江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象和性质课件 苏科版
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苏科版 九年级数学 下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文
（2） y2x2 4x
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
太仓市第二中学九年级数学下册《27.2.3 二次函数解析式的求法》课件1
12
归纳小结
二次函数解析式的确定
(1）过三点或已知三对对应值的二次函数解 析式的确定 （2）过顶点和一普通点的二次函数解析式确 定 （3）过二个与x轴的交点和一普通点的二次函 数解析式确定 （4）与坐标轴的交点，对称轴及最值有关二 次函数解析式确定
13
4 2
A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函数的 解析式为：y=-x² +2x+3
4
-4
当C（0，-3）时，函数的 解析式为：-y=-x² +2x+3 即y=x² -2x-3
-5
2
-2
7
-4
练习1.已知一个二次函数的图象过点 （0，1），它的顶点坐标是（8，9）， 求这个二次函数的关系式． 1 2 y ( x 8) 9 8 2.已知二次函数的图象过（0，1）、 （2，4）、（3，10）三点，求这个二次 函数的关系式． 3 2 3 y x x 1 2 2
5
4
2
Ａ
B
5
例4:已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
-2
x＝１
-4
6
例5:已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0）B的坐标为（3，0），并且 △ABC的面积是6，求这个函数的解析式。 分析：由题意可知OC的长是3，所以 C 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
8
练习3
已知抛物线与x轴交于A（－1，0）， B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物 线的解析式？
1 1 2 1 y ( x 1)( x 2) x x 1 2 2 2
归纳小结
二次函数解析式的确定
(1）过三点或已知三对对应值的二次函数解 析式的确定 （2）过顶点和一普通点的二次函数解析式确 定 （3）过二个与x轴的交点和一普通点的二次函 数解析式确定 （4）与坐标轴的交点，对称轴及最值有关二 次函数解析式确定
13
4 2
A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函数的 解析式为：y=-x² +2x+3
4
-4
当C（0，-3）时，函数的 解析式为：-y=-x² +2x+3 即y=x² -2x-3
-5
2
-2
7
-4
练习1.已知一个二次函数的图象过点 （0，1），它的顶点坐标是（8，9）， 求这个二次函数的关系式． 1 2 y ( x 8) 9 8 2.已知二次函数的图象过（0，1）、 （2，4）、（3，10）三点，求这个二次 函数的关系式． 3 2 3 y x x 1 2 2
5
4
2
Ａ
B
5
例4:已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
-2
x＝１
-4
6
例5:已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0）B的坐标为（3，0），并且 △ABC的面积是6，求这个函数的解析式。 分析：由题意可知OC的长是3，所以 C 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
8
练习3
已知抛物线与x轴交于A（－1，0）， B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物 线的解析式？
1 1 2 1 y ( x 1)( x 2) x x 1 2 2 2
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象课件 苏科版
对称轴是直线x=
b 2a
二次函数的图象
例 1 ．已知二次函数 y x 2 2 x 1，试在 平面直角坐标系画出它的函数图象。
解：
y ( x 1) 2 2
列表
y
4 3 2 1 -2 -1
x -1 0 1 2 3 y=(x-1)2-2 2 -1 -2 -1 2 描点画图 注意：
的顶点坐标 写出对称轴,与坐标轴交点坐标，当x取 何值时，y随x的增大而增大，当x取何值 时，y随x的增大而减小？
1 2 3 1 2 3 解：y x x ( x 2 x 1 1) 2 2 2 2
= -1/2（x+1)2+2
∴抛物线的顶点坐标是（－1，2），对 称轴是直线x＝－1
二次函数的增减性
抛物线 y ax bx c （a 0 ） ， a 0 时，开口向上，结合图象可知：
2
y
b ①当 x 时， y 随着x 的增大而减小； 2a b x y x ②当 时， 随着 的增大而增大； o 2a 2 4ac b b ③当 x 时，函数有最小值 。 4a 2a
3 3 令 x 0，y ， ∴抛物线与y轴交点（0， ） 2 2
令
1 2 3 y 0， x x 0 2 2
的解为
x1 3，x2 1
∴抛物线与x轴交于点(－3，0)，(1，0) 当 X<-1 时，y随x的增大而增大， 当
x 1 时，y随x的增大而减小。
画出y= -x2+2x+3的图象，并分析它的性质
y M(1,4) (2 ,3) (3,0) 1 2 3 x=1 x
(0,3)
• ∵a= —1＜0，∴开口 向下 • 当x=1时，y有最大值4
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版共34页
人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
苏科版九年级数学下册第2课时二次函数y=a(x+h)^2+k的图象和性质教学课件
平移|k|个单位长度得到.
二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的性质： 1.当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0，k) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ，在对 称轴的右侧，y随x的增大而 增大 .当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 2.当a<0时，抛物线y=ax2+k的开口 向下 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标 是 (0，k) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 增大 ，在对 称轴的右侧，y随x的增大而 减小 . 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k .
