逐点比较法插补原理
直线逐点比较插补原理的实现
逐点比较插补原理的实现1 数字程序控制基础数字程序控制，就是计算机根据输入的指令和信息，控制生产机械按规定的工作程序、运动轨迹、运动距离和运动速度等规律自动地完成工作的自动控制。
世界上第一台数控机床是1992年由MIT伺服机构实验室开发出来的，主要的目的是为了满足高精度和高效率加工复杂零件的需要一般来说，三维轮廓零件，即使二维轮廓零件的的加工也是很困难的，而数控机床则很容易实现早期的数控(NC)以数字电路技术为基础，现在的数控(CNC)以计算机技术为基础。
数控系统由输入装置、输出装置、控制器、插补器等四部分组成。
随着计算机技术的发展，开环数字程序控制得到了广泛的应用，如各类数控机床、线切割机低速小型数字绘图仪等，它们都是利用开环数字程序控制原理实现控制的设备。
开环数字程序控制的结构如图1.1所示。
图1.1 开环数字程序控制的结构图这种结构没有反馈检测元件，工作台由步进电机驱动。
步进电机接收驱动电路发来的指令作相应的运动，把刀具移动到与指令脉冲相当的位置，至于刀具是否到达了指令脉冲规定的位置，它不作任何检查，因此这种控制的可靠性和精度基本上由步进电机和传动装置来决定。
开环控制结构简单、可靠性高、成本低、易于调整和维护等，应用最为广泛。
2 步进电机控制技术步进电机又叫脉冲电机，它是一种将电脉冲信号转换为角位移的机电式数模转换器。
在开环数字程序控制系统中，输出部分常采用它作为驱动元件。
步进电机接收计算机发来的指令脉冲，控制步进电机作相应的转动，步进电机驱动数控系统的工作台或刀具。
显然，指令脉冲的总数就决定了数控系统的工作台或刀具的总移动量，指令脉冲的频率就决定了移动的速度。
因此，指令脉冲能否被可靠地执行，基本上取决于步进电机的性能。
2.1 步进电机的工作原理步进电机的工作就是步进转动。
在一般的步进电机工作中，电源都是采用单极性的直流电源。
要使步进电机转动，就必须对步进电机定子的各相绕组以适当的时序进行通电。
3.1数控插补原理(2)逐点比较法
开始 初始化 Xe→X，Ye→Y 0→Fi ，N ＝|Xe|＋|Ye|
Y 进给方向：+X
F≥0 N 进给方向: +Y
Fi- Ye → Fi+1
Fi+ Xe → Fi+1
N ＝ N -1
N =0
N
Y 结束
继续
逐点比较法Ⅰ象限直线插补流程图
例题：设欲加工第一象限直线OE，起点为坐标原点，
终点坐标为Xe=4，Ye=3，用逐点比较法插补之，并画出
+Y F6 F5 2Y5 1 4
-X F7 F6 2X6 1 1
8
F7>0
-X
F8 F7 2X7 1 0
坐标计算
X0=4,Y0=0 X1=3,Y1=0 X2=3,Y2=1 X3=3,Y3=2 X4=3,Y4=3 X5=2,Y5=3 X6=2,Y6=4 X7=1,Y7=4
X8=0,Y8=4
Fi 0, 朝 x 增大方向, Fi1 Fi ye Fi 0, 朝 y 增大方向, Fi1 Fi xe
5.2 脉冲增量插补 其它象限插补流程：
3.逐点比较法Ⅰ象限逆圆插补
（1）基本原理
①偏差判别 关键：寻找偏差函数F（x，y）
当动点N(Xi,Yi)位于圆弧上时有下式成立
Y
E(XeYe) Nˊ
X i2 Yi2 Xe2 Ye2 R2
当动点N(Xi,Yi)在圆弧外侧时，有下式成立
X i2 Yi2 Xe2 Ye2 R2
当动点N(Xi,Yi)在圆弧内侧时，有下式成立
O
N(Xi,Yi) R
N〞 S(XSYS)
X
X i2 Yi2 Xe2 Ye2 R2
I象限逆圆与动点之间的关系
逐点比较法
即
Fi1 Fi X e
6
在插补计算、进给的同时还要进行终点判别。常用终点判 别方法是：
设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿
X 轴应走的步数为X e，沿Y 轴走的步数为Ye，计数器中存入 X和Y两坐标进给步数总和∑＝∣Xe∣＋∣Ye∣，当X 或Y
坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到零时，即∑＝ 0时，停止插补，到达终点。
终点判别：判断是否到达终点，若到 达x ，结束插补；否则，继续以上四个
步骤（如图3-3所示）。
图3-3 逐点比较法工作循环图
3
2. 直线插补
图3-4所示第一象限直线OE为给定轨迹，其方程为
XeY－XYe＝0
(3-1)
P（X，Y）为动点坐标，与直线的关系有三种情况：
