微分方程
微分方程
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例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
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例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy
2
, C2
2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
#
可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
微分方程公式大全
以下是一些常见的微分方程公式和概念：
1.一阶线性微分方程：y' + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
2.一阶齐次线性微分方程：y' = f(y/x)，其中f是已知函数。
3.二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x)，q(x)和f(x)是已知
函数。
4.二阶齐次线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
5.可分离变量的微分方程：如果方程可以整理成g(y)dy = f(x)dx的形式，则称
为可分离变量的微分方程。
此时对两边同时积分，就可以得到通解。
6.齐次方程：如果一阶微分方程的右边为0，即y' = f(y/x)，则称为齐次方程。
可以通过令u = y/x进行变量替换，将其化为可分离变量的微分方程。
7.伯努利方程：形如y' + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程称为伯努利方程。
可以通
过令z = y^(1-n)进行变量替换，将其化为一阶线性微分方程。
8.全微分方程：如果一阶微分方程的左边恰好是某个函数的全微分，即dy/dx =
f(x,y)，则称为全微分方程。
此时可以通过积分得到通解。
以上是一些常见的微分方程公式和概念，掌握这些公式和概念对于解决微分方程问题非常重要。
当然，还有许多其他的微分方程类型和公式，需要在实际学习和应用中不断积累和掌握。
微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dy 2 dx 2 例如 y x , x sin t t , 线性的; dx dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
高等数学（上）
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
Ce
P ( x ) dx
过定点的积分曲线; 微分方程的图形
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
高等数学（上）
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程
三、一阶线性微分方程
cos x C.
所以原方程通解为
y
1 cos x C . x
高等数学（上）
1 sin x 求方程 y y 的通解. x x
1 解 P( x) , x
sin x Q( x ) , x
sin x y x ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
高等数学（上）
( x, C1 )
例3 求方程 xy
解
(5)
y
(4)
0 的通解.
(5)
设y
(4)
P ( x ), y
P ( x )
(4)
代入原方程 分离变量,得
xP P 0, （P 0）
1 2 两端积分,得 y C1 x C 2 , 2
原方程通解为
高等数学（上）
微分方程的公式
微分方程的公式一、引言微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学工具。
它的形式通常可以写作：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。
这个公式表示了y关于x的导数与x和y的函数关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
二、常微分方程的解法对于一阶常微分方程，我们可以通过分离变量、一阶线性微分方程、变量替换等方法求得其解析解。
例如，对于dy/dx = x^2，我们可以将方程分离变量，然后积分求解，得到y = x^3/3 + C，其中C为常数。
对于高阶常微分方程，可以通过变量替换、特征方程、级数展开等方法求得其解析解或近似解。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以热传导方程为例，它描述了物体内部的温度分布随时间的变化。
热传导方程可以写作∂u/∂t = k∇^2u，其中u是温度场，t是时间，k是热导率，∇^2是拉普拉斯算子。
通过求解热传导方程，可以预测物体内部温度分布的演化过程，从而指导工程实践。
四、微分方程的数值解法对于复杂的微分方程，往往难以求得解析解。
这时，数值方法成为一种有效的求解手段。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后利用计算机进行迭代计算，逼近微分方程的解。
数值解法在科学计算和工程实践中具有重要的应用价值。
五、微分方程的应用案例微分方程的应用广泛涉及自然科学和社会科学的各个领域。
在物理学中，微分方程常被用于描述质点的运动、电磁场的变化等。
在生物学中，微分方程可以描述种群的增长、化学反应的动力学等。
在经济学中，微分方程可以描述市场供求关系、经济增长等。
这些应用案例进一步展示了微分方程在解决实际问题中的重要性和实用性。
六、结语微分方程作为数学的重要分支，在科学研究和工程实践中发挥着重要作用。
通过求解微分方程，我们可以揭示自然界和社会现象的规律，预测未来的变化趋势，为人类提供更好的生活和工作环境。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
微分方程
例2 设某次实验的测量数据如表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
1
2.3 2.1 2
4.6 4.7 4.3 8.1
9.2
9.8
10.3
请给出实验数据的曲线拟合
0.267x3 1.55x2 2.583x 1 0 x3 3 y 0.3333x 5.25x2 27.0167x 40.8 3 x6 4 3 2 - 0.075x 2 . 6167x 34 . 175x 198.6333x- 425.2 6 x 10
F ( x , ( x ), ( x ), ( n ) ( x )) 0
那么，函数 ( x ) 就叫做微分方程在区间 I 上的解 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解,