二次函数y=ax2+k的图象和性质
练一练：（1）将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位长度可得函数 y=-3x2的图象；
（2）将抛物线y=2x2-7向 上 平移 7 个单位长度可得到抛物线y=2x2； （3）将函数y=x2-7的图象向 上 平移 9 个单位长度可得到函数y=x2+2的
（2）描点： （3）连线：
视察表中的数据， 你有什么发现？
y 10
9
y=x2+1
8
7
6
y=x2
5
4
3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1o 1 2 3 4 5 x
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=x2的图象与二次函数y=x2＋1的 图象形状相同吗？ 完全相同
2.二次函数y=x2＋1的图象与二次函数y=x2的 图象之间有什么位置关系？ 函数y=x2＋1的图象可以由函数y=x2的 图象向上平移1个单位长度得到.
二次函数y=ax2+k的图象和性质
5.2 二次函数的图像和性质(第3课时)(课件)九年级数学下册课件(苏科版)
＞
的两点，那么y1________y
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，
=2
>2
则k____；若顶点位于x轴下方，则k
<2 .
当堂检测
C )
A.开口向上
B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴
D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( D )
A．x＜2
B．x＞0
C．x＞－2
D．x＜0
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的
平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称
轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
与y=ax2的关系 上加下减
开口方向由a的符号决定
二次函数y＝ax2＋k
的图像和性质
图像
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y＝ ×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，
故点M的坐标为(0，2)．
大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
0
5
减小
大
y轴
的两点，那么y1________y
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，
=2
>2
则k____；若顶点位于x轴下方，则k
<2 .
当堂检测
C )
A.开口向上
B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴
D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( D )
A．x＜2
B．x＞0
C．x＞－2
D．x＜0
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的
平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称
轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
与y=ax2的关系 上加下减
开口方向由a的符号决定
二次函数y＝ax2＋k
的图像和性质
图像
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y＝ ×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，
故点M的坐标为(0，2)．
大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
0
5
减小
大
y轴
苏科版九年级下册数学课件5.2二次函数的图象与性质 (共22张PPT)
单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2
(或最大值= - 2)
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象 和性质.
思考：
怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物 线y=a(x+h)2+k?
如果K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一 条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶 点坐标与a,h,k的值有关.
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点 。
例题精讲
例2一条抛物线的形状与抛物线y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个 抛物线的函数解析式。
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 2x2
相同，其对称轴与 y（x1)2相同，且
顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。
y=3x2先沿着x轴向右平移 对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向 线(x=1);增减性与y=3x2类似. 上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/142021/ 8/14Sat urday, August 14, 2021
二次函数的图像和性质苏科版九年级数学下册课件(共17张PPT)
-2 y=-x2
-10
-5
O y=x2-25 x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 上 ，对称轴 是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ；
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 下 ，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到，
当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8y=x2+16 Nhomakorabea4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-10
-5
O
5
x
10
A. a+c B. a-c C. –c D. c
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
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在对称 轴左侧
Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大
在对称 轴右侧
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
a＞0
y=ax2 a＜0
向上
向下
y=ax2+ k
a＞0 a＜0
向上
向下
二次函数y=a(x-h)2的性质
Y的最 值
在对称 轴左侧
在对称 轴右侧
a＞0 y=ax2 a＜0 a＞0
向上
Y轴（0，0）Fra bibliotek最小值是0
Y随x的增大而 减小
Y随x的增大而 增大
向下
Y轴
（0，0）
最大值是0 Y随x的增大而
增大
Y随x的增大而 减小
向上
Y轴
（0，k）
最小值是k
Y随x的增大而 Y随x的增大而 减小 增大
y=ax2+k
a＜0
向下
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3 ，顶点 是 （ 3， 0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当 x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 2 得到函数 y= -3（x+1） 的图像，其顶点坐标是 （-1，0） ， 对称轴是 直线x=-1 ，当x= -1 时，y有最 大 值， 是0 .
y=9（x－3）2 的
图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 上 ，对 （－2，0） 称轴是 直线x=－2 ，顶点坐标是 ，当x ＞－2 时， y随x的增大而增大，当x= －2 时，y有最 小 值是 0 .
Y轴
直线x=h 直线x=h
（0，k）
（h，0）
最大值是k
Y随x的增大而 Y随x的增大而 增大 减小
a＞0
y=a（x-h)2
向上
最小值是0 Y随x的增大而减 Y随x的增大而增 小 大 最大值是0 Y随x的增大而增 Y随x的增大而减 大 小
a＜0
向下
（h，0）
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口向上 ，对称轴是 ，当x= -5 时，y有最 小 值， 直线x= -5 是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 4 是直线x= ，当 x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
开口大小
a越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
增减性 函数 开口方向 对称轴
顶点 坐标
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
2 二次函数y=a(x-h) 的图
象和性质
1.二次函数y=x2+k的图象是什么？
答：是抛物线
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
增减性 函数 开口方向
对称 轴
Y轴 Y轴 Y轴 Y轴
顶点 坐标
（0，0） （0,0） （0,k） （0,k）
Y的 最值
最小值 是0 最大值 是0 最小值 是k 最大值 是k
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） 直线x=h 在x轴的上方(除顶点外)
y ax h
2
y=a(x-h)2 (a<0) （h，0） 直线x=h 在x轴的下方( 除顶点外)