专题训练二次函数与几何图形小综合
题型五二次函数和几何图形综合题
目录题型五二次函数与几何图形综合题 (2)类型一与特殊三角形形状有关 (2)类型二与特殊四边形形状有关 (8)类型三与三角形相似有关 (19)类型四与图形面积函数关系式、最值有关 (24)类型五与线段、周长最值有关 (30)题型五二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关针对演练1. (’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.2. （’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（），顶点为N（），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C. （1）求抛物线解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.3. （’16原创）如图，抛物线y = -12x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.答案1. 解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴为112bx =-=-⨯， 解得b =2，∵抛物线过点C （0,3），∴c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；（2）由抛物线y =-x 2+2x +3，令y =0得，-x 2+2x +3=0， 解得x 1=-1,x 2=3，∴点A （-1,0），点B （3,0）， 当x =1时，y =-12+2+3=4,∴点D 的坐标为（1,4）.如解图，过D 作DM ⊥AB 于M ，则OM =1，DM =4， ∴S 四边形ABDC =S △AOC +S 四边形OMDC +S △BMD=12AO ·OC +12（OC +MD ）·OM +12BM ·DM =12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2 =9.（3）设点P 的坐标为（t ,0），则PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t )2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC 是等腰三角形，则有①PC 2=PB 2，即t 2+9=(3-t )2，解得t =0，此时点P 的坐标为（0,0）； ②PC 2=BC 2，则t 2+9=18，解得t =3（舍）或t =-3，此时点P 的坐标为（-3,0）；③PB 2=BC 2则(3-t )2=18，解得t =3+t =3-此时点P 的坐标为（3+）或（3-）.2. 解：（1）由抛物线的顶点为N （-1,），故设抛物线的顶点式为y =a (x +1)2，将点M （a ×(-2+1)2=3，解得a =3-,∴抛物线的解析式为y = -3 (x +1)2+3.即y =3-x 23-x（2）对于抛物线y =-2-y = 0,得2-x ， 解得x 1=1,x 2=-3，∴点A （1,0），点B （-3,0），令抛物线x =0,得y ，∴点C 的坐标为（）.∴AB 2=42=16,AC 2=12)2=4,BC 2=32)2=12, ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.(3)由抛物线顶点N （）知抛物线的对称轴为x =-1，设点Q 的坐标为（-1,t ），则BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t2=t 2-+4，BC 2=12. 要使△BQC 是直角三角形，(ⅰ) 当∠BQC ＝90°，则BQ 2+QC 2=BC 2, 即4+t 2+t 2-+4=12， 解得t 1,t 2Q 的坐标为（-1-1，2-2）；（ⅱ）当∠QBC ＝90°，则BQ 2+BC 2=QC 2，即4+t 2+12=t 2-+4，解得t=-Q 的坐标为（-1，-； （ⅲ）当∠BCQ = 90°时，则QC 2+BC 2=BQ 2，即t 2-+4+12=4+t 2，解得t=Q 的坐标为（-1, . 综上，当△QBC 是直角三角形时，点Q 坐标为（-1，2），（-1，± 3. 解：（1）∵点A （-1,0），C （0,2）在抛物线上，∴1022m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得322m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y =-12x 2+32x +2； （2）△ACD 是等腰三角形. 理由：∵抛物线y =-12x 2+32x +2的对称轴为直线x =32， ∴点D （32,0）， ∵A （-1,0），C （0,2），∴AC ，AD =1+32=52,CD 52=，∴AD =CD ≠AC ，∴△ACD 是等腰三角形； （3）令抛物线y =-12x 2+32x +2=0，得x 1=-1,x 2=4,∴点B 的坐标为（4,0），则BC = 取BC 的中点为S ，则点S 的坐标为（2,1）； 设点P （32,t ），则PS =12BC (2-32)2+(t -1)2=5，解得t 1t 2∴存在这样的点P ，其坐标为（32）或（32，.4. 解：（1）当y =0时，x 2-4x +3=0， ∴x 1=1，x 2=3， 即：A (1，0),B (3，0);（2） ①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x =2或顶点的横坐标都为2； （Ⅱ）都经过A (1，0),B (3，0)两点； ②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形. ∵y =kx 2-4kx +3k =k （x -2）2-k , ∴顶点P （2，-k ）.∵A (1，0)，B (3，0)，∴AB = 2，要使△ABP 为等边三角形，必满足|-k |=3，∴k =±3；③线段EF的长度不会发生变化.∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，∴kx2-4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2-4x+3=8,∴x1=-1，x2=5，∴EF =x2-x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.类型二与特殊四边形形状有关针对演练1. 抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴. （1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.2. 如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC =2BC，连接OA，OB，BD和AD.（1）若点A 的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求直线BD 的解析式；（3）是否存在b 、c 使得四边形AOBD 是矩形，若存在，直接写出b 与c 的关系式；若不存在，说明理由.3. 如图，已知直线y =43-x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 是线段AB的中点，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)过O 、A 两点，且其顶点的纵坐标为43-.(1)分别写出A 、B 、C 三点的坐标； (2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4. （’15毕节16分）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′.第4题图 （1）求抛物线的解析式;（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.5. (’15黄冈14分)如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA 所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.（1）求OE的长；（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP =DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.答案1. 解:（1）把A (0,2),B (3,2)代入y =x 2+bx +c ,得2932c b c =⎧⎨++=⎩，解得32b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2-3x +2, 当y =0时，x 2-3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)、(2,0). （2）存在.