机械动力学——简谐惯性力激励
简谐运动的表达式动力学表达式
特别提示 如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡 态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情 况(1)不同星球表面g=GM/r2;(2)单摆处于超重或 失重状态等效g=g0±a,如轨道上运行的卫星a=g0 完全失重,等效g=0;(3)不论悬点如何运动还是受 别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动 时，摆线的拉力F与摆球质量的比值，即等效 g=F/m.
(1)求此单摆的摆长？
图10
(2)若增大摆长,共振曲线的峰值向左移还是向右移?
解析 (1)由单摆的共振曲线知,当驱动力的频率为
0.3 Hz时单摆发生共振,因此单摆的固有频率为
0.3 Hz,固有周期为T0= 摆长l为l= T ≈2 g2.8 m.
10s;由T=2π
3
得l 单摆的
g
4π2
(2)当摆长增大时，周期变大，固有频率变小，曲
性势能各是怎样变化的？
（3）该振子在前100 s的总位移是多少？路程是
多少？
精品
思维导图
解析 （1）由振动图象可得 A=5 cm,T=4 s, =0
则ω= 2 =π rπad/s
T2
故该振子简谐运动的表达式为 x=5 sin tπ cm
2
精品
(2)由图可知,在t=2 s时,振子恰好通过平衡位
置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移值不
线的峰值应向左移.
答案 (1)2.8 m
(2)左移
精品
题型4 单摆模型问题
如图11所示，ACB为光滑圆弧形
槽，弧形槽半径为R，R
.
甲球从弧形槽的球心处自由落下，
乙球从A点由静止释放，问：
图11
（1）两球第1次到达C点的时间之比.
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释
机械振动3强迫振动5-7讲解
3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数
3.5 简谐力与阻尼力的功
有阻尼的系统在振动时，机械能不断耗散，而振动逐渐衰减. 强迫振动时，激励对振动系统做功，不断输入能量，当输入
与耗散相等时，振动不衰减，振幅保持常值，即稳态振动.
(1) 简谐激励力在一个周期内所做的功。 设简谐激励力 F F0 sin t 作用在m上， 运动方程的解为： x X sin(t ) 则在一个周期内激励所做的功：
谐波分析方法也适用于分析任意周期惯性力激励的受迫振 动。
例3.6.1 设质量-弹簧系统受到如图2.10所示的周期方波激励：
F (t)
F0
F0
0 t T
2
T t T
2
试求此系统的响应，令λ=1/6， ζ=0.1，作出频谱图。
F(t) F0
频率为ω。利用傅里叶级数可将任意周期激励力分解为有
限个或可列无限个谐波分量，则任意周期的激励分解为有 限个或可列无限个谐波分量的简谐激励，系统的响应为对 各个谐波分量响应的叠加。这种分析方法称为谐波分析。
设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为
傅里叶级数，以复数形式表示为：
其中：
(2n 1) n
例3.6.2 发电机的振动。
曲柄、连杆质量不计，发电机总
质量m，活塞质量为m1，曲柄转
速ω。设r << l，只保留α=r/l的一
次项，求发电机的响应。
解：活塞的位置坐标xB：
k
A
r
l
O0 O θ
φ
《机械故障诊断》考试试卷(附答案)
《机械故障诊断》考试试卷（A卷）一、填空（每空1分，共10分）1、设备诊断技术、修复技术和润滑技术已列为我国设备管理和维修工作的3项基础技术。
2、设备诊断技术是依靠传感技术和在线检测技术进行分析处理，机械故障诊断实质是利用运行中各个零部件的二_次效应，由现象判本质进行诊断。
3、ISO标准属于绝对判断标准。
4、固有频率与物体的初始情况无关，完全由物体的力学性质决定，是物体自身固有的。
5、一般地，可用啮合频率与其周围边带频的幅值差来指示齿轮的好坏。
、6、振动频谱中包含机器零部件的机械状态信息，振动诊断的任务从某种意义上讲，就是读谱图，把频谱上的每个频谱分量与监测的机器的零部件对照联系，给每条频谱以物理解释。
7、安装加速度传感器时，在安装面上涂一层硅脂的目的是__增加不平整安装表面的连接可靠性____________ 。
8、滚动轴承的振动诊断方法包括有效值和峰值判别法、峰值因数法、概率密度分析法（用峭度衡量）等。
二、单项选择（每题2分，共10分）1、设备故障诊断未来的发展方向是（d ) A感性阶段B量化阶段C诊断阶段D 人工智能和网络化2、（a )是目前所有故障诊断技术中应用最广泛也是最成功的诊断方法。
