固定收益证券4_收益率曲线和利率的期限结构

C3 C3 100 + C3 P3 = + + 2 1 + y1 (1 + y2 ) (1 + y3 ) 3
利率的期限结构
• 在上式中唯一的未知数就是3年期的即期利 率y3，因此带入P3，C3，y1和y2，可得：
7 7 100 + 7 100.25 = + + 2 1 + 0.0553 (1 + 0.0553) (1 + y3 ) 3 ⇒ y3 = 7.02% 1 ⇒ z3 = = 0.8159 3 (1 + y3 )
远期利率
• 假设1年期和2年期的即期利率分别为y1，y2， 1年以后的1年期远期利率为f0(1,2)
• 如果都是在2年末得到100美元，按照选择1， 在year0的投入为100/(1+y1)(1+f0(1,2))；如果 选择2，在year0的投入为100/(1+y2)2
远期利率
• 如果两种选择无差异的话，则初始投资应该一 样： 100 100
பைடு நூலகம்
远期利率
• 例子：某投资期为2年的债券投资者有以下 两种选择： • 选择1：购买1年期的零息债券，待其到期 后，再购买另外一只1年期的零息债券； • 选择2：购买2年期的零息债券。 • 如果这两种投资方法在2年后能带来同样的 收益，那么投资者选择哪一种债券都无关 紧要。
远期利率
• 该投资者知道1年零息债券和2年期零息债 券的即期利率。然而，他不知道1年以后购 买1年期零息债券的收益率（远期利率）。 • 给定1年期零息债券和2年期零息债券的即 期利率后，如何找出使得这两种选择一视 同仁的1年期债券的远期利率？
债券定价和YTM
• 截止到目前我们均是用YTM来定价债券：
• 对于每期的现金流来说，到期收益率均一 样，但是实际中，投资者并非如此。 • 每一个现金流将有它自己的折现率，折现 率取决于该现金流发生的时间和定价时点 的长度。
债券定价和YTM
• 考虑一个息票率为6.5%，半年付息，4年到 期的债券，其YTM=9.3%，价格为$91.795. • 因此：
收益率曲线和利率的期限结构
翟伟丽
上次内容
• 债券的定价 • 债券的风险衡量
一个基点的价格值 麦考利久期 修正久期 凸性
本次内容
• • • • • • • 收益率曲线 影响收益率曲线的因素 利率的期限结构 即期利率 远期利率 期限结构理论 STRIPS市场
什么是收益率曲线
• 收益率曲线（yield curve）是用图来描述到 期收益率相对于到期时间或者风险度量， 如某个市场（如财政证券）中债务证券的 修正久期，相互关系的术语。 • 收益率曲线综合了市场中不同参与者的预 期 • 收益率曲线的形状简洁的抓住并总结了不 同期限贷款的贷款成本
收益率曲线平行移动
• • • • 久期和凸性的局限性： 假设利率期限结构是平坦的 假设收益率曲线平行移动 假设未来现金流不随利率变化而变化
• 什么是平行移动？
收益率曲线平行移动
收益率曲线平行移动
利率的波动性
• 为了更好的理解收益率曲线形状及其变化模式， 我们需要检验短期利率和长期利率的波动性。 • 波动性（volatility）度量了变量围绕其均值的 变化。利率的波动性即利率相对于其期望平均 水平的可变性。 • 由历史数据可以估计出波动性。 • 传统的估计波动率的方法是给定频率（日，周， 月等）的一定数量的历史信息，计算序列的标 准差，然后将其年化，作为波动率的估计。 • 也可以利用期权等衍生产品价格估计出隐含波 动率。
利率的期限结构
• 综合所得：
到期期限（ 到期期限（年） 1 2 3 即期利率（ ） 隐含零息债券价格 即期利率（%） 0.9476 0.9015 0.8159 5.53 5.32 7.02
利率的期限结构
• 我们也可以利用矩阵的方法来计算： • 付息债券的信息表达为矩阵A：
0 105 0 A = 6 106 0 7 7 107
远期利率
• 所谓远期利率（forward rate of interest） 是 指隐含在给定的即期利率（spot rate of interest）中从未来的某一个时点到另一个 时点的利率水平。 • 以储蓄利率为例： • 现行银行储蓄一年期存款利率为3.5%，二 年期存款利率为4.4%，10000元存2年哪种 的收益高？先存一年，到期后取出连本带 息再存一年？直接存2年定期？
债券定价和YTM
• 但是实际中的利率情况为：
债券定价和YTM
• 按照实际折现率：
• 两种算法得到同样的债券价格$91.795. • 用第二种方法计算的时候就需要更好的理解利 率的期限结构 • 每一期息票的支付都可以看做是一个零息债券。
利率的期限结构