（1）若P1点在直线上方，则有XeY－XYe>0 E （2） 若P点在直线上，则有 XeY－XYe＝0
２．由偏差方程确定加工动点引起的偏 差符号（若要计算偏差量，则偏差方程系数不能简 化）。
３．下一步插补方向确定原则：向使加 工偏差减小、并趋向轨迹终点的方向插补
．（将偏差等于零的情况并入偏差大于零的情况）。
４．关于插补量：每次插补一个脉冲当 量的位移
12
3. 圆弧插补
在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与 被加工圆弧之间关系。
b) 逆圆弧
图3-9 第一象限顺、逆圆弧
14
偏差递推简化：对第一象限顺圆，Fi≥0，动点Pi(Xi，Yi)应 向－Y向进给，新的动点坐标为(Xi＋1,Yi＋1)，且Xi＋1＝Xi，Yi ＋1＝Yi－1，则新点的偏差值为：
15
若Fi<0时，沿＋X向前进一步，到达（Xi＋1，Yi）点，新点
逐点比较法插补原理实验报告
南昌航空大学实验报告年月日课程名称：数控技术实验名称：逐点比较法插补原理班级：姓名：同组人：指导老师评定：签名：一、实验的目的与要求1.目的①掌握逐点比较法插补的原理及过程；②掌握利用计算机高级语言，设计及调试“插补运算轨迹”模拟画图的程序设计方法；③进一步加深对插补运算过程的理解；二、实验仪器计算机一台三、实验原理①逐点比较法插补运算的原理首先粗略的简单介绍一下机床是如何按照规定的图形加工出所需的工件的。
例如，现在要加工一段圆弧（图2－1），起点为A，终点为B，坐标原点就是圆心，Y轴、X轴代表纵、横拖板的方向，圆弧半径为R。
如从A点出发进行加工，设某一时刻加工点在M1，一般来说M1和圆弧有所偏离。
因此，可根据偏离的情况确定下一步加工进给的方向，使下一个加工点尽可能向规定图形（即圆弧）靠拢。
若用R M1表示加工点M1到圆心O的距离，显然，当R M1<R时，表示加工点M1在圆内，这时应控制纵拖板（Y拖板）向圆外进给一步到新加工点M2，由于拖板被步进电机带动，进给一步的长度是固定的（1微米），故新的加工点也不一定正好在圆弧上。
同样，当M2≥R时，表示加工点M2在圆外或圆上，这时应控制横拖板（X拖板）向圆内进给一步。
如此不断重复上述过程，就能加工出所需的圆弧。
图2－1 插补原理可以看出，加工的结果是用折线来代替圆弧，为了清楚起见，在图2－1中，每步的步长画的很大，因此加工出来的折线与所需圆弧的误差较大。
若步长缩小，则误差也跟着缩小，实际加工时，进给步长一般为1微米，故实际误差时很小的。
②计算步骤由上述可以看出，拖板每进给一步都要完成四个工作节拍。
偏差判别：判别偏差符号，确定加工点是在要求图形外还是在图形内。
工作台进给：根据偏差情况，确定控制X坐标(或Y坐标)进给一步，使加工点向规定的图形靠拢，以缩小偏差。
偏差计算：计算进给一步后加工点与要求图形的新偏差，作为下一步偏差判别的依据。
终点判断：判定是否到达终点，如果未达到终点，继续插补，如果以到达终点，停止插补。
逐点比较法的概念基本原理及特点
逐点比较法的概念基本原理及特点早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步伐，适用于开环系统。
1.插补原理及特点原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。
每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。
逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。
特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
逐点比较法直线插补（1）偏差函数构造对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye若刀具加工点为Pi（X i，Y i），则该点的偏差函数F i可表示为若F i= 0，表示加工点位于直线上；若F i> 0，表示加工点位于直线上方；若F i< 0，表示加工点位于直线下方。
