材料力学 机工出版社范钦珊版第五章 圆轴扭转
(2)圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为 圆形，且在原来的平面内。 推断： (a)变形后，横截面仍保持为平面； (b)横截面上没有正应力，只有切应力， 切应力的方向与半径垂直。
二、切应力的计算 研究薄壁筒的任一横截面
Me dA
T d
微面积 dA = δRdθ 微内力τdA对截面形心的力矩为τdA· R
两轴内半径为ρ处的切应力分别为
G1M e 1 G1I p1 G2 I p 2
d D
2
G2 M e G1I p1 G2 I p 2
b)
(2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直 径也大，对AC和DB两段轴都需要作强度校核。 AC段
763.9
(-)
(2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直 径也大，对AC和DB两段轴都需要作强度校核。 AC段
AC max
16TAC 16 763.9 60.8 MPa [ ] 3 3 3 d1 (40 10 )
16TDB 16 1909.8 45.0 MPa [ ] 3 3 3 d 2 (60 10 )
'
5.2.3 剪切胡克定理 直角的改变量即为切应变 低碳钢的 - 曲线 在弹性极限范围内
'
G
s
上式称为剪切胡克定理。
p
G称为材料的切变模量,单位为帕(Pa)
切变模量G、弹性模量E和泊松比三者之间的关系是 E G 2(1 )
5.3 圆轴扭转时的切应力分析
(2)变形协调条件
T1l T2l G1I p1 G2 I p 2
联立求解
T1
G1 I p1 G1I p1 G2 I p2
Me
Me
T2
G2 I p2
G1 I p1 G2 I p2
Me
l a)
代入式
T Ip
D d 2 2 d 0 2
例3-2 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 40 mm， d2 = 60 mm。由轮3输入的功率P3 = 60 kW，轮1输出的 功率P1 =24 kW。轴作匀速转动，转速n = 300 r/min。 材料的许用切应力 [ τ ] = 70 MPa。试校核轴的强度。 解 (1)计算外力偶矩， 画扭矩图
τ max Tmax [τ] 3 πD / 16
16Tmax 3 16 7.0 103 3 D3 76 . 4 10 m 76.4mm 6 [τ ] 80 10
根据刚度条件
max
Tmax 180 4 G (D / 32) π
T Me
Me b)
I T
n n
x
作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩 由作用与反作用原理可知，在 部分Ⅱ横截面n-n上也必然有 大小相等、转向相反的扭矩T
n c) T n
II
Me x
发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩 1. 已知外力
R FT1 FT2
M e ( FT1 FT 2 ) R
第五章 圆轴扭转
§5-1 外加力偶矩与所传递功率的关系 §5-2 纯剪切状态与切应力互等定理 §5-3 圆轴扭转时的切应力分析 §5-4 圆轴扭转时的迁都与刚度计算 §5-5 结论与讨论
5.1 外加力偶矩与所传递功率的关系
求横截面n-n上的内力偶矩 截面法
a) Me
I
n n
II
Me
Mx 0
T Me 0
Wp称为抗扭截面系数。
说明：
T τ max Wp
(1)只适用于弹性范围内的等直圆轴 (2)对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。
例 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 40 mm，d2 = 60 mm。由轮3输入的功率P3 = 60 kW，轮1输出的功率 P1 =24 kW。轴作匀速转动，转速n = 300 r/min。材料 的许用切应力 [ τ ] = 70 MPa。试校核轴的强度。 解 (1)计算外力偶矩， 画扭矩图
2. 已知传递的功率P(kW)和转速n(r/min)
2 n P M e M e 60 P M e 9549 ( N m) n
得
5.2 纯剪切状态与切应力互等定理
5.2.1薄壁圆筒的扭转时的切应力与纯剪切状态
一、实验观测
Me
Me
R 在圆筒表面画一系列纵 向线和圆周线。 a) 现象 (1) 纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。
32
6.44 106
各段的相对扭转角为
TABl AB 4.5 103 0.8 3 AB 6 . 99 10 rad 9 6 GI p 80 10 6.44 10 TBCl BC 7.0 103 1.0 3 φBC 13 . 59 10 rad 9 6 GI p 80 10 6.44 10
24 M e1 9549 763.9 N m 300
M e 2 9549
M e3
P1
d1
A 0.5 m
P2 C 0.3 m
d2
D 1.0 m
P3
a)
B
T / Nm
x
1909.8
36 b) 1145 .9 N m 300 60 9549 1909 .8 N m 300
二、刚度条件
取长为dx的微段
Tmax max [ ] GI p
是最大单位长度扭转角，单位为rad /m max
