角 大的周期长的周期长，摆 角小的周期小
观察“失步”现象，还可以用动画的形式，Mathematica的一 个重要功能是能够创作动画，一种方式是连续产生一系列图 片，将它们全部选中，按快捷键Ctrl+Y，就能够是这些动画 从头到尾地顺序播放，形成动画；另一种方式是使用动画函 数Animate[ ] 格式： Animate[expr,{t,t1,t2},options] 其中expr是复合表达式 画分立点的函数 ListPlot[ ] 格式： ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},„},options] 函数Show[ ]将它们画在同一张图上 格式： Show[{g1,g2,„},options] g1,g2等表示图形或图形元素
拟合是通过新函数FindFit[ ]来进行的，它从事非线性拟 合
格式：FindFit[数据表，拟合 函数，{参数1,参数2,„},自变 量]
这里的“数据”是存放在 peak里的极值点的数据， 他是FindMaximum[ ]函数 依次找到的；存储格式是 {{时间1，角振幅1}，{时 间2，叫振幅2}，„}
当我们连续两次使用 FindMaximum[ ]函数就可 以求得相邻两个极大值的 位置，而它们的时间差就 是周期T 按照惯例，使用周期公式 可得：t=2.45817s 该结果十分接近，不过计 算值与理论值大了许多， 为解此疑问，我们先考察 相位和失步的现象
2.2.2 相位与“失步”现象
在振动问题里，“相位”是一个重要的概念，选取“角度 ”和“角速度”，考察它们的关系
Mathemaica给出的数值结果没有 明显地违背经验常识！
2.2 振幅、周期和相位
2.21 从数值解里求振幅和周期 函数Print[ ],它是在屏幕上输出数据和信息的函数，格式是： Print[项1，项2，„„.，项n]