引例1
dy dx
2x
x 1
d2y
y2引例2来自dx2 0.4
四、MATLAB介绍 1、 求解方程 2、曲线拟合
例1 设某次实验的测量数据如表 x 1 2 3 4 4 6 7 8 9 y 0 0.33 0.50 0.62 0.75 0.8 0.82 0.93 1.00 问题
（1）绘制测量数据的散点 图，并观察散点的走向， 预测一下应用什么样的数 学模型描述之；
y2 sin x 且 tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
故方程的通解为
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解
微分方程
微分方程一 基本概念定义 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．定义若 微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．一阶微分方程一阶微分方程的一般形式：0),,(='y y x F 或),(y x f y ='．1．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能化为dx x M dy y N )()(=的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．对上式两边积分，得⎰⎰=dx x M dy y N )()(，便可得到所求的通解．如要求其特解，可由初始条件00y yx x ==代入通解中定出任意常数C 的值，可得特解．例 求微分方程0)1()1(22=+-+dy x xy dx y 满足初始条件2)1(=y 的特解． 解 分离变量，得dx x x dy yy )1(1122+=+．即dx x x x dy y y⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+22111．两边积分，得C x x y ln 21)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即)ln(1)(1ln(222Cx y x =++）．通解为222)1)(1(Cx y x =++．把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．所求特解为22210)1)(1(x y x =++．2．齐次方程可化为形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程． 齐次方程中，作变量替换xy u =就可以化为可分离变量的方程：dx x du uu f ⎰⎰=-1)(1求出积分后，将u 还原成xy ，便得所给齐次方程的通解．例如方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 例 解微分方程.tan2x y x y y =-' 解 原方程可写成：.tan 2xy x y y +='这是齐次方程．令xy u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入原方程得.tan 2⎰⎰=xdx udu 积分得.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=得.sin 2cx u =将xy u =代入上式，便得原方程的通解为.sin 2cx xy =在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．例 求微分方程023(22=--xydx dy x y ）满足初始条件10==x y的特解．解 原方程可化为yx y x xyx y dydx ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=23123222． 令yx u =，即uy x =，则dydu yu dydx +=，代入上式，得uu dydu y2512-=．分离变量，并两边积分，得dy ydu uu ⎰⎰=-15122．即C y u ln 51ln )51ln(512-=--．将yx u =代入，得到原方程的通解为C y x y =-3255将初始条件10==x y代入通解中，得到1=C ．所求特解为15325=-y x y ．与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．例6 求解微分方程11+-=yx dxdy ．解 令u y x =-，则u x y -=，dxdu dxdy -=1，于是 111+=-udxdu ． udxdu 1-=．分离变量，并两边积分，得C x u +-=22．以y x u -=代回，得C x y x +-=-2)(2．3．一阶线性微分方程 可化为形如)()(x Q y x P dxdy =+的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当0)(≡x Q 时，称方程是齐次的.0)(=+y x P dxdy 称为对应于方程)()(x Q y x P dxdy =+的线性齐次微分方程．分离变量后，得dx x P ydy )(-=，两边积分得C dx x P y ln )(ln +-=⎰．于是，方程的通解为⎰=-dxx P Ce y )(.下面求方程)()(x Q y x P dxdy =+的通解的方法：1.先求对应的齐次线性微分方程()0dy P x y dx+=的通解⎰=-dxx P Cey )(；2.常数变易：令⎰=-dx x P e x C y )()(是)()(x Q y x P dxdy=+的解，将该解带入方程)()(x Q y x P dxdy =+，有)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-，即 ⎰='dxx P e x Q x C )()()(． 两边积分，得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(. 得通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(.上式右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解. 线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．例 求解微分方程x x x y y sin 2cot =-'．解 对应齐次方程为.0cot =-'x y y 分离变量，得.cot 1xdx dy y=两边积分，得.sin sin ln cot x C CeCe y xxdx⋅==⎰=用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令.sin )(x x C y = 代入原非齐次方程，得C x x C +=2)(．