13 静电场中的导体和电介质习题详解
大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案
1第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。
用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1s 和2s 。
忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。
试证明：Rr =21s s。
证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为的导体球的电势为R R V 0211π4e p s =014e s R =半径为r 的导体球的电势为的导体球的电势为r r V 0222π4e p s =024e s r = 用细导线连接两球，有21V V =，所以，所以Rr=21s s 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1s ，2s ，3s ，4s （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E SD +==×ò)(10320s s e故+2s 03=s上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---e s e s e s e s又+2s 03=s 故 1s 4s =3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。
静电场中的导体和电介质习题解答
第十章 静电场中的导体和电介质一选择题 1.半径为R 的导体球原不带电, 则导体球的电势为 （） q B.羊 4 n o a 今在距球心为 a 处放一点电荷q （ a >R 。
设无限远处的电势为零, qa D . 4 n o （a R ）解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷 C.4 n o (a R) q 分布在导体球表面上，且 q （ q ） 0 ,它们在球心处的电势 1 V 乩q 4 n o R点电荷q 在球心处的电势为 47^ q dq V J 据电势叠加原理，球心处的电势 4 n o aV o V Vq 。
4 n o a 所以选（A ） 2.已知厚度为d 的无限大带电导体平板, 则板外两侧的电场强度的大小为 （ 2 A. E B. E 2 o o两表面上电荷均匀分布, 电荷面密度均为 ，如图所示,d C. E 二一 D. E=—— ⑰ 2匂解：在导体平板两表面外侧取两对称平面， 做侧面垂直平板 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2 S ，可得E —。
0选择题2图 所以选（C ） 3.如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 量为+q 的点电荷。
（） R,在腔内离球心的距离为 用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心 d 处（d<R ，固定一电o 处的电势为A. C.B. 4 n o d q 1 D. (—4 n 0 d 解：球壳内表面上的感应电荷为 q _q 4n o d 4n o R 选择题3图 1R ） -q,球壳外表面上的电 (+q . j 荷为零，所以有V o 所以选（D ） 4.半径分别为 在忽略导线的影响下，A . R/r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为 分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则 QR 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电， 两球表面的电荷面密度之比 R / r 为（） B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R Q q ,因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀 所以选（D ）R Q/4 R 2r q /4 r 2「的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为 E,则导体球面的自由电荷面密度 为（） 上D S S ，即 所以选（B ）6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为 煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（£ A . —E g £ £（£ 1 ）匸 B . E 0£不管是否注入电介（£ 1） C. E 。
《静电场中的导体与电介质》选择题解答与分析
5
给出参考解答，进入下一题： 4. C1 和 C2 两空气电容器， 把它们串联成一电容器组． 若在 C1 中插入一电介质板， 则 (A) C1 的电容增大，电容器组总电容减小． (B) C1 的电容增大，电容器组总电容增大． C1 C2 (C) C1 的电容减小，电容器组总电容减小． (D) C1 的电容减小，电容器组总电容增大． 答案：(B) 参考解答： 在 C1 中插入一电介质板，其电容 C1 r C1 （相对介电常数 r），所以 C1 的 电容增大； 把它们串联成一电容器组，总电容2
给出参考解答，进入下一题： 13.4 静电场的能量 1. 如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的 2 倍，则其电场的能量变为 原来的 (A) 2 倍． (B) 1/2 倍． (C) 4 倍． (D) 1/4 倍． 答案：(C) 参考解答： 有电介质时电场空间能量密度计算的一般公式： D E 0 r E 2 ， 电场的能量公式： WE V 0 r E 2 dV . 2 因为 2 E 2 E , 所以电场的能量变为原来的 4 倍。
2. 在静电场中，作闭合曲面 S，若有 D d S 0 (式中 D 为电位移矢量)，则 S 面
S