（2）偏差函数字的递推计算采用偏差函数的递推式（迭代式）既由前一点计算后一点Fi =Yi Xe -XiYe若F i>=0，规定向+X 方向走一步Xi+1 = Xi +1Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi –Ye若F i<0，规定+Y 方向走一步，则有Yi+1 = Yi +1Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi =Fi +Xe（3）终点判别直线插补的终点判别可采用三种方法。
1）判断插补或进给的总步数：；2）分别判断各坐标轴的进给步数；3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
（4）逐点比较法直线插补举例对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。
终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。
逐点比较法圆弧插补3.逐点比较法圆弧插补（1）偏差函数任意加工点P i（X i，Y i），偏差函数F i可表示为若F i=0，表示加工点位于圆上；若F i>0，表示加工点位于圆外；若F i<0，表示加工点位于圆内（2）偏差函数的递推计算1）逆圆插补若F≥0，规定向-X方向走一步若F i<0，规定向+Y方向走一步2）顺圆插补若F i≥0，规定向-Y方向走一步若F i<0，规定向+y方向走一步（3）终点判别1）判断插补或进给的总步数：⎩⎨⎧+-=-+-=-=++12)1(122211iiiiiiiXFRYXFXX⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211iiiiiiiYFRYXFYY⎩⎨⎧+-=--+=-=++12)1(122211iiiiiiiYFRYXFYY⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211iiiiiiiXFRYXFXXbabaYYXXN-+-=baxXXN-=bayYYN-=2） 分别判断各坐标轴的进给步数；（4）逐点比较法圆弧插补举例对于第一象限圆弧AB ，起点A （4，0），终点B （0，4）4.逐点比较法的速度分析fN V L式中：L —直线长度；V —刀具进给速度；N —插补循环数；f —插补脉冲的频率。
逐点比较法直线插补
3.2.1 逐点比较法直线插补
• 逐点比较法插补: 每走一步都要和给定轨迹上 的坐标值进行比较，看这点在给定轨迹的上方 或下方，或是给定轨迹的里面或外面，从而决 定下一步的进给方向。比较一次，决定下一步 走向，以便逼近给定轨迹，即形成逐点比较插 补。 • 加工精度: 逐点比较法规定的加工直线或圆弧 之间的最大误差为一个脉冲当量，因此只要把 脉冲当量（每走一步的距离即步长）取得足够 小，就可达到加工精度的要求。
3.2 插补原理
•在CNC数控机床上，各种曲线轮廓加工都是通过插补计算实现的， 插补计算的任务就是对轮廓线的起点到终点之间再密集的计算出有 限个坐标点，刀具沿着这些坐标点移动，用折线逼近所要加工的曲 线。 •插补方法可以分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插补。 •脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法，每输出一个脉 冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离就是脉冲当量， 因此，脉冲增量插补也叫做行程标量插补。如逐点比较法、数字积 分法。该插补方法通常用于步进电机控制系统。 •数据采样插补，也称为数字增量插补，是在规定的时间内，计算出 个坐标方向的增量值、刀具所在的坐标位置及其他一些需要的值。 这些数据严格的限制在一个插补时间内计算完毕，送给伺服系统， 再由伺服系统控制移动部件运动，移动部件也必须在下一个插补时 间内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称作时间标量 插补。数据采样插补采用数值量控制机床运动，机床各坐标方向的 运动速度与插补运算给出的数值量和插补时间有关。该插补方法是 用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。 •数控系统中完成插补工作的部分装置称为插补器。
Fm<0 x
注意：起点偏差F0=0
偏差公式简化
x y xy y Fm ye y ( x 1 ) y Fm 0 Fm 1 x e m me e e m m e
