4坐标系中的旋转变换(2012年)
全国各地2012年中考数学分类解析 专题54 图形的旋转变换
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题54：图形的旋转变换一、选择题1. （2012天津市3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是【 】（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 【答案】D 。
【考点】旋转对称图形【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形。
故选D 。
2. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A ．πB ．34π D ．1112π 【答案】D 。
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=12AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。
∴AC∴ABC 1S BC AC 2∆=⨯⨯=设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC=DC，∴△BCD 是等边三角形。
∴BD=CD=1。
∴点D 是AB 的中点。
∴ACD ABC 11S S 22∆∆===S 。
∴1ACD ACA BCD ABC S S S ∆∆=++扇形扇形的面扫过积26013113604612ππππ⨯⨯=++=++=+故选D 。
3. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】A ．110° B．80° C．40° D．30° 【答案】B 。
旋转坐标轴的坐标变换公式
旋转坐标轴的坐标变换公式
在二维平面上旋转坐标轴,可以通过旋转坐标变换公式将旧坐标系下的点(x,y)转化为新坐标系下的点(x',y')。
假设旋转角度为θ(弧度制),正旋转方向为逆时针方向,则坐标变换公式为:
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
反过来,如果已知新坐标系下的点(x',y'),想要求出旧坐标系下的点(x,y),可以使用逆变换公式:
x = x' * cos(θ) + y' * sin(θ)
y = -x' * sin(θ) + y' * cos(θ)
需要注意的是,上述公式适用于绕原点(0,0)旋转坐标轴的情况。
如果绕其他点旋转,还需先将旋转中心平移到原点,进行坐标变换计算后,再将结果平移回原位置。
坐标旋转变换在数学、物理、计算机图形学等许多领域有着广泛的应用。
掌握了旋转坐标变换公式,可以方便地在不同坐标系之间进行数据转换和处理。
平面向量的坐标变换和坐标旋转
平面向量的坐标变换和坐标旋转在二维平面上，平面向量的坐标变换和坐标旋转是数学中重要的概念和技巧。
通过变换和旋转，我们可以改变向量在平面上的位置和方向，从而得到新的向量。
本文将讨论平面向量的坐标变换和坐标旋转的原理和应用。
一、平面向量的坐标变换平面向量的坐标变换是指将一个向量的坐标表示从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
这种变换常用于解决不同坐标系下的向量运算和几何问题。
假设有一个平面向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B下的坐标表示为(Bx, By)。
我们需要将向量A的坐标从坐标系A转换到坐标系B下。
设坐标系A的基向量为{i_i, i_i}，坐标系B的基向量为{i_i, i_i}。
坐标变换的关键在于找到从基向量{i_i, i_i}到基向量{i_i, i_i}的转换矩阵。
转换矩阵i的列向量就是基向量{i_i, i_i}在坐标系A下的坐标表示。
假设i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)，i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)。
则转换矩阵i可以表示为：i = [(i_ii, i_ii), (i_ii, i_ii)]那么向量A在坐标系B下的坐标表示可以通过以下运算得到：(Bx, By) = i * (Ax, Ay)这样，我们就完成了向量A的坐标变换。
二、平面向量的坐标旋转坐标旋转是指在平面上绕一个固定点进行旋转变换的过程。
对于平面向量的坐标旋转，我们常用旋转矩阵来描述旋转的规律。
以逆时针旋转为正方向，设旋转角度为θ。
对于一个向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)。
我们需要将向量A绕原点逆时针旋转θ角度后的坐标表示为(Bx, By)。
旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ这样，我们就得到了向量A在旋转后的坐标表示。
三、坐标变换与坐标旋转的应用平面向量的坐标变换和坐标旋转在几何问题和计算机图形学中有广泛的应用。
坐标系变换的方式
坐标系变换的方式坐标系变换是一个在空间中进行定位和测量的重要工具和技术。
它允许我们通过旋转、平移、缩放等操作，将一个坐标系的点映射到另一个坐标系中，以便更好地描述和分析物体的位置和运动。
在三维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
笛卡尔坐标系由三个相互垂直的轴组成：x轴、y轴和z轴。
每个点都可以用一个(x, y, z)的三维向量来表示。
然而，在实际问题中，我们可能需要使用不同的坐标系来描述同一个点，这就需要进行坐标系变换。
坐标系变换可以通过矩阵运算来实现。
矩阵是一个二维数组，可以表示一组线性方程。
在坐标系变换中，我们使用变换矩阵来描述从一个坐标系到另一个坐标系的映射关系。
变换矩阵可以包括旋转、平移和缩放的操作，它们分别对应着不同的矩阵。
首先，我们来看旋转变换。
旋转变换可以使一个坐标系绕某个轴旋转一定的角度。
对于二维空间中的点来说，旋转变换可以通过一个二阶方阵来实现。
对于三维空间中的点来说，旋转变换可以通过一个三阶方阵来实现。
旋转变换矩阵的选择取决于旋转的轴和角度。
其次，我们来看平移变换。
平移变换可以使一个坐标系在三维空间中沿某个方向移动一定的距离。
平移变换只涉及到坐标的加减运算，不涉及到乘法运算。
因此，平移变换矩阵是一个特殊的矩阵，它的最后一列表示了平移的距离。
最后，我们来看缩放变换。
缩放变换可以使一个坐标系在各个方向上按照一定比例进行拉伸或压缩。
缩放变换矩阵是一个对角矩阵，对角线上的元素表示各个方向上的缩放比例。
除了上述几种变换方式，还有镜像变换、剪切变换等其他类型的坐标系变换方式。
这些变换方式的实现都需要使用不同的矩阵运算。
坐标系变换在许多领域中都有重要的应用，特别是在计算机图形学、机器人学和计算机视觉等领域。
在计算机图形学中，我们可以通过坐标系变换来实现三维模型的旋转、平移和缩放等操作。
在机器人学中，我们可以通过坐标系变换来描述机器人的位置和姿态。
在计算机视觉中，我们可以通过坐标系变换来对图像进行校正和矫正。
旋转作图与坐标系中的旋转变换(经典导学案)