理由：∵A (0，2)，B (3，2)， ∴AB ∥x 轴，且AB =3,要使A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要CD =AB =3.①当C 点坐标为（1，0）时，D 坐标为（4，0）； ②当C 点坐标为（2，0）时，D 坐标为（5，0）.∴存在点D ，使以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，D 点的坐标为（4，0）或（5，0）.2. 解：（1）∵CA ∥x 轴，点A 的坐标为（-4,4）， ∴点C 的坐标为（0,4）， 将点A 与点C 代入y =-x 2+bx +c 得16444b c c --+=⎧⎨=⎩，解得44b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =-x 2-4x +4； （2）∵AC =2BC ，∴BC =2， ∴点B 的坐标为（2,4），由抛物线y =-x 2-4x +4得顶点D 的坐标为（-2,8）， 设直线BD 的解析式为y =kx +m ，则2824k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得16k m =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 的解析式为y =-x +6.（3）存在，b 与c 的关系式为b c .【解法提示】∵点C 的坐标为（0，c ），抛物线的对称轴为x =2b＜0，即b ＜0，AC ∥x 轴，∴点A 的坐标为（b ,c ），∵AC =2BC ，∴点B 的坐标为（-2b,c ）， 则AB 的中点坐标为（4b,c ）， 若四边形AOBD 是矩形， 则需①OD 的中点坐标为（4b,c ）；②OD =AB ， 由①得点D 的坐标为（4b,2c ）， 由②得(32b )2=(4b )2+(2c )2，整理得2c 2=b 2，∵c ＞0，b ＜0, ∴bc .3. 解：（1）令y =0，即-43x +8=0，得x =6,∴A 点坐标为（6，0）， 令x =0,则y =8，∴B 点坐标为（0，8）， ∴C 点坐标为（3，4）.（2）∵点C 在抛物线的对称轴上， ∴抛物线顶点坐标为（3，-43）. 依题意有036604933c a b c a b c ⎧=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎩,解得427890a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数解析式为248279y x x =-； （3）存在.∵∠AOB ＝90°，A （6，0）、B （0，8），∴10AB ===, ∵C 是AB 的中点，∴OC =12AB =BC =5, ∵OB =8,∴OB ＞OC ，且OB ＞BC ，∴当以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形时，OB 是菱形的对角线， 连接PC ，则OB 是PC 的垂直平分线， ∴点P 与点C 关于y 轴对称， ∵C （3，4）， ∴P （-3，4），把点P （-3，4）代入抛物线解析式248279y x x =-得： 当x ＝-3时，y ＝427×（-3）2-89×（-3）＝4， ∴点P （-3，4）在抛物线上.故在抛物线上存在点P ，使以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形，且点P 的坐标是（-3，4）.4. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （-1,0），B (3,0),∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）(x -3)＝x 2-2x -3；……………………（4分） （2）∵抛物线y ＝x 2-2x -3=(x -1)2-4， ∴点M 的坐标为（1,-4）. ∵点M 与点M′关于x 轴对称，∴点M′的坐标为（1,4），…………………………………………………（6分） 设直线AM′的解析式为y =kx +m ， 将点A （-1,0），点M′(1，4)代入得，4k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得22k m =⎧⎨=⎩，∴直线AM′的解析式为y ＝2x +2，…………………………………………（8分） 将直线AM′与抛物线y ＝x 2-2x -3联立得22223y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，22512x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（5,12），……………………………………………………（10分） 又∵AB =3-（-1）＝4， ∴S △CAB =12×4×12＝24. ……………………………………………………（12分） （3）∵四边形APBQ 是正方形， ∴PQ 垂直且平分AB ，且PQ =AB ， 设PQ 与x 轴交点为N ，则PN =12AB ＝2, ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点P 的坐标为（1,2）或（1，-2）. …………………………………（13分） 设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3)，将点（1,2）代入得a =-12， 此时抛物线解析式为y =-12 (x +1)(x -3)=- 12x 2+x +32；………………（15分）将点（1，-2）代入得a =12，此时抛物线解析式为2113(1)(3)222y x x x x =+-=--.……………………（16分）5. 解:(1)∵四边形OABC 为矩形， ∴BC ＝OA ＝5，OC ＝AB ＝4，∠COA ＝90°，又∵△CED 是△BCD 沿直线CD 折叠得到的，点B 的对应点为点E ， ∴CE ＝BC ＝5，在Rt△COE 中，OE 2＝CE 2-OC 2， ∴OE∴OE＝3. ………………………………………………………………………(2分) （2）设AD =m,则DE=BD=4-m.∵OE＝3，∴AE＝OA-OE＝5-3＝2.在Rt△ADE中，AD2+AE 2=DE 2,即m 2+22=(4-m)2,∴m＝32，∴D（-32，-5）. ………………………………………………………………（4分）又∵C（-4，0），O（0，0），∴设过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=ax(x+4)，∴-5＝-32a·（-32+4），∴a＝43，∴经过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=43x2+163x. …………………（6分）（3）①由于运动时间为t秒，则EQ＝t，CP＝2t，如解图①，∵△BCD沿直线CD折叠得到△ECD, ∴BD＝DE,若DP＝DQ，则Rt△P BD≌Rt△QED（HL）,∴PB＝QE,即CB-CP＝EQ.∴5-2t＝t,解得t＝53 .………………………………………………………………………(8分)（4）（ⅰ）如解图②，当M 点在对称轴右侧，即为M1点，M 1N ∥CE 且M 1N =CE 时，四边形ECNM 1为平行四边形，过M 1作M 1F 垂直对称轴于点F ，则△M 1FN ≌△COE ， ∴FM 1＝OC ，∵对称轴为直线x ＝-2， ∴此时，点M 1的横坐标为2， 对于y =43x 2+163x ，当 x ＝2时，y =16， ∴点M 1的坐标为（2，16）. ………………………………………………(10分) (ⅱ)如解图③，当M 点在对称轴左侧，即为M2，M 2N ∥CE 且M 2N =CE 时，四边形ECM 2N 为平行四边形，过M 2作 M 2F 垂直对称轴于点F ，则△M 2FN ≌△COE ， ∴FM 2＝OC ，∵对称轴直线x ＝-2， ∴此时，点M 2的横坐标为-6. 对于y =43x 2+163x ，当x ＝-6时，y =16， ∴点M 2的坐标为（-6，16）. ………………………………………………(12分) （ⅲ）如解图④，当M 点在抛物线的顶点上，即为点M 3，CN ∥ M 3E 且CN = M 3E 时,四边形EM 3CN 为平行四边形,CE 与NM 3相交于点O′，则O′为线段CE 的中点， 又∵点M 3在对称轴上，则M 3的横坐标为-2，对于y =43x 2+163x ，当 x ＝-2时，y =-163， ∴点M 3的坐标为（-2，-163 ）.