A振动诊断B温度诊断C声学诊断D光学诊断3、对于润滑油液的分析属于（c ) A.直接观测法B参数测定法C.磨损残渣测定法D .设备性能指标测定4、一台机器设备在运转过程中会产生各种频率项，但不包括下述的（a) A旋转频率项B常数频率项C齿轮频率项D 变量频率项5、 .仅需在一个修正面内放置平衡重量的是a。
A.力不平衡B .力偶不平衡C.动不平衡D .悬臂转子不平衡三、判断题（每题 2分，共10分）1、一般说来，设备的故障和征兆之间不存在一一对应的关系。
（V)2、数字化网络监测是离线监测的发展趋势。
（X )3、超声波诊断方法中包括超声波测厚技术。
（V)4、利用声响判断物品的质量是人们常用的简易方法。
（V)5、膨胀式温度计里面包括有水银温度计。
简谐激励的响应.ppt
第3章 单自由度系统的强迫振动
振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对 外部激励的响应。第2章讨论了振动系统在外部初 始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振 动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用 下所产生的振动，称为强迫振动。强迫振动从外界 不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统 得以持续振动。
外部激励引起的系统的振动状态称为响应。系 统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简 单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周 期激励及非周期激励。
叠加原理是线性振动系统分析的基础。即对于 线性系统，可以先分别求出对所给定的各种激励的 响应，然后组合得出总响应。
3．1 对简谐激励的响应 如图所示为二阶线性有阻尼质量—弹簧系
第一项是初始条件产生的自由振动；第二项是简谐
激励产生的强迫振动；第三项是不论初始条件如何
都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不
可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当
t=0时，
，上式简化为
在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时 间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如 图所示。
例3.1—2 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支， 距铰支端l处有一质量为m的质点；距2l处有一阻尼 器，阻尼系数为c；距31处有一刚度为k的弹簧，并 作用一简谐激励F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡， 试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率ω等 于固有频率ωn时质点的振幅。
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在 ω=ωn处，而发生在
从图中同样可以看出振幅最大的峰点在 λ=ω/ωn=1的左面，为了确定曲线峰点的位置， 可以采用计算极值的标准数学方法，即将方程对 ω(或λ)进行微分，并令其结果等于零。即
13机械振动+简谐运动动力学
第五章机械振动
第二篇机械振动和机械波
§5.1 简谐振动的描述
位置随时间作简谐（正弦或余弦）变化的运动叫简谐振动，简称谐振动。
物体保持静止时的位置称作平衡位置。
（不一定对应于弹簧的自然长度）。
，加速度；速度运动方程描述运动的几个概念：a v )t (r r
)cos(ϕω+=t A )sin(v ϕωω+-=t A cos(a 2
ϕωω+-=t A 运动是匀速圆周运动。
方向垂直的谐振动的合。
反之，两个振动向垂直的谐振动的叠加动可分解成两个振动方。
一个匀速圆周运轴上的投影也是谐振动匀速圆周运动在y 轴正方向之间的夹角。
为位置矢量与x
⎪⎬⎫2
x d 0
x m k dt x d 22=+⇒弹簧振子：轻弹簧＋系在其一端的重物；弹簧另一端固定。
三、判断一个系统作谐振动的方法
dt d x dt
x d k 0 122
222
=+-θωθ或，进一步根据牛顿第二：分析物体所受合外力的形式。
是否得到：写出机械能守恒的表02
22
=+x dt
x d ω
0J
k
=+θJ
k
2
≡
ω02
=θω)
cos(max ϕω+t
