圆锥曲线中的热点问题提高篇
圆锥曲线压轴难题及解答
圆锥曲线提高题20)?(p2y?px2)(0,A BFBFA到该抛物.，点．设抛物线若线段在抛物线上，则的中点的焦点为1 。
线准线的距离为_____________21，2到抛物线的值为B，pB点坐标为（）所以点解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出432，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题准线的距离为42FB3AF?x4y?的中点到准线的距离为AB上的两点A、2．已知以F为焦点的抛物线B满足,则弦___________.由抛物线的定义知解析：设BF=m,ABC?? AC=2m,AB=4m,中，3?k AB y?3(x?1)直线AB方程为23x?10x?3?0 y得与抛物线方程联立消x?x5821?1??1?AB中点到准线距离为所以23322xm2?1?yC:l:?0x?my?FF C，直线1，椭圆的左、右焦点. 3 .已知m，＞分别为椭圆21,2m2ll F的方程；时，求直线过右焦点（Ⅰ）当直线2Cl A,B V AFF V BFF的重（Ⅱ）设直线，与椭圆两点，交于2211OGH mH,G的在以线段.若原点心分别为为直径的圆内，求实数取值范围.解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
22mm222?myx??m0?1?1,0)mF(?:l?2m，,所以得（Ⅰ）解：因为直线，经过222m?21m?，，所以又因为22的方程为故直线l0??x?2y。
2)x,y,y),B(A(x。
（Ⅱ）解：设22112?mx??my??2x得由，消去?2x?21??y?2m?2m2208?mm?8(???1)???由则知，428m?，21mm??yy,yy???。
且有2121282,0),(cc,0),F(F?由于，21O FF为的中点，故21HO2?GO,BHAG?2由，yxxy1112),),hG((,,可知3333y?xyx?2121)M(,GHM是，的中点，则设66,?MOGH2由题意可知22)y(y(?yx?x)?xx?y2222112211??4[()?()]即96960y?xx?y即211222mmy))((my?my??y?xy?xy而222121112221m0??所以2824m?即0??m1?又因为且2m1??。
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
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解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±bax.因为 D，E 分别为直线 x＝a 与双曲 线 C 的两渐近线的交点，所以不妨设 D(a，b)，E(a，－b)，所以 S△ODE＝12×a×|DE| ＝12×a×2b＝ab＝8，则 c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当 a＝b＝2 2时等号成立， ∴c≥4.故曲线 C 的焦距 2c 的最小值为 8. 答案 B
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4.圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤：
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式 (组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)下结论.
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热点一 圆锥曲线中的最值、范围问题 角度 1 求线段长度、三角形面积的最值 【例 1】 已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积
为－12.记 M 的轨迹为曲线 C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线. (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连 接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值.
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(1)解 由题设得x＋y 2·x－y 2＝－12，化简得x42＋y22＝1(|x|≠2)，所以 C 为中心在坐标原
(2)证明 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t). 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n， 由题意可知－3<n<3. 易知直线 PA 的方程为 y＝线 PB 的方程为 y＝3t (x－3)，所以 y2＝3t (x2－3).
高考数学(深化复习+命题热点提分)专题17 圆锥曲线中的热点问题 理
专题17 圆锥曲线中的热点问题1．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意知m >0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e ＝m ＋2＋nm ＋2＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案：A2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而k 2PA ＝y 0x 0－2，k 1PA ＝y 0x 0＋2，所以k 2PA ·k 1PA ＝y 20x 20－4＝－34.又k 2PA ∈[－2，－1]，所以k 1PA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为( ) A ．22p B.2p C ．22p 2D.2p 24．若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3解析：依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2a 2－y 2b 2＝1消去y ，得x 2a 2－x －2b 2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解，注意到当b 2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1(b 2＝9－a 2>0且a 2≠b 2)，由此解得0<a 2≤5且a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是355，选B.答案：B5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)解析：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt△AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ⇒b 2<a2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B. 答案：B6．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3)D ．(0,4]答案：B7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而由题意|PF 1|＝2|PF 2|，故|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .又|F 1F 2|＝2c ，由三角不等式有6a ≥2c .又由定义有c >a ，故离心率e ＝c a∈(1,3]． 答案：(1,3]8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．9．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线为MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：过A ，B 分别向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，如图，根据递形中位线性质知|MN |＝a ＋b2.在△AFB 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b24.所以|AB |≥a ＋b2，∴|MN ||AB |≤1. 答案：110．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 2·12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>063＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.11．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，D 、E 分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S △DEF 2＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．(2)∵直线l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， ∴直线l 的斜率必存在且为负． 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k <0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，①根据题意可得方程①只有一实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理得：m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0，(0，m )且k <0，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m2－k ，③将②代入③可得：S ＝－2k ＋1－2k≥2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝－12时取等号， ∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.12．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为：y －3＝k (x －2)， 联立⎩⎨⎧y －3＝k x －x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8kk －31＋4k2. 同理可得：x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k2＝8k k ＋31＋4k2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a ＝32，∴bc＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8kk －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2， Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.∵OP →2＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .14.如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点A (2,1)作斜率分别为k 1、k 2的直线，分别交抛物线E 于B 、C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程； (2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点． 解析：(1)设抛物线E 的标准方程为x 2＝ay ，a >0， 将A (2,1)代入得，a ＝4.所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1.15.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4.(1)求t ，p 的值；(2)设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；②过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 解析：(1)由已知得3＋p2＝4⇒p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 代入可解得t ＝±2 3.②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1| ＝1＋m 2·16m 2＋80， 同理得|CD |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 2－y 1|＝1＋1m 2·16m2＋80，则四边形ACBD 面积S ＝12|AB |·|CD |＝121＋m 2·16m 2＋80·1＋1m 2·16m2＋80＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝85μ2＋36μ＋52是关于μ的增函数，故S min ＝96，当且仅当m ＝±1时取到最小值96.。
圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
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1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
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圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变 化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与 变量无关.