内必定 (A) 既无自由电荷，也无束缚电荷． (B) 没有自由电荷． (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零． (D) 自由电荷的代数和为零． 答案：（D） 参考解答： 有介质时的高斯定理 S D d S q ：通过任一闭合曲面的电位移通量，在数 值上等于该闭合曲面（也称高斯面）所包围的自由电荷的代数和，电位移通量与 束缚电荷无关。所以，若有 S D d S 0 (式中 D 为电位移矢量)，则 S 面内必定自 由电荷的代数和为零。
作业解答12章电介质
, C
=
Q2 - Q1 2S
,
D
=
Q1 + Q2 2S
6．一金属球壳的内外半径分别为
R1和R2，带有电荷Q．在球壳内距 球心O为r处有一电荷为q的点电荷，
则球心处的电势为:
Q
R1 Oqr R2
q
-q Q + q
UO = 40r + 40R1 + 40R2
1 q -q q Q
=
4 0
r
+
R1
+
图 12-10
因为S1面内没有自由电荷，故电场强度通量为0，电位 移通量为0。S2面内有自由电荷q, 和束缚电荷总量是0 ， 故电场强度通量为q/ε0 ，电位移通量为q。
2. 空气的击穿电场强度为2106V/m，直径为0.10m的 导体球在空气中的最大带电量为_____________。
解：导体表面场强：
间距离为d(d远小于板的线度)，设A板带有电荷q1，B 板带有电荷q2，则AB两板间的电势差UAB为 ：（C）
AB
( A) q1 + q2 d， (B) q1 + q2 d，
q1
q2
2 0 S
4 0 S
(C ) q1 - q2 d， ( D) q1 - q2 d
2 0 S
4 0 S
电荷均按正电处理，取垂直平板向右为正方向，有：
向向着球面移 动． (C) 沿逆时针方向旋转至沿径向指向球面，同时逆电场线方
向远离球面移动． (D) 沿顺时针方向旋转至沿径向朝外，同时沿电场线方向向
着球移动．
p
图 12-9
解：电偶极子受力如图所示。所以电偶极子将逆时 针旋转（直到电矩指向球心）。旋转使+q靠近球面， -q远离球面，这样，在水平方向上，电偶极子受到 的引力将大于斥力，故将沿电力线方向向着球面移 动。所以选 (B)
题解-静电场中的导体和电介质
q1 '
R1
q2 ' R2
(2) :U q1 ' q2 '
40R1 40R2
q1'q2 ' q1 q2
C
q1'q2 U
'
4
0
(R1
R2 )
(3) 1 R2 ; E E1 R2
2 R1
0 E2 R1
15、
C
εrC0;W
q2 2C
q2
2 r C0
W0 εr
16、
C1
C
C1
C2
U2
U
q C
减小
E2
W2
1 2
0E2
减小
17、
W
1 2
0
r
E
2
1 2
ε
0εr
(
U12 d
)2
18、
W0
q2 2C0
d
20S
q2;
W
q2 2C'
d
20r S
q2;W
1 εr
W0
W0
1 2
C0U
2
0S
2d
U
2;
W
1 2
C'U 2
0r S
2d
U
2;W
εr W0
0 E02S
(d
y
y
r
)
r 1 W ' W0,且与x无关
22、C 23、B
24、A
W0
q2 2C0
d
20S
q2;
W q2 d q2;
2C' 20r S
W0
1 2
C0U
静电场中的导体与电介质习题课选讲例题
电荷分布的不均匀会导致导体表面的电势分布不均，从而影响周围空间的电场分布。
第电 介 质
二的 极 化
章
电介质极化的微观机制
分子极化 电介质分子在电场作用下，正负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子。 电子极化 电介质内部电子受到电场作用，产生定向移动，形成电子极化。 离子极化 电介质中正负离子在电场作用下发生相对位移，形成离子极化。
解答
利用高斯定理和静电平衡条件，可 以求出球心处的电场强度为 $frac{Q}{4pivarepsilon_{0}R^{2 }}$。
例题2 一个无限长均匀带电圆柱体， 半径为R，带电量为Q，求圆 柱体内外的电场分布。
电介质极化的习题解析
例题3
一无限大均匀电介质平板，介电常数为ε，在垂直于平板的z 轴上施加一均匀电场E，求电介质中的极化电荷密度。
电场强度越大，电 介质极化程度越高。
温度
温度升高会使电介 质分子热运动增强，
降低极化程度。
频率
电场频率越高，电 介质极化越困难。
导体与电介质的相互作用
03
电场对导体的作用
静电感应
当导体处于电场中时，导体表面会产 生感应电荷，感应电荷产生的电场与 原电场叠加，影响导体内部和表面的 电场分布。
极化现象
电介质在电场作用下会发生极化现象， 即正负电荷中心发生相对位移，产生电 偶极矩。
导体对电场的影响
导体中的自由电荷 在电场作用下会发 生移动，形成电流， 电流产生的磁场会 对原电场产生影响， 使电场发生畸变。
导体可以屏蔽外部电场，使导体内部电场减小或 消失。
屏蔽作用
电场畸变
电场对电介质的作用
电介质在电场作用 下会发生形状和尺 寸的变化，这种现 象称为电致伸缩。
《大学物理学》习题解答静电场中的导体和电介质
根据球形电容器的电容公式，得：
C
4 0
R1R2 R2 R1
4.58102 F
【12.7】半径分别为 a 和 b 的两个金属球，球心间距为 r（r>>a，r>>b），今用一根电容可忽略的细导线将 两球相连，试求：（1）该系统的电容；（2）当两球所带的总电荷是 Q 时，每一球上的电荷是多少？
【12.7 解】由于 r a ， r b ，可也认为两金属球互相无影响。
以相对电容率 r ≈1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离，若两极间有电势差时，极间有电流，
从而可测出电离粒子的数量。若以 E1 表示半径为 R1 的长直导体附近的电场强度。（1）求两极间电势差的
关系式；（2）若 E1 2.0 106 V m1 , R1 0.30 mm , R2 20.00 mm , 两极间的电势差为多少？
， (R2
r) ；
外球面的电势 内外球面电势差
VR2
R2
E3 dr
Q1 Q2 4 0 R2
U
VR2
VR1
R2 R1
E2
dr
Q1 4 0
(1 R1
1) R2
可得：
Q1 6 109 C ， Q2 4 109 C
【12.4】如图所示，三块平行导体平板 A，B，C 的面积均为 S，其中 A 板带电 Q，B，C 板不带电，A 和 B 间相距为 d1,A 和 C 之间相距为 d2,求（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（2）将 B，C 导体 板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