综上所述，当点M 的坐标为（2，16）、（-6，16）、（-2，-163）时，以M ,N ,C ,E为顶点的四边形为平行四边形. ……………………………………………(14分)类型三与三角形相似有关针对演练1. （’15黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-16x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y 轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b、c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.2. （’15常德模拟）已知抛物线y =ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x =1，顶点为E，直线y =-13x+1交y轴于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？答案解：（1）由抛物线y =-16x 2+bx +c 过点A （0，4）和C （8，0）可得， ∴4164806c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩,解得564b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故b 的值为56，c 的值为4；………………………………………………（3分） （2）∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝∠EPB ＝90°-∠APO ，∴△AOP ∽△PEB ，则2OA AP PE PB==, ∵AO =4,P （t ,0）,∴PE =2,OE =OP +PE = t +2,又∵DE =OA =4,∴点D 的坐标为（t +2,4）, ∴点D 落在抛物线上时，有-16(t +2)2+56(t +2)+4=4, 解得t =3或t =-2,∵t ＞0,∴t =3.故当t 为3时，点D 落在抛物线上；…………………………………………（6分）（3）存在，理由：由（2）知△AOP ∽△PEB ， 则2OP AP BE PB==，∵P (t ,0),即OP ＝t .∴BE ＝2t . ①当0＜t ＜8时，若△POA ∽△ADB ，则OP AO AD BD =， 即41242t t t =+-, 整理得t 2+16=0,∴t 无解；若△POA ∽△BDA ，则PO AO BD AD =,即41242t t t =+-， 解得t 1= -2+t 2= -2-舍去)；②当t ＞8时，如解图.若△POA ∽△ADB ，则PO AO AD BD =， 即41242t t t =+-, 解得t 1= 8+t 2= 8-负值舍去)；若△POA ∽△BDA ，同理可得t 无解.综上可知，当t=-2+8+A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似. …………………………………………………………………………（12分） 2. 解：（1）由抛物线y =ax 2-2x +c 得，对称轴2122b x a a-=-=-=,∴a =1， 将点A （-1，0）及a ＝1，代入y =ax 2-2x +c 中，得1+2+c =0，c =-3，∴抛物线的解析式：y =x 2-2x -3；（2）由抛物线的解析式y =x 2-2x -3=(x -1)2-4 =(x +1)(x -3),得点C （0，-3）、B （3，0）、E （1，-4）.易知点D （0，1），则有：OD ＝1，OB ＝3，BDCE，BC＝BE＝ ∴OD OB BD CE BC BE==， ∴△BCE ∽△BOD ；（3）S △BOE =12×BO ×|y E |=12×3×4＝6， ∴S △BDP ＝12×BD ×h =S △BOE ＝6，即h, 在y 轴上取点M ，过点M 作MN 1⊥BD 于N 1，使得MN 1=h, 在Rt△MN 1D 中，sin∠MDN 1＝sin∠BDO＝OB BD =， 且MN 1则MD ＝11sin MN MDN ∠=4; ∴点M （0，-3）或（0，5）.过点M 作直线l ⊥MN 2，如解图，则直线l :y =-13x -3或y =-13x +5. 联立抛物线的解析式有：213323y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩或215323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩ , 解得：1103x y =⎧⎨=-⎩,2235329x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3356x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,4456x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当点P 的坐标为（0，-3），（53，329-），），，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积.类型四与图形面积函数关系式、最值有关针对演练1.（’15安顺26题14分）如图，抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B(4,52).点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点（不与点A,B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标.2. （’15岳阳模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．3. （’15永州模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=0，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB．（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，问是否存在直线l ，使S △POF ∶S △QOF =1∶3？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由.答案1.解：（1）由题意得5025516422a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，……………………………………（2分） 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，…………………………………………………………………（4分）∴215222y x x =-++.…………………………………………………………（6分） (2)设直线AB 为y kx b =+，则有0542k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，……………………………………………………………………（7分） ∴直线AB 的解析式为1122y x =+.…………………………………………（8分） 则21511(,2),(,)2222D m m m C m m -+++，…………………………………（9分）21511(2)()2222CD m m m =-++-+ 213222m m =-++.………………………………………………………（10分） ∴11(1)(4)22ACD BCD S S S m CD m CD =+=+⋅+-⋅△△ 21521135(2)222CD m m =⨯⨯=⨯⨯-++ 2515544m m =-++. …………………………………………………（11分） ∵54-＜0, ∴抛物线开口向下故当m ＝32时，S 有最大值. ………………………………………………（12分） 当m ＝32时，111315222224m +=⨯+=, ∴点C （32，54）. 当S 取最大值时的点C 坐标为（32，54）.…………………………………（14分） 2. 解：（1）将A （1，0），B （-3，0）代入y =-x 2+bx +c 中，得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,∴23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为:y =-x 2-2x +3；（2）存在.理由如下：由题意知A 、B 两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，∴直线BC 与x =-1的交点即为Q 点，此时△AQC 的周长最小，∵y ＝-x 2-2x +3,∴C 的坐标为（0，3），∴直线BC 的解析式为y =x +3.将x =-1代入y =x +3中，解得y =2,∴Q (-1,2).（3）存在.理由如下：∵B (-3,0),C (0,3)，∴水平宽a =x C -x B =0-(-3)=3.设点P （x ,-x 2-2x +3）(-3<x <0)，过P 点作PE ⊥x 轴交x 轴于点E ，交BC 于点F ，则F 点坐标为（x ，x +3）， ∴铅垂高h=y P -y F ＝-x 2-2x +3-(x +3)=-x 2-3x ，∴S =12ah = 32(-x 2-3x )=- 32(x 2+3x +94-94) =-32（x +32）2+278， ∴当x =-32时，△BPC 的面积最大，最大为278， 当x =-32时，-x 2-2x +3 =154, ∴点P 的坐标为（-32，154）. 