小波和多尺度简介
小波函数与尺度函数的关系,框架,低频粗略部分和高频细节部分
小波函数与尺度函数的关系,框架,低频粗略部分和高频细节部分尺度函数可以用来生成小波函数，有的人称之为父小波函数尺度函数和小波函数分别是尺度空间（近似空间）和细节空间的基函数，两者通过双尺度方程联系以多尺度分析或者多分辨分析为例。
尺度函数一般是整个框架的生成元，它生成整个框架，也生成小波函数，另外，尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器，而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器！可以通过尺度函数来构造小波函数，这是构造小波函数的一种方法，两者通过双尺度方程相联系，但是，并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数，有的小波是没有对应的尺度函数的。
其实就我自己理解的话，框架就是一套对信号进行小波分解的方法，它就像一个固定的模式。
比如多分辨分析，它所构造的小波分析框架就是把信号分解成一个个互相不交叉的子频带，但所有的子频带的直和又是信号的频带，如果尺度函数选得好，各个子空间还可以是正交的（好像是这样）！尺度函数和小波函数构成j+1空间，也就是V空间中尺度函数的正交补，框架是比正交基更广的一个概念，打个比喻，一个平面直角坐标系，x、y轴就是坐标系的正交基，它们是相互垂直的，而框架则不一定垂直，例如夹角为120度的三个向量就构成了坐标系的一个框架。
正交基只是框架中的一个特例。
对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构造了信号的分解。
这里尺度函数可以由低通滤波器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。
这样的滤波器组就构成了分解的框架。
而同时我们可以看到，低通滤波器的尺度函数可以作为下一级的小波函数和尺度函数的母函数。
说明白些，其实尺度函数表征了信号的低频特征，小波函数才是真正逼近高频的基。
多尺度几何分析详解
多尺度几何分析详解一、从小波分析到多尺度几何分析小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。
遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。
这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。
换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。
比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。
由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。
二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。
在尺度j，小波支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。
因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。
基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。
Matlab中的小波分析与多尺度处理方法
Matlab中的小波分析与多尺度处理方法一、引言Matlab是一款非常强大的数学软件，它提供了丰富的工具和函数库，方便用户进行各种数学分析和数据处理。
在Matlab中，小波分析和多尺度处理方法被广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别等领域。
本文将介绍Matlab中的小波分析与多尺度处理方法的基本原理和应用。
二、小波分析的原理小波分析是一种基于函数变换的信号分析方法。
其基本原理是将信号分解成一系列不同尺度和频率的小波基函数，然后利用小波基函数对信号进行分析和重构。
Matlab提供了丰富的小波函数和工具箱，方便用户进行小波分析。
在Matlab中，小波函数使用wavedec进行信号分解，使用waverec进行信号重构。
用户只需指定小波基函数和分解的尺度，就可以对信号进行小波分析。
小波分析可以用于信号压缩、噪声滤波、特征提取等多个方面的应用。
三、多尺度处理方法的应用多尺度处理是一种基于信号的不同尺度特征进行分析和处理的方法。
在Matlab 中，多尺度处理方法有多种应用，下面将介绍几个常见的应用。
1. 周期信号分析周期信号是指具有明显周期性的信号。
在Matlab中，可以利用多尺度处理方法对周期信号进行分析和处理。
用户可以选择不同的尺度和频率范围对周期信号进行分解，提取出不同尺度下的周期特征。
这种方法可以用于周期信号的频谱分析、频率特征提取等。
2. 图像处理图像处理是多尺度处理方法的典型应用之一。
在Matlab中，可以利用小波变换对图像进行多尺度分解和重构。
通过选择不同的小波基函数和尺度，可以提取图像的纹理、边缘等特征。
这种方法在图像去噪、图像压缩等领域有广泛的应用。
3. 信号压缩信号压缩是多尺度处理方法的重要应用之一。
在Matlab中，可以利用小波变换对信号进行分解，然后根据信号的特征选择保留重要信息的分量进行压缩。
