第4章j交通规划 算例

【例题4-1】用Dijkstra法计算下图4-1所示路网从节点1到节点9的最短径路。

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图4-1 交通网络示意图

【解】：

步骤1给定起点1的P标号：P[1]=0，其他节点标上T标号：T 1(2)=… = T 1 (9)= ∞。

步骤2 节点1 刚得到P标号。节点2、4与1相邻，且均为T标号，修改这两点的T标号：

T 2 (2)=min[T 1 (2),P(1)+d 12 ]=min[∞,0+2]=2

T 2 (4)=min[T 1 (4),P(1)+d 14 ]=min[∞,0+2]=2

在所有（包括没修改的）T标号中，找出最小标号。2、4为最小，任选其一，如节点2，即P[2]= T 2 (2)=2。

步骤3 节点2 刚得到P标号。节点3、5与2相邻，且均为T标号，修改这两点的T标号：

T 3 (3)=min[T(3),P(2)+d 23 ]=min[∞,2+2]=4

T 3 (5)=min[T(5),P(2)+d 25 ]=min[∞,2+2]=4

在所有T标号（点3,4,5…9）中，节点4为最小，给节点4标上P 标号，即P[4]= T 2 (4)=2。

步骤4 节点4 刚得到P标号。节点5、7与4相邻，且为T标号，修改这两点的T标号：

T 4 (5)=min[T(5),P(4)+d 45 ]=min[4,2+1]=3

T 4 (7)=min[T(7),P(4)+d 47 ]=min[∞,2+2]=4

在所有T标号中，节点5为最小，给节点5标上P标号，即P[5]= T 4 (5)=3。

步骤5 节点5 刚得到P标号。节点6、8与5相邻，且为T标号，修改这两点的T标号：

T 5 (6)=min[T(6),P(5)+d 56 ]=min[∞,3+1]=4

T 5 (8)=min[T(8),P(5)+d 58 ]=min[∞,3+2]=5

在所有T标号中，节点3为最小，给节点3标上P标号，即P[3]=T 3 (3)=4。

步骤6 节点3 刚得到P标号。节点6与3相邻，且为T标号，修改6的T标号：

T 6 (6)=min[T(6),P(3)+d 36 ]=min[4,4+2]=4

在所有T标号中，节点6为最小，给节点6标上P标号，即P[6]=T 6 (6)=4。

步骤7 节点6 刚得到P标号。节点9与6相邻，且为T标号，修改9的T标号：

T 7 (9)=min[T(9),P(6)+d 69 ]=min[∞,4+2]=6

在所有T标号中，节点7为最小，给节点7标上P标号，即P[7]= T 4 (7)=4。

步骤8 节点7 刚得到P标号。节点8与7相邻，且为T标号，修改8的T标号：

T 8 (8)=min[T(8),P(7)+d 78 ]=min[5,4+2]=5

在所有T标号中，节点8为最小，给节点8标上P标号，即P[8]=T 8 (8)=5。

步骤9 节点8 刚得到P标号。节点9与8相邻，且为T标号，修改9的T标号：

T 9 (9)=min[T(9),P(8)+d 89 ]=min[6,5+2]=6

在所有T标号中，节点9为最小，给节点9标上P标号，即P[9]= T 9 (9)=6。

所有节点均标上了P标号,计算结束。得到节点1到其他各节点的最短路权（P标号）

表4-1 例题8-1计算结果

节点 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0

2 4 2

3

4 4

5

6 P标号P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9)

【例题4-2】] 求解例题4.2 - 1网络任节点间的最短路权。

【解】：(1) 根据交通网络结构，距离矩阵表示如下。

表4-2 交通网络的距离矩阵

（2）进行矩阵迭代运算（第2步）

d212=min[d11+d12,d12+d22,d13+d32,d14+d42,d15+d52,d16+d62,d17+d 72,d18+d82,d19+d92]

=min[0+2,2+0,∞+2,2+∞,∞+2,∞+∞,∞+∞, ∞+∞, ∞+∞]=2 (i=1,j=2;k=1,2，…9)

d213、d214、d215…d219计算同理，如d215：

d215 =min[d11+d15 ,d12+d25 ,d13+d35 ,d14

+d45 ,d15+d55 ,d16+d65 ,d17+d75 ,d18+d85 ,d19+d95 ]

=min[0+∞,2+2,∞+∞,2+1,∞+0,∞+1,∞+∞,∞+2,∞+∞]=3 (i=1,j=5;k=1,2…9)

从节点1经过两步到达5的最短路权为3。其他元素按同样方法计算，得到D2

（3）进行矩阵迭代运算

经过三步到达某一节点的最短距离为：

D3 = D2~D=[d3ij ]

[d3ij ] =min[d2ik +d kj ] （k=1,2,3，…,n）

式中：d2ik— --- 距离矩阵D2中的元素；

d kj --- —距离矩阵D中的元素。

（4）进行矩阵迭代运算（第m步）

经过m 步到达某一节点的最短距离为：D m =D m-1~D=[d m ij ]

[d m ij ] =min[d m-1ik +d kj ] （k=1,2,3，…,n）

式中：d m-1ik— --- 距离矩阵D m-1中的元素；

d kj --- —距离矩阵D中的元素。

迭代不断进行，直到D m =D m-1。即D m中的每个元素等于D m-1中的每个元素为止，此时的D m便是任意两点之间的最短路权矩阵。