3. （1）证明：作BC ⊥x 轴于点C ，AD ⊥x 轴于点D ，∵A ，B 点坐标分别为（m ,6）,(n ,1),∴BC =1,OC =-n ,OD =m ,AD =6,又OA ⊥OB ，易证△CBO ∽△DOA ， ∴CB CO DO DA=, ∴16n m -=， ∴mn =-6.（2）解：由（1）知，△CBO ∽△DOA ， ∴1OB BC OA OD m==,即OA ＝m BO ， 又∵S △AOB ＝10， ∴32OB ·OA ＝10，即OB ·OA ＝20， ∴mBO 2=20,又OB 2=BC 2+OC 2=n 2+1,∴m (n 2+1)=20,又∵mn =-6,∴m =2,n =-3,∴A 坐标为（2，6），B 坐标为（-3，1），易得抛物线解析式为y =-x 2+10.(3)解：存在.理由如下：直线AB 的解析式为y =x +4，且与y 轴交于点F （0，4），∴OF ＝4，假设存在直线l 交抛物线于P ，Q 两点，使S △POF ∶S △QOF =1∶3,如解图所示，则有PF ∶FQ =1∶3，作PM ⊥y 轴于点M ，QN ⊥ y 轴于点N ，设P 坐标为（x ,-x 2+10），∴PM ＝-x ,OM ＝-x 2+10，则FM =OM -OF =(-x 2+10)-4=-x 2+6,易证△PMF ∽△QNF , ∴13PM MF PF QN FN QF ===, ∴QN ＝3PM =-3x ,NF =3MF =-3x 2+18,∴ON =NF –OF =-3x 2+18-4=-3x 2+14,∴Q点坐标为（-3x,3x2-14）,∵Q点在抛物线y=-x2+10上，∴3x2-14=-9x2+10,解得：x1x2∴P 1,8）,Q 1P 2,8),Q 2∴易得直线PQ的函数关系式为y x+4或y x+4.类型五与线段、周长最值有关针对演练1. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、B两点,其中O为原点,且OB=6,抛物线的顶点为A,若点M(1,209)是抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式;(2)若N为抛物线对称轴上一个动点,当NO +NM的值最小时,求点N的坐标.2. （’15枣庄10分）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （12，52）和B （4，m ）两点，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△PAC 为直角三角形时，求点P 的坐标.3. （’15沈阳14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D . (1)填空：点A 的坐标为(___，___)，点B 的坐标为(___，___),点C 的坐标为(___，___)，点D 的坐标为(___，___);(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合).①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合)，请直接写出△PQR周长的最小值.温馨提示：可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.答案解：(1)由对称性得抛物线与x轴的交点为O(0，0)，B(6，0)，设抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-6)，∵M(1，209)是抛物线上一点，∴209=a ×1×(-5)，∴a =-49， ∴抛物线的解析式为y =-49x 2+83x .(2)抛物线对称轴为：x =3，∵点O 、B 关于对称轴对称， ∴连接MB 交对称轴于N ，如解图，这时NO +NM 的值最小. 设MB 的解析式为：y =k 1x +b 1， 将B （6，0），M (1，209)代入MB 的解析式中， 得11110620=9k b k b =+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得114-983k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，易得直线MB 的解析式为48-93y x =+，当x =3时，y =43，∴N (3，43).2.解：（1）∵B (4,m )在直线y =x +2上， ∴m =4+2=6, ∴B (4,6)， ∵点A (12,52),B (4,6)在抛物线y =ax 2+bx +6上， ∴22115()62224466b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y =2x 2-8x +6. …………………………………………（3分） (2）设动点P 的坐标为（n ,n +2），则点C 的坐标为(n ，2n 2-8n +6)， ∴PC =(n +2)-(2n 2-8n +6)=-2n 2+9n -4=-2(n -94)2+498. ∴当n =94时，线段PC 取得最大值498. ∴存在这样的点P ,使线段PC 的长有最大值，PC 最大值为498.……………（6分） (3)如解图①，显然，∠APC ≠90°，当∠PAC =90°时，直线AB 的解析式为y =x +2， 设直线AC 的解析式为y =-x +b , 把A (12，52)代入得52＝-12+b ，解得b =3. ∴直线AC 的解析式为y =-x +3. 由-x +3=2x 2-8x +6, 解得x = 3或x =12（舍去）， 当x =3时，x +2=3+2=5,此时，点P 坐标为P 1(3,5)；………………………（8分） 当∠PCA =90°时，如解图②，由A (12,52)知，点C 的纵坐标为y =52. 由2x 2-8x +6=52,得x 1＝12（舍去），x 2=72, 当x =72时，x +2=72+2=112.此时，点P 坐标为P 2(72,112).综上所述，满足条件的点P 有两个,分别为P 1(3,5)，P 2（72，112）. …（10分） 3. 解：（1）A （0,2）,B （-3,0）,C （1,0），D （-1，83）【解法提示】∵抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点，∴2242033x x --+=，解得x 1=-3,x 2 =1,∵点B 在点C 的左侧，∴B (-3，0)，C (1，0)，又∵抛物线与y 轴交于点A ，∴当x =0时，y =2，∴A (0，2).∵431222()3ba --==-⨯-，且当x =-1时，2248(1)(1)2333y =-⨯--⨯-+=.∴顶点D 的坐标为（-1，83）.（2）①设点P 的坐标为（n ,0），-3＜n ＜1. ∵EP ⊥x 轴，点E 在抛物线上，∴点E 的坐标为（n , 224233n n --+），又∵PE =PC ，∴2242133n n n --+=-，∴n 1=-32,n 2=1(不符合题意，舍去)，当n=-32时，2224224252()()23333332n n --+=-⨯--⨯-+=，∴E (-32,52)，…………………………………………………………………（7分）②32或52.…………………………………………………………………… (10分) 【解法提示】如解图①，设直线DE 与x 轴交于M ，与y 轴交于N ，直线EA 与x轴交于点K ，根据E 、D 的坐标求得直线ED 的解析式为y =13x +3，根据E 、A 的坐标求得直线EA 的解析式为y =-13x +2，∴△MEK 是以MK 为底边的等腰三角形，△AEN 是以AN 为底边的等腰三角形，∵到EA 和ED 的距离相等的点F 在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF 的长是E 点到坐标轴的距离，∴EF =32或52.③. ………………………………………………………………(14分)【解法提示】根据题意得：当P与O重合时，周长最小，如解图②，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于点Q，交AC于点R，此时△PQR的周长＝PQ +QR +PR =EF，∵A(0，2)，B(-3，0)，C(1，0)，∴AB=AC=∵S△AOB=12×12OE×AB =12OA·OB，∴OE，易得△OEM ∽△ABO，∴OM EM OEOA OB AB==，即23OM EM==，∴OM =2413，EM =3613，∴E(-2413，3613)，同理可求F(85，45)，∴△PQR周长的最小值为65EF==.。
专题六 二次函数与几何图形的综合
若不存在,请说明理由.
+ + = ,
【解析】(1)由题意得:ቐ
−
= ,
= ,
解得ቊ
= −,
故抛物线的表达式为y=x2-5x+4①;
(2)对于y=x2-5x+4,令y=x2-5x+4=0,解得x=1或4,令x=0,则y=4,
= − +
= −
得:ቐ
,解得ቐ = ,
=
= + +
=