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类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
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代入椭圆方程整理得 λ2(x21＋3y21)＋μ2(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x21＋3y21＝3b2，x22＋3y22＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝32c2－92c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故 λ2＋μ2 为定值.
索引
又∵O→N∥a，∴13＝ba22，∴a2＝3b2， 故椭圆方程为 x2＋3y2＝3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y＝x－c. 联立yx＝2＋x3－y2c＝，3b2， 得 4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∴x1＋x2＝32c，x1x2＝3c2－4 3b2＝38c2. 设 M(x，y)，则由O→M＝λO→A＋μO→B可得xy＝＝λλyx11＋＋μμyx22，，
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
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1.(2018·浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆x42＋y2＝m(m>1)上两点 A，B 满足A→P＝2P→B，则当 m ＝________时，点 B 横坐标的绝对值最大.
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(1)求曲线E的方程； (2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最 大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由. 解 (1)设点 P(x，y)，由题意，可得 （x－|x－1）2| 2＋y2＝ 22，得x22＋y2＝1. ∴曲线 E 的方程是x22＋y2＝1.
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(1)解 由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由a12＋b12>a12＋43b2知，椭 圆 C 不经过点 P1， 所以点P2在椭圆C上. 因此ab1122＝ ＋143， b2＝1，解得ab22＝ ＝41， . 故 C 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴. 设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，
k1＋k2＝yAm－1＋－ymA－1＝－m2＝－1，得 m＝2， 此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足. 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1). 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
数学高考二轮专题16 圆锥曲线中的热点问题(解析版)
专题16 圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题 例1、（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题 例2、（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(1，32)，离心率为32，过椭圆右顶点的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)直线MN 是否过定点D ？若过，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．设直线AN 的斜率为k′，则kk′＝－14，即k′＝－14k ，把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 24k 2＋1，4k 4k 2＋1.当M ，N 的横坐标不相等，即k≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝2k1－4k 2（x －2－8k 24k 2＋1），即y ＝2k1－4k 2x ，该直线恒过定点（0，0）. 当k ＝±12时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.方法二：当直线MN 的斜率存在时，设MN ：y ＝kx ＋m ， 代入椭圆方程得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.设右顶点为A （2，0），根据已知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14，即4y 1y 2＋（x 1－2）（x 2－2）＝0，即（1＋4k 2）x 1x 2＋（4km －2）（x 1＋x 2）＋4m 2＋4＝0， 所以（1＋4k 2）·4m 2－41＋4k 2＋（4km －2）（－8km1＋4k 2）＋4m 2＋4＝0， 即（4km －2）（－8km ）＋8m 2（1＋4k 2）＝0，即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k. 当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D （0，0）.由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴的两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点（2，0），这是不可能的.当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为一12，12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.【命题热点突破三】向量、圆锥曲线性质、点线距与基本不等式问题 例4、已知抛物线y 2＝42x 的焦点为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 2，且椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点F 1的直线l 与椭圆交于C ，D(异于A ，B)两点．(1)求椭圆的标准方程．(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上的两动点，且满足x 1x 2＋2y 1y 2＝0，动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →(其中O 为坐标原点)，是否存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．【解析】：（1）由题设知，因为抛物线y 2＝4 2x 的焦点为（2，0）， 所以椭圆中的c ＝2，又由椭圆的长轴长为4，得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.（2）易知A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0）， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－2，此时S 四边形ADBC ＝4.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k （x ＋2）（其中k≠0），即x ＝1k y －2，代入椭圆方程得（2k 2＋1）y 2－2 2ky －2k 2＝0，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2k 2k 2＋1，y 3y 4＝－2k 22k 2＋1.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2k 2k 2＋1）2＋4×2k 22k 2＋1＝8 k 4＋k 22k 2＋1＝81k 2＋1＋11k 2＋1<4. 综上所述，四边形ADBC 的面积的最大值为4.（3）设P （x ，y ），因为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →＝OM →＋2ON →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.①因为M ，N 是椭圆上的点，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 由①及x 1x 2＋2y 1y 2＝0可得x 2＋2y 2＝（x 1＋2x 2）2＋2（y 1＋2y 2）2＝（x 21＋2y 21）＋4（x 22＋2y 22）＝20， 所以x 2＋2y 2＝20，即x 220＋y 210＝1，即为点P 的轨迹方程，由椭圆的定义可得，存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|＝4 5.【高考题型解读】 1.（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++u u u r .由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 2.（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ++II ）202e <≤．【解析】（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（Ⅰ）知，2211121a k k AP +=2222221a k k AQ +=，22221122122121a k k a k k ++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为0e <≤．3.已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；【答案】（1）2214x y +=； 【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . 4.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）； 【解析】（I ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.5.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。
