4坐标系中的旋转变换(2011年)
4坐标系中的旋转变换(2016年)
1. (2016 广西河池市) 】．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1,3）．将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．（1,―3）D ．（―1,3）答案：】．答案A逐步提示作AC ⊥x 轴于点C ，根据勾股定理求出OA 的长，根据正切的概念求出∠AOC 的度数，再根据旋转变换即可得解.详细解答解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C .∵点A 的坐标为（1,3），∴OC ＝1，AC ＝3．∴OA ＝12＋ (3)2＝2.∵tan ∠AOC ＝AC OC＝3,∴∠AOC ＝60°.∴将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OB 时，点B 恰好在y 轴上.∴点B 的坐标是(0,2) .故选择A.解后反思本题通过作垂线，将点的坐标转化为线段的长度，应用勾股定理求斜边的长，应用特殊角的三角函数值求出特殊角的度数，再根据旋转的方向和角度确定所求点的位置，最后写出其坐标.关键词 图形旋转的特征、特殊角三角函数值的运用、点的坐标20160926210454015732 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/262. (2016 广西贺州市) 】．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）答案：】．考点坐标与图形变化-旋转．分析由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．解答解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（﹣2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．故选：B．点评本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键。
苏教版选修4《极坐标系中的旋转变换》说课稿
苏教版选修4《极坐标系中的旋转变换》说课稿引言《极坐标系中的旋转变换》是苏教版选修4中的一篇数学课文，本篇课文通过介绍极坐标系中的旋转变换，旨在帮助学生理解极坐标系的概念及其在几何图形中的应用。
通过本课文的学习，学生将能够掌握极坐标系中的旋转变换的基本概念、方法和相关运算，并能够运用所学知识解决实际问题。
一、学情分析本节课内容适用于高中数学选修课程，学生已经掌握了直角坐标系和极坐标系的基本概念及其转换关系。
对于旋转变换这一概念，学生可能有一些模糊的认识，但他们已经学习了平面向量相关内容，对于向量的旋转有一定的了解。
因此，本课将通过对比向量的旋转和极坐标系中的旋转变换，帮助学生更深入地理解极坐标系中的旋转变换。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： 1. 理解极坐标系中的旋转变换的概念； 2. 掌握极坐标系中的旋转变换的基本方法；3. 能够运用极坐标系中的旋转变换解决几何问题；4. 培养学生的逻辑思维和几何推理能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点•极坐标系中的旋转变换的概念和基本方法；•运用极坐标系中的旋转变换解决几何问题。
2. 教学难点•极坐标系中的旋转变换与向量的旋转的比较；•运用极坐标系中的旋转变换解决复杂的几何问题。
四、教学过程步骤一：导入与引入（5分钟）1.引导学生回顾直角坐标系与极坐标系的基本概念及其转换关系；2.提问：在直角坐标系中，我们学过向量的旋转，那在极坐标系中是否也存在旋转变换？3.引入本节课的话题：我们今天要学习的是《极坐标系中的旋转变换》。
步骤二：学习与讲解（20分钟）1.讲解极坐标系中的旋转变换的概念与基本方法：–给出旋转变换的定义：极坐标系中，以原点为中心，逆时针旋转一个角度θ，得到的新坐标称为旋转变换；–引导学生进行基本的旋转变换操作，帮助理解旋转变换的方法和过程；–通过实例演示，让学生掌握极坐标系中的旋转变换的基本运算规则。
2.比较向量的旋转和极坐标系中的旋转变换：–将直角坐标系中的向量旋转和极坐标系中的旋转变换进行对比，帮助学生更好地理解两者之间的关系和差异。
旋转四元数坐标系变换
旋转四元数坐标系变换引言：在三维空间中，我们经常需要进行坐标系的变换，以便描述物体在不同坐标系下的位置和姿态。