∴抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;
(2)∵正方形OBDC,∴∠OBC=∠DBC,BD=OB,
∵BF=BF,∴△BOF≌△BDF,∴∠BOF=∠BDF;
(3)存在.∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,
设AB的中点为J,连接PJ,则J(-2,-2),
∴PJ= AB=2
,∴12+(n+2)2=(2 )2,解得n= -2或n=- -2,
∴P3(-1, -2),P4(-1,- -2),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-1,3)或(-1,-5)或(-1, -2)或(-1,- -2).
在Rt△BOM中,BM=tan 30°·OB= ,∴ME=BE-BM=2- ,
综上所述,ME的值为:3 -2或2- .
考点二直角三角形的存在性问题
解答二次函数中直角三角形存在性问题的方法:
(1)假设其存在,画出相应的图形.
(2)分情况讨论:当所给条件不能确定直角顶点时,应分情况讨论.分别令三角形三个
(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc
二次函数与几何图形综合题类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2二次函数与平行四边形的存在性问题1． (2014 ·靖曲 )如图，抛物线y＝ax2＋bx＋ c 与坐标轴分别交于A(－ 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与 x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且1，求点 O 到直线 AF 的距离；tan∠ AFE ＝2(3)点 P 是 x 轴上的一个动点，过P 作 PQ∥ OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O， F， P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·明昆 )如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA＝ 4， OC＝3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点 D 的坐标；(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点A，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3． (2015 昆·明西山区二模 )如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－3 与 x 轴交于 A、B 两点 (A 点在 B 点左侧 ) ，直线l 与抛物线交于A、 C 两点，其中 C 点的横坐标为 2.(1)求 A、B、 C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△ PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使 A、C、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3二次函数与直角三角形的存在性问题1． (2015 ·南云 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0)与 x 轴相交于A、 B 两点，与y 轴相交于点C，直线 y＝ kx＋n( k≠ 0)经过 B、 C 两点，已知 A(1， 0)， C(0， 3)，且 BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式 )；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2015 ·贡自 )如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的对称轴为x＝－ 1，且抛物线经过A(1， 0)，C(0， 3)两点，与x 轴交于点 B.(1)若直线 y＝mx＋ n 经过 B、 C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3． (2015 益·阳 )已知抛物线 E 1： y ＝ x 2 经过点 A(1， m)，以原点为顶点的抛物线E经过点 B(2， 2)，点2 A 、 B 关于 y 轴的对称点分别为点A ′，B ′.(1)求 m 的值及抛物线E 2 所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E 1 上是否存在点 Q ，使得以点 Q 、B 、 B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图， P 为第一象限内的抛物线E 1 上与点 A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E 2 相交于点P ′，求△ PAA ′与△ P ′BB ′的面积之比．类型 4二次函数与等腰三角形的存在性问题1． (2015 ·东南黔 )如图，已知二次函数y 1＝－ x2＋134x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0) ，与 y 轴的交点为 B，过 A、 B 的直线为y2＝ kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点 B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．- 10 -2．如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，直线y＝kx－ 1 与抛物线交于A， C 两点，其中A(－ 1， 0)，B(3， 0)，点 C 的纵坐标为－ 3.(1)求 k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015 ·明官渡区二模昆)如图，已知抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠0)交于 x 轴于 A(－ 1，0) ，B(5，0)两点，与 y 轴交于点C(0， 2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为抛物线的顶点，连接BC、 CM 、BM ，求△ BCM 的面积；(3)连接 AC，在 x 轴上是否存在点P，使△ ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5二次函数与图形面积问题1．(2014 ·明昆 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－ 2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△ PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△ PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使 S△CBK∶ S△PBQ＝ 5∶ 2，求 K 点坐标．2．(2015 云·南二模 )如图所示，抛物线 y＝ ax2＋ bx(a＜ 0)与双曲线 y＝k相交于点 A、B，点 A 的坐标为x(－ 2， 2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，直线 BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ ABC 与△ ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D ，使△ ABD 的面积等于△ABE 的面积的8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1． (2015 ·明盘龙区一模昆)如图，对称轴为直线x＝ 2 的抛物线经过A(－1， 0)， C(0， 5)两点，与x 轴另一交点为B，已知 M(0， 1)， E(a， 0)，F(a＋ 1， 0)，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当 a＝ 1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△ PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2． (2013 ·溪玉 )如图，顶点为 A 的抛物线 y＝a(x＋ 2)2－4 交 x 轴于点 B(1， 0)，连接 AB，过原点 O 作射线OM ∥ AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连接 CD .