第 12 章 静电场中的导体和电介质
【12.1】半径为 R1 的金属球 A 位于同心的金属球壳内，球壳的内、外半径分别为 R2、R3 （ R2 R3 ）。
大学物理A2-静电场中的导体和电介质习题解答
U 0 U q U q U Q q Qq 4 0 r 4 0 a 4 0b q q 1 1 1 Q ( ) 4 0 r a b 4 0b q
2．如图11所示，圆柱形电容器由半径为R1和R2、长度 为L的两同轴金属圆柱面组成，设L>>R2（忽略两端边 缘效应），求该圆柱形电容器的电容。 解：设内外圆柱面分别带电量Q和-Q 。 在两圆柱面之间作半径为r的高斯柱面， 则由高斯定理
a r
q
b
解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电 荷-q,外表面上带电荷q + Q。 （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的， 因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电 荷在O点产生的电势为
U q
4 0 a
dq
q 4 0 a
（3）球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上 的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和
q
q
4、
( 1 2 )S Q
3 4 0
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
解得：
Q Q 1 2 ; 3 4 2S 2S
大学物理学练习题题解
静电场中的导体和电介质 ——题解 一、选择题
1、D
2、B
根据导体处于静电平衡的性质
4 0 R1
q1
r2
4 0 R2
q2
3、D
U p 0dr
r
Q 4 0 r
2
r2
dr
4、D
2q r R2 , E ;U p Edr 2 R2 4 0 r
静电场中导体和电介质讲解
第二章静电场中导体和电介质一、选择题1、一带正电荷的物体M，靠近一不带电的金属导体N，N的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷。
若将N的左端接地，则：A、 N上的负电荷入地。
B、N上的正电荷入地。
C、N上的电荷不动。
D、N上所有电荷都入地答案：B2、有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电。
若在它的下方放置一电量为q的点电荷，则：A、只有当q>0时，金属球才能下移B、只有当q<0是，金属球才下移C、无论q是正是负金属球都下移D、无论q是正是负金属球都不动答案：C3、一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B，已知A上的电荷密度为+σ，则在导体板B的两个表面1和2上的感应电荷面密度为：A、σ1=-σ,σC、σ1=-2=+σ B、σ1=-212σ,σ2=+12σ 12σ,σ=-12σ D、σ1=-σ,σ2=0 答案：B4、半径分别为R和r的两个金属球，相距很远。
用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。
在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比A、RσR2为： rr B、Rr2 C、r2R2 D、rR 答案：D5、一厚度为d的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板距离均为h的两点a,b之间的电势差为（）A、零B、σ2ε0 C、σhε0 D、2σhε0答案：A6、一电荷面密度为σ的带电大导体平板，置于电场强度为E0（E0指向右边）的均匀外电场中，并使板面垂直于E0的方向，设外电场不因带电平板的引入而受干扰，则板的附近左右两侧的全场强为（）A、E0- σ2ε0,E0+σ2ε0 B、E0+σ2ε0,E0+σ2ε0C、E0+σ2ε0,E0-σ2ε0D、E0-σ2ε0,E0-σ2ε0 答案：A7、 A，B为两导体大平板，面积均为S，平行放置，A板带电荷+Q1，B板带电荷+Q2，如果使B板接地，则AB间电场强度的大小E为（）A、Q12ε0S B、Q1-Q22ε0S C、Q1ε0S D、Q1+Q22ε0S 答案：C8、带电时为q1的导体A移近中性导体B，在B的近端出现感应电荷q2,远端出现感应电荷q3,这时B表面附近P点的场强为σ ˆE=n，问E是谁的贡献？（）ε0 A、只是q1的贡献 B、只是q2和q3的贡献只是q1，q2,q3的总贡献 D、只是P点附近面元上电荷的贡献答案：C 9、三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接，中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为，如图所示，则比值σ1为（）22A、d1d2B、d2d1C、1D、dd答案：B10、有两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心，现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷（）A、不变化B、平均分配C、空心球电量多D、实心球电量多答案：B 11、一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点P处的场强大小与电势（设无穷远处为电势零点）分别为（）A、E=0，U>0B、E=0,U<0C、E=0，U=0D、E>0,U<0 答案：B 12、一半径为R 的簿金属球壳，带电量为-Q，设无穷远处电势为零，，则在球壳内各点的电势UI 可表示为（）A、Ui<-KQRB、Ui=-KQRC、Ui>-KQRD、-KQR<Ui<0 答案：B13、一均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1,r2的金属球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的P点处的场强和电势为（） A、E=Q4πε0r,U=Q4πε0rB、E=0,U=Q4πε0r1Q4πε0r2C、E=0,U=Q4πε0rD、E=0,U= 答案：D14、平板电容器充电后断开电源，场强为E0，现充满相对介电常数为εr的电介质，则其极化强度为（）A、ε0 1-⎛⎝⎛⎛1⎫1⎫1⎫ε⎪E0 B、 1-⎪E0 C、ε0 ⎪E0 D、0E0 答案：A -1 ε⎪εr⎪εr⎪εr⎝⎭⎭⎝r⎭15、维持平板电容器的电压U不变，设真空时其电容，电位移矢量，能量分别为C0，D0，W0，现充满相对介电常数为εr的电介质，则充入介质后相应的各量变为（） A、εrC0,D0,εrW0 B、εrC0,D0εr,εrWD、εrC0,εrD0,εrW答案：C16、在带电量为+Q的金属球产生的电场中，为测量某点场强E，在该点引入一带电量为+Q3的点电荷，测得其受力F。
