2017中考数学分类试题--相似三角形和圆2
2017年中考数学真题分类汇编图形的相似与位似(K12教育文档)
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图形的相似与位似一、选择题1。
（2017·重庆A卷）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3:2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】A．【解析】试题解析：∵△ABC～△DEF,相似比为3:2，∴对应高的比为：3：2．故选A．考点：相似三角形的性质.2。
(2017·重庆B卷）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1:2 D．2：1【答案】A．考点：相似三角形的性质；图形的相似．3。
(2017·广西贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N,连接OM,ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM；的最小值是，其中正③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN确结论的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据正方形的性质,依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN,△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM,又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA)，故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN,又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON,∠COM=∠BON,∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON,又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD,故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2,∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x)=﹣x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S △OMN 的最小值是1﹣=,故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个,故选:D ．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．4.（2017·四川成都）如图，四边形ABCD 和A B C D '''' 是以点O 为位似中心的位似图形，若:2:3OA OA '= ，则四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为( )A ． 4：9B ． 2：5 C. 2:3 D ．2:3【答案】A【解析】 考点：位似变换的性质二、填空题1。
2017年中考数学真题汇编--利用相似三角形的性质解答综合题
2017中考数学真题汇编---利用相似三角形的性质解答综合题1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．3．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．4．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD?MN．5．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；6．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA 于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．7．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．8．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．9．如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NM ⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED．（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半径为3，求DN2+GN2的值．10．已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．11．将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．12．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．13．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC 于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．14．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．15．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．16．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF?DA．18．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．19．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）20．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．21．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．23．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP=∠BAN．（1）求证：△ABC为等腰三角形．（2）求证：AM?CP=AN?CB．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．25．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．27．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．28．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．29．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．30．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→Ｂ向终点B运动，直线EP交AD 于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．31．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．32．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．