08.刚体定轴转动的功和能
8第八讲、刚体的定轴转动的功和能
i
m
yC
m y
i
P m i C
i
m
yi
O
yC
x
E p mgy C 或E p mghC
刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.
4
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内 力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.
1 2 E J mghC 常量 2
5
例3-7 如图所示，一根质量为m，长为l的匀质长棒可在 竖直平面内绕其支撑点O转动，开始棒处在水平位置由 静止释放，求(1)细棒释放时的角加速度；(2)棒落到竖直 位置时的角速度. 解 (1) 据题设，棒的重心C离支点距离OC＝l/6.故重力 对O轴的力矩为
14
例3-9 一匀质转台质量为M，半径为R，可绕竖直的中 心轴转动，初角速度为ω0，一人立在台中心，质量为m. 若他以恒定的速度u相对转台沿半径方向走向边缘，如图 所示.试计算人到达转台边缘时，(1)转台的角速度；(2)转 台转过的圈数.
解 (1) 在人走动过程中，人和转 台系统沿竖直轴方向的外力矩为零， 故对该轴的角动量守恒.取人立于 台心为初状态，t时刻人到达距台 心ut处，依系统角动量守恒，有
当M 0时，J J0 , 则 0
11
2、转动惯量可变的物体。 当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而 J保持不变.
F
F
12
实际中的一些现象 Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
艺术美、人体美、物理美相互结合
13
Ⅱ当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。
刚体的定轴转动
2
N
o A
l 4 sin θ
θ
c ω (1)
B
末态： Ek 2
则：
1 2
2
1 2
E P 2 mg
J o ω mg
l 4
sin θ 0
2
由平行轴定理
7 l 2 ml m ml J o J C md 12 48 4
2
1
2
(2)
由(1)、(2)得： ω 2
F
A Mi i
r ω
x
2. 定轴转动动能定理
M 外z J z
A 1 2
2 2
类比法
F m dv dt
d dt
1 2 J1
2
A AB
1 J
2
1 2
mv
2 B
1 2
mv
2 A
J
EK
转动动能 Δmi C × hi hc Ep=0
3 功原理
重力势能
A外 A内非 ( E KB E PB
mv cos Jω0 R
J
2
o
M
x
2
( 3)
由(1)(2)(3)：
ω0 2 gh 2R cos θ (4)
J 2mR
2
( 3)
P
0
2 gh 2R
o
cos (4)
x
m
M 令 E x轴 0
(5)
g R
系统： m +M+地球，
1 2
2
能量守恒
1 2
cos
第十讲刚体定轴转动中的功和能对定轴的角动量守恒课件
解得： = 4m/s
解：系统（滑块、弹簧），受力-弹力、重力 对滑块运动有影响的力只有弹性力，
例题7：在一光滑的水平面上，有一轻弹簧，倔强系数为k =100N/m，一端固定于o点，另一端连接一质量为 m = 1kg 的滑块。设开始时，弹簧的长度为lo=0.2m (自然长度)， 滑块速度o= 5m/s，方向与弹簧垂直。当弹簧转过90时，其长度 l = 0.5m。求：此时滑块速度的大小。
表示力矩对刚体作功的快慢。
设系统包括有 N 个质量元，
刚体定轴转动的总动能为：
二、刚体的转动动能
（刚体上所有质元的动能之和。）
各质量元速度不同，但角速度相同。
三、刚体绕定轴转动的动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。
刚 体：各质量元间无相对位移，所以内力矩不做功。
两人同时到达；
用力上爬者先到；
握绳不动者先到；
以上结果都不对。
小议链接2
（1）
（2）
（3）
（4）
两人同时到达；
用力上爬者先到；
握绳不动者先到；
以上结果都不对。
小议链接3
（1）
（2）
（3）
（4）
两人同时到达；
用力上爬者先到；
握绳不动者先到；
以上结果都不对。
小议链接4
（1）
（2）
（3）
（4）
两人同时到达；
解：小球的重力与冲击力相比可忽略，
弹性碰撞:
解得:
解：两飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒。
共同角速度：
例10：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求：两飞轮啮合后共同的角速度 。
刚体定轴转动的动能定理 ppt课件
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12 v0 t)ຫໍສະໝຸດ dt 224 v0
7l
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第七章 刚体力学 作业： P256 7.4.2 7.5.1
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O
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第七章 刚体力学
[解](1)由机械能守恒得
m ghc
1 2
I 2
hc
1 2
l
I 1 ml2 3
联立得
3g
l
O Ep=0 C
v l 3gl
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(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn
m
g
m
vc2 rc
mvM
l 2
I
2mu
l 2
1 ml 2
12
1 2
ml 2
解得
mvMl 2
ml 2 12 ml 2 2
6m(2gh)1 2 (m 6m)l
M
N
C
B
l
h A
l/2
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第七章 刚体力学 演员N以u起跳，达到的高度，由机械能守恒：
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
第七章 刚体力学
角动量守恒条件：
M 0
刚体所受的合外力矩为零