高考压轴题之——圆锥曲线热点问题
圆锥曲线的综合问题「考情研析」 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题． 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值．2．范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”．不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等．3．定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．4．定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．5．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．热点考向探究考向1 最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1，2)在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR 分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的．(2019·湘赣十四校高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点为F 1，点A 是椭圆C 上位于x 轴上方的一个动点，当直线AF 1的斜率为1时，|AF 1|＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AF 1与椭圆C 的另外一个交点为B ，点A 关于x 轴的对称点为A ′，求△F 1A ′B 面积的最大值．角度2 范围问题例2 (2019·广东高三联考)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－23)，(－2,0)，(4，－4)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22.(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)过点M (0,2)的直线l 与椭圆C 1交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 2为椭圆C 的右顶点，点M 为线段P A 2的中点，且直线P A 2与直线OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，求线段AB 长的取值范围．考向2 定点与定值问题 角度1 定点问题例3 动点P 在圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝16上运动，定点F (1,0)，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q .(1)求Q 的轨迹T 的方程；(2)过点F 的直线l 1，l 2分别交轨迹T 于A ，B 两点和C ，D 两点，且l 1⊥l 2.证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2019·白银市靖远县高三联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线AF 2的距离为22，△AF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．角度2 定值问题例4 (2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点A (2，2)在椭圆上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求出该定值．定值问题的两种解法(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，直线x ＝my ＋3与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝6，其中O 为坐标原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 的坐标为(－3,0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值．考向3 探索性问题例5 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)线段AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2019·南通市高三阶段测试)已知A (－2,0)，B (2,0)，点C ，D 依次满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．(1)求点D 的轨迹；(2)过点A 作直线l 交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线P A ，PB 都相切，若存在，求出P 点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．真题押题『真题模拟』1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．2．(2019·天津市高三4月联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于G ，H 两点，|GH |＝3，△F 1GH 的周长为8.过A 点作直线l 交椭圆于第一象限的M 点，直线MF 2交椭圆于另一点N ，直线NB 与直线l 交于点P .(1)求椭圆的标准方程；(2)若△AMN 的面积为1827，求直线MN 的方程； (3)证明：点P 在定直线上．3．(2019·江西省八所重点中学高三4月联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为其左、右焦点，B 1，B 2为其上、下顶点，四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2.(1)求椭圆E 的长轴A 1A 2的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E ，设过定点M (－2,0)的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，若MP →＝λMQ →，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12时，求△OPQ 面积S 的取值范围．4．(2019·玉溪市第一中学高三下学期第五次调研)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，准线方程为y ＋2＝0，直线l 过定点T (0，t )(t >0)，且与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)OA →·OB →是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当t ＝1时，设AT →＝λTB →，记|AB |＝f (λ)，求f (λ)的最小值及取最小值时对应的λ.『金版押题』5．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，直线l 2：x ＋5ay ＋5a ＝0，直线l 1与l 2的交点为M ，点M 的轨迹为曲线C .(1)当a 变化时，求曲线C 的方程；(2)已知点D (2,0)，过点E (－2,0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值．6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)与直线x －2y ＋4＝0相切． (1)求该抛物线的方程；(2)在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值．如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．