作业：5-2, 5-7, 5-9, 5-10，5-15。
第四节简谐激励振动理论的应用讲解
第四节 简谐激励振动理论的应用一、 旋转不平衡质量引起的强迫振动 （一）运动方程及其解在高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源之一。
一个旋转机械的力学模性：设旋转机械总质量为M ，转子的偏心质量为m ，偏心距为e ，转子的转动角速度为ω。
选静平衡位置为坐标原点，坐标x 表示机器离开静平衡位置的垂直位移，而偏心质量的位移为sin x e t ω+根据牛顿运动定律，列出系统的振动微分方程2222()(sin )d x d dxM m m x e t c kx dt dt dtω-++=--整理后，得2sin Mx cx kx me t ωω++= （3-18）上式的形式与方程（3-1）相似，只是由2me ω代替了0F ，故前面所有的分析都可适用。
设n ω=， 2n c M ζω= ， nr ωω=则方程（3-18）的稳态响应为()sin()x t X t ωϕ=-式中振幅X 为2221me X me kme r M ωω===显然，相位差ϕ为2221c rtg k m rωζϕω==-- 可见，偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量me 成正比。
为了减小振动，旋转机械的转子通常要作平衡试验，使质量分布尽可能均匀。
（二）幅频特性放大因子定义为2MX rme = （3-19）以放大因子MX me为纵坐标，频率比r 为横坐标，阻尼比ζ为参数，画出幅频特性曲线。
1.02.3.4.0MX me由曲线可见：1. 当0nr ωω=→时，0MX me →，即振幅接近于零。
2. 当1nr ωω=>>时，1MX me →，即振幅趋近于常数，即 meX M≈而与激励频率及阻尼比基本上无关。
3. 共振发生在1r =即ωω=时，位于1r=的右边，共振振幅为1me X M =当阻尼很小时（0.2ζ≤），可以认为当1r = 即 n ωω=发生共振，共振振幅为2me me X M cωζ==安放在机器正上方，以测定机器的振动特性。
机械动力学(振动学)理论知识总结
机械动力学理论知识点总结机械振动：指物体在其稳定的平衡位置所做的往复运动；固有振动：无激励时，系统所有可能的运动的集合；自由振动：没有外部激励，或者外部激励出去后，系统自身的振动；自激振动：系统有其本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动；参数振动：激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动；简谐振动：物体与位移成正比的恢复力作用下，在其平衡位置附近，按照正弦规律做往复的运动；阻尼:系统中存在的各种阻力:干摩擦力，润滑表面阻力，液体或者气体等介质的阻力、材料内部的阻力。
瑞利法：利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法；耦联:两个质点的运动不是独立的、他们彼此受另一个质点的影响。
弹性耦联：表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中，就称这些坐标之间存在弹性耦联；惯性耦联：当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间存在惯性耦联；解耦：就是用数学方法将两种运动分离开来处理题赏用解帮方法就是忽略或简化对所研究问题影响较小的种运动，只分析主要的运动。
拍振:同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的条件是两个简谐分量的顿率相差很小。
对于两自由度无阻尼的自由振动，即它们的主振动是简谐振动，所以当两个固有频率相差很小的时候可能出现拍振。
响应谱:系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图。
耦合是指两个或两个以上的体系或两种运动形式间通过相互作用而彼此影响以至联合起来的现象。
瑞利能量法：适用于求系统的基频，他的出发点是假设振型和利用能量守恒条件；里兹法：里兹法对近似振型给出更合理的假设，从而算出的基频值进一步下降，并且可得到系统较低的前几阶固有频率，及相应的主振型。
邓克来法：是求多圆盘的横向振动基频近似值的一种方法，当其他各阶的固有频率远远高于基频时，利用此法估计基频较方便。
基频为实际值的下限。
邓克来法和瑞利能量法可以确定基频的范围。
03-1 单自由度简谐激励的响应
第3章 单自由度系统的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
强迫振动：系统在持续性的外激励作用下所产生的振动。