33．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？34．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F 为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．35．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？36．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．37．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC 交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？38．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．39．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．40．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=PM．（2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．参考答案与解析1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE：CF=DE：EF，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴CE：CF=DE：EF，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．3．（2017?攀枝花）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．【解答】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴．【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．4．（2017?黄冈）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD?MN．【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：（1）∵ME平分∠DMN，∴∠OME=∠DME，∵OM=OE，∴∠OME=∠OEM，∴∠DME=∠OEM，∴OE∥DM，∵DM⊥DE，∴OE⊥DE，∵OE过O，∴DE是⊙O的切线；（2）连接EN，∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，∴∠MDE=∠MEN=90°，∵∠NME=∠DME，∴△MDE∽△MEN，∴=，∴ME2=MD?MN【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．5．（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；（2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．综上所述，PB的长为或．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．6．（2017?锦州）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．【分析】（1）过O作OH⊥AB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；（2）由条件可证明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性质可证得结论．【解答】证明：（1）如图，过O作OH⊥AB，∵四边形OABC为菱形，∴AB=BC，∵BC为⊙O的切线，∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，∴AB?OH=BC?OD，∴OH=OD，∴AB为⊙O的切线；（2）由（1）可知OD⊥CB，∴AO⊥DO，∴∠AOD=90°，∴∠DFE=∠AOD=45°，∵∠C=45°，且∠ODC=90°，∴∠DOF=45°，在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，∴△DGF∽△DFO，∴=，即DF?GF=DG?OF，∵OF=OD=OE，∴DF=GF，∴GF2=DG?OE．【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．7．（2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG ⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．8．（2017?巴中）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．【分析】（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明△ADF∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出==．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴EB⊥AB，∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，∴EF=BE=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAF+∠AFD=90°，又∵AF⊥FG，∴∠AFG=90°，∴∠AFD+∠CFE=90°，∴∠DAF=∠CFE，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCE，∴=，又∵AF=12，EF=6，∴==．【点评】本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．9．（2017?德阳）如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NM⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED．（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半径为3，求DN2+GN2的值．【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角和切线的性质得：∠DEC=∠NMD=90°，再证明CD∥NM，可得∠MND=∠EDC，根据两角对应相等可得两三角形相似；（2）先证明△GND是直角三角形，再根据△EGN是等腰直角三角形得∠GEN=45°，证明△GOD是直角三角形，利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥CD，∵NM⊥DF，∴NM∥CD，∴∠MND=∠EDC，∵CD为⊙O的直径，NM⊥DF，∴∠DEC=∠NMD=90°，∴△DMN∽△CED；（2）连接GE，CG，OC，∵G为点E关于AB对称点，∴AO垂直平分EG，∴GN=EN，∠GNA=∠ENA，∵∠DNO=45°，∴∠ENA=45°，∴∠GNE=90°，∴∠GND=180°﹣90°=90°，∴△GND是直角三角形，∴DN2+GN2=DG2，∵△EGN是等腰直角三角形，∴∠GEN=45°，∴∠C=∠GEN=45°，∵OG=OC，∴∠CGO=∠C=45°，∴∠GOD=90°，∴△GOD是直角三角形，∴DG2=OG2+OD2=32+32=18，∴DN2+GN2=DG2=18．