(1)求抛物线的解析式(关系式 )；(2)求点 A，B 所在的直线的解析式(关系式 )；(3)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当 t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当 t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7二次函数与根的判别式问题1． (2015 ·阳衡 )如图，顶点M 在 y 轴上的抛物线与直线y＝ x＋ 1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为2，连接 AM 、 BM .(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8二次函数与圆1．(2015 ·明盘龙区二模昆)如图，已知以E(3 ，0)为圆心，以 5 为半径的⊙ E 与 x 轴交于点A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A， B， C 三点，顶点为 F .(1)求 A， B， C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标；(3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合 )．试探究：①使得以A，B， M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点 F ，试判断直线MF 与⊙ E 的位置关系，并说明理由．2． (2015 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ⊥ y 轴于点 B(0，－ 2)， A 为 OB 的中点，以 A为顶点的抛物线 y＝ ax2＋ c(a≠0)与 x 轴分别交于 C、D 两点，且 CD＝ 4.点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心， PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙ P 与 y 轴的另一交点为E，且 OE＝ 2，求点 P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙ P 的位置关系，并说明理由．。
二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学
二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。
1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。
二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题一、二次函数与直角三角形1、抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1,0）、B点，与y轴交于C（0，-3）顶点为D。
（1）求抛物线解析式；（2）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求所有相应的点N的坐标。
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4,0），且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上。
（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否还存在点P'，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
3、如图，抛物线y=ax²-2ax-3a交y轴于A点，交x轴于B、C两点（B在C右边），顶点为D（1）写出B、C、A、D四点的坐标（其中A、D两点的坐标用含a的式子表示）；（2）当OA=OB时，求抛物线的解析式；（3）若以A、B、D为顶点的三角形为直角三角形，求a的值。
作业：1、如图，已知抛物线y=ax²+bx-3(a≠0)与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1,0），C点的坐标是（4，-3）。
（1）求抛物线解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
二、二次函数与等腰三角形1、如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；2、作业：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为x=-x+3.（1）求该二次函数的关系式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标。
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(七) 二次函数与几何图形的综合
1 2
x－2＝－2，∴
16a－2＋c＝0， 点A(－4，0)，点C(0，－2)，∴ c＝－2，
解得 a＝14， c＝－2，
∴抛物线的表达
式为y＝14 x2＋12 x－2
(2)显然∠PMC≠90°，∴可分如下两种情况讨论：①当∠MPC＝90°时，PC∥x
轴，∴yP＝yC＝－2，即
1 4
xP2＋
1 2
xP－2＝－2时，解得xP＝－2或0(舍去)，∴此时点
解：(1)根据题意可知抛物线的表达式为 y＝－2 (x＋1)(x－5)，即 y＝－2 x2＋8 x＋10
9
999
(2) ∵y＝－2 x2＋8 x＋10 ＝－2 (x－2)2＋2，∴点 C(2，2)，可设点 P(2，m)，∴
9 99
9
易得直线 BP 的函数表达式为 y＝－13
mx
＋5 3
m.又∵CE⊥PB，∴易得直线 CE 的函数表达
【思路点拨】(2)先设出点D的坐标为(m，am2＋bm＋c)，则可用字母m表示出 点F的坐标，进而可用m表示出线段DF的长，再结合二次函数的性质即可求出线段 DF长度的最大值；(3)根据Rt△DFG中DF与DG的关系可表示出DG的长．
a－b＋c＝0， 16a＋4b＋c＝0
a＝－12， b＝32，
解：(1)根据题意，得 c＝2，
，解得 c＝2， ∴该抛物线的函数表达
式为 y＝－1 x2＋3 x＋2 22
(2)易得直线 BC 的函数表达式为 y＝－1 x＋2，设点 D(m，－1 m2＋3 m＋2)，
2
2
2
0<m<4，则点 F(m，－1 m＋2)，∴DF＝－1 m2＋3 m＋2－(－1 m＋2)＝－1 m2＋
九年级数学人教版(上册)小专题8 二次函数与几何图形的小综合
解：在 y＝－x2－2x＋3 中，令 y＝0，得 －x2－2x＋3＝0， 解得 x＝1 或 x＝－3， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 在 y＝－x2－2x＋3 中，当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)．
①当 AC 为平行四边形的边时，PQ∥AC，且 PQ＝AC，
如图 1，过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 G，设 AC 交对称轴于
入，得 － n＝3k3＋，n＝0，解得kn＝＝13，. ∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3. 设 P(t，－t2－2t＋3)(－3<t<0)，则 K(t，t＋3)， ∴PK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t. ∴S△PBC＝S△PBK＋S△PCK＝12PK·(t＋3)＋12PK·(0－t)＝32PK＝32(－t2
－3t)．
∵S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6， ∴S 四边形 PBAC＝S△PBC＋S△ABC＝32(－t2－3t)＋6＝－32(t＋32)2＋785. ∵－32＜0， ∴当 t＝－32时，四边形 PBAC 的面积最
大，此时点 P 的坐标为(－32，145)．
类型 2 线段和、周长最值问题 3．(2021·通辽节选)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，动点 P 在抛物线的对称轴上，当以 P，B， C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及△PBC 的周长． 解：在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3， ∴A(3，0)，B(－1，0)． 在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 x＝0，得 y＝3， ∴C(0，3)．