在设计规范中，单位长度许用扭转角的单位通常是 度/米(/m)。
Tmax 180 max [ ] GI p
例3−3 图3-14a所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。 已知Me1= Me2=3.5 kN· m，Me3=11.5kN· m，Me4=4.5 kN· m；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力 ] [τ]=80MPa，单位长度许用扭转角 [ =0.8 /m。试设计 轴的直径，并计算全轴的相对扭转角。
763.9
(-)
5.4.3 圆轴扭转刚度计算
一、扭转角 相距为dx的两截面间的相对扭转角为
d T ( x) dx GIp
l
相距为l的两横截面间的相对扭转角为
T ( x) dx 0 GI p
当T和GIp为常量时
Tl GI p
GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。 扭转角φ的单位是rad。
Me4 Me3 Me2 Me1
解 (1)计算外力偶矩， 画扭矩图
b)
a)
A B 0.8 m 1.0 m C 1.2 m D
T / kN m
4.5
(+) (-)
3.5
x
7.0
T / kN m
4.5
(2)设计轴的直径
b)
(+) (-)
3.5
x
7.0
圆轴中最大扭矩发生在BC段，其绝对值为7.0 kN· m。 根据强度条件
5.4.2 圆轴扭转强度条件
Tmax τ max [τ] Wp
(1) [ ] 为材料的许用切应力
(2) 对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面 上的外边缘。 (3) 对变截面轴,需要综合考虑T和Wp来确定τmax。
极惯性矩与抗扭截面系数 (1) 实心圆截面
O
D
d
πD3 Wp 16 (2) 空心圆截面 d / D
24 M e1 9549 763.9 N m 300
M e 2 9549
M e3
P1
d1
A 0.5 m
P2 C 0.3 m
d2
D 1.0 m
P3
a)
B
T / Nm
x
1909.8
36 b) 1145 .9 N m 300 60 9549 1909 .8 N m 300
T G dA
2 A
a)
引进记号
I p 2dA
A
Ip称为横截面对圆心的极惯性矩
T GI p
圆轴单位长度扭转角的计算公式
5.3.5
圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
T Ip
圆轴横截面上任一点处的切应力
切应力达到最大值 引进记号
TR τ max Ip
Wp Ip R
5.3.1 平面假定 圆轴扭转的平面假设 变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为 平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、 大小及间距均不改变。 圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出 1．几何方面 2．物理方面 3．静力学方面
5.3.2．变形协调方程
取长为dx的微段 两截面的相对扭转角为 d 从该微段中切取一楔形体 由几何关系及小变形假设 FF d γρ tan γρ 1
横截面上半径为ρ 处的切应力为 G (1)横截面的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比。 (2) 纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。
dA
dA
O
max
b)
a)
5.3.4．静力学方面 微力矩
dA
T
dA
截面上的扭矩
A
dA
dA
O
max
为常量，得
EF dx
表示扭转角φ沿轴线的变化
A D
O1
d
O2 B B1 C C1
dx a)
R
A D O2
E H
O1
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【材料力学课件】05-扭转
又 L11 + L22 = 510 ， 故 L11 = 298 mm 。
28
x
m h h
16 t L22 d 22 ≥ π[τ ]
13 13
19
t d1 1 A L1 1 B L L2 2 C d2 2
16 t L d11 ≥ π[τ ]
轴的体积
13 13
16 t L22 d 22 ≥ π[τ ]
13 13
V = A11L11 + A22L22
23 23 16tL 22 33 π 22 π 16tL22 2 2 V = [d11 (L L22 ) + d 22 L22 ] = L22 (L L22 ) + 4 4 π[τ ] π[τ ]
( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 ) d d 22 T = rτ dA = G r 22 dA = G r dA dx dx A A A A A A
∫
∫
∫
d T = GI PP dx
d T = dx GI PP
重要公式
Tr τ = IP P
13
重要公式
Tr τ = IP P
切应力在 切应力在 横截面上 分布规律
∫
∫
d 2 d 2
∫
π 2 π 2
∫
23
y
垂直方向合力为
Q
Tr cosθ r dr dθ Qyy = τ yydA = I A P A A P A
∫
∫
Qy Qx