大学物理静电场中的导体和电介质习题答案
第13章 静电场中的导体和电介质P70．13．1 一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为204q E rπε=．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为04cq U r πε=．13．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ， 方向也垂直中心轴向外．13．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电荷q ，求球心o 的电势为多少？[解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444o q q Q qU r a bπεπεπε-+=++13．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？图14.3图14.4（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1 = σ1S和q2 = σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q = q1 + q2 = σ1S + σ2S．①A、B间的场强为E1 = σ1/ε0，A、C间的场强为E2 = σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU = E1d1 = E2d2，②即σ1d1 = σ2d2．③解联立方程①和③得σ1 = qd2/S(d1 + d2)，所以q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为q B= -q1 = -2×10-8(C)；q C= -q2 = -1×10-8(C)．(2)两板电势差为ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k = 9×109 = 1/4πε0，所以ε0 = 10-9/36π，因此ΔU = 144π= 452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)．13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，它们产生的场强大小分别为E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E2–E = 0，即σ1 - σ2–σ= 0，或者说q1 - q2 + q = 0．②解得电量分别为q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2 = -σ3．两板之间的场强为E = σ3/ε0，而 E = U/d，所以面电荷密度分别为σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214RCR Rπε=-表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为P2图14.5图14.61210012211441/1/R R C R R R R πεπε==--外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/C R R πε=-．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为12120022144R R C C C R R R πεπε=+=+-202214R R R πε=-． 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044q q R R πεπε+=，因此感应电荷为12`R q q R =-． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44R q q E r R rπεπε==-， 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为1122d d R R R R U E r =⋅=⎰⎰E l121202()d 4R R R qr R rπε=-⎰ 1212021202()11()44R q R R q R R R R πεπε-=-= 球面间的电容为202214R q C U R R πε==-．13．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？[解答]球形电容器的电容为120012211441/1/R R C R R R R πεπε==--．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：0121212R R C R R πε=-．当电容器中充满介质时，电容为：0122212r R R C R R πεε=-．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：01212212(1)r R R C C C R R πεε+=+=-．13．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2． 