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等知识，第2问有难度，证明∠C=45°是解决第（2）小题的关键．10．（2017?十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．【分析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题．【解答】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴=，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴=，∴=，即=，∵AB=BC，∴=1．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．11．（2017?宁夏）将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）方法1、设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出=．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出==，进而求出===．方法2、易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==，再用角平分线定理判断出CP=CQ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）解：如图，设AB与CE交于点M．∵EC平分∠AEB，∴=．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE==，∴AE=BE，∴==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴==，【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC交AB于G，如图所示：∵BE=EF，∴∠F=∠EBF；∵∠AEB=∠EBF+∠F，∴∠F=∠AEB，∵C是的中点，∴，∴∠AEC=∠BEC，∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，∴∠AEC=∠AEB，∴∠AEC=∠F，∴CE∥BF；②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=2，∴AD=6，∴AB=8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面积=BD?CG=×2×2=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．13．（2017?桂林）已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；（2）根据AA可证△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD；（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得S△DPE：S△BPE=13：32，S△BDE：S△BCD=4：5，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=BC，∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴=，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴=，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴=，∴BP=，∴DP=BD﹣BP=，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD=××3=15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE=．【点评】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．14．（2017?衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．（2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°，∵BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又∵∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．（2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC==15，∵△COD∽△CBE．∴，即，解得：r=．【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．15．（2017?乐山）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE?CP的值．【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP?CE=C A2=（2）2=8．【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．16．（2017?怀化）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（2017?滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF?DA．【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此可得DE2=DF?DA．【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，即∠BED=∠EBD，∴DB=DE，∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴=，即DB2=DF?DA，∴DE2=DF?DA．【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．18．（2017?黔东南州）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得=，由此即可解决问题；（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；【解答】（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴=，∴PT2=PA?PB．（2）∵TP=TB=，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB==，∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=﹣?12=﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、扇形的面积等计算等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是证明△AOT的等边三角形．19．（2017?广东）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM?PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的长==π．【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．20．（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．21．（2017?德州）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=BE?BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x?3x，解得：x=，即AE=．【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．22．（2017?河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．。