3 3
x
=
T Td r 22dr cosθ dθ = I PP 00 24I PP 0 0
d 2 d 2
∫
π 2 π 2
材料力学(机械工业出版社)知识小结：第三章 扭转
第三章扭转3–1概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。
如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（γ）：直角的改变量。
3–2传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：m)(N 9550⋅=nP m 其中：P —功率，千瓦（kW ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7024⋅=n P m 其中：P —功率，马力（PS ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7121⋅=nP m 其中：P —功率，马力（HP ）n —转速，转/分（rpm ） 二、扭矩及扭矩图1、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。
2、截面法求扭矩mT m T m x ==-=∑003、扭矩的符号规定：“T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
4、扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的：①扭矩变化规律；②|T |max 值及其截面位置->强度计算（危险截面）。
3–3薄壁圆筒的扭转一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m 。
2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
4.ϕ与γ的关系：L R ⋅=ϕγ二、薄壁圆筒剪应力τ大小：tr T 220πτ=三、剪应力互等定理：ττ'=在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp )，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第五版 第五章
b2
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
πd 4 Ip 2 d A A 32
d
o y
z
dA
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip 2 d A y2 d A z2 d A I z I y A A A 32
梁横截面上的正应力公式。
My Iz
M为截面的弯矩，y为欲求应力点至 中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的 惯性矩。 σ
x
注意： 1.当弯矩为正时，梁下部产 生拉应力；上部产生压应力； 弯矩为负时，则相反。一般用 计算正应力时，M与y均取正值， 而正应力的拉、压由观察判断。
M
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
max
式中，[]为材料的许用弯曲正应力。
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作
M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材 料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性 轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和
2.公式是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向 弯曲(即剪力、弯矩均不为零的情形)，也可以足 够精确地用来计算正应力。 3. 公式虽然是针对梁横截面有对称轴的情形 推出的，但对于不对称截面，公式的适用范围推 广到不对称截面梁,且外力作用面通过一个形心 主轴的情形。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.所有的纵线都弯曲 成曲线。靠近底面的 纵线伸长，靠近顶面 的纵线缩短。而位于 中间的某一条纵线O-O ，其长度不变。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
πd 4 Ip 2 d A A 32
d
o y
z
dA
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip 2 d A y2 d A z2 d A I z I y A A A 32
梁横截面上的正应力公式。
My Iz
M为截面的弯矩，y为欲求应力点至 中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的 惯性矩。 σ
x
注意： 1.当弯矩为正时，梁下部产 生拉应力；上部产生压应力； 弯矩为负时，则相反。一般用 计算正应力时，M与y均取正值， 而正应力的拉、压由观察判断。
M
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
max