这种方法可以有效地减小信号的数据量，提高信号传输效率。
四、小波分析与多尺度处理方法的案例研究为了更好地理解Matlab中小波分析与多尺度处理方法的应用，下面将以一个案例研究为例进行说明。
小波多尺度分析的原理与实现方法解析
小波多尺度分析的原理与实现方法解析小波多尺度分析是一种用于信号和图像处理的有效工具，它能够将信号或图像分解成不同尺度的频率成分，从而揭示出信号或图像的局部特征和结构。
本文将从原理和实现方法两个方面对小波多尺度分析进行解析。
一、原理解析小波多尺度分析的原理基于信号和图像的局部特征，它通过选择合适的小波函数进行分解和重构。
小波函数是一种具有局部性质的函数，它在时域和频域上都有紧凑的表示。
小波分析的核心思想是将信号或图像分解成不同尺度的频率成分，然后通过重构将这些成分合并起来，得到原始信号或图像。
具体来说，小波分析通过将信号或图像与一组小波函数进行卷积运算，得到一组小波系数。
这些小波系数表示了信号或图像在不同尺度上的频率成分。
在小波分解过程中，高频细节部分被分解到高尺度小波系数中，而低频整体部分则被分解到低尺度小波系数中。
通过调整小波函数的尺度和位置，可以得到不同尺度的频率成分，从而实现对信号或图像的多尺度分析。
二、实现方法解析小波多尺度分析的实现方法主要包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种。
离散小波变换是一种基于滤波器组的方法，它通过一系列的低通和高通滤波器对信号或图像进行分解和重构。
在分解过程中，信号或图像经过低通滤波器和高通滤波器，分别得到低频和高频部分。
然后，低频部分再次经过滤波器组进行分解，直到达到所需的尺度。
在重构过程中，通过将各个尺度的低频和高频部分经过逆滤波器组合并，得到原始信号或图像。
连续小波变换是一种基于积分变换的方法，它通过将信号或图像与一组连续的小波函数进行内积运算，得到一组连续的小波系数。
连续小波变换可以实现对信号或图像的连续尺度分析，但计算量较大。
为了减少计算量，可以采用小波包变换等方法进行近似处理。
除了离散小波变换和连续小波变换外，还有一些其他的小波变换方法，如快速小波变换、小波包变换、多尺度小波分解等。
这些方法在实际应用中根据需求的不同选择使用。
总结起来，小波多尺度分析是一种有效的信号和图像处理工具，它能够揭示出信号或图像的局部特征和结构。
小波变换的多尺度分析方法及实现步骤
小波变换的多尺度分析方法及实现步骤引言：小波变换是一种信号处理技术，它能够将信号分解成不同尺度的频率成分，从而实现对信号的多尺度分析。
本文将介绍小波变换的基本原理、多尺度分析方法以及实现步骤。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时间和频率的联合变换方法，它将信号分解成一系列的小波函数。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
小波变换的基本原理是通过将信号与小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频率成分。
小波函数是一种具有局部化特征的函数，它在时域和频域上都有一定的局部性。
二、多尺度分析方法小波变换的多尺度分析方法主要包括连续小波变换和离散小波变换两种。
1. 连续小波变换（CWT）连续小波变换是将信号与连续小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频率成分。
连续小波变换具有较好的时频分辨率，但计算量较大。
2. 离散小波变换（DWT）离散小波变换是将信号进行离散化处理后，与离散小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频率成分。
离散小波变换具有较好的计算效率，适用于实际应用中的信号处理。
三、实现步骤小波变换的实现步骤主要包括信号预处理、小波函数选择、小波变换计算和结果分析等。
1. 信号预处理在进行小波变换之前，需要对信号进行预处理，包括去除噪声、归一化处理等。
预处理的目的是提高小波变换的精度和稳定性。
2. 小波函数选择选择合适的小波函数对信号进行分析是小波变换的关键。
常用的小波函数有高斯小波、Morlet小波、Daubechies小波等。
选择小波函数时需要考虑信号的特性和分析的目的。
3. 小波变换计算根据选择的小波函数，对信号进行小波变换计算。
连续小波变换可以通过积分运算实现，离散小波变换可以通过快速小波变换算法实现。
4. 结果分析对小波变换的结果进行分析和解释。
可以通过频谱图、小波系数图等方式对信号的频率成分和时域特征进行分析。
结论：小波变换是一种有效的多尺度分析方法，能够在时频域上对信号进行精确的分析。
小波多尺度边缘检测
20 第二章 小波多尺度边缘检测§1 多尺度边缘检测的基本原理大多数多尺边缘检测器都是在不同的尺度平滑信号，然后由其一阶或二阶导数检测锐变点，所谓尺度实际上是计算信号变化的范围。
平滑函数)(x θ：其积分等于1，且当±∞→x 时速降至零，例如高斯函数，平滑函数)(x θ的一阶、二阶导数分别为22)()(,)()(dx x d x dx x d x b aθψθψ== (2·1) 显然，)(ˆ)(ˆωθωωψj a =,)(ˆ)()(ˆ2ωθωωψj b =，由于1)0(ˆ=θ故)0(ˆa ϕ和)0(ˆb ϕ均为零，从而)(ˆx a ψ和)(ˆx b ψ都是满足允许条件的小波。