2017中考数学真题汇编----相似三角形的性质(选择、填空题)
在 AB 边上移动时， DE始终与 AB 垂直， 若△ CEF与△ DEF相似，则 AD=
．
39．在平行四边形 ABCD的边 AB 和 AD 上分别取点 E 和 F，使
，
，
连接 EF交对角线 AC于 G，则 的值是
．
40．如图，点 A1，A2， A3，A4，…，An 在射线 OA 上，点 B1，B2， B3，…，Bn﹣1
A．2 B．3 C．4 D．5 19．如图，在等边△ ABC中， D 为 AC边上的一点，连接 BD，M 为 BD 上一点， 且∠ AMD=6°0 ，AM 交 BC于 E．当 M 为 BD 中点时， 的值为（ ）
A． B．
C． D．
20．将一张边长分别为 a， b（ a＞ b）的矩形纸片 ABCD折叠，使点 C 与点 A 重
13．如图，在△ ABC中， D、 E 分别为 AB、 AC边上的点， DE∥ BC，点 F 为 BC边
上一点，连接 AF 交 DE于点 G，则下列结论中一定正确的是（
）
A． = B． = C． = D． =
14．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，
问井深几何？ ”这是我国古代数学《九章算术》中的 “井深几何 ”问题，它的题意
DE⊥BC于点 E，连结 AE，则△ ABE的面积等于
．
8
29．如图，⊙ O 为等腰△ ABC的外接圆，直径 AB=12，P 为弧 上任意一点（不
与 B，C 重合），直线 CP交 AB 延长线于点 Q，⊙ O 在点 P 处切线 PD交 BQ 于点
D，下列结论正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
①若∠ PAB=30°，则弧 的长为 π；②若 PD∥BC，则 AP平分∠ CAB；
【数学课件】2017年中考数学4.4图形的相似课件和真题演练
对锐角相等或两边对应成比例
等腰三角形，找顶角相等或一对⑫ 底角 相
等或底和腰对应成比例
相似 三角 形的 基本 类型
已知BC // DE
// DE
已知∠A=∠D
已知AD是Rt△ABC 斜边上的高
X型图
母子型图
重难点突破
第四章 三角形
第四节 图形的相似
考点精讲
比例的性质
平行线分线段成比例
图形的相似 性质 相似三角形的性质及判定 判定 判定思路
相似三角形的基本类型
a c 性质1： ① b d
ad
=bc（bd≠0）
cd d
比例 性质2：如果 = ② （bd≠0） 的性 a c m 质 性质3：如果 b d n (b d n 0),
a c m a 则 b d n b
ab a c ,那么 b b d
基本事实：两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例
平行 线分 线段 成比 例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两
边（或两边的延长线），所得的对应线段
成比例，如图，在△ABC中，
相似三角形的性质及计算
例 (2016新疆)如图，在△ABC中，D、E分别是
AB、AC的中点，下列说法中不正确的是( D ) 1 A. DE＝ BC 2 B. AD AE C. △ADE∽△ABC D. S△ADE∶S△ABC＝1∶2
AB AC
【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是 1 △ABC的中位线，∴DE＝ BC且DE∥BC，故A 2 1 AD AE 正确；∵DE∥BC，∴ = ，故B正确； AB AC 2 1 AD AE ∵ = ，∠ A＝∠A ， AB AC 2 ∴△ADE∽△ABC，故C正确；
天津市河北区2017年中考《相似三角形》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习相似三角形一、选择题：1、下列说法中，错误的是（）A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似2、下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A.①②B.②③C.③④D.②④3、若，且，则的值是（）A.14B.42C.7D.4、已知（）A. B. C. D.5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6、如图,△ABC中,A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为位似中心,在x轴的下作△ABC 的位似图形△A/B/C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A/的对应点A的纵坐标是1.5，则点A的纵坐标是（）A.3B.3C.﹣4D.47、如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（）A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38、如图,在平行四边形ABCD 中,点E在CD上,若DE︰CE =1︰2，则△CEF与△ABF周长比为（）．A．1︰2 B．1︰3 C．2︰3 D．4︰99、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S：S△EBF：S△ABF=（）△DEFA．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510、如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为( )A． B． C． D．11、如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条，若恰好可以用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），则这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为（）A．2：3 B．3：4 C．1：1 D．4：312、如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②BE=DE；③AC﹣BE=12；④3BF=4AC；⑤=．其中正确结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题:13、若△ABC∽△ACD，AB=1，AD=4，则AC= ．14、如图，△ABC中，DE∥BC，交边AB、AC于D、E，若AE：EC=1：2，AD=3，则BD= ．15、在同一时刻木杆AB、建筑物PQ在太阳光下的影子分别为BC、PM，如图所示．已知AB=2m，BC=1.2m，PM=4.8m，则建筑物PQ的高度为 m．16、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿使竹竿，旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为 m．17、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为．