《23.1.2旋转作图与坐标系中的旋转变换》一、学习目标1.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2.能通过图形的旋转设计图案.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第60页例题完成右边的学习内容1.教材第60页例题自学参考提纲：①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是.②根据正方形的性质：AD＝AB，∠OAB＝90°，所以点D的对应点是.③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法.作出△ADE的对应图形为..④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？（1）作一个图形旋转后的图形，关键是作出对应点，并按原图的顺序依次连接各对应点.（2）在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形.三．巩固诊断一、基础巩固（70分）1.(10分) 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A B C D2.(10分) 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3.(10分) 如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．4.(20分) 分别画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°和180°后的图形.5.(20分)把图中的△ABC 作下列旋转:（1）以C 为中心，把这个三角形顺时针旋转60°；（2）在△ABC 外任取一点O 为中心，把这个三角形顺时针旋转120°.二、综合应用（20分）6.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB 于点D ，则旋转角等于（ ）A.70°B.80°C.60°D.50°7.(10分)右图中的风车图案，可以由哪个基本的图形，经过什么样的旋转得到？ABCC三、拓展延伸（10分）8.(10分) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：。
坐标旋转变换公式的推导
坐标旋转变换公式的推导
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翻译：汤永康
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1 围绕原点的旋转
如下图，在2维坐标上，有一点p(x, y) , 直线opの长度为r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。
直线op围绕原点做逆时针方向b度的旋转，到达p’(s,t)
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b) (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b) (1.2)
其中x = r cos(a) , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b) (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b) (1.4)
用行列式表达如下：
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转theta度，变成座标系sot。
设有某点p，在原坐标系中的坐标为(x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。
oa = y sin(theta) (2.1)
as = x cos(theta) (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s = os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t = ot = ay – by = y cos(theta) – x sin(theta)
用行列式表达如下：
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笛卡尔坐标旋转变换
笛卡尔坐标旋转变换一、介绍笛卡尔坐标旋转变换是一种常见的几何变换方法，用于将点或图像绕指定的点或轴旋转一定角度。
本文将详细介绍笛卡尔坐标旋转变换的原理、公式和应用，并结合实例详细说明其具体操作和实现方法。
二、原理及公式2.1 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它由两个互相垂直的轴组成，分别为x轴和y轴。
每个点可以用它在x轴和y轴上的坐标来表示，记作(x, y)。
2.2 坐标旋转变换公式在笛卡尔坐标系中，对一个点P(x, y)进行旋转变换，可以通过以下公式计算旋转后的新坐标P’(x’, y’)：x’ = x * cosθ - y * sinθ y’ = x * sinθ + y * cosθ其中，θ为旋转角度，cosθ和sinθ分别表示θ的余弦和正弦。
2.3 旋转中心点坐标旋转变换通常需要指定一个旋转中心点，该点为坐标系中的一个点，围绕该点进行旋转变换。
这个旋转中心点可以是任意点，根据实际需求选择。
三、操作步骤3.1 确定旋转中心点根据实际需求，确定需要进行旋转变换的图形，然后选择一个旋转中心点。
在平面上可以任意选择一个点，或者指定已知的点作为旋转中心点。
3.2 计算旋转角度确定旋转中心点后，根据实际需求确定旋转角度θ。
旋转角度可以根据需要顺时针或逆时针旋转选择。
根据旋转角度计算该角度的余弦和正弦值。
3.3 进行旋转变换根据公式计算旋转后的坐标。
对于图形上的每个点P(x, y)，根据公式计算旋转后的新坐标P’(x’, y’)。
重复该计算过程，对所有需要进行旋转变换的点进行计算。
3.4 绘制旋转后的图形根据计算得到的新坐标，绘制旋转后的图形。
连接所有点，绘制出旋转后的图形。
四、应用示例4.1 旋转平面上的点假设有一个平面上的点A(2, 3)，现需要将该点绕坐标原点逆时针旋转30度。
根据以上步骤进行计算：•确定旋转中心点：坐标原点•计算旋转角度：30度•进行旋转变换：x’ = 2 * cos30 - 3 * sin30 = 0.732 y’ = 2 * sin30 + 3 * cos30 = 3.598•绘制旋转后的图形：在坐标系上绘制点A’(0.732, 3.598)4.2 旋转平面上的图形假设有一个三角形ABC，其中A(1, 1)，B(2, 3)，C(3, 2)，现需要将该三角形绕点B顺时针旋转45度。
坐标旋转变换
坐标旋转变换空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。
在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。