在本章以后的讨论中，)(x s ξ表示将)(x ξ按尺度s 伸缩的同时保持面积不变，即)(1)(sx s x s ξξ∆ (2·2)将小波变换定义为信号)(x f 与)(x a s ψ和)(x b s ψ的卷积积分，即 ⎰∞∞--=*=ττψτψd s x f s x f x f w a a s a s )()(1)()( (2·3) ⎰∞∞--=*=ττψτψd sx f s x f x f w b b s b s )()(1)()( (2·4) 由此可以导出如下重要结论)()()(s s a s f dx d s dx d sf x f w θθ*=*= (2·5) )()()(222222s s bs f dxd s dx d s f x f w θθ*=*= (2·6) 由上列两式可以看到，边缘检测可以通过小波变换来实现，边缘实际上是一阶导数的极值点,即二阶导数的过零点，也就是说，我们可以通过寻找)(x f w a s 的极值点或)(x f w b s 的过零点来确定边缘的位置，但是，下面我们将会看到，通过分析)(x f w a s 的极大值和尺度s 的关系，进而确定边缘的性质，故寻找一阶导数的极值点较寻找二阶导数过零点的方法会获得更多关于边缘的信息。
多尺度小波分解
多尺度小波分解多尺度小波分解是一种分析信号及图像的方法，它可以将信号分解成多个尺度上的频率分量，并且保留原始信号的细节和整体特征。
这种方法在信号处理、图像处理、数据压缩等领域得到了广泛应用。
下面详细介绍多尺度小波分解的原理、方法和应用。
一、多尺度小波分解的原理多尺度小波分解基于小波变换和尺度变换的组合。
小波变换通过对信号进行多级高通和低通滤波，将信号分解成一系列子带信号。
尺度变换则将信号缩小或放大，从而实现信号在不同尺度上的分析。
通过将小波变换和尺度变换组合使用，可以得到多尺度小波分解的结果，即将信号分解成多个尺度上的频率分量。
多尺度小波分解的优点在于它可以同时分析信号的时域和频域特性。
通过不同的小波基函数，可以对信号的不同特性进行分析，比如对于具有瞬时变化的信号，可以使用高斯小波进行分析，而对于具有节拍特征的信号，则可以使用Mexican hat小波进行分析。
二、多尺度小波分解的方法多尺度小波分解的具体方法包括以下几个步骤：1. 对原始信号进行小波变换，得到其一级高通和低通分量。
2. 对低通分量进行进一步的小波变换，得到其二级高通和低通分量。
3. 将低通分量缩小至原始信号的一半大小，得到新的尺度，称为一级尺度。
4. 对二级低通分量进行进一步的小波变换，得到其三级高通和低通分量。
5. 将二级低通分量缩小至一级低通分量的一半大小，得到二级尺度。
6. 重复以上步骤，得到更多的尺度和频率分量。
多尺度小波分解的结果就是各个尺度上的频率分量和细节分量。
其中，高尺度分量反映了信号的高频信息，低尺度分量反映了信号的低频信息。
三、多尺度小波分解的应用多尺度小波分解在信号处理、图像处理和数据压缩等领域得到了广泛应用。
在信号处理中，多尺度小波分解常常用于信号去噪、特征提取和信号分类等任务。
在图像处理中，多尺度小波分解被广泛用于图像压缩、边缘检测、纹理分析等方面。
此外，多尺度小波分解还可以用于数据的多尺度表示和多尺度分析。
小波分析的基本理论
Pj f(x)=c j,k j,k(x), Qj f(x)=d j,k j,k(x), Then we have S. Mallat’s algorithm as follows:
MRA的思想来自于计算机视觉理论。从机器视觉的角度而 言，单纯从灰度信息理解一幅图象中的物体是很困难的，更 重要的是图象中灰度的局部变化。为了能够较好地理解一个 物体，刻划这种局部变化的尺度应该与物体的大小适配。然 而在一般的图象中，需要理解的各种结构拥有不同的大小， 因此不可能预先定义一个最佳的分辨率来描述它们。
又定义其时 --- 频窗半径为： g:||g 1|2 | (R (tt*)2|g(t)|2d)1 t2
g ˆ:||g ˆ1 |2 |(R (*)2|g ˆ()|2d)12
则其时 --- 频窗大小为：[t*g,t*g][*gˆ,*gˆ]
图 时-频盒（Heisenberg长方形）
只要适当地选择窗口函数，就可以通过信号的加窗 Fourier变换获得在2 g 时间区域内的信息；另一方面， 一旦窗口函数取定，其窗口大小也随之确定，其时 --频窗的大小和形状都就一定了，时间、频率分辨率也 随之确定。
变换为： 其Fourier逆变换为：
fˆ() f(x)eixdx
R
f(x) 1 fˆ()eixd
2 R
(3) （4）
式中 称为频率。实际应用中的信号都是时间的函数，因此，
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在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。
传统的信号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。
例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函数有效地表示。
在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里，但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。