18、正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（﹣3，2）和（1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为．19、如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于O,E为OD的中点,连接AE并延长交CD于点F,则DF：FC等于．20、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．21、如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是．22、如图，□ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．23、如图，△ABC中，AB=7，BC=6，AC=8，延长∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE分别交过点A且平行于 BC的直线于 N、M，BD与CE相交于点G，则△BCG与△MNG的面积比为_________24、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE=AD，CE的延长线交AB于点F，若AF=1.2，则AB= ．三、简答题:25、图①、图②是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，点D、E在格点上，连结DE．（1）在图①、图②中分别找到不同的格点F，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，并画出△DEF（每个网格中只画一个即可）．（2）使△DEF与△ABC相似的格点F一共有个．26、如图,矩形ABCD中，E为对角线BD上一点,连接AE交CD于G，交BC延长线于F,∠DAE=∠DCE,∠AEB=∠CEB．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若AE=2EG，求EG与GF之间的数量关系．27、探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B、C重合）,连结AE，过点E作AE⊥EF，EF交边CD于点F，求证：△ABE≌△ECF．拓展：如图②，△ABC是等边三角形,点D在边BC上（点D不与点B、C重合）,连结AD,以AD为边作∠ADE=∠ABC,DE交边AC于点E,若AB=3,BD=x,CE=y,求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．28、正方形ABCD中,B=4,点E为射线CB上一点,F为AE的中点，过点F作GH⊥AE分别交边AB和CD于G，H．（1）若E为边BC的中点，GH= ；= ；（2）若=，求的值；（3）若=k，= ．29、如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B 恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．30、在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形？参考答案1、C．2、D.3、D.4、B.5、B.6、B.7、A.8、C.9、D.10、C．11、C．12、D. 13、答案为:2．14、答案为：6．15、答案为：8．16、答案为：12m．17、答案为：（2，）18、答案为：（﹣1，0）或（5，﹣2）． 19、答案为：1：2．20、答案为：．21、答案为：36．22、答案为：．23、答案为：4:2524、答案为：6．25、【解答】解：（1）如图所示：（2）如图①所示：使△DEF与△ABC相似的格点F一共有6个．故答案为：6．26、【解答】证明：（1）∵∠AEB=∠CEB，∠ADE=∠CDE，∴∠DAE=∠DCE，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（AAS），∴AD=CD，∴矩形ABCD是正方形；（2）GF=3EG；∵△ADE≌△CDE，∴AE=CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE=∠DCE，∴∠DCE=∠F，又∵∠GEC=∠CEF，∴△ECG∽△EFC，∴，∵AE=2EG，∴CE=2EG，∴，∴EF=4EG，∴GF=3EG．27、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∵∠ADE=∠ABC，∴∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∵AB=3，BD=x，CE=y，∴，∴y=﹣x2+x．28、【解答】解：（1）如答图1所示，过点H作HN⊥AB于点N，则四边形ADHN为矩形，∴HN=AD，∴HN=AB．∵∠AGH+∠GHN=∠AGH+∠EAB=90°，∴∠GHN=∠EAB．在△AEB与△HGN中，∴△AEB≌△HGN（ASA）．∴GH=AE．若E为边BC的中点，则BE=BC=2．由勾股定理得：AE==2∴GH=2；∵∠EAB=∠EAB，∠AFG=∠B=90°，∴△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×2=AE=GH．∴FH=GH﹣GF=GH，∴=．（2）若=，①若点E在线段BC上，如答图2﹣1所示，则BE=，与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×=AE=GH，∴FH=GH﹣GF=GH，∴=；②若点E在线段CB的延长线上，如答图2﹣2所示，则BE=1．与（1）同理，可得AE=GH．与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×=AE=GH，∴FH=GH+GF=GH，∴=．综上所述，若=，则的值为或．（3）若=k，①若点E在线段BC上，如答图所示．∵BE+CE=BC，∴BE=BC=AB．与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×AB=AE=GH，∴FH=GH﹣GF=GH，∴=；②若点E在线段CB的延长线上，如答图2﹣2所示．∵BE+BC=EC，∴BE=BC=AB．与（1）同理，可得AE=GH．与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×AB=AE=GH，∴FH=GH+GF=GH，∴=．综上所述，若=k，则的值为或．29、【解答】解：（1）由题意知，AF=10，AD=8，根据勾股定理得：DF=6．∴CF=4．设BE=x，那么EF=x，CE=8﹣x．在Rt△CEF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2+42=x2，解得 x=5．即BE=5．由勾股定理得：∴AE==5．（2）如图，连接OH、OG；则∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而BH=BG，∴四边形OHBG为正方形，∴OH=BH；设⊙O的半径为r，则OH=BH=r；∵△AOH∽△AEB，∴=，即=；解得：r=．∴⊙O的半径为．30、【解答】解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC∴=，即=，∴EA=x，DE=5﹣x；（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2﹣1.25x，则y=×DQ×CP=（4﹣x）（2﹣1.25x）=x2﹣x+4，即y与x的函数解析式为：y=x2﹣x+4，其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6；（3）分两种情况讨论：①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴=，即=，解得x=2.5②当∠QED=90°时，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴=，即=，解得x=3.1．综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．。