总电容的倒数为122112*********d d d d C C C S S Sεεεεεε+=+=+=， 总电容为 122112SC d d εεεε=+．13．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ， 方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ， 方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为21d d d 2R LLR U E r r r λπε=⋅==⎰⎰⎰E l 21ln 2R R λπε=． 电容为 212ln(/)q lC U R R πε==． 在真空时的电容为00212ln(/)l q C U R R πε==， 所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．13．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d 4d SSD S r D Φπ=⋅==⎰⎰D S高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为D = Q 0r /4πr 3．电场强度为E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3， 方向沿着径向．由于 D = ε0E + P ， 所以 P = D - ε0E = 031(1)4rQ rεπ-r． 在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q 0r /4πr 3，E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为E 0 = Q 0r /4πε0r 3；极化电荷q 1`产生的场强为E` = q 1`r /4πε0r 3；总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，解得极化电荷为 `101(1)rq Q ε=-，介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44r Q q R R σπεπ==-． 在介质层外表面，极化电荷为``21q q =-，面密度为``02222221(1)44r Q q R R σπεπ==-．13．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C = ε0S/d ，当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，静电能为W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ． 13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + εr )ε0S /2d ． （2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ． 设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得01112211/C U C QQ C C C C ==++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为00112122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S dεσε===++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为0021222(/1)(1)r r C U UC C S dεεσε==++．13．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C 0 = ε0εr S/d ，静电能为 W 0 = C 0U 2/2． 玻璃板抽出之后的电容为C = ε0S/d ．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU 2/2， 电能器能量变化为ΔW = W - W 0 = (C - C 0)U 2/2 = (1 - εr )ε0SU 2/2d = -3.18×10-5(J)． （2）充电后所带电量为 Q = C 0U ， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q 2/2C ，电能器能量变化为2000(1)2C C U W W W C ∆=-=- 20(1)2r r SU dεεε=-= 1.59×10-4(J)．13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a 、b ．试证明电容器能量的一半储存在半径R =[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r ， 能量密度为 w = ε0E 2/2， 体积元为 d V = 2πrl d r ， 能量元为 d W = w d V ．在半径a 到R 的圆柱体储存的能量为20d d 2VVW w V E V ε==⎰⎰2200d ln 44Ral l R r r a λλπεπε==⎰．当R = b 时，能量为210ln 4l b W aλπε=；当R =22200ln48l l b W aλλπεπε==，所以W 2 = W 1/2，即电容器能量的一半储存在半径R =13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 、b ，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q )时，求：（1）在半径为r (a < r < b )、厚度为d r 、长度为l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l ，根据介质是高斯定理，可知电位移为D = λ/2πr = Q /2πrl ，场强为 E = D/ε = Q /2πεrl ， 能量密度为w = D ·E /2 = DE /2 = Q 2/8π2εr 2l 2．