旋转四元数是一种常用的表示旋转的数学工具，它能够简洁、高效地描述三维空间中的旋转变换。
本文将介绍旋转四元数的基本原理和应用，以及如何利用旋转四元数进行坐标系的变换。
一、旋转四元数的定义与性质1.1 定义旋转四元数是一种四维复数，通常表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d均为实数，i、j、k为虚数单位。
旋转四元数具有四个分量，分别对应于一个三维旋转的轴和角度。
其中，a为实部，表示旋转角度的余弦值；b、c、d为虚部，表示旋转轴的三个分量。
1.2 性质旋转四元数具有以下性质：（1）单位化：旋转四元数的模长为1，即|q| = 1。
这是为了保证旋转四元数的归一性，使其能够准确表示旋转变换。
（2）共轭：旋转四元数的共轭定义为q* = a - bi - cj - dk，即虚部取相反数。
共轭用于表示旋转的逆变换。
（3）乘法：旋转四元数的乘法是非交换的，即q1q2 ≠ q2q1。
旋转四元数的乘法可以用于将两个旋转变换合成为一个旋转变换。
（4）逆元：旋转四元数的逆元定义为q-1 = q*/|q|2，即共轭除以模长的平方。
逆元用于表示旋转的逆变换。
二、旋转四元数的应用2.1 旋转变换旋转四元数可以用于表示三维空间中的旋转变换。
对于一个给定的旋转四元数q，可以通过与向量v的乘法操作，实现将向量v绕旋转轴q的旋转。
2.2 坐标系变换利用旋转四元数，我们可以方便地进行坐标系的变换。
假设有两个坐标系A和B，坐标系A与坐标系B之间存在一个旋转变换，我们可以通过旋转四元数来描述这个变换。
具体步骤如下：（1）定义旋转四元数q，表示坐标系A到坐标系B的旋转变换。
（2）将坐标系A的原点Oa表示为旋转四元数的形式，即Oa = 0 + i0 + j0 + k0。
（3）将坐标系A的一个单位向量Va表示为旋转四元数的形式，即Va = 0 + i1 + j0 + k0。
坐标系中的变换
坐标系中的变换
坐标系中的变换是指在二维或三维坐标系中，通过某些操作将原始坐标系中的点映射到新的坐标系中的点的过程。
常见的坐标系变换包括平移、旋转、缩放、镜像等操作。
其中平移是指将所有点都沿着某个方向移动一定的距离，旋转是指将所有点绕着某个点旋转一定的角度，缩放是指将所有点沿着某个方向缩放一定的比例，镜像是指将所有点沿着某个轴对称。
坐标系变换在计算机图形学中有着广泛的应用，如图像的旋转、缩放、平移等操作都是通过坐标系变换实现的。
在数学中，坐标系变换也是一个重要的概念，它被广泛应用于线性代数、微积分等领域。
需要注意的是，坐标系变换不仅可以应用于二维或三维坐标系，也可以应用于更高维度的坐标系。
此外，坐标系变换还可以通过矩阵运算来实现，这种方法更为高效和灵活。
- 1 -。
《旋转作图与坐标系中的旋转变换》PPT课件 人教版九年级数学上册
转后点D与点 B 重合.
设点E的对应点为点E'. 因为旋转后的图形与旋转前的
图形全等，所以∠ABE'=∠ADE=90°，BE'=DE.
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE'=DE，则
△ABE'为旋转后的图形.
A
D
A
D
E
E
B
C
E′ B
C
E点的对应点E′，还可以用其他方法确定吗？
方法一：由∠EAE′=90°，
知识点一 用旋转的知识作图
例 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意
一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
E
的关键是什么？
确定点E的对应点E' B
C
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是 点A .
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋
旋转180° 后的图形 如图所示.
A'
A
B
4. 如图，△ABC中，∠C=90°. （1）将△ABC绕点B逆时针旋转 B
90°，画出旋转后的三角形；
（2）若BC=3，AC=4，点A旋转后
的对应点为A，求A'A的长.
C
A
【教材P63习题23.1 第9题】
解：(1)△A'BC'即为所求.
(2)∵△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.
R·九年级上册
23.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图与 坐标系中的旋转变换
复习回顾
定义
在一个平面图形绕平面内某一点O转动 一个角度，叫做图形的旋转.