2017中考数学真题汇编-----用相似三角形解决问题(解)
点 C 的对应点为 C′，连接 BB′；
（ 2）在（ 1）所画图形中，∠ AB′B=
．
【问题解决】
如图②，在等边三角形 ABC中，AC=7，点 P 在△ ABC内，且∠ APC=9°0，∠ BPC=12°0，
求△ APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△ APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，得到△ AP′，Ｂ连接 PP′，寻找
请你参考上面的思路，证明 DF=EF（只用一种方法证明即可） ． （ 2）类比探究：在（ 1）的条件下（如图 1），过点 D 作 DM⊥AC 于点 M ，试探 究线段 AM， MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论． （ 3）延伸拓展：如图 2，在△ ABC中，若 AB=AC，∠ABC=2∠BAC， =m，请你
AB 于点 D，E，F，若 = ， = ，求 的值．
6．已知，在△ ABC中，点 D 在 AB 上，点 E 是 BC延长线上一点，且 AD=CE，连 接 DE 交 AC于点 F． （ 1）猜想证明：如图 1，在△ ABC中，若 AB=BC，学生们发现： DF=EF．下面是 两位学生的证明思路： 思路 1：过点 D 作 DG∥BC，交 AC于点 G，可证△ DFG≌△ EFC得出结论； 思路 2：过点 E 作 EH∥ AB，交 AC 的延长线于点 H，可证△ ADF≌△ HEF得出结 论； …
△ ABC平移的时间为 t （s）．
（ 1）等边△ ABC的边长为
；
（ 2）在运动过程中，当 t=
时， MN 垂直平分 AB；
（ 3）若在△ ABC开始平移的同时．点 P 从△ ABC的顶点 B 出发．以每秒 2 个单
位长度的速度沿折线 BA﹣AC运动．当点 P 运动到 C 时即停止运动．△ ABC也随
中考数学圆与相似-经典压轴题
（2）当点 E 在线段 AC 上运动时，点 F 也随着运动，若四边形 ABFC 的面积为 ，求 AE 的长； （3）如图 2，当点 E 在 AC 的延长线上运动时，CF、BE 相交于点 D，请你探求△ ECD 的面 积 S1 与△ DBF 的面积 S2 之间的数量关系，并说明理由；
（4）如图 2，当△ ECD 的面积 S1＝ 时，求 AE 的长． 【答案】（1）解：现点 E 沿边 AC 从点 A 向点 C 运动过程中，始终有△ ABE≅△ CBF. 由图 1 知，△ ABC 与△ EBF 都是等边三角形，∴ AB=CB，BE=BF，∠ ABC=∠ EBF=60°， ∴ ∠ CBF=∠ ABE=60°-∠ CBE，∴ △ ABE≅△ CBF. （2）解：由（1）知点 E 在运动过程中始终有△ ABE≅△ CBF， 因四边形 BECF 的面积等于三角形 BCF 的面积与三角形 BCE 的面积之和， ∴ 四 边 形 BECF 的 面 积 等 于 △ ABC 的 面 积 ， 因 △ ABC 的 边 长 为 2 ， 则
∴ 在 Rt△ ABC 中，BC=
（2）在 Rt△ ABC 中，AB= 如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，此时只有 GF=GD
又∠ CBF=∠ ABE=60°+∠ CBE，∴ △ ABE≅△ CBF，
∴
，∴
，
则
，则
（4）解：由（3）知
，即
，
由
得
，∵ △ ABE≅△ CBF，
∴ AE=CF，∠ BAE=∠ BCF=60°，
又∠ BAE=∠ ABC=60°，得∠ ABC=∠ BCF，∴ CF∥ AB，则△ BDF 的边 CF 上的高与△ ABC 的高
四边形 ACDB 是菱形， 又∵ ∠ ACD 与△ FCE 中的∠ FCE 重合，它的对角∠ ABD 顶点在 EF 上， ∴ 四边形 ACDB 为△ FEC 的亲密菱形. （2）解：设菱形 ACDB 的边长为 x，∵ CF=6,CE=12, ∴ FA=6-x， 又∵ AB∥ CE, ∴ △ FAB∽ △ FCE,
2017年中考真题分类解析 与圆的有关计算
一、选择题1.（2017浙江丽水·9·3分）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．433π-B．4233π-C．233π-D．2332π-答案：A．解析：连接OC，∵点C是半圆的三等分点，∴∠AOC＝600，∴△AOC是等边三角形，∠BOC＝1200，由三角形面积公式求得S△BOC＝33221=⨯⨯，由扇形的面积公式求得S扇形BOC＝2120243603ππ⋅⨯=∴S阴影＝S扇形BOC－S△BOC＝433π-，选A．2.（2017浙江衢州,10，3分）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积是（）OFCE（第10题）ADBA．252πB．10πC．24＋4πD．24＋5π答案：A，解析：连接OA、OB、OC、OD，过O作OM⊥EF于M，反向延长线交CD于N．∵AB∥CD∥EF，易证阴影部分面积即为扇形COD与扇形EOF的和，由AB＝10，CD＝6，EF＝8，MO⊥EF，ON⊥CD，易知OD＝OF＝5，FM＝ON＝4，OM＝DN＝3，故△OFM≌△DON，∴∠FOM＋∠DON＝90°，∴∠EOF＋∠COD ＝180°，故阴影部分面积等于半圆面积．3. （2017山东济宁，9，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1．将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为»BD，则图中阴影部分的面积是 A ．6πB ．3π C ．122π-D ．12答案：A ，解析：如图，阴影部分面积等于△ADE ＋扇形DAB -△ABC 的面积，由旋转可得△ADE 与△ABC 全等，由此可得面积也相等，阴影部分面积就是扇形DAB 的面积，根据扇形面积公式“2=360n r S π”计算答案为6π．4. （2017年四川绵阳，8,3分）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=8cm ，圆柱部分的高BC=6cm ，圆锥体部分的高CD=3cm ，则这个陀螺的表面积是A ．68πcm 2B ．74πcm 2C ．84πcm 2D ．100πcm 2答案：C 解析：圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．5. 2. （2017重庆，9，4分）如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．42π-B ．423π-C ． 82π-D ．823π-答案：B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠ABC ＝90゜，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝45゜，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ＝45゜，∴AB ＝AE ，又∵AB ＝1，E 是AD 的中点，∴AE＝1，AD ＝2，∴S矩形＝1×2＝2，S ∆ABE ＝21×1×1＝21；在Rt ∆ABE 中，∠BAD ＝90゜，AB ＝AE ＝1，BE ＝21122=+，∴S 扇形＝()24523604π︒⨯π⨯=︒，∴S 阴影＝ S 矩形－S ∆ABE －S 扇形＝2－21－4π＝324π-．7. (2017年四川南充，8，3分)如图5，在Rt △ABC 中，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 绕BC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( ) A ．