故所求通解为.sin )(2x C x y +=例 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y的特解．解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为yy x dydx 262-=，即23y x ydydx -=-，将x 视为y 的函数，通解公式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y ex dy y dyy332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得23=C . 因此，所求特解为2232yy x +=．形如ny x Q y x P dxdy )()(=+ ( 1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程两边同除以n y 得)()(1x Q yx P dxdy y nn=+--．再令nyz -=1，则上式化为)()(11x Q z x P dxdzn =+-．即)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+．1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．2．一阶齐次方程：)(xyy ϕ='，令u xy =，得⎰⎰=-xx uu ud )(d ϕ．注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰⎰=⎰-．4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u y n=-1可转化为一阶线性方程．全微分方程全微分方程0pdx Qdy += 满足p Q yx∂∂=∂∂ ，则(,)u x y ∃使(,)du x y pdx Qdy =+此时，00(,)(,)(,)xyxyu x y p x y dx Q x y dy =+⎰⎰，方程解为：(,)u x y c =例 解微分方程()cos cos sin sin 0x y x y y x y '+-+= 解：()()cos cos sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+=()sin sin ,()cos cos p x y x y Q x x y x =-+=+sin cos ,cos sin p Q x y y x yx∂∂=-+=-∂∂，所以p Q yx ∂∂=∂∂所以()00(,)sin sin 1xyu x y y x y dx dy =-++⎰⎰(,)cos sin cos sin u x y y x y x y y y x x y =-++=+，方程的解为cos sin x x y C +=.也可以直接求解：原方程为()()cos cos sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+= 即()()cos sin cos sin 0x ydy ydx xdy y xdx ++-=()()sin sin cos cos 0xd y ydx xdy yd x +++=即sin cos 0dx y dy x +=，即()sin cos 0d x y y x +=，所以sin cos x y y x C +=. 例 解微分方程tan cos y y x x '+= 方法一：常数变易 tan 0y y x '+=，sin cos dy x dx y x=-⎰⎰ln ln cos ln y x c =+ cos y c x =，令()cos y c x x =是原方程的解，tan ()cos ()(sin )()sin cos y y x c x x c x x c x x x ''+=+-+= ()1c x '= 得()c x x c =+， 所以()cos y x c x =+.方法二（乘积分因子，将方程变为全微分方程）：由于sin cos cos x dy ydx xdx x+=，所以2cos cos cos xdy yd x xdx -= 2cos cos cos xdy yd xdx x -=，cos yddx x =.所以cos yx c x=+，()cos y x c x =+. 例 解微分方程2()20x y dx xydy -+=解：由2()20x y dx xydy -+=，有220xdx y dx xdy -+=所以取积分因子21x，有2220dx xdy y dxxx-+=即2ln 0yd x dx+=，所以原方程的解为2ln yx C x+=一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+的积分因子为()P x dxe ⎰例 ()()y p x y Q x '+=解：方程变形为()()dy p x ydx Q x dx += 方程两端乘积分因子()p x dxe ⎰有()()()()()p x dxp x dxp x dxe dy ye p x dx Q x e dx ⎰⎰⎰+=即()()()p x dxp x dxdye Q x e dx ⎰⎰=所以()()()p x dxp x dx ye Q x e dx C ⎰⎰=+⎰所以()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 我们看到，这正是一阶线性微分方程的公式解. 例 x x x y y sin 2cot =-' 解：我们选取cot ln sin 1sin xdxxe ex--⎰==做积分因子，方程变为21cos 2sin sin x dy ydx xdx xx-=，即2sin sin 2sin xdy yd xxdx x -=，所以2sin y ddx x=，即2sin y x C x=+，()2sin y x C x =+.其实我们通过观察就可以将方程凑成全微分方程cos 2sin sin x dy ydx x xdx x-=，则2sin cos 2sin xdy y xdx x xdx -=2sin sin 2sin xdy yd xxdx x -=，即2sin yddx x =所以2sin y x C x=+，即()2sin y x C x =+可降阶的高阶微分方程1．)()(x f y n = 型的微分方程（方程的右端仅含自变量x ） 方程两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程()11d )(C x x f y n +=⎰-．再积分可得()[]212d d )(C x C x x f yn ++=⎰⎰-．继续下去，便得方程的含有n 个任意常数的通解．2．()y x f y '='',型的微分方程（方程中不显含未知函数y ） 设p y ='，则p xp y '==''d d ，方程变成),(p x f p ='．这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为()1,C x p ψ=． 