②当 AC 为平行四边形的对角线时，
如图 2，设 AC 的中点为 M， ∵A(－3，0)，C(0，3)，
二次函数与几何图形综合训练题精选(含19题)
二次函数与几何图形综合训练题精选（含19题）1．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（3，0）两点，动点D 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC方向运动，以AD为边作矩形ADEF（点E在x轴上），设运动的时间为t秒．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的表达式；（2）过点D作DN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当t＝时，求点M的坐标；（3）如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA方向运动，以BP为边作等腰直角三角形BPQ（∠BPQ＝90°），EF与PQ交于点G．给出如下定义：在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形ADEF和等腰三角形BPQ重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积．2．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y＝mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM＝，直接写出l，P表示的函数解析式．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点，直线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC，∠CAB的平分线AE交抛物线C1于点E．（1）求抛物线C1的表达式；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C2，在射线AE上取点Q，连接CQ，将射线QC绕点Q逆时针旋转120°交抛物线C2于点P，当△CAQ为等腰三角形时，求点P的横坐标；（3）如图2，将抛物线C1沿一定方向平移，使顶点D′落在射线AE上，平移后的抛物线C3与线段CB相交于点M、N，线段CB与DF相交于点Q，当点Q恰好为线段MN 的中点时，求抛物线C3的顶点坐标．4．如图抛物线y＝﹣x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M 作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，P A交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连接NF，求证：NF∥y轴．6．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G 面积最大时点G的横坐标；（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN，设点P的坐标为（t，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长；（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由；（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．8．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．10．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点在直线上，且过点A（4，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OP AB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD﹣CD|的值最大，请直接写出点D的坐标．11．已知抛物线过点（8，0），（1）求m的值；（2）如图a，在抛物线内作矩形ABCD，使点C、D落在抛物线上，点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；（3）如图b，抛物线的顶点为E，对称轴与直线y＝﹣x+1交于点F．将直线EF向右平移n个单位后（n＞0），交直线y＝﹣x+1于点M，交抛物线于点N，若以E、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求n的值．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；（2）点E是线段BC上方抛物线上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC 的面积分为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD 的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B．（1）求点A，点B的坐标及AB的长；（2）已知M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以点M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n．①求n随m变化的函数解析式；②若点E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y＝﹣x2+x+4上，且点E不在坐标轴上，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点E？17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O（0，0），A（﹣1，﹣），B（﹣3，）三个点．（1）求抛物线解析式；（2）若点P（﹣4，p），Q（t，q）为该抛物线上的两点，且q＜p．求t的取值范围．（3）在线段AB上是否存在一点C（不与点A，点B重合），使点A，点B到直线OC的距离之和最大？若存在，求∠BOC的度数，并直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB＝1：5，OB＝OC，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）点P（2，﹣3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．第11页（共11页）。
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(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若点 P 在第一象限内，当 OD＝4PE 时，求四边形 POBE 的面
②若菱形以 BD 为边N∥BD，MN＝BD＝MD＝1.
过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H，∴MH2＋DH2＝MD2，
即(12n－2)2＋(n－5)2＝12，
解得 n1＝4(不合题意，舍去)，n2＝5.6， ∴M(258，45)，∴N(253，54)．同理(21n－2)2＋(4－n)2＝12，
大值． 图 4－ZT－4
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：(1)将 A(2，4)与 B(6，0)代入 y＝ax2＋bx，
得43a6＋ a＋2b6＝ b＝4， 0，解得ab＝ ＝－ 3.12，
(2) 由 (1) 知 二 次 函 数 的 解 析 式 为
y
＝
－
1 2
x2
＋
3x
，
则
Cx，－12x2＋3x.如图，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D(2，0)， 连接 CD，过点 C 作 CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为 E，F，
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
1 (3)存在．设 M(n，2n－2)，
①若菱形以 BD 为对角线，如图①， ∵四边形 BNDM 是菱形，∴MN 垂直平分 BD，
19 ∴n＝4＋2＝2，
91 ∴M(2，4)． ∵M，N 关于 x 轴对称， ∴N(92，－14)．
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求△MCB 的面积．
图 4－ZT－3
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(－1，0)，(1，8)，(0，5)，
a－b＋c＝0， a＝－1， ∴a＋b＋c＝8，解得b＝4，
c＝5，
c＝5.