60πcm 2 B ．65πcm 2 C ．120πcm 2 D ．130πcm 2答案：B 解析：AB ＝22BC AC +＝22125+＝13．这个几何体是圆锥，圆锥的底面半径AC ＝5，母线AB ＝13，圆锥的侧面积＝πAC ·AB ＝π×5×13＝65π(cm 2)．故选B ．8. （2017重庆B ，9，4分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，分别以点A 、C 为圆心，AB 、CB 为半径画弧，交AB 于点E ，交CD 于点F ，则图中阴影部分的面积是ABC 图4FEDCBAA ．π24-B ．28-C ．π28-D ．π48-答案：C ，解析：矩形面积为8，两个全等扇形面积和为ππ22212=⨯⨯，∴阴影部分面积为π28-，故答案为C ．9. （2017山东临沂，10，3分）如图，AB 是圆O 的直径，BT 是圆O 的切线，若∠ATB ＝45°，AB ＝2，则阴影部分的面积是（ ）OTABA ．2B ．3124π- C ．1 D ．1124π+答案：C解析：连接OD ，先由直径AB ＝2，TB 切⊙O 于B 得出∠ABT ＝90°，由∠ATB ＝45°得出△ABT 是等腰直角三角形，根据圆周角定理得出∠ADB ＝90°，根据S 阴影＝S △DBT 进而可得出结论． 连接OD ，D O TAB∵直径AB ＝2，TB 切⊙O 于B ，∴OB ＝OA ＝1，∠ABT ＝90°，∠ADB ＝90°．∵∠ATB ＝45°，∴△ABT 是等腰直角三角形，∴∠A ＝45°，∴∠BOD ＝2∠A =90°，AT =22＋22=22． ∴BD ＝12AT ＝DT ＝2．∴S 阴影＝S △DBT =12BD ×DT ＝12×2×2=1．10. 7．（2017四川达州7，3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．22B．32C. 2D．3答案：A，解析：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=2；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=3，则该三角形的三边分别为：1，2，3，∵（1）2+（2）2=（3）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是×1×2×=22，故选：A．11.（2017四川达州9，3分）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90︒至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90︒至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次.若AB=4，AD=3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2017πB．2034π C.3024πD．3026π答案：D，解析：转动一次A的路线长是：9042 180π⨯=π，转动第二次的路线长是：9055 1802π⨯=π，转动第三次的路线长是：9033 1802π⨯=π，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：9042 180π⨯=π，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：532622π+π+π=π， ∵2017÷4=504 (1)∴这样连续旋转2016次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是：6π×504+2π=3026π．故选：D ．BA.B ，CA ．5πcm 2B ．10πcm 2C ．15πcm 2D ．20πcm 2答案：B ，解析：由“等底同高”可知：S △BOC ＝S △BOA ，S △DOA ＝S △DOC ，∴S 阴影＝2S 扇形BOC ＝2×3605722⨯π＝10π（cm 2）．15. 7.(2017湖北咸宁，7，3分)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB 、OD ，若∠BOD=∠BCD ，则»A ．πB ．π23C. π2 D ．π3 答案：C 解析：∵∠BAD=12∠BOD=12∠BCD ，∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BOD=120°.又∵⊙O 的半径为3，∴»BD的长为1203=2180ππ⋅.故选C.16.（2017湖南邵阳，7，3分）如图（三）所示，边长为 a 的正方形中阴影部分的面积为（ ） A ．222⎪⎭⎫⎝⎛-a a πB ．a 2－2a πC ．a 2 – πaD ．a 2 – 2πa答案：A ，解析：由图直观知，阴影部分的面积为正方形的面积减去半径为2a 的圆的面积，所以为222⎪⎭⎫⎝⎛-a a π，故选A ．17. (2017湖北十堰，8，5分)如图，已知圆柱的底面直径BC =6π，高AB =3，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为( )A．32B．35C．65D．62答案：D，解析：将已知圆柱展开得到如图所示矩形，小虫从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点经过的路程为2AC，因为圆柱的底面直径BC=6π，所以此圆柱的底面周长为6,则展开图中AB的长为3,所以AC=32,所以小虫爬行的最短路程为62,故选D．18.（2017江苏宿迁，3分）若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm答案：D，解析：根据圆锥底面圆周长=扇形弧长，即l=C得12π=2πr，所以r=6．19. (2017甘肃天水．9．4分)如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB．垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝43则S阴影＝（）A．2πB．83πC．43πD．38π9题图OEDCA答案：B，解析：由AB是圆O的直径，弦CD⊥AB．有E为CD中点，DE＝12CD＝3∠BCD＝30°，∴∠BOD ＝60°，OD ＝23÷cos 30°＝4，OE ＝BE ＝12OD ＝2，∴△ODE ≌△BCE ，S 阴影＝S 扇形DOB ＝2604360π⨯＝83π，故选B ．20. 7．（2017湖北天门，7，3分）一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是A ．300°B ．150°C ．120°D ．75°答案：B ，解析：根据1=2S l r 弧长扇形 ，求的半径r ＝12，由弧长公式180n r l π= ，1210180n ππ⋅=，解得n ＝150°．21. 8．（2017宁夏，3分） 圆锥的底面半径r =3，高h =4，则圆锥的侧面积是A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π答案：B ，解析：圆锥侧面积公式是S=p rl ，其中母线长l 可以根据勾股定理22l r h =+求得．22. ．(2017浙江杭州，8，3分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1.把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则（ ） A ．l 1:l 2＝1:2，S 1:S 2＝1:2 B ．l 1:l 2＝1:4，S 1:S 2＝1:2 C ．l 1:l 2＝1:2，S 1:S 2＝1:4 D ．