薄壳的体积为d V = 2πrl d r ， 能量为 d W = w d V = Q 2d r /4πεlr ．（2）电介质中总能量为22d d ln 44bV aQ Q bW W r lr l a πεπε===⎰⎰．（3）由公式W = Q 2/2C 得电容为222ln(/)Q lC W b a πε==．13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和300PF/900V ．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V 电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式211212111C C C C C C C +=+=， 得 1212120PF C C C C C ==+．加上U = 1000V 的电压后，带电量为Q = CU ，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．。
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习题二一、选择题1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q QE U r rεε==ππ； （B ）010, 4QE U r ε==π；（C ）00, 4QE U rε==π；（D ）020, 4Q E U r ε==π。
答案：D解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得000202Q Q Q QU r r r r εεεε-=++=4π4π4π4π2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。
设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］（A ）0； （B ）2q ； （C ）2q -； （D ）q -。
答案：C解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U dRπεπε'=+=（球面上所有感应电荷到球心的距离相等，均为R ），由此解得2R qq q d '=-=-。
3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2200,44r Q Q E D rr εεε==ππ； （B ）22,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）2200,44Q QE D r r εε==ππ。
答案：C解：由高斯定理得电位移 24QD r =π，而 2004D QE r εε==π。
4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。
当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电量为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。
此后，若把电介质抽去 ，则该质点［ ］（A ）保持不动； （B ）向上运动；（C ）向下运动； （D ）是否运动不能确定。
答案：B 解：由0r SC dεε=知，把电介质抽去则电容C 减少。
因极板上电荷Q 恒定，由QC U=知电压U 增大，场强/E U d =增大，质点受到的电场力qE F =增大，且方向向上，故质点向上运动。
5．1C 和2C 两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况下，在1C 中插入一电介质板，如图所示, 则［ ］（A ）1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷减少； （B ）1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷增加； （C ）1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷不变； （D ）1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷不变。
答案：C解：在1C 中插入电介质板，则电容1C 增大，而电压保持不变，由q CU =知1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷不变。
二、填空题1．一空心导体球壳带电q ，当在球壳内偏离球心某处再放一电量为q 的点电荷时，则导体球壳内表面上所带的电量为 ；电荷 均匀分布（填“是”或“不是”）；外表面上的电量为 ；电荷 均匀分布（填“是”或“不是”）。
答案： q -；不是；q 2；是。
解：由高斯定理及导体静电平衡条件，导体球壳内表面带有非均匀分布的电量q -；由电荷守恒定律，球壳外表面带电量为q 2，且根据静电屏蔽原理知，外表面电荷均匀分布。
2．如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S ，有一定厚度，带电荷分别为Q 1和Q 2。
如不计边缘效应，则A 、B 、C 、D 四个表面上的电荷面密度分别为______________ ；______________；_____________；___________。
答案：122Q Q S +；122Q Q S -；122Q Q S -；122Q Q S+。
解：作高斯面，用高斯定理可得（或参考教材例题），32σσ-=，41σσ=。
依题意得，112Q S σσ+=，234QSσσ+=，四式联立求解出上面结果。
3．一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d 。
充电后，两极板间相互作用力为F ，则两极板间的电势差为______________，极板上的电量为______________。
答案：解：0SC dε=，22100222q q F qE q S Cd σεε====，故，q =q U C ==。
4．一电容为C 的空气平行板电容器，接上电源充电至端电压为V 后与电源断开。
若把电容器的两个极板的间距增大至原来的3倍，则外力所做的功为 。