配套作业1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线x＝4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2＋(y－1)2＝1相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM面积之积的最小值．2．(2019·福建省高三3月质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且点P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离，记点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)如图，过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y 轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的4倍．3．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)已知A(0，2)，B(3，1)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3,0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．4．(2019·郴州市高三第二次教学质量监测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若以A，B为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝16，求抛物线C的标准方程；(2)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上．5．已知动圆C与圆x2＋y2＋2x＝0外切，与圆x2＋y2－2x－24＝0内切．(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点P(0,2)且斜率为k(k≠0)的直线l与(1)中的轨迹交于不同的两点M，N，试判断在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由．6．已知椭圆C的中心在原点，它的焦距为方程2x2－3x－20＝0的一个根，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2，m)在椭圆C上，且P关于x轴的对称点为Q，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．7．(2019·闽粤赣三省十校联考)已知动点P到点F(0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离少2.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过点F的两直线l1，l2分别与轨迹E交于A，B两点和C，D两点，且满足AB →·CD →＝0，设M ，N 两点分别是线段AB ，CD 的中点，问直线MN 是否恒过一定点，若经过，求定点的坐标；若不经过，请说明理由．8．(2019·门头沟区高三年级综合练习)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，过F 1的直线与此椭圆相交于D ，E 两点，且△F 2DE 的周长为8，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (0,1)与点Q (0,2)，过P 的动直线l (不与x 轴平行)与椭圆相交于A ，B 两点，点B 1是点B 关于y 轴的对称点．求证：①Q ，A ，B 1三点共线； ②|QA ||QB |＝|P A ||PB |.解析几何类解答题(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1四个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． 解题思路 (1)由梯形的高得出椭圆的基本量b 的值，由梯形的面积得出a ＋c ，利用a 2－c 2＝b 2求出a ，c ，写出椭圆的方程；(2)先依题判断过点F 1的直线AB 的斜率不为0，设出直线的方程，将直线方程代入椭圆方程，消去x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即可得到y 1＋y 2和y 1y 2，将△F 2AB 的面积表示为S △F 2AB ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|，构造函数，利用函数的单调性即可求最大值．解 (1)由条件，得b ＝3，且2a ＋2c2×3＝33， ∴a ＋c ＝3.(2分)又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1.(4分) ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(5分) (2)显然，直线AB 的斜率不能为0，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，(6分) ∴Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)>0，y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，(8分)∴S △F 2AB ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2| ＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1).(10分)令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t (t ≥1)，易知函数f (t )在[1，＋∞)上单调递增， ∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )min ＝109，此时S △F 2AB 取得最大值为3.(12分)1．由梯形的面积得到a 与c 的关系给2分． 2．由a 2－c 2＝b 2得到a 与c 的值给2分． 3．正确写出椭圆方程给1分．4．联立方程消元得到一元二次方程给1分． 5．写出“Δ>0”和根与系数的关系给2分． 6．构建目标变量的函数关系给2分．7．通过求解函数的值域，确定面积的最值给2分．1．写全得分步骤，直线方程和曲线方程联立后，要写出Δ>0和根与系数的关系，这是解题过程中的得分点．2．写明得分关键，在求解函数的最值时，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件，不指明最值取得的条件扣1分．[跟踪训练](2019·福建省高三模拟)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，且它的焦距是短轴长的3倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 是椭圆C 上的两个动点(A ，B 两点不关于x 轴对称)，O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，问是否存在非零常数λ，使当k 1k 2＝λ时，△AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，所以3a 2＋14b 2＝1，(1分)又因为该椭圆的焦距是短轴长的3倍，所以c ＝3b ，从而a 2＝b 2＋c 2＝4b 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝4b 2，(2分)解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2)设存在这样的常数λ，使k 1k 2＝λ，△AOB 的面积S 为定值．(4分) 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，则由k 1k 2＝λ知y 1y 2－λx 1x 2＝0，(kx 1＋m )(kx 2＋m )－λx 1x 2＝0，所以(k 2－λ)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ①(5分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2， ②x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. ③(7分)点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k 2， △AOB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|m |2·|x 1－x 2| ＝2(4k 2＋1)m 2－m 44k 2＋1. ④(8分)将②③代入①得(k 2－λ)(4m 2－4)－8k 2m 2＋m 2(1＋4k 2)＝0， 化简得m 2＝4(k 2－λ)1－4λ， ⑤(10分)将⑤代入④得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22＝(4k 2＋1)·4(k 2－λ)(1－4λ)－16(k 2－λ)2(1－4λ)2(4k 2＋1)2＝－64λk 4＋(64λ2＋4)k 2－4λ16k 4＋8k 2＋1·1(1－4λ)2，(11分)要使上式为定值，只需－64λ16＝64λ2＋48＝－4λ1， 即需(4λ＋1)2＝0，从而λ＝－14，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22＝14，S ＝1，所以存在这样的常数λ＝－14，此时S △AOB ＝1.(12分)。