(二)逐点比较法圆弧插补
(二)逐点比较法圆弧插补
逐点比较法圆弧插补是数控加工中常用的一种圆弧插补方法，其原理是通过逐点比较给定的圆弧路径与机床实际移动轨迹的差异，不断调整目标点的加工速度和轨迹实现精细的加工。
1.将给定的圆弧路径分割成若干个目标点，通常每隔一定距离取一个目标点。
2.根据目标点之间的距离和已知的转速，计算每个目标点的加工速度。
3.将目标点逐个输入数控系统，根据当前位置和目标点的位置计算运动轨迹和加工速度。
4.在运动过程中不断比较实际轨迹和目标轨迹之间的误差，根据误差大小调整加工速度，保证加工精度。
5.重复步骤3和4，直到完成整个圆弧的加工。
逐点比较法圆弧插补的优点是在加工过程中能够动态地调整加工速度，避免加工误差的累积。
同时，它对系统精度要求不高，能够适应各种数控系统。
不过，逐点比较法圆弧插补的缺点也是比较明显的。
由于每个目标点的加工速度独立计算，导致加工过程中产生了较大的速度变化，容易引起加工表面的纹路和不良的表面质量。
因此，在实际应用中，需要根据加工要求和机床精度选择合适的加工方法，并进行适当的加工优化。
第02章 逐点比较法直线插补原理
xi xi 1
若 Fi，1 则向yYi 轴xe发出(一xi个进1给) y脉e冲，F刀i 具从y该e 点向
+YF方i 向0走一步，到达新加工点，即：
yi1 yi 1
Fi1 ( yi 1)xe xi ye Fi xe
第2章 直线插补原理
由此得出递推公式（ ☺重点掌握☺）
① 偏差判别：根据偏差判断应该向哪个坐标方向 进给；
② 坐标进给：根据判别结果，沿相应的坐标方向 进给；
③ 新偏差计算：根据偏差函数，计算进给后的偏 差，作为下次偏差判别的依据；
④ 终点比较：判断是否达到终点，若达到终点则 结束本次插补程序，否则转①继续执行。
第2章 直线插补原理
2.2.3 逐点比较法的特点
逐点比较法的关键是找出容易计算的偏差函数 （直线、圆弧、抛物线、螺旋线等），然后再 比较误差。
逐点比较法运算直观，插补误差不大于一个脉 冲当量。
逐点比较法是我国数控机床中广泛采用的一种 插补方法，它能实现直线、圆弧和非圆二次曲 线的插补，插补精度较高。
第2章 直线插补原理
2.2.3 逐点比较法直线插补原理
——根据给定的信息进行数字计算，在计算过 程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲， 使被控机械部件按指定的路线移动。
2.1.3 插补要解决的问题
让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹，还是几个坐 标同时进给？
判断往哪一个坐标方向进给，使下一步误差更小？ 进给多少？
第2章 直线插补原理
如果同时进给？
偏差函数的递推计算（第一象限为例）
若 Fi 0 ，规定向-X方向走一步：
xi1 xi 1
Fi1
(xi
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待加工工件
工件旋转
刀具位移
y
b
c 曲线分割
a
d
o
x
a
b
c
剖面形状
d
3
b. 插补计算 根据给定的各曲线段的起点、终点坐标（即a、b、c、d各点坐标），以一定
的规律定出一系列中间点，要求用这些中间点所连接的曲线段必须以一定的精度 逼近给定的线段。
Y
（Xe, Ye）
（Xo, Yo）
O
用折线逼近直线段
X
4
插补计算并作出走步轨迹。
解：坐标进给的总步数为
N xy N x N y | 6 0 | | 4 0 | 10
Xe＝6，Ye＝4，设脉冲当量为Δx=Δy=1，因为从原点开始，所以脉冲当 量 Fo＝0。
步数 起1123456789点0
Y5
P（6, 4） 4
3
2
1
O
1 2345 67
X
偏差判别 坐标进给
计算机
D/A
伺服电机 驱动电路
伺服电机
测量元件
工作台
b、开环数字程序控制 ➢ 没有反馈检测元件。
计算机
步进电机
步进电机 驱动电路
工作台
8
4. 逐点比较法插补原理
在给定的轨迹情况下，每运动一步，都和轨迹比较，以确定运动方向， 从而一点一点逼近给定轨迹，如图所示：
第n＋1步
给定轨迹
第n-1步
一个运动步进
Xe
13
c、插补计算过程
需要四个步骤：偏差判别、坐标进给、（下一点）偏差计算、终点判别。 如图所示
启动 偏差判别
Fn<0?或 Fn≥0?