• 利率的期限结构（term structure of interest 利率的期限结构（ rates）是指无违约风险的零息债券的到期收益 ） 率与其期限之间的关系。 • 无违约风险的零息（纯贴现）债券的到期收益 率通常被称为即期利率(spot rate of interest)。 • 纯贴现债券的即期利率与其期限之间的关系被 称为即期曲线（spot curve）。 • 纯贴现债券：T-bills（国库券），strips（由美 国财政证券剥离获得的零息票债券）。
101.25 = 6 100 + 6 + 1 + 0.0553 (1 + y2 ) 2 ⇒ y2 = 5.32% ⇒ z2 = 1 = 0.9015 2 (1 + y2 )
利率的期限结构
• 实际上：
1 P2 − C2 z1 z2 = = 2 (1 + y2 ) 100 + C2 • 因此在算出来z1之后很容易就可以得到z2. z z • 最后，我们利用3年期的付息债券来得到3 年期的即期利率和隐含的3年期零息债券的 价格。
利率的期限结构
• 为简单起见，我们假设零息债券的面值为 $1，还有j期到期的零息债券的价格为zj：
• yj为还有j期到期的零息债券的每期的即期利 率。 • 如果是半年付息，零息债券的价格为： 1 zj = y j 2× j (1 + ) 2
利率的期限结构
• 现实中零息债券的价格较少，较难获得， 但是付息债券的价格很容易获得，因此我 们可以从付息债券中算出零息债券的价格 和即期利率。（系靴程序bootstrapping procedure） • 例：考虑如下的三个付息债券
平价债券收益率曲线
• 首先，我们从1年期平价债券开始，设其息票 为x1： 100 + x
100 =
1
1 + y1
• 带入y1，可得x1=5.53。 • 其次，我们计算2年期平价债券的息票率： • • 最后，计算3年期平价债券的息票率：
100 = x3 x3 100 + x3 + + 1 + y1 (1 + y2 ) 2 (1 + y 3 )3
什么是收益率曲线
• 收益率曲线是分析利率走势和进行市场定 价的基本工具，也是进行投资的重要依据。 • 不存在违约风险的收益率曲线形成了债券 市场的“基准利率曲线”，其他债券和各 种金融资产均在这个曲线基础上，考虑风 险溢价后确定适宜的价格。
收益率曲线的形状
• 收益率曲线通常被分成三种类型：向上倾 斜，水平，向下倾斜（或者反转的）
• 因此只要知道1年期付息债券的价格和息票， 就可以得到1年期零息债券的价格的1年期即期 利率的值。
利率的期限结构
• 接下来，我们来计算z2和y2：
C2 100 + C2 P2 = + 2 1 + y1 (1 + y2 )
• 注意：在第1年支付的第1个息票C1，以1年 期的即期利率折现；在第2年支付的最终支 付100+C2，以2年的即期利率折现。 • 在上式中只有y2未知，因此带入已知参数：
(1 + y1 )(1 + f 0 (1,2)) = (1 + y2 ) 2 ⇒ (1 + y1 )(1 + f 0 (1,2)) = (1 + y2 ) 2 (1 + y2 ) 2 ⇒ f 0 (1,2) = −1 (1 + y1 )
债券 1 2 3 价格 99.50 101.25 100.25 第一年 105 6 7 第二年 0 106 7 第三年 0 0 107
利率的期限结构
• 首先，我们利用1年的付息债券来计算1年 的即期利率和1年零息债券的价格。 • Pi为债券i的价格，Ci为债券i的息票支付，那 么第1只债券的价格表示为：
• 付息债券的价格向量： P = [99.50 101.25 100.25]′ • 零息债券的价格向量：
b = [ z1 , z 2 , z3 ]
• 那么零息债券价格和付息债券价格的关系 为： • P=A*b −1 • 从而： b = A P
平价债券收益率曲线
• 业内常用的另外一个收益率曲线为平价债 券收益率曲线（par bond yield curve）:以面 值出售的债券的到期收益率与其到期时间 之间的关系。 • 因为平价债券的到期收益率等于其息票率， 因此我们只要求出其息票率，就可以得到 平价债券的收益率曲线。 • 利用我们前例中求得的即期利率的结果。
100 + C1 P= 1 1 + y1
100 + 5 ⇒ 99.50 = 1 + y1 105 ⇒ y1 = − 1 = 5.53% 99.5
利率的期限结构
• 从而1年期的零息债券价格为： 1 z1 = 1 + y1
• 实际上：
1 P 1 z1 = = 1 + y1 100 + C1
1 = 1 + 5.53% = 0.9476