式中，[]为材料的许用弯曲正应力。
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作
M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材 料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性 轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和
2.公式是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向 弯曲(即剪力、弯矩均不为零的情形)，也可以足 够精确地用来计算正应力。 3. 公式虽然是针对梁横截面有对称轴的情形 推出的，但对于不对称截面，公式的适用范围推 广到不对称截面梁,且外力作用面通过一个形心 主轴的情形。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.所有的纵线都弯曲 成曲线。靠近底面的 纵线伸长，靠近顶面 的纵线缩短。而位于 中间的某一条纵线O-O ，其长度不变。
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
材料力学-扭转课件
dz z B dx C
At
D
n
t
t
Bt C
扭转试验和破坏分析
利用截面法和静力衡，
F x 0 d A c o s td A sin td A x 0 y F y 0 d A sin td A c o s td A y 0
注意到：
dAx=dAsin dAy=dAcos
得： t sin2 t t cos2
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
与所设方向相同（扭矩 MB MC
MD
的正向）；若为负，表
T2
明扭矩与所设方向相反
T3
外力偶矩、扭矩和扭矩图
绘制扭矩图。 最大扭矩产生
在CA段上，其值为
B
C
A
主动轮 D
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549PA n
11.68103
N m
MB
MC
9549PB n
3.50103
N m
MD
9549PD n
4.68103
方向如图所示
N m
MB
MC
MA
MD
外力偶矩、扭矩和扭矩图
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
圆轴扭转强度条件
45o
受扭轴的破坏标志仍为屈服和断裂 屈服时横截面上的最大切应力称为扭转
屈服应力，记为ts
断裂时横截面上的最大切应力称为扭转
强度极限，记为tb 它们统称为扭转极限应力，记为tu
材料力学：第5章：扭转
d
dx d
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A
o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：
秦飞编著《材料力学》第5章 扭转
dx
代入
A dA T
得：
G d 2dA T
dx A
定义 则：
A 2dA Ip
d T
dx GI p
—截面的极惯性矩 GIp —轴的扭转刚度
于是得到：
T Ip
圆轴扭转切应力公式
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
18
5.2 扭转圆轴的应力与强度条件 圆轴扭转切应力公式
扭转实例
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
3
引言
常见的扭转构件：
• 机器的转动轴 • 上螺丝钉的改锥杆 • 汽车的方向盘轴 • 。。。
扭转变形的特点： 外力偶矩作用于垂直杆件轴线的平面内。 变形后杆件各横截面绕轴线发生转动。
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
4
引言
以扭转变形为主要变形形式的杆件统称为轴。
T 2πr02
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
24
5.2 扭转圆轴的应力与强度条件
例题5-3
由强度条件
T
2πr02
[ ]
解得 3.70mm
（d ）2 2T π[ ]
（2）按空心圆轴设计
由强度条件
max
T
Wp
[ ]
解得 D 107.7 mm
扭转裂纹
一段树干受扭转时，沿着树干方向开裂。原因： （1）受切应力； （2）沿树干方向纤维间强度最弱。
构件的破坏模式不但与受力状态有关，而且 与材料的力学性能有关。
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
习题讲解 5.2-11
31
5.3 扭转圆轴的变形与刚度条件
代入
A dA T
得：
G d 2dA T
dx A
定义 则：
A 2dA Ip
d T
dx GI p
—截面的极惯性矩 GIp —轴的扭转刚度
于是得到：
T Ip
圆轴扭转切应力公式
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
18
5.2 扭转圆轴的应力与强度条件 圆轴扭转切应力公式
扭转实例
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
3
引言
常见的扭转构件：