坐标进给 (+x行进或 +Y行进)
偏 差 计 算 Fn+1
终点判别， 是 计数器 ∑＝0？
结束
否
14
2、四个象限的直线插补
四个象限直线插补的偏差计算公式与进给方向关系表
②设加工点在m点，Fm<0时有：点在直线下方，应沿+y方向走一步到达m＋1点，
该点的坐标值为：
ym1 ym 1
xm
1
xm
偏差为： Fm1 ym1xe xm1 ye ( ym 1)xe xm ye Fm＋xe (4.3)
总结
Fm 0, Fm1 Fm ye
Fm 0, Fm1 Fm xe
第n步
下一次运动的进行方向
9
4.1 第一象限内的直线插补 设直线段OA是加工线段，点m（Xm，Ym）是加工点。
Y
A（Xe, Ye）
终点
m’
Ym
m(Xm, Ym)
m”
O （起点）
Xm
X
第一象限直线
结论
中间点m与直线有如下三种关系： 加工点在直线上； 在直线上方（m’）；在直线下方（m“）。
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a、偏差计算
xx工业大学电子与信息工程学院
数字程序控制概览
数字程序控制：根据输入的指令和数据，控制生产机械（如各种加工机床）按规 定的工作顺序、运动轨迹、运动距离和运动速度等规律自动地完成工作的自动控 制。 德国哈默，五轴联动加工中心金奖作品
2
1. 数控机床加工步骤
a. 曲线分割
将所需加工的轮廓曲线，依据保证线段所连的曲线(或折线)与原图形的误 差在允许范围之内的原则，分割成机床能够加工的曲线线段。
F<0
+y F’=F+xe=-4+6=2
F>0
+x F’=F-ye=2-4=-2
F<0
+y F’=F+xe=4
F>0
+x F’=F-ye=0
F=0
+x F’=F-ye=-4
F<0
+y F’=F+xe=2
F>0
+x F’=F-ye=-2
F<0
+y F’=F+xe=4
F>0
+x F’=F-ye=0
终点判别 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
点m在直线上，因此有：
ym xm
ye xe
ym xe
ye xm
得出定义直线插补的偏差判别式： Fm ym xe ye xm (4.1)
Y
第一象限直线 Ym
m’
m(Xm, Ym) m”
A（Xe, Ye） 终点
O （起点）
Xm
X
从起点O开始出发，若Fm>=0，在线上方，则刀具向+x方向步进一次； 若Fm<0，在直线下方，则刀具向+y方向步进一次；
6
2、直线切削控制 控制行程的终点坐标值，还要求刀具相对于工件平行某一坐标轴作直线运动，且在 运动过程中进行切削加工。（单轴切削）
3、轮廓切削控制 控制刀具沿工件轮廓曲线运动，并在运动过程中将工件加工成某一形状。这种方 式借助于插补器进行。（多轴切削）
7
3. 数字程序控制系统
a、闭环数字程序控制
F0 0
12
b、终点判别（计数法）
① 分别对x，y方向的总步进计数，直到两个方向全部到达，需要两个寄存器； ② 对x，y方向的总步进联合计数，直到总步数到达，此方式只要一个计数器。
Ye
Ye, ∆Y
Xe, ∆X
（Xe, Ye）
① ∑∆X=113206542109873 ∑∆Y= 75634012 ② ∑∆X+∑∆Y= 121203987654875421093
偏差计算
FF＝<>=00
+yx
FF’’F=F=’’FF+=-=yxFFe-+=-yyx-02eee4=-==+4-042=6=-422
终点判别 198765432100 17
实例 直线插补过程
步数 起点
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
偏差判别 坐标进给
偏差计算
F=0
F=0
+x F’=F-ye=0-4=-4
c. 脉冲分配 根据插补运算过程中定出的各中间点，对x、y方向分配脉冲信号，以控制步进 电机的旋转方向、速度及转动的角度，步进电机带动刀具，从而加工出所要求 的轮廓。
5
2. 数字程序控制方式
按控制对象的运动轨迹,分为 ：点位控制、直线切削控制和轮廓切削控制。 1、点位控制（Point To Point－PTP） 只要求控制刀具行程终点的坐标值，对刀具的移动路径、移动速度、移动方向不 作规定，且在移动过程中不做任何加工，只是在准确到达指定位置后才开始加工。 （定位）
当两方向所走的步骤与终点坐标（Xe，Ye）相等时，发出终点到达信号， 停止插补。
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＊改进的偏差计算
①设加工点在m点，Fm>=0，点在直线上方，应沿＋x方向走一步到达m＋1点，
该点的坐标值为：
ym1 ym
xm
1
xm
1
偏差为： Fm1 ym1xe xm1 ye ym xe (xm 1) ye Fm ye (4.2)
偏差符号F≧0
偏差符号F＜0
直角坐标位置 进给方向
偏差计算 直角坐标位置 进给方向
偏差计算
第一/四 象限
+x
Fm=Fm-ye 第一/二象限
+y
Fm=Fm+xe
第二/三象限
-x
Fm=Fm-ye 第三/四象限
-y
Fm=Fm+xe
15
5. 实例
16
实例：设加工第一象限直线OP，起点为O（0,0），终点坐标为P(6,4)，试进行