由于xy p d d =，因此又得到一个一阶微分方程()1,d d C x xy ψ=．对它积分即得方程的通解()21d ,C x C x y +=⎰ψ．例 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得()1212=+'+xpp x ，是一阶线性微分方程，化为221112xp xx p +=++'，通解为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-x xC p xx xx x xd e11ed 1221d 1222211x C x ++=． 将y p '=代入上式，并做积分得方程的通解()212arctan 1ln 21C x Cxy +++=．3．()y y f y '='',型的微分方程（中不显含自变量x ） 令y p '=，两边对x 求导得y p p x y y p xp y d d d d d d d d =⋅==''，则方程变成),(d d p y f ypp =，得关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为()1,C y p y ϕ=='． 分离变量并积分，即可得方程的通解()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．例 求微分方程()02='-''y y y 的通解．解 设p y ='，则yp py d d =''，代入原方程得0d d 2=-pyp yp．如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得yy pp d d =．得y C p 1=，即y C y 1='．再分离变量并积分，得21ln ln C x C y +=，即x C C y 1e 2=．0=p ，C y =，已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为xC C y 1e 2=．常系数线性微分方程线性方程组解的理论：n 阶常系数线性微分方程()(1)11()()()()n n n n yf x yf x y f x y Q x --'++++= ⑴对应的齐次线性微分方程：()(1)11()()()0n n n n yf x yf x y f x y --'++++= ⑵①：⑴的解与⑵的解之和是⑴的解；②：⑴的两个解之差是⑵的解；③：⑵的解的线性组合是⑵的解；④：12()()()Q x q x q x =+，则()1()()n n y f x y q x ++= 与()2()()n n y f x y q x ++= 的解之和是()12()()()n n yf x y q x q x ++=+ 的解；⑤：⑴的通解可写成⑵的通解与⑴的特解之和；⑥：1(),()n h x h x 是⑵的线性无关解，则11()()n n c h x c h x ++ 是⑵的通解. 例：设线性无关函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为A 11223c y c y y ++B 1122123()c y c y c c y +-+C 1122123(1)c y c y c c y +---D 1122123(1)c y c y c c y ++--解：选择D二阶常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性微分方程设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y 的相互独立的两个特解（线性无关）(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．求微分方程0=+'+''qy y p y 通解中各项对照表：例 求微分方程043=-'+''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解． 解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ． 特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x+=．求导得xxC x C C y 22212e)(e2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e2x y x-=．例 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 0d )(d )(21)(．试求函数)(x f .解 方程两边对x 求导得：⎰-='x t t f x f 0d )(2)(．由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得：)()(x f x f -=''． 所以得到初值问题//0/012x x y y y y ==⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-=所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+ 由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=常系数齐次线性微分方程()(1)110n n n n y p y p y p y --'++++= 通解中各项对照表：例 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-=方程的通解).3sin3cos(e e43221x C x C C C y xx+++=-例 下列方程哪个以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意数）为通解 A ．//////440y y y y +--=；B ．//////440y y y y +++=；C ．//////440y y y y --+=；D ．//////440y y y y -+-=.2．二阶常系数非齐次线性微分方程()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解，Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为)(x f qy y p y =+'+''的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ； ②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+． 只讨论)(x f 为以下两种形式的情形．I. )(x f qy y p y =+'+''，x m x P x f λe )()(=型)(x f qy y p y =+'+''的具有形如：()ekxm y x Q x *λ=的特解；其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．