l 1:l 2＝1:4，S 1:S 2＝1:4CB A答案：A ，解析：△ABC 分别绕直线AB 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长l 1＝2π⋅BC ＝2π，侧面积分别记作S 1＝2π⋅AC ，△ABC 分别绕直线BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长l 2＝2π⋅AB ＝4π，侧面积分别记作S 2＝4π⋅AC ，故l 1:l 2＝1:2，S 1:S 2＝1:2.故选择A ．23. 9．(2017浙江宁波，9，4分)如图，在Rt △ABC 中，90A =∠°，22BC =，以BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则»DE的长为( ) A ．4π B ．2πC ．πD ．2π【答案】B【解析】连接OE，OD．AB，AC分别切⊙O于点D ，E，∴∠OED＝∠ODA＝90°，又∵∠A＝90°，∴四边形OEAD为矩形．∵OD＝OE，∴四边形OEAD为正方形．∴∠EOD＝90°，OE∥AB，OD∥AC．∵O为BC的中点，∴OE、OD为△ABC的中位线，∴OE＝21AB，OD＝21AC，∵OD＝OE,∴AB＝AC．∴∠B＝∠C＝°．∴AB＝BCsin45°＝22×22＝2,∴OE＝OD＝1．∴⌒DE 的长为：180190π＝2π．故选B．12．(2017四川凉山，12，4分)如图，一个半径为1的1Oe经过一个半径为2的Oe的圆心，则图中阴影部分的面积为( )．1 B．12C．2D．22【答案】C【解析】如图，⊙O的半径为，⊙1O的半径为1，点O在⊙1O上，连OA，OB，OC，由OA＝，1O A 1O O ＝1，则有，∴OA2＝1O A2+1O O2，∴△O1O A为直角三角形，∴∠AO1O＝45°，同理可得∠BO1O＝45°，∴∠AOB＝90°，∴AB为⊙1O的直径．∴S阴影部分＝S半圆AB﹣S弓形AB＝S半圆AB﹣(S扇形OAB △OAB半圆AB扇形OAB△OABO O125. （2017河南，10，3分）如图，将半径为2，圆心角为120゜的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60，点O ，B 的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．32πB ．332π-C ．3232π-D ．3234π-答案C ，解析：如图，连结OO '，O ′B 由旋转性质知：∠OAO'=60゜，∵OA =OO'，∴∆AOO'是等边三角形，∴∠ AOO'=60゜，∵∠AOB =120゜，∴∠BOO'=60゜， ∵OB =OO'，∴∆BOO'是等边三角形，∴∠BO'O =∠OBO'=60゜，∴OB =OO'=O'B= 2， ∵∠AO'B'=120゜，∴∠OO'B'=120゜+60゜=180゜，∴O 、O'、B'三点共线， ∵O'B'=O'B =OB ，∴∠O'BB'=∠O'B'B =30゜，∴∠OBB'=30゜+60゜=90゜，∴BB'=324222=+，∴S 阴影= 3232360*********ππ-=︒⨯⋅︒-⨯⨯．26. (2017黑龙江齐齐哈尔，9，3分)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( ) A. 120° B. 180° C. 240° D.300° 答案：A解析：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为x ，底面半径为r ，由题意得23r rl ππ=，∴l=3r ， 又∵2223(3)360360x x r l r πππ==， ∴x=120°.27. （2017山东东营，8，3分）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．180° 【答案】C【解析】利用圆锥的侧面积和圆面积公式计算即可。
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相似三角形和圆2017-12
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一、圆中相似三角形的判定
1．（2017•衢州）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D ，连接OD ．作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F ．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：△COD ∽△CBE ． （2）求半圆O 的半径r 的长．
2. （怀化）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，E 是BC 的中点，
以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE （1）求证：△ABC ∽△CBD ； （2）求证：直线DE 是⊙O 的切线．
二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段
1．（2017•黄冈）已知：如图，MN 为⊙O 的直径，ME 是⊙O 的弦，MD 垂直于过点E 的直线DE ，垂足为点D ，且ME 平分∠DMN ． 求证：（1）DE 是⊙O 的切线； （2）ME 2=MD•MN ．
2．（2017年恩施州）如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，且BE ∥CD ，过点C 的切线与EB 的延长线交于点P ，连接BC ． （1）求证：BC 平分∠ABP ； （2）求证：PC 2=PB•PE ；
（3）若BE ﹣BP=PC=4，求⊙O 的半径．
三、利用圆中相似进行计算
1.（2017荆门）已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O.
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，BC=4，求BE 的长.
2．（2017天门）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ，连接CE ，CB ． （1）求证：CE =CB ；
（2）若AC
=CE
AE 的长． 3．（2017十堰）已知AB 为⊙O 的直径，BC ⊥AB 于B ，且BC=AB ，D 为半圆⊙O 上的一点，连接BD 并延长交半圆⊙O 的切线AE 于E ． （1）如图1，若CD=CB ，求证：CD 是⊙O 的切线； （2）如图2，若F 点在OB 上，且CD ⊥DF ，求的值．
4. （2017四川成都）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F. （1）求证：DH 是⊙O 的切线；
（2）若A 为EH 的中点，求EF/FD 的值； （3）若EA=EF=1，求⊙O 的半径.
四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用
1．（兰州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证：BC=AB ；
（3）点M 是的中点，CM 交AB
于点N ，若AB=4， 求MN •MC 的值．
2、（凉山）如图，B 为线段AD 上一点，△ABC 和△BDE 都是等边三角形，连接CE 并延长，交AD 的延长线于F ，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于点M 。
（1）求证：BE 是⊙O 的切线； （2）求证：AC 2
=CM ·CF ；
（3）若 过点D 作DG ∥BE 交EF 于点G ，过G 作GH ∥DE 交DF 于点H ，则易知△DGH 是等边三角形；设等边△ABC 、△BDE 、△DGH 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1=8，S 3=2，求S 2的值。
D
第1题图。