答案：2CV 解：因0SC dε=，所以当3d d '=，则3CC '=。
电容器充电后与电源断开，极板上的电荷不变，由22Q W C=知，3W W '=。
外力所做的功为22122()2A W W W CV CV '=-===5．两个电容器的电容关系为122C C =，若将它们串联后接入电路，则电容器1储存的电场能量是电容器2储能的 倍；若将它们并联后接入电路，则电容器1储存的电场能量是电容器2储能的 倍。
答案：21；2。
解：串联电容器的电量相等，所以221212211222W C Q Q C C W C ===；并联电容器的电压相等，所以22112211222W C V C V W ==。
三、计算题1．半径为1 1.0cm R =的导体球，带有电荷101.010C q -=⨯，球外有一个内外半径分别为2 3.0cm R =和3 4.0cm R =的同心导体球壳，壳上带有电荷101110C Q -=⨯，试计算：（1）两球的电势1U 和2U ；（2）用导线把球和球壳接在一起后，1U 和2U 分别是多少？（3）若外球接地，1U 和2U 为多少？ （4）若内球接地，1U 和2U 为多少？答案：（1）330V ，270V ； （2）270V ，270V ； （3）60V ， 0V ； （4） 0V ，180V 。
解：本题可用电势叠加法求解，即根据均匀带电球面内任一点电势等于球面上电势，均匀带电球面外任一点电势等于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。
首先求出导体球表面和同心导体球壳内外表面的电荷分布。
然后根据电荷分布和上述结论由电势叠加原理求得两球的电势。
若两球用导线连接，则电荷将全部分布于外球壳的外表面，再求得其电势。
（1） 据题意，静电平衡时导体球带电101.010C q -=⨯，则 导体球壳内表面带电为101.010C q --=-⨯； 导体球壳外表面带电为101210C q Q -+=⨯， 所以，导体球电势U 1和导体球壳电势U 2分别为101231330V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭203331270V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭（2）两球用导线相连后，导体球表面和同心导体球壳内表面的电荷中和，电荷全部分布于球壳外表面，两球成等势体，其电势为12031270V 4q QU U U R πε+'====（3）若外球接地，则球壳外表面的电荷消失，且02=U1012160V 4q q U R R πε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（4）若内球接地，设其表面电荷为q '，而球壳内表面将出现q '-，球壳外表面的电荷为Q q '+．这些电荷在球心处产生的电势应等于零，即10123104q q q Q U R R R πε⎛⎫'''+=-+= ⎪⎝⎭解得10310C q -'=-⨯，则 203331180V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫'''+=-+= ⎪⎝⎭2．两个同心的薄金属球壳，内、外半径分别为1R 和2R 。
球壳之间充满两层均匀电介质，其相对电容率分别为1r ε和2r ε，两层电介质的分界面半径为R 。
设内球壳带有电荷Q ，求电位移、场强分布和两球壳之间的电势差。
答案：（1）1120 ()()4r R D Q r R r π<⎧⎪=⎨>⎪⎩；（2）()1120122022200 ()4 ()4 ()4r r r R Q R r R r E QR r R r Qr R r πεεπεεπε<⎧⎪⎪<<⎪⎪=⎨<<⎪⎪⎪>⎪⎩； （3）12011122211114r r r r Q U R R R R πεεεεε⎛⎫=-+-⎪⎝⎭。
解：由高斯定理2int 4D r q π=及0r D E εε=得：当1r R <时， 110, 0D E == 当1R r R <<时，222201, 44r Q QD E r r ππεε==当2R r R <<时，332202, 44r Q QD E r r ππεε== 当2r R >时，44220, 44Q QD E r r ππε==两球壳之间的电势差为22111223011122211114R RR R R Rr r r r Q U Edr E dr E dr R R R R πεεεεε⎛⎫==+=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．在极板间距为d 的空气平行板电容器中，平行于极板插入一块厚度为 /2d 、面积与极板相同的金属板后，其电容为原来电容的多少倍？如果平行插入的是相对电容率为r ε的与金属板厚度、面积均相同的介质板则又如何？ 答案：（1）2倍； （2）21rrεε+倍。
解：（1）平行插入/2d 厚的金属板，相当于原来电容器极板间距由d 减小为 /2d ，则0022/2S SC C d dεε'=== （2）插入同样厚度的介质板，则相当于一个极板间距为/2d 的空气平行板电容器与另一个极板间距为/2d 、充满电容率为0r εε的电介质的电容器的串联，则000111111222r r r r C C C C C C εεεε+=+=+=''''，解得 021r rC C εε''=+4．一半径为R 的球体，均匀带电，总电荷量为Q ，求其静电能。
答案：20320Q Rπε。
解：由高斯定理易得球体内外场强为in 304QrE R πε=，out 204Q E r πε=把空间看成由许多与带电球体同心的球壳组成，任取一个内径为r ，外径为r r d +的球壳，其体积为2d 4d V r r π=，球壳中的电场能量为201d d 2W E V ε=则整个空间的电场能量为in out22200in 0out 111d d d 222V V W E V E V E Vεεε==+⎰⎰⎰222220033000034πd 4πd 242420RR Qr Q Q r r r r R r Rεεπεπεπε∞⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰5．一圆柱形电容器内外两极板的半径分别为b a 和，试证其带电后所储存的电场能量的一半是在半径为r 证：圆柱状电容器中的场强02E rλπε=，其中，l q /=λ。