圆锥曲线高考热点
动中求静，变化之中研究不变关系
一、综述
解析几何的核心思想是坐标法思想，是用代数 方法研究几何问题，动中求静，变化之中研究 不变关系，成为解析几何的核心研究问题．对 江苏省近三年高考及各地模拟考试试题抽样调 查统计表明：定点定值问题约占50﹪ ．
x2 y2 例 1．已知椭圆 2 ＋m＝1 的右焦点 F，右准线为 l，且 m ＋m 直线 y＝x 与 l 相交于 A 点． （1）若⊙C 经过点 O（O 为坐标原点） 、F、A 三点，求⊙C 的方程； （2）当 m 变化时，求证：⊙C 经过除原点 O 外的另一个定 点 B； → •AB → ＜5 时，求椭圆离心率 e 的范围． （3）若AF
4k2－12k－3 3 －12k2－6k 所以点 E（ ， ＋ ） ． 2 4 k 2＋ 3 4k2＋3
点 F 坐标则是用－k 代替 k 就行了， 4k2＋12k－3 3 12k2＋6k 1 所以点 F（ ， ＋ ） ．所以 kEF＝ ． 2 2 4k2＋3 4k2＋3
说明：在研究定值（定点）问题时，也可以先把问题特殊化， 将定值（定点）求出来． （突出研究问题的方法：一般问题 特殊化，先找出定值． ）例如本题中，可以先令 F 为椭圆右 顶点，直线 AF 的斜率就可求出，从而，直线 AE 的方程就 确定， 进一步求出点 E 坐标． 就可以得出直线 EF 的斜率． 上 一题中先利用特殊化求出定点坐标，再证明三点共线．
x2 y2 3 例 3，已知椭圆 C： ＋ ＝1 上一点 A（1， ） ，E、F 是椭 4 3 2 圆 C 上的两个动点，若直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数，直线 EF 的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反 之，请说明理由．
解析 基本解题思路：先求出点E、F的坐标，再 研究直线3) (1－x)(1＋x) ，即 ＝ ． 4 12 4
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圆锥曲线中的热点问题【提高篇】〖考点整合〗命题角度1圆锥曲线中的最值、范围【例1】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.【训练1－1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.【训练1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 命题角度2圆锥曲线中的定值【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为23，斜率为12的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为－1 2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足OP⊥MN，问：1|MN|＋1|OP|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【训练2－1】已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【训练2－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 的面积S 为定值，并求该定值.命题角度3 圆锥曲线中的定点问题P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB→＝|PQ →|2. C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B坐标为(1，0))的最大值.【训练3－2】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点.命题角度4 圆锥曲线中的存在性问题【例4】设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF→为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点. ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直l 的方程；若不存在，请说明理由.F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA→＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.〖对接高考〗1.若双曲线x 2λ－y 21－λ＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B .(1，2) C .(1，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 2.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P A .210－5 B .210－4 C 3.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C 点.过F 2作C A. 5 B .2 4.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋_______时，点B 横坐标的绝对值最大. 5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.6.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.7.(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．8.(2019·全国Ⅱ卷)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值.9.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.10.(2019·北京卷)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；0的直线l交抛物线C于两点M，N，直．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y 轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．12.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.13.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.14.已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切.A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称， ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.16.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM→＝NQ→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中，过点C(2，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.18.如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上任一点(不与A，B重合).已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2－2，椭圆C的离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点B且垂直于x轴，延长AP交l于点N，以BN为直径的圆交BP于点M，求证：O，M，N三点共线.19. 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(－2，y0)是C上一点，且|MF|＝2.(1)求C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形P AQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.20. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线 PF 2斜率为 ()0k k ≠，且PF 2与椭圆C 的另外一个交点为Q ，是否存在点()0T t ，，使得|TP |=|TQ |，若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点AB 分别是椭圆C 的左右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆和圆上的动点（P ，Q 位于y 轴的两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：∠MQN 为定值.22.已知点P 32⎛⎫ ⎪⎝⎭1，-在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，椭圆C 的左焦点为(－1，0). (1)求椭圆C 的方程； ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且 若存在，请求出m 的值；若不存在，请说的离心率为32，且过点A (2，1).若P ，Q 是椭圆C 上的两轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，。