所以，人们希望寻找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。
在图像和视频处理方面，常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦变换、小波变换等。
离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。
小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。
因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻变革。
最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。
新的信号表示理论的基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。
从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。
从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。
利用贪婪算法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。
从基函数的形成来讲，在图像表示方面体现为多尺度几何分析，无论是曲波(curvelets)、带波(bandlets)，还是仿形波(coutourlets)，都要求基函数应具备下述特点：(i)多分辨率分析，(ii)时频定位能力，(iii)全角度分析(方向性)，(iv)各向异性的尺度变换。
这些新的冗余函数系统的不断涌现，使信号稀疏表示的方法更加成为研究的热点。
超完备信号稀疏表示方法肇始于20世纪90年代。
1993年Mallat和Zhang首次提出了应用超完备冗余字典对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(marching pursuit, MP)算法。
在这篇文献中，作者用自然语言表述浅显的类比，说明超完备冗余字典对信号表示的必要性，同时强调字典的构成应较好地复合信号本身所固有的特性，以实现MP算法的自适应分解。
新思想的提出引起人们极大的关注，但由于算法所涉及的计算量十分繁重，因而早期研究的焦点集中在如何实现算法的快速计算，降低算法的复杂度，以及选择何种类型原子构造合适的字典两方面。
这期间，许多音视频信号处理方面的实验都对MP算法作出了有利的支持，尤其在甚低码率视频编码方面，MP算法更显示出极大的优越性.1999年Donoho等人又另辟蹊径，提出了基追踪(basis pursuit, BP)算法，并从实验的角度举证了MP,MOF,和BOB算法各自的优劣。
稍后，又在2001年发表的另一篇重要文章中，给出了基于BP算法的稀疏表示具有唯一解的边界条件，并提出了字典的互不相干性的概念。
注：摘自《基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解》自1807年Fourier 提出任意一个周期为2π的函数都可以表示成一系列三角函数的代数和，到今天蓬勃发展的小波分析，科学家们的研究目的是对不同的函数空间提供一种直接、简便的分析方式，即寻求函数在某一特定空间下，在某种基下的最优逼近。
逼近的误差体现了用此基表示函数的稀疏程度或是分解系数的能量集中程度。
Fourier分析的思想是将函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，即将函数用一簇三角基展开，将原函数在时域中的讨论转换为对这个叠加权系数的讨论，即Fourier 变换在频域中的研究。
这种三角体系展开方式的局限性促使人们去寻找其他的正交体系——小波分析。
小波分析的地位在数学界是独一无二的，它较精确的时频定位特性，成为处理非平稳信号的有利工具；也证明了小波分析比Fourier 分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界变差函数。
这是小波分析成功的一个关键原因。
但是，由于张量积小波只具有有限方向数，它主要适合表示一维奇异性的对象，当它在处理二维或更高维奇异性时，就显得无能为力。
小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法。
为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的稀疏表示方法——多尺度几何分析应运而生。
它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。
它的目的就是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到最优或最稀疏的表示方法。
目前，已有的多尺度几何分析方法有Emmanuel J Candès等人提出的脊波变换(ridgelet transform)、单尺度脊波变换(monoscale ridgelet transform)、curvelet变换(curvelet transform)，E. Le Pennec等人提出的bandelet变换，以及M.N.Do 等人提出的contourlet变换。
另外，还有一些多尺度分析方法，如David Donoho 提出的wedgelet、beamlet等。
