江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象课件(1) 苏科版

图像的开口大小不一样 a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小: |a|越小图像开口就越大
1.下列二次函数图像开口，按从 小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
1 2 1 2 (1)f(x)= x ; (2)f(x)= x 4 2
1 2 2 (3)f(x)=- x ; (4) f(x)=-3x 3
(2)图象关于y轴对称.
(3) 图象顶点在原点.
y=2x2
1 y= 2x2
y=2x2
y=x2
观察图象，回答问题： (1)、 y=x2 ， y=2x2， 2 图象的相 y=-x2 ， y= 1 x 2 同点是什么？不同点是什 么？
相同点：图象都是抛物线，抛物线y=ax2的顶 点是原点，对称轴是y轴。 不同点：当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除 顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点 外），它的开口向下，并且向下无限伸展。且开 口大小不同.
二次函数y=ax² + bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
Zx````xk
2 二次函数y=ax 的图像
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
练习
1.填空：已知二次函数 （1）y=-x2;
（3）y=15x2
（5） ；
zx```xk
（2）
3； 2 y x 5
（4） y=-4x2; （6） y=4x2.
(2),(3),(6)
9 ； 2 y x 10
其中开口向上的有_______(填题号)；
y 2x2
应用巩固
2、观察函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的开口方向
驶向胜利 的彼岸
3
3
y=-2x2
( 3 ,6) ( 3 ,6)
练习2、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0）， 过点（-1，3）。 （1）则a的值是 （2）对称轴是 （3）顶点坐标是 的 。 抛物线在x轴的 ； ，开口 。
，顶点是抛物线上
方（除顶点外）。
驶向胜利 的彼岸
练习三、 已知抛物线y ax a 0与双曲线
当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
根据此函数图象总结二次函数 的性质:
yx
2
二次函数y=x2的图象是抛物线。 (1) 图象开口向上,有最低点. (2)图象关于y轴对称.
(3) 图象顶点在原点.
根据此函数图象总结二次函数 的性质:
y x
2
二次函数y=-x2的图象是抛物线。 (1) 图象开口向下,有最高点.
2 2 y x 3
是 ,对称轴是
，顶点坐标是 ，抛物线 方（除顶点
y=2x2在x轴的 外）。 ________ 2 2 （2）抛物线 y x __ 3
的开口方向 ，最高点
是
，对称轴是
坐标是
。
y=2x2
1 y= 2x2
y=2x2
y=x2
观察图象，回答问题： (2)、 y=x2 ， y=2x2， 1 y= 1/2 x2 图象的不同点 2 是什么？
2
2 y 交点的横坐标大于零， 问a是大于零 x 还是小于零？
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条 抛物线. 2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向 下,顶点是抛物线的最高点.
如果在同一坐标系画函 数y=ax2与y= -ax2的图 象，怎样画才简便？
画出下列函数的图象。
1 2 (1) y x 2 2 ( 2) y 2 x
x
y 1 2 x 2
... ...
-4 -3 8 4.5 -2 -1.5
-2 -1 2 0.5 -1 -0.5
0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5
2 2 1 2
3 4.5 1.5 4.5
4 8
... ...
x
y=2x2
y=ax2
1.二次函数的定义 ?
一般地，如果
a b c 是常数， y ax 2 bx c a 0） （ ，， x 的二次函数。 那么， y 叫做 从二次函数的解析式可知二次函数的自 变+bx+c. (1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数? (2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数? (3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?
9； 2 y x 10
（4） y=-4x2;
（6） y=4x2.
回顾知识: 一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。 正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点 的直线。 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。 一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。
k 三、反比例函数 y （k ≠ 0）其图象又是什么。 x k 反比例函数 y （k ≠ 0）其图象是双曲线。 x
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
描点法
注意：列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 y x
y x2
1 y x
列表 描点 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
连线
y x
2
• • • • • • •
小结 由此可知画二次函数图象的一般步骤是： 1、取值列表； 2、描点连线。 在此过程中需要注意的有： 1、自变量取值间隔要一致，通常取7或9个值； 2、在起始点和终点函数图象还要沿着函数图 象的趋势延长一部分； • 3、函数图象要能够反映出函数的整体变化情 况。
... ...
2
8
...
...
8
4.5
2
0.5
1 y x2 2
2 2
列表参考
y x2
1 2 y x 2
y x2
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于 y轴 这条抛物线关于 y轴 这条抛物线关于 y轴 对称， y 轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点。
喷泉(1)
y x2
观察右图， 并完成填空
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向
极值
zxx````k
y x2
y=x2
（0，0）
y=-x2
（0，0） y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外）
向上 向下 （0，0）
图象最高（低）点 （0，0）
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
练习1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2, 所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 4 2(1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个， 它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
2.已知函数
的图象如图所示。
1 2 y x 2
Zxx```k
yx
2
1 2 y x 2
y x2
y （1）抛物线①②③④分别对应哪个函数？ 2
yx
①
1 2 ② y x 2
x
1 2 y x ③ 2
y x2
④
例2、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经 过点(-2,-3).
y x2
y x2
答：只要画出y=ax2与y= -ax2中的一条抛 物线，另一条可利用关于x轴对称或关于 原点对称来画。
练习、已知二次函数
（1）y=-x2;
（3）y=15x2
（5）
； （2）
y
；
3 2 x 5
(5) (2)其中开口向下且开口最大的是_______
_(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐 (1),(4),(5) 变大，然后渐变小的有________( 填题号).