• 机器的转动轴 • 上螺丝钉的改锥杆 • 汽车的方向盘轴 • 。。。
扭转变形的特点： 外力偶矩作用于垂直杆件轴线的平面内。 变形后杆件各横截面绕轴线发生转动。
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
4
引言
以扭转变形为主要变形形式的杆件统称为轴。
T 2πr02
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
24
5.2 扭转圆轴的应力与强度条件
例题5-3
由强度条件
T
2πr02
[ ]
解得 3.70mm
（d ）2 2T π[ ]
（2）按空心圆轴设计
由强度条件
max
T
Wp
[ ]
解得 D 107.7 mm
扭转裂纹
一段树干受扭转时，沿着树干方向开裂。原因： （1）受切应力； （2）沿树干方向纤维间强度最弱。
构件的破坏模式不但与受力状态有关，而且 与材料的力学性能有关。
秦飞 编著《材料力学》 第5章 扭 转
习题讲解 5.2-11
31
5.3 扭转圆轴的变形与刚度条件
材料力学(第五版)扭转切应力39页PPT
φ 圆轴两端面的
相对扭转角
Me
qq平面相对于pp的相对扭转
角为：d
圆轴表面的切应变γ 为：
aaR dRd
ad dx dx
Rd (a)
dx
pq
d’ a’ c’ b’
Me
φ
pq
p
q
R
d
a
ρ
c
a b
b
p
q
现研究圆轴内部的切应变
圆轴内部的切应变
R
d
ae
ρ
e
c
a e’ b
e’
b
d
dx
(b)
圆轴内部任意一点的切应变 与
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件
1、变形观察：
pq
圆周线不变（大小、
间距都不变）
Me
纵向线倾斜， 倾斜角相同
d
a
Me
c
b
pq
表面矩形变成 平行四边形
pq
薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。
Me
d’ a’ c’ b’
Me
圆轴无此结论
必须对内部变形作进一步分析
pq
2、平面假设
变形前的横截面，变形后仍为平面，且 形状、大小不变，原先的半径仍为半径。
B
mB
22
C
d1 mC
14
33.39 1 06m 3
( m) a A x B W T P A A B B32 .3 3 2 1 1 9 3 0 6 0 6.8 4 M P a
BC段： TB C 14kN m
A
d2
mA
T (kNm)
W pBC 1d3 2611 03 6 0 1 0 9
材料力学(第五版)扭转概念
P Me = 9550 n
(N m)
式中: 式中
P(kW) n r m in
(
)
二、扭矩和扭矩图 1、截面法 、
在要求内力处， （1）切：在要求内力处，用一截面 ） 假想将构件切成两部分。 假想将构件切成两部分。 任一部分为研究对象。 （2）取：任一部分为研究对象。 ）
Me
n Ⅰ n Ⅱ
Me
（3）代：在切开截面处加上 ）
M1 =15.9 kN m
M2 =4.78 kN m
M3 =4.78 kN m M4 =6.37 kN m
M21
B
M3
C
2
M 1
A
3
M4
D
若将主动轮A和从动轮 调换 若将主动轮 和从动轮D调换 和从动轮
T = M2 = 4.78 kN m 1
1
M2
B
1
M3
C
2 2
M4
D
3 3
M 1
A
T = M2 M3 = 9.56 kN m 2
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念
一、工程中承受扭转的构件
工程中承受扭转的构件
工程中承受扭转的构件
传动轴
二、扭转变形的概念
二、扭转变形的概念
1、受力特点 、 外力为位于横截面内的力偶矩 2、变形特点 、 对于圆截面直杆，扭转变形仅为横截面绕轴线发生相 对于圆截面直杆， 对转动，轴线仍保持为直线。 对转动，轴线仍保持为直线。
有关内力。 有关内力。 由该部分的平衡条件， （4）平：由该部分的平衡条件， ） 计算内力。 计算内力。
Me
Ⅰ
T
∑M
x
=0
T Me = 0
第5章 扭转 材料力学
dz
′ o
dy
x
dx
z
扭转
5.3.3剪切胡克定律
Gg
……剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
G为材料的切变弹性模量 另轴扭转时横截面上的应力
5.4.1 变形几何关系
Me MT
扭转
a
g
b O2 g
Me
g
dx a
MT
dx
dj
b
5.4.2物理关系(剪切虎克定律)
扭转
扭转实验前
扭转实验后
平面假设成立
结论
相邻截面绕轴线作相对转动 横截面上各点的切应力的方 向必与圆周线相切。
Me
扭转
r0
dA
x
M T τdA r0
A
得： τ 5.3.2 切应力互等 定律
y
M 2 r02t
切应力互等定律
纯剪切：单元体面各面上只有 切应力而无正应力的应力状态
MT 2 M C 114.6 N m
3.作扭矩图
MT
max
MT 2 114.6 N m
例5-1 图示传动轴，其转速n=300r/min，主动轮A输 入功率PA=120kW，从动轮B，C，D输出功率分别 为PB=30kW，PC=40 kW，PD=50 kW。试画出该轴 的扭矩图。
W 60 P 1000 60000 P
1分钟m作功
W ' M M (2n 1) 2nM
W W'
P M 9550 n
(N m)
扭转
B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。