若I不变，ω不变； 若I变，ω也变，但 L I 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中，因内力矩远大于外力矩 ，此时， 角动量守恒。
刚体定轴转动转动定理、功与能
已知：均匀直杆质量为m，长为l， 光滑， 光滑 例. 已知：均匀直杆质量为 ，长为 ，轴o光滑， 0
A
θ
l /4 C
l,m B
初始静止在水平位置。 AO = l / 4 初始静止在水平位置。 角时， 求: 杆下摆到 θ 角时， 角速度 ω ？
【解】
ω
“杆+地球”系统， 杆 地球 系统， 地球”
只有重力作功， 只有重力作功，
E 守恒。 守恒。 (1) (2)
1 l 2 J 0ω − mg sin θ = 0 2 4
1 l 2 7 2 J 0 = ml + m ( ) = ml 2 12 4 48
课堂练习
研究对象是杆，显然本题中杆不可视为质点，不可用牛二； N 研究对象是杆，显然本题中杆不可视为质点，不可用牛二；杆应抽 象为刚体模型，这里就是刚体定轴转动问题， 象为刚体模型，这里就是刚体定轴转动问题，使用转动定理
o
θ
【解】 杆做定轴转动由转动定律有
mg
l 1 2 m cosθ = Jα = m α g L 2 3 3g 得 α= cos θ 2l
r dr
α
r Fபைடு நூலகம்
φ
r r d A = F ⋅ dr r = F d r cos α
P
A= ∫ M dθ
θ1 θ2
= F (rd θ ) sin φ = (Fr sin φ ) d θ = M dθ
此式称为力矩的功 实质上仍然是力的功）。 （实质上仍然是力的功）。
(对比
r r A = ∫ F ⋅d r)
R
设绳轻， 轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻， 且不伸长,与滑轮无相对滑动）。 且不伸长 与滑轮无相对滑动）。 与滑轮无相对滑动
刚体定轴转动的功和能
(解毕 )
· 10 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
五、刚体的机械能守恒
当系统中只有保守力作功，系统的机械能守恒：
E0 E
其中 E
m ,l
l 2
1 mv 2 1 J 2 2 2
C
mgh 1 kx 2 2
滑轮(R, M)，m从静止开始下落，求下落 h 时物体的速 度及加速度。 系统 = 弹簧 + 滑轮 + 物体 + 地球： 提示： 机械能守恒
k
M ,R
2mgh kh 2 答案： v m M / 2
m
2(mg kh) a 2m M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
减速、加速?
h
· 13 ·
Chapter 4. 刚体的转动
三、刚体绕定轴转动的动能定理
W Md
0
M J J d dt
d ω 0 J dt d 0 J d
·4 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
1 1 2 2 积分得： W J J 0 2 2
1 2 [定义] 刚体转动动能： E k J 2 1 1 2 2 W J J 0 E k E k 0 E k 2 2
mg
前例 已知：匀质细杆 (m，l )，光滑轴，从竖直位置静 止摆下，求细杆摆到θ 位置时的角速度。
· 11 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
解：以杆、地球为一系统，则系统机械能守恒：
大学物理 3.3刚体定轴转动中的功与能
冲头做的功。
解：以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
2
i
N
r, r, , r , r
1
2
i,
N
v,v ,,v,,v
1
2
i
N
v r
i
i
E 1 Δmv 2
i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？
解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态：动能为零，重力势能为
v
末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 是 n 240r min，1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
刚体定轴转动的动能定理
它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
刚体定轴转动的功和能
《大学物理》练习题 刚体定轴转动的功和能班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩 ________基本要求：（1） 掌握力矩的功、转动动能、动能定理、含刚体的机械能守恒定律及应用内容提要： 1. 力矩的功：⎰=θMd A2 转动动能：刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
221ωJ E k =3 刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量21222121ωωJ J A -=若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.常量=+=C mgh J E 221ω一、选择题1. 如图所示, 一匀质细杆可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内自由转动. 杆长 l = (5/3)m,今使杆从与竖直方向成60°角的位置由静止释放(g 取10m/s 2), 则杆的最大角速度为 [ ] (A) 3rad/s.(B) rad/s (C) 9 rad/s.60° 图(D)3rad/s.2.一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以2rad/s 的角速度旋转，转动惯量为.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比E k / E k0为[ ] (A)2.(B) 2. (C) 3. (D) 3.3.如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴旋转，初始状态为静止悬挂。