例 求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解． 解 先求对应齐次方程：065=+'-''y y y 的通解， 其特征方程是0652=+-r r ．特征根,3,221==r r 对应齐次方程的通解为x x C C Y 3221e e +=．所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如xm x P λe)(，其中,0=λ.2106)(2+-=x x x P m因为0=λ不是特征根，因而所求方程有形如2y Ax Bx C *=++的特解． 由于()2,y Ax B *'=+()2,y A *''= 将它们代入原方程中得：.2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax比较上式两端x 的同次幂的系数可得.0,0,1===C B A 故所求方程的一个特解为2.y x *=从而所求方程的通解为.ee23221x C C y xx++=例 求方程xx y y y 2e 24'4=+-''的通解．解 右端函数形如xm x P λe)(，其中,2=λ.2)(x x P m =方程对应的齐次方程044=+'-''y y y 的通解为：).(e 212x C C Y x+=由于2=r 是二重特征根，设方程有形如22()e xy x Ax B *=+的特解．代入方程0,31==B A ．于是得所求方程的一个特解为：321e .3xy x *=最后得所求方程的通解为).31(e3212x x C C y x++=2010年考试题 求方程3'22e xy y y x ''-+=的通解（10分）II ．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型特解可设为e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．例 求方程)sin 7(cos e 2x x y y y x -=-'+''的通解．解 方程对应的齐次方程02=-'+''y y y 的特征方程为022=-+r r ， 特征根2,121-==r r ，齐次方程的通解为x x C C Y 221e e -+=．因为i i ±=±1ωλ不是特征根，方程具有形如(cos sin )x y e A x B x *=+的特解， 求得,1,2==B A 故e (2cos sin )x y x x *=+， 所求通解为.e e )sin cos 2(221x x x C C x x e y -+++=练习题解下列微分方程齐次方程1.222x e dy xy x y dy x y dx dx y x y e =⎧=+⎪⇒=+⎨⎪=⎩解：令y u x= 则y ux = dy udx xdu =+ ，dy du u xdxdx=+由dy x y dxyx=+，有1xdu dxu=，21ln 2uc x +=所以22ux ce = ，即222yxx ce= ，代入初始条件得1c e -=，所以2212yxx e-=2.2()dy x y dx=+，令u x y =+ (())dy x y dxϕ=+，21du u dx-=21du u dx-=21du u dx-=21du u dx=+，21du dx u =+ arctan()x c x y +=+3.解微分方程222222x yxx y yy ex x++'=+-解：令22x y u x+=，22xdu udx xdx ydy +=+222udy du yx u x e u x dxdx=+-=+-所以udu x e dx=，22ln x y xex C +--=+4：解微分方程15dy y x dxy x -+=++，令y Y a x x X b =+⎧=⎨=+⎩1()()15()()5y x Y a x b y x Y a x b -+=+-+-⎧⎨++=++++⎩ ∴1050a b a b --=⎧⎨++=⎩∴2,3a b =-=- ∴11YdY Y xx Y dxy xx--==++ 令Y u x = 12111udx xdu u du u x dx u dx u +-=⇒+=-++ ∴211du u xdxu +=-+∴2211ln(1)arctan ln 12u dx du u u x c u x+=-⇒++=-++2313arctanln 1()ln 2222y y x c x x ++⎡⎤++=-++⎢⎥++⎣⎦5.dy dxx=解：0x <时，dy y dxx=+，令yu x=，则y xu =，所以,dy udx xdu =+所以原方程变为：dy du u xu dxdx=+=+即dx x=，两边积分有1ln(ln ln u x c +=+所以1C x u =+0x <，所以y C x x=+()1C C =-所以2Cx y =-当0x >时dy ydxx =-dxx =-所以1ln(ln ln u x C +=-+即yx C x ⎛+⋅= ⎝，y C +=6：设L 是一条平面曲线，其上任一点(,)(0)p x y x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且过1(,0)2点⑴求L 的方程⑵求L 位于第一象限部分的一条切线，使该点切线与L 以及两坐标轴所围成图形的面积最小解：⑴(,)p x y 处的切线()Y y y X x '-=-，切线与Y 轴的交点0X Y y y x '=⇒=-1()02y y x y ⎧'-=⎪⎨=⎪⎩1()02dy dx xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得214y x =-⑵(,)p x y 处的切线()(0,0)Y y y X x x y '=+->>且214y x =-，2y x '=-∴222Y y xX x =-+为切线，切线与X 轴的交点222y x X+=22Y y x =+∴122220121(2)()224y x S y x x dx x+=⋅+--⎰又 122222011111,()()42244y x s x x dx x =-=⋅+--⎰∴222211111()()244248s x x x x y xx '=-+++⋅⇒==一阶线性微分方程 1：求过1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=的曲线方程解：arcsin 1y x '+= 则arcsin arcsin xdy yd x dx +=arcsin y x c x =+，又120x y==，∴12c =-∴12arcsin x y x-=2. 求连续函数()f x 使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰解：()2()2(0)0f x f x x f '+=⎧⎨=⎩注意初始条件22(2)2xxedy ydx x e dx +=⋅练习：已知连续函数满足条件320()()3x xt f x f dt e =+⎰，求()f x 3.