如图1，直角坐标系XYZ ，P 点的坐标为),,(z y x ，其相应的在XY 平面，XZ 平面，YZ 平面分别为)0,,(y x M ，),0,(z x Q 和),,0(z y N 。
),,(z y x P Oxyz)0,,(y x M ),,0(z y N ),0,(z x Q图1直角坐标系XYZ设ϑ表示第j 轴的旋转角度，()R j ϑ表示绕第j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。
很明显当j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j 分量是不变的。
由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕z 轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。
设图1的坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度，新坐标为'''Z Y X ，如图2所示：)',','z y x XY)0,',y ,0(N )',0,'(|)z x 'Y图2 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度由于坐标中的z 分量不变，我们可以简化地在XY 平面进行分分析，如图3所示：X Y'X 'Y θθ)0,','( |)0,,(y x y x M 'X M XM ϕO图3 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度的XY 平面示意图点X M 和点'X M 分别是M 点在X 轴和'X 轴的投影。
如图3⎩⎨⎧−=∠==−=∠==)sin(sin )cos(cos θϕθϕOM MOM OM MM y OM MOM OM OM x X X X X (1) ⎩⎨⎧=∠===∠==ϕϕsin sin cos cos '''''OM MOM OM MM y OM MOM OM OM x X X X X (2) 把(1)式按照三角函数展开得：⎩⎨⎧−=+=θϕθϕθϕθϕsin cos cos sin sin sin cos cos OM OM y OM OM x (3) 把(2)式代入(3)式得：⎩⎨+−=θθcos 'sin 'y x y (4) 坐标中的z 分量不变，即'z z =这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表示就坐标）：⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+='cos 'sin 'sin 'cos 'z z y x y y x x θθθθ (5) 把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵()θR Z 表示可以写成：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''z y x z y x Z θR (6)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1 0 0 0 cos sin 0 sin cos θθθθθR Z (7) 坐标系'''Z Y X 是坐标系XYZ 绕Z 轴逆时针旋转θ角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系XYZ 是坐标系'''Z Y X 绕'Z 轴逆时针旋转θ−角度而来，所以根据(6)式有（上标"1"−表示矩阵的逆）：()()()θR θR θR −=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−Z Z Z z y x z y x 1''' (8)用同样的分析办法，当绕X 轴逆时针旋转θ角度其YZ 平面分析如图4所示：Y Z'Y 'Z θθ)',0,'(|),0,(z x z x N 'Y N YN ϕO图4 坐标绕X 轴逆时针旋转θ角度的YZ 平面示意图其坐标转换关系为：⎪⎩⎪⎨=+−='cos 'sin 'x x z y z θθ (9) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos sin 0sin cos 00 0 1θX θR (10) ()()θR θR −=−X X 1 (11)当绕Y 轴逆时针旋转θ角度得其XZ 平面分析如图5所示（注意和前面两个角度方向不一样）：XZ'X 'Z θθ)',',0( |),,0(z y z y Q 'X Q XQ ϕO图5 坐标绕Y 轴逆时针旋转θ角度的XZ 平面示意图⎪⎩⎪⎨⎧=+=−='cos 'sin 'sin 'cos 'y y z x z z x x θθθθ (12) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos 0 sin 0 1 0sin 0 cos θY θR (13) ()()θR θR −=−Y Y1(14)。
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1. (2012 黑龙江省大庆市) 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(31)，，将OA 绕原点按逆时针方向旋转30°得OB ，则点B 的坐标为（ ）
（A ）(1
3)， （B ）(13)-， （C ）(02)， （D ）(20)，
答案：A
20120724150627437279 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2012-07-24
2. (2012 四川省宜宾市) 如图，在平面直角坐标系中，将ABC △绕点P 旋转180得到DEF △，则点P 的坐标为_________．
答案：(11)--，
20120709132742312140 4 坐标系中的旋转变换 填空题 基本技能 2012-07-09
3. (2012 内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，ABO △是直角三角形，
90ABO ∠=°，点B 的坐标为(12)-，
，将ABO △绕原点O 顺时针旋转90°得到11A B O △，则过1A 、B 两点的直线解析式为=____________．
答案：35y x =+
20120706100651671109 4 坐标系中的旋转变换 填空题 数学思考 2012-07-06
4. (2012 山东省泰安市) 如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，
120B ∠=°，2OA =，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA B C ′
′′的位置，则点B ′的坐标为（ ）．
（A ）22， （B ）(
22-， （C ）()22-， （D ）33，
答案：A
20120704171839921561 4 坐标系中的旋转变换 选择题 数学思考 2012-07-04。