现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 [ ] (A) 只有机械能守恒.(B) 只有动量守恒.(C) 只有对转轴O 的角动量守恒. (D) 机械能、动量角和动量均守恒. 二.填空题1.一匀质细杆AB,长为l ,质量为m . A 端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆 时,杆的角速度为 .2.将一质量为m 的小球, 系于轻绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住, 先使小球以角速度1在桌面上做半径为r 1的园周运动, 然后缓慢将绳下拉, 使半径缩小为r 2, 在此过程中小球的动能增量是 .○· O 图三.计算题1.有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (以知棒绕O 点的转动惯量J=m 1l 2/3).2.一长l=0.4m 的均匀木棒，质量M=1.0kg ，可绕水平轴O 在竖直内转动，开始时棒自然地竖直悬垂，今有质量m=8g 的子弹以s m v 200 地速率从A 点射入棒中，假定A 点与O 点的距离为43l ，求：（1）、棒开始运动时的角速度； （2）、棒的最大偏转角。
高二物理竞赛看：刚体定轴转动的机械能和力矩的功
2
2
3
1 mgl 1 (1 ml 2 ) 2
2
23
m,l
mg
3g
l
刚体定轴转动的功能原理
2
1
M外
M重
d
1 2
J22
1 2
J12
2
1
M 外d
mgz
c
2
1 2
J22
mgz
c1
1 2
J12
2 1
M外d
E2
E1
若 M非重外 0 ，刚体的机械能守恒
E
1 2
J2
mghc
常量
m,l o
mg
Mz
dLz dt
当M z 0时
Lz 恒矢量
角动量守恒定律：刚体所受合外力矩为零，则刚体
的角动量保持不变。
J22 J11
对于刚体系统，角动量守恒定律可表示为
Jii C
需要多大的速度 才能滚上斜坡?
只有重力产生力矩，且重 力矩随摆角变化而变化。
N m,l o
l
2
M mg l sin mg l cos
mg
2
2
重力矩作功：
90
90
A重 0 Md
090 mg
l 2
cos d
1 mgl 2
始末两态动能： Ek0 0
Ek
1 2
J2
由动能定理： A Ek Ek0
o
1 mgl 1 J 2 0 J 1 ml 2
3.由定转轴动刚定体律的角M动 量J定理 J d
dJ
dL
dt
dt
dt
角动量定理微分式： dL M dt
Mdt 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩。
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《大学物理》练习题 No.8 刚体定轴转动的功和能
班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩 ________
一、选择题
1. 如图8.1所示, 一匀质细杆可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内自由转动. 杆长 l = (5/3)m,今使杆从与竖直方向成60°角的位置由静止释放(g 取10m/s 2), 则杆的最大角速度为
[ A ] (A) 3rad/s.
(B) π rad/s
(C) 9 rad/s.
(D) 3rad/s.
2.一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以2π rad/s 的角速度旋转，转动惯量为6.0kgm 2.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为2.0kgm 2.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比E k / E k0为
[ C ] （A ）2.
(B) 2. (C) 3.
(D) 3.
3.如图8.2所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴旋转，
初始状态为静止悬挂。
现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之
间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统
[ C ] (A) 只有机械能守恒.
(B) 只有动量守恒.
(C) 只有对转轴O 的角动量守恒.
(D) 机械能、动量角和动量均守恒.
二.填空题
1.如图8.3，一匀质细杆AB,长为l ,质量为m . A 端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆θ 时,杆的角速度为 l
g θs i n 3.
2.将一质量为m 的小球, 系于轻绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住, 先使小球以角速度ω 1 在桌面上做半径为r 1的圆周运动, 然后缓慢将绳下拉, 使半径缩小为r 2, 在此过程中小球的动能增量是 )(2122
2
2212121r r r mr -ω .
图8.1 图8.2
三.计算题
1.有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图8.5所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (已知棒绕O 点的转动惯量J=m 1l 2/3). 解：由角动量守恒可以得到 ωJ l v m l v m +-=2212 所以l m v v m 1212)(6+=ω 碰后，由于摩擦产生的阻力矩为：
l gm dr gr gdm r M rdF
M l
⎰⎰⎰====0121μρμμ 由角动量定理，ωJ Mt =
得到，碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间
g
m v v m t 1212)(2μ+=
2.一长l=0.4m 的均匀木棒，质量M=1.0kg ，可绕水平轴O 在竖直内转动，开始时棒自然地竖直悬垂，今有质量m=8g 的子弹以s m v 200=地速率从A 点射入棒中，假定A 点与O 点的距离为4l ，求：
（1）、棒开始运动时的角速度；
（2）、棒的最大偏转角。
解：（1）、碰撞瞬间由角动量守恒可以得到
43,)(2l d J md mdv =+=ω
所以：
)(88.81-∙=s rad ω
（2）、子弹与棒一同偏转的过程中只受重力矩作用，所以
系统机械能守恒： )cos 1)(4
32()169(2122θω-+=+l mg l Mg ml J
所以：,5294 =θ
(图8.5
l O A。