旋转作图与坐标系中的旋转变换(经典导学案)
《23.1.2旋转作图与坐标系中的旋转变换》一、学习目标1.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2.能通过图形的旋转设计图案.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第60页例题完成右边的学习内容1.教材第60页例题自学参考提纲：①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是.②根据正方形的性质：AD＝AB，∠OAB＝90°，所以点D的对应点是.③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法.作出△ADE的对应图形为..④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？（1）作一个图形旋转后的图形，关键是作出对应点，并按原图的顺序依次连接各对应点.（2）在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形.三．巩固诊断一、基础巩固（70分）1.(10分) 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A B C D2.(10分) 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3.(10分) 如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．4.(20分) 分别画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°和180°后的图形.5.(20分)把图中的△ABC 作下列旋转:（1）以C 为中心，把这个三角形顺时针旋转60°；（2）在△ABC 外任取一点O 为中心，把这个三角形顺时针旋转120°.二、综合应用（20分）6.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB 于点D ，则旋转角等于（ ）A.70°B.80°C.60°D.50°7.(10分)右图中的风车图案，可以由哪个基本的图形，经过什么样的旋转得到？ABCC三、拓展延伸（10分）8.(10分) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：。
坐标旋转公式
坐标旋转公式是一种重要的数学公式，它可以用来描述物体在空间坐标系内的旋转运动。
它可以帮助我们准确地表达空间中物体的旋转情况，并且可以用来计算物体的空间坐标位置。
坐标旋转公式的基本原理是，以原点为中心，以某条轴为轴心，沿着该轴旋转一定的
角度，然后将原来的坐标系的三个坐标轴向量旋转一定的角度，就可以表示物体在旋转后
坐标系下的新坐标位置。
坐标旋转公式的基本形式是三维旋转矩阵R，它表示一个由三个坐标轴组成的坐标系，经过旋转后，变换成另外一个坐标系，它的表达形式是：
R=cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
其中，θ表示旋转角度，R表示旋转矩阵，经过旋转后，三个坐标轴的坐标位置就发
生了变化。
坐标旋转公式是空间几何的基本概念，它可以用来表达物体在空间上的旋转运动，及
求解物体在空间中的坐标位置。
它的应用非常广泛，可以应用在机器人控制、空间探测、
机械设计等领域中。
图形在坐标系中的旋转
旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转 动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形变换 称为旋转。
中心对称的定义：
在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度, 得到另一个图形,那么,我们就说这两个图形关于这个 点成中心对称.
一、复习提问：
旋转的性质：
1、旋转不改变图形的大小和形状． 2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角
转对称图形，这个定点就是旋转中心．
中心对称图形定义： 如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对 称图形；这个点叫做它的对称中心.
二. 简单的旋转作图
例1 将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
点的旋转作法
图形的旋转的作图： 先画圆，再连结作角，最后截取.
B
例 2 教材习题变式题在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐 标是 A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段 DE 的端点坐标是 D(7， －1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段 AC，使其与线段 ED 重合； (2)将△ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转，使 AC 的对应边为 DE， 请直接写出点 B 的对应点 F 的坐标； (3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC 同时绕坐标原点 O 逆时针 旋转 90°，画出旋转后的图形．
；绕着原点逆时针旋转360°，则点A的对应点A4的坐
标是(_－__2_，__1____)．
应用巩固 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
2．已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以
O为中心，把△EFO旋转180°，则点E的对应点
E′的坐标为(____4_，__－___2___)．
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1. (2011 甘肃省天水市) 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD 顶点都在格点上，其中，点A 的坐标为（1，1）.
（1）若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 到达点1B ，点C 到达点1C ，点D 到达点1D ，求点111,,B C D 的坐标；
（2）若线段1AC 的长度．．与点1D 的横坐标．．．的差．
恰好是一元二次方程210x ax ++=的一个根，
求a 的值.
答案：解：（1）由已知111(21)(40)(32)B C D -，
，，，，
（2）由勾股定理得：AC =
则3)是方程2
10x ax ++=的一根，
设另一根为0x ，则0x 3)=1.
03x ==
3)3)]a ∴=-+=-
另解：2
3)3)10a a ++==，
20110905104308812749 4 坐标系中的旋转变换 复合题 解决问题 2011-09-05
2. (2011 黑龙江省牡丹江市) AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，60AOB =∠，
12AO AC ==，，
AOBC O 把绕点逆时针旋转，使点A 落在y 轴上，则旋转后点C 的对应点C ′的坐标为_____________.
答案：3,2)(3,2)--或
20110824144100171200 4 坐标系中的旋转变换 填空题 数学思考 2011-08-24
3. (2011 宁夏回族自治区) 如图，ABO △的顶点坐标分别为()()()142100A B O ，、，、，，如果将ABO △绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到A B O △′′，那么点A ′、B ′的对应点的坐标是（ ）
A ． ()()4211A
B --′，、′， Ｂ．()()4112A B --′，、′，
Ｃ．()()4111A B --′，、′， Ｄ．()()
4212A B --′，、′，
答案：B
20110818094327187062 4 坐标系中的旋转变换 选择题 双基简单应用 2011-08-18
4. (2011 辽宁省本溪市) 菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O的坐标是
，．若把菱形(00)
，，点A在y轴的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是(33)
OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P 的坐标是_____________．
，
答案：(36)
20110817095913921537 4 坐标系中的旋转变换填空题解决问题2011-08-17。