本文根据以上方法出现的时间顺序来讨论其逼近性能的异同。
在图像处理方面，图像的稀疏表示在对图像数据的存储、传输中得到了广泛的应用。
由于余弦基和小波基能够用较少的系数达到图像较精确的非线性逼近，成为图像稀疏表示的重要方法。
如今，多尺度几何分析的出现，又为图像的稀疏表示提供了一个全新而又有效的方法。
1奇异性分析本文称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。
若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性。
图像的奇异性或非正则结构通常包含了图像的本质信息。
例如图像亮度的不连续性表示景物中的边缘部分，这是认识图中最重要的部分。
图像的奇异性是常见的，也是重要的。
在自然界中光滑物体的边界往往体现为沿光滑曲线的奇异性，并不仅是点的奇异性。
在数学上，通常用Lipschitz指数刻画信号的奇异性大小[8]。
3多尺度几何分析3．1脊波变换脊波理论的基本框架是由E.J Candès 建立，并与D.L.Donoho等人在其后续工作中[12]逐步拓展和完善。
脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法，对含直线奇异的多变量函数能够达到最优的逼近阶。
脊波理论的提出在多尺度几何分析史上产生了深远的影响，具有不可估量的价值。
脊波变换的核心主要是经过radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性。
小波变换能有效地处理在radon域的点状奇异性。
其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的，所以它不但与小波一样有局部时频分析的能力，还具有很强的方向选择和辨识能力，可以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。
这是小波方法所不能得到的。
3．1．2数字脊波的实现在实际应用中，脊波变换的离散化及其算法实现是一个具有挑战性的问题。
由于脊波的径向性质，对连续公式直接离散实现时要在极坐标中进行插值。
这样的变换结果或者是冗余的，或者不能完全重构。
脊波变换数字实现的优劣很大程度上取决于其中radon变换数字实现的重构精度。
为此，人们提出了各种各样的方法，大体上可分为在Fourier域利用投影切片定理的方法[13~15]、多尺度方法[16,17]和代数方法[18]三类。
近似脊波变换建立在所谓的伪极坐标网格基础上。
首先对n×n的离散点列作二维FFT，并对得到的包含n×n个点的频域点列作径向划分；然后估计各个径向直线方向上n个数据点的值。
在每个径向方向都有n个节点，再对这n个点列作一维IFFT，从而得到对应于图像域的2n 2个点列，对这些点列作均匀化插值和重组就得到一次radon变换的结果。
根据图1即可实现脊波变换[19]。
但其有两点不足：在实现频率平面中直角坐标向极坐标变换的过程中引入误差是明显的；它具有总数为四倍的数据冗余性。
因此这种脊波变换不适合图像编码压缩。
M.N.Donoho等人[20]提出另一种数字脊波实现方法，称为有限脊波变换(FRIT)。
首先用有限radon变换将一幅图像变换到FRAT域中，再对每一个投影序列进行离散小波变换(DWT),r k[0],r k,…,r k[p-1]。
其中方向k是固定的。
这种方法可以同时做到可逆性与非冗余性，并且是完全重构的。
但由于有限脊波变换是基于有限radon变换构造的，有限radon变换在表达直线时有折叠效应，有限脊波变换在几何上不是真实的。
Donoho和Flesia[21]为了克服有限脊波变换的折叠效应，构造了一种数字脊波变换。
它能用真实的脊函数进行分解和合成，并且具有精确重构和框架性质。
这种脊波变换采用的radon变换，称做fast slant stack[13]。
首先进行fast slant stack运算，然后进行二维快速小波变换。
这种构造使得离散物体(离散脊波、离散radon变换、离散伪极坐标Fourier域)具有与连续脊波理论平行的内在联系(脊波、radon变换、极坐标Fourier域)。
Donoho构造的脊波变换在几何上是真实的，即在此处radon变换的确是沿直线积分的，从而避免了折叠效应。
在创建系数矩阵时，它将一个n×n的矩阵变换为2n×2n的矩阵，因此冗余因子为4。
这在一定程度上影响了运算速度。
这种脊波变换在实现上的缺点是正交脊波系数衰减速度相对较慢。
3．1．3脊波逼近能力定理4设f是C r的函数，沿某一直线是不连续的，除此之外均为r阶连续。
从脊波级数中选取对应于前M个最大系数的项，对f所作的非线性逼近误差为即逼近误差显示似乎不存在间断，这个结果对任意r阶光滑都是成立的。
该方法的显著特点是无须知道间断的位置。
类似地，一维小波变换也无须先验地知道点奇异的位置。
因而对于具有直线奇异的函数，脊波的表示是最优的。
3．1．4小结与展望从上面的分析可知，脊波在分析直线奇异的分段光滑的高维函数方面是优秀的[36]，脊波已经成功应用于数学中的函数逼近、信号检测、特征提取、目标识别，以及图像恢复、去噪、增强等方面。
在脊波分析的框架下，结合二进小波变换的局部脊波变换，用于检测直线的方法，应用于方向性较强的图像获得了良好的检测效果。
但是必须看到，对于自然物体而言，奇异的边界是曲线的，经过radon 变换后仍然为曲线，而小波对曲线不具备稀疏表示的能力。