2019-2020年高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数教案 理 新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)．③⎝⎛⎭⎫n a n＝a .④当n 为奇数时，na n＝a ； 当n 为偶数时，nan＝ |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa －a a ＜.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q )②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0,1)x ＜0时，0＜y ＜1x ＜0时，y ＞1.在(－∞，＋∞)上是减函数当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .双基自测1．(xx·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 3解析 由题意有3a＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(xx·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析 设y ＝f (x )，t ＝2x＋1， 则y ＝1t，t ＝2x＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y ＝1t在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．答案 A4．(xx·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1，又log 23.4＞log 2103＞log 3 103，∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6又∵y ＝5x是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C5．(xx·天津一中月考)已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 47考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .(2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·4ab－130.1－2a 3b－312. 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.考向二 指数函数的性质【例2】►已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解 (1)由于a x－1≠0，且a x≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对x ＞0，由指数函数的性质知a x＞1， ∴a x－1＞0，1a x －1＋12＞0. 又x ＞0时，x 3＞0，∴x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＞0，即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立． 综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋x 3a x －.当x ＞0时，1＞a x＞0，a x＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意；当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )±f (x )，f xf －x来判断．(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 【训练2】 设f (x )＝e －xa ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性． 解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e－xa ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x)＝0，即a ＋1a＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即e xa ＋a e x ＝e －xa ＋a e－x ， 整理得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x)＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－ e x 2－e －x 2 ＝x 1－e x 2x 1＋x 2－e x 1＋x 2，∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，∴e x 1＋x 2＞1，e x 1－e x 2＜0，∴e x 1＋x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )＝e －xa ＋ae－x ，当a ＝1时在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．考向三 指数函数图象的应用【例3】►(xx·山东)函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析 y ＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x－1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x－1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y ＝e x－e －x2，y ＝lg(10x－1)等． 【训练3】 已知方程10x＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析 作函数y ＝f (x )＝10x，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10.答案 10难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想． 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】► (xx·福建五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x K ，K ，fx ＜K ，取函数f (x )＝2＋x＋e －x，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x f 2x ，f 2x ，f 1x ＞f 2x ，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值范围是________．2019-2020年高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数教案理新人教版【xx年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域．2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数对数形式 特点记法 一般对数 底数为a (a ＞0且a ≠1)log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . 3．对数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R 过点(1,0)当x ＞1时，y ＞0当0＜x＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0当0＜x ＜1时，y ＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(xx·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(xx·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f (x )，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(xx·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b＝10，求1a ＋1b的值．(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (xx·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C.答案 C考向三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x－1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (xx·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (xx·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．。