∴抛物线的函数解析式为 y＝－x2＋4x＋5.
25
25
解得 n1＝4＋ 5 (不合题意，舍去)，n2＝4－ 5 ，
25
5
25
5
∴M(4－ 5 ，－ 5 )，∴N(5－ 5 ，－ 5 )，
(3，0)，(0，4)，求抛物线的函数解析式．
图 4－ZT－5
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：由已知点的坐标，可求得点 C 的坐标为(5，4)．
把点 A(－2，0)，C(5，4)，D(0，4)代入 y＝ax2＋bx＋c 中，
0＝4a－2b＋c，
a＝－27，
得44＝ ＝2c5，a＋5b＋c，解得b＝170，
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
1
1
S△OAD＝2OD·AD＝2×2×4＝4，
1
1
S△ACD＝2AD·CE＝2×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝12BD·CF＝12×4×(－12x2＋3x)＝－x2＋6x，
则 S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x， ∴S 关于 x 的函数解析式为 S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．
轴，∴PD∥y
轴，∴E(m，12m－2)，P(m，41m2－12m－2)．∵OD＝4PE，∴m＝4(14m2－12m－2－12m＋2)，
7
1
解得 m＝5 或 m＝0(舍去)，∴D(5，0)，P(5，4)，E(5，2)，∴四边形 POBE 的面积
1
71
1 33
＝S△OPD－S△EBD＝2×5×4－2×1×2＝ 8 .
∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当 x＝4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 16.
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
► 类型之三 二次函数与特殊四边形的结合
5．如图 4－ZT－5 所示，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A， C，D 作抛物线 y＝ax2＋bx＋c，点 A，B，D 的坐标分别为(－2，0)，
图 4－ZT－2
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：如图，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠BAO＝∠ACD.
又∵∠AOB＝∠CDA＝90°，AB＝AC，
∴△AOB≌△CDA(AAS)，∴AO＝CD＝1，BO＝AD＝2，
∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．
∵点 C(3，1)在抛物线 y＝12x2＋bx－2 上，
∴1＝12×32＋3b－2，解得
1 b＝－2，
∴抛物线的函数解析式为 y＝12x2－12x－2.
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
3．已知：如图 4－ZT－3，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴 交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为(－1，0)，点 C 的坐标为(0，5)， 且抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点．
积．
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
(3)在(2)的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，N 为平面直角坐标系内一 点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
► 类型之二 二次函数与一般四边形的结合
4．2016·安徽 如图 4－ZT－4，二次函数 y＝ax2＋bx 的图象经过 点 A(2，4)与 B(6，0)．
(1)求 a，b 的值； (2)C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动 点，其横坐标为 x(2＜x＜6)，写出四边形 OACB 的面 积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数解析式，并求 S 的最
(2)令 y＝0，得－x2＋4x＋5＝0，解得 x1＝5，x2＝－1，∴B(5，0)． 由 y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，得点 M 的坐标为(2，9)．
过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，
1
1
1
可得 S△MCB＝S 梯形 MEOB－S△MCE－S△OBC＝2×(2＋5)×9－2×4×2－2×5×5＝15.
c＝4.
∴抛物线的函数解析式为 y＝－27x2＋170x＋4.
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
6．如图 4－ZT－6 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，二次函 数 y＝－23x2＋bx＋c 的图象经过 B，C 两点，求该二次函数的解析式．
图 4－ZT－7
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx－2 的对称轴是直线 x＝1，点 A(－2，0)在抛物 线上，
∴－ （－ 2ba＝ 2）1， 2a－2b－2＝0，解得ba＝ ＝4－ 1，12. ∴抛物线的函数解析式为 y＝14x2－12x－2.
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
专题训练二次函数与几 何图形小综合
2020/9/4
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
► 类型之一 二次函数与三角形的结合
1．如图 4－ZT－1，直线 l 过 A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次 函数 y＝ax2 的图象在第一象限内交于点 P，若 S△AOP＝92，求二次函数的
解析式．
图 4－ZT－1
91
9
9
∵S△AOP＝2，∴2×4·yp＝2，解得 yp＝4.
∵点
P
在直线
y＝－x＋4
9 上，∴4＝－xp＋4，解得
7 xp＝4.把点
P74，49代入
y
＝ax2，得49＝1469a，解得
36 a＝49，∴二次函数的解析式为
y＝4396x2.
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
2．如图 4－ZT－2，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角 三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线 y＝12x2＋bx－2 过 点 C，求抛物线的函数解析式．
(2)令 y＝14x2－12x－2＝0，解得 x1＝－2，x2＝4.当 x＝0 时，y＝－2，∴B(4，
0)，C(0，－2)．设直线 BC 的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，则4bk＝＋－b＝ 2，0，解得
k＝12， ∴直线 b＝－2.
BC
的函数解析式为
y＝12x－2.设
D(m，0)，∵PD⊥x
图 4－ZT－6
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：由题意，得 C(0，2)，B(2，2)． ∵二次函数 y＝－23x2＋bx＋c 的图象经过 B，C 两点， ∴c－＝232×，4＋2b＋c＝2，解得bc＝ ＝432， ， ∴该二次函数的解析式为 y＝－23x2＋43x＋2.
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
专题训练(四) 二次函数与几何图形小综合
解：设直线 l 的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)．
∵直线 l 过 A(4，0)，B(0，4)两点，∴4bk＝＋4b，＝0，解得kb＝ ＝－ 4，1， ∴直线 l 的函数解析式为 y＝－x＋4.
设点 P 的坐标为(xp，yp)．∵点 P 在第一象限，∴xp>0，yp>0.