设有微分方程2()y y x ϕ'-=，其中2(1)()0(1)x x x ϕ<⎧=⎨>⎩试求在(,)-∞+∞内连续函数()y y x =，使之在(,1)-∞和 (1,)+∞内都满足所给方程 且(0)0y =解：1x <，22(0)0y y y '-=⎧⎨=⎩ 21x y ce =- 1c = ，所以21x y e =-1x >时，20y y '-= 2x y ce =由于()y x 连续，且21lim 11xz x ee -→-=-，21lim ()1x y x e +→=-，所以221lim 1xx cee +→=-，即有21c e -=-，所以2221(1)()(1)(1)x xe x y x e e x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩17.设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件111()()()xtx tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰求()f x解：两边对x 求导1()()()ttf xt tf x f u du =+⎰又5(1)2f =，上式取1x =有15()()2ttf t t f u du =+⎰再求导5()()()2f t tf t f t '+=+，所以5()25(1)2f t tf ⎧'=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5()(ln 1)2f x x =+练习：1.()f x 连续，0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x dx ⎰2.()f x 连续，20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x3.()f x 连续，1()sin ()f x x x f xt dt +=⎰，求()f x4.()f x 连续，20()2()xf x f t dt x +=⎰，求()f x18. ()f x 连续，21(2)arctan 2xtf x t dt x -=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰解：令2x t u -=，则221(2)(2)()arctan 2x x xtf x t dt x u f u du x -=--=⎰⎰即22212()()arctan 2x xxxx f u du uf u du x -=⎰⎰所以[]24122()22(2)()2(2)2()21x xxf u du x f x f x xf x xf x x+⋅--⋅+=+⎰24122()()21x xxf u du xf x x -=+⎰令1x =，有2112()(1)2f u du f -=⎰，所以213()4f u du =⎰练习：()f x 连续，0()1cos ,xtf x t dt x -=-⎰，求20()f x dxπ⎰19.设()()()F x f x g x =其中(),()f x g x 在(,)-∞+∞内满足()(),()()f x g x g x f x ''==且(0)0,()()2xf f xg x e =+=⑴求()F x 所满足的一阶微分方程 ⑵求()F x 的表达式解：（1）22()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+[]22()()2()()42()xf xg x f x g x eF x =+-=-⑵22224()()(0)0xx xy y e y x F x e e y -'⎧+=⇒==-⎨=⎩ 20.()F x 是()f x 的一个原函数，()G x 是1()f x 的一个原函数()()1,(0)0F x G x f ⋅=-=求()F x解：0F G G F ''+=，所以110()F F Ff x '-⋅+⋅= ，22()()f x F x = ∴()()F x F x '=±练习：设()F x 为()f x 的原函数,且当0x ≥时, 2()()2(1)xxef x F x x =+，且(0)1,()0F F x =>，求()f x21 设(,)f u v 具有连续偏导数，且满足(,)(,)u v f u v f u v uv ''+= 求2()(,)x y x e f x x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解 解：[]2222()2(,)(,)(,)2xxxu v y x ef x x ef x x f x x y x e ---'''=-++=-+222222,2xx xy y x ee dy ye dx x dx -'+=+= 323xxdey d=∴32()3xxy c e-=+练习：设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z z xy∂∂+=∂∂(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=.(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式22.设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此方程满足ln 20x y==的特解解：()x x xe p x e x +=，所以()x p x xe x =- ，代入原方程即可求出解. 应用（几何）例1，设⑴函数(),(0)y f x x =≤≤+∞满足(0)0,0()1xf f x e =≤≤-⑵平行于Y 轴的动直线NW 与()y f x =和1xy e =-分别相交于12,p p⑶曲线()y f x =，直线NM 与X 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12p p 的长度 求()y f x =的表达式解0()(1)()(0)0x x f x dx e f x f ⎧=--⎪⎨⎪=⎩⎰ 练习：设()y f x =是第一象限内连接(0,1),(1,0)A B的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任一点，点C 为M 在X 轴上的投影，O 为原点，若梯形O C M A 的面积与曲边三角形C B M 的面积之和为3163x+，求()f x 表达式.例2：在XOY 坐标平面中，连续曲线L 过点(1,0)M任意一点(,),(0)p x y x ≠处切线斜率与直线o p 的斜率之差等于ax ，常数0a > ⑴求L 的方程；⑵当L 与直线y ax =围成面积为83时，求a解：10x dy yax dx x y=⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 2xdy ydx ax dx -=，2xdy ydxadx x-=，y ddax x=y ax c x=+2,0y ax cx a c =++= c a =-2y ax axy ax⎧=-⎨=⎩交点(0,0),(2,2)a 2208()3ax ax ax dx ⎡⎤--=⎣⎦⎰练习：.对任意0x >，()y f x =在(),()x f x 处切线在y 轴上的截距等于1()xf t dt x⎰，求()f x .。
微分方程
如方程
而 在具体问题中常数C的值总是根据 的值总是根据“ 在具体问题中常数 的值总是根据“预先给定的条 而确定的．这个“预先给定的条件” 件”而确定的．这个“预先给定的条件”叫初始条 件 定义6 定义 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 称为初始条件． 称为初始条件．当通解中的各任意常数都取 得特定值时所得到的解，称为方程的特解． 得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
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y′ + p( x) y = 0
可分离变量的微分方程:
先求一阶齐次线性微分方程 y′ + P(x) y = 0的通解. 的通解 该方程是一个可分离变量的方程，分离变量， 该方程是一个可分离变量的方程，分离变量，有 dy = −P(x)dx y 两端积分， 两端积分，得 ln y = −∫ P(x)dx + lnC， 故一阶齐次线性微分方程 y′ + P(x) y = 0的通解为 −∫ P( x)dx y = Ce 一阶非齐次线性方程的解的结构） 定理 （一阶非齐次线性方程的解的结构） 一阶非齐 次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一 阶非齐次线性方程的一个特解之和. 阶非齐次线性方程的一个特解之和
y = b0 + b1 x + b2 x
*
2
y* = b2 x2 一定设成一个不缺项 ， （注意不要设成
的二次多项式） 的二次多项式）
( y*)′ = b1 + 2b2 + b2 x , ( y*)′′ = 2b2
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代入原方程， 代入原方程，得
b2 x2 + (b1 − 4b2 )x + b0 + 2b2 − 2b1 = x2 b2 = 1 解 b1 − 4b2 = 0 b0 + 2b2 − 2b1 = 0
微分方程
微分方程常见公式1、一阶线性微分方程：()()y p x y q x '+= 或 ()()x p y x q y '+=其通解为：()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰或()()()p y dy p y dy x e q y e dy c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰。
2、可分离变量的微分方程：()()dyf xg y dx=或 ()()()()12120M x M y dx N x N y dy += 其求解步骤为：()()()()1dy f x g y dy f x dx dx g y =⇒=⎰⎰ 或 ()()()()()()()()211212210N y M x M x M y dx N x N y dy dy dx M y N x +=⇒=-⎰⎰ 。
3、齐次方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭其求解步骤为：令y dy dtt y xt t x x dx dx=⇒=⇒=+ 代入原微分方程得 ()()11dt t xt dt dx dx t t xϕϕ+=⇒=-⎰⎰求出通解后将y t x =代入即得原方程通解。
4、可降阶的高阶微分方程： 1）()()n yf x =：逐步进行n 次的不定积分，即可得到一含有n 个独立常数的通解。
方程特点：右端仅含有自变量x 的函数。
2）(),y f x y '''=：()()(),y p x p x f x p '='⇒=得一关于变量,x p 的一阶微分方程，如求出其通解 ()()()()111,,,p x x c y x c y x c dx ϕϕϕ'=⇒=⇒=⎰。
方程特点：右端不显含未知函数y 。
5、二阶线性微分方程：()()()y p x y q x y f x '''++= 二阶常系数线性微分方程：()y py qy f x '''++=， ()0f x =称为齐次的， ()0f x ≠称为非齐次的。
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复习六 微分方程
1．了解微分方程的通解和特解的概念, 会解变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、可降阶的二阶方程.
例1．微分方程y '=e 2x -y 的通解为 .
解: 分离变量得e y dy =e 2x dx , 两边积分得C e e x y +=22
1. 例2．求微分方程x (y 2-1)dx +y (x 2-1)dy =0的通解.
解: 这是一个可以分离变量的方程, 分离变量得
22d d 11
y x x y x y =---, 积分得
ln|x 2-1|=-ln|y 2-1|+C 1,
故通解为(x 2-1)(y 2-1)=C .
例3．微分方程2y y x y
'=+的通解为____x =y (y +C )_____. 解: 原方程可化为
d 1d x x y y y
-=, 其通解为
11
()d ()d e [e d ]()y y x y y C y y C ---⎰⎰=⋅+=+⎰.
例4．已知y =f (x )上任一点M (x , y )处的切线的斜率等于221y x x
++, 且曲线过(1, 0)点, 求此曲线方程.
解: 问题是求微分方程221y x y x
++'=满足条件y (1)=0的解的问题. 微分方程化为
221x y y x x
+'-= . 由通解公式得
221ln 2
y x x Cx =+-. 将y (1)=0代入通解得12
C =. 微分方程的特解为221ln (1)2y x x x =+-, 这就是所求的曲线方程.
例5．求微分方程xy ''+y '=-x 的通解.
解: 这方程属于不显含y 的二阶方程.
令p =y ', 方程化为一阶线性方程11p p x
'+=-, 此方程通解为
112C p x x
=-+, 即 112C y x x
'=-+, 从而原方程的通解为2121ln 4
y x C x C =-++.
2．会求二阶常系数齐次线性方程的特征根, 并由特征根写出其通解; 能确定二阶常系数非齐线性方程的解的形式, 会解自由项为x n e λx 、x n sin λx 或x n sin λx 的二阶常系数非齐次方程.
例1．已知y =1, y =x , y =x 2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解, 则该方程的通解为________.
解: x -1, x 2-1是对应二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解, 所以该方程的通解为y =c 1(x -1)+c 2(x 2-1)+1.
例2．微分方程y ''-6y '+8y =xe 2x 具有如下形式的特解( ).
(A)(ax +b )e 2x ; (B)x (ax +b )e 2x ; (C) x 2(ax +b )e 2x ; (D) xe 2x .
解: 选择B.
由λ2-6λ+8=0得特征值2, 4. 再根据方程右端形式可知方程有如下形式的特解: x (ax +b )e 2x .
例3．求微分方程y ''-4y '+3y =0满足y (0)=6和y '(0)=10的特解.
解: 这是一个二阶常系数线性齐次方程, 特征方程为r 2-4r +3=0, 特征根为r 1=1, r 2=3, 故方程通解为
y =C 1e x +C 2e 3x .
将y (0)=6, y '(0)=10代入得
C 1+C 2=6, C 1+3C 2=10,
解得C 1=4, C 2=2, 从而所求特解为y =4e x +2e 3x .
例4．求微分方程y ''-2y '+y =5xe x 的通解.
解: 由特征方程r 2-2r +1=0得特征根r 1=r 2=1, 故对应齐次方程的通解为 (C 1+C 2 x )e x .
由于1为二重特征根, 故设方程的特解为
y *=(Ax +B )x 2e x ,
代入方程并比较系数得
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A =,
B =0. 于是原方程的通解为y =(
C 1+C 2x )e x 35e 6
x x +
. 例5．设y =y (x )满足方程y ''-3y '+2y =2e x , 且其图形在点(0, 1)与曲线y =x 2-x +1 相切, 求函数y (x ).
解: 由条件知y =y (x )满足y (0)=1, y '(0)=-1.
由特征方程r 2-3r +2=0得r 1=1, r 2=2, 对应齐次方程的通解
Y =C 1e x +C 2e 2x .
设特解为
y *=Axe x ,
其中A 为待定常数. 代入方程, 得A =-2.
因此, 特解为y *=-2xe x , 通解为y =C 1e x +C 2e 2x -2xe x .
代入初始条件得C 1=1, C 2=0, 最后得y (x )=(1-2x )e x .
例6．求方程y ''+y =sin2x 的通解.
解: 特征方程为r 2+1=0, 解得r 1=i , r 2=-i .
对应齐次方程的通解为
y 1=C 1 cos x +C 2 sin x .
由于2i 不是特征方程的根, 故其特解应为
y ⋅=a cos 2x +b sin 2x ,
代入原方程得a =0, 13b =-, 于是特解为1*sin 23
y x =-, 从而原方程的通解为
1121*c o s s i n s i n 23
y y y C x C x x =+=+-.
练习六
1. 求微分方程xy '=x -y 满足0)2(=y 的特解.
2. 微分方程xy '+y =1的通解是 .
3. 微分方程y '+y ''=xy ''满足条件y '(2)=1, y (2)=1的解是( ).
(A )y =(x -1)2; (B )421)21(2-+=x y ; (C )21)1(212+-=x y ; (D )4
5)21(2--=x y . 4. 微分方程2y ''+y '-y =0的通解是( )
(A)y =c 1e x -c 1e -2x ; (B)y =c 1e -x +c 1e x /2 ; (C) y =c 1e x +c 1e -x /2 ; (D) y =c 1e -x +c 1e 2x . 5. 微分方程y ''-6y '+8y =xe 2x 具有如下形式的特解( ).
(A)(ax +b )e 2x ; (B)x (ax +b )e 2x ; (C) x 2(ax +b )e 2x ; (D) xe 2x .
6. 微分方程y ''-2y +5y =2e x sin2x 的特解具有形式( )(其中A 、B 为待定系数).
(A)Ae x sin2x ; (B)Axe x sin2x ; (C)Axe x cos2x ; (D)Axe x sin2x +Bxe x cos2x .
7. 设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1, x e y =2, x e y 23=, 则其通解为( ).
(A )x x e C e C x 221++; (B )x x e C e C x C 2321++;
(C ))()(221x x x e x C e e C x -+-+; (D ))()(2221x e C e e C x x x -+-.
8. 解方程2d (1)2sin d y x xy x x
++=. 9. 求微分方程(1+x 2)y ''=2xy ' 满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=3的解. 10. 求方程y ''+4y =x -1的通解.
11. 求方程y ''-4y =(x -1)e 2x 的通解.
12. 求微分方程y ''-4y '+5y =2sin x 的通解.。