(k m 2 ) X sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
为便于比较，把上式右端的F0sint改写如下
F0 sin t F0 sin[(t ) ]
F0 cos sin t F0 sin cos(t )
Cx Kx F (t ) mx
激励分类：
激励力 外激励 激励位移 简谐激励 周期性变化的激励力 任意周期激励 任意激励
3.1
简谐激励的强迫振动
燕山大学
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简谐激励运动微分方程为：
m x cx kx F (t ) F0 sin t
燕山大学
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(k m 2 ) X sin(t ) c X cos(t ) F0 cos sin t F0 sin cos(t )
2 ( k m ) X F0 cos sin(t )
共振频率
1 2 2
r 1 2 2 n
共振时放大因子 共振振幅
1 2 1 2
实际使用时，由于ζ较小，一 般将ωr ＝ωn作为共振率。
X
X0 2 1
2
共振时的响应
燕山大学
动力学中的机械振动
动力学中的机械振动在物理学中，机械振动是指物体围绕某一平衡位置做周期性的往复运动。
而动力学则是研究物体运动的学科。
本文将探讨动力学中的机械振动以及与之相关的概念、方程和应用。
一、简谐振动简谐振动是指物体在恢复力的作用下，做频率恒定、振幅不断改变的振动。
振动的周期性表现为物体围绕平衡位置做往复运动，在物理学中有着广泛的应用。
1.1 振动的描述简谐振动可以通过以下的数学描述来表示：\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]其中，\(x(t)\)是物体在时刻\(t\)的位移，\(A\)是振幅，\(\omega\)是角频率，\(\phi\)是相位差。
这个方程说明了在简谐振动中，位移与时间的关系可以通过余弦函数来描述。
1.2 振动的特征量在简谐振动中，有几个重要的特征量需要了解：- 振幅（Amplitude）：振幅代表了振动的最大位移，是一个正数。
- 周期（Period）：周期代表了振动完成一次往复运动所需要的时间。
- 频率（Frequency）：频率是周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
- 角频率（Angular Frequency）：角频率是频率的2π倍，用来描述振动的快慢。
- 相位（Phase）：相位是刻画振动在时间轴上的位置，反映了振动的起始状态。
二、受迫振动受迫振动是指物体在外力作用下发生的振动。
外力的作用可以改变物体原来运动的频率、振幅和相位差。
2.1 受迫振动的描述受迫振动可以用下面的方程来描述：\[x(t) = X \cdot \cos(\omega t + \phi) + x_p(t)\]在这个方程中，第一项代表了自由振动的位移，第二项则代表了受迫振动的外力引起的位移。
自由振动的位移由角频率和相位差决定，而受迫振动的位移则与外力的大小和频率有关。
2.2 共振共振是指外力频率与物体自身固有振动频率相同或接近时，振幅急剧增大的现象。
共振现象在实际应用中有着重要的作用，如音叉、电子钟等都是基于共振原理工作的。
单自由度系统受迫振动
x(0) x0
x(0) x0
x
2 0
x
B
2 0
sin
t
B F0 k
s 0
通解：
x(t)
c1
cos 0 t
c2
sin
0t
B 1 s
2
sin
t
齐次通解
非齐次特解
c1、c2 初始条件决定
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(t)
c1
cos0t
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
1
Bs s
2
sin 0t
1
B s
2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
（2）当s>>1（ 0 ）
位移与激振力反相
（3）当 s 1
0
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
sinx00 0stin10Bt s21cBosss2 stin
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k 2
c
k 2
x
k
M
t
e m
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
c
cx kx me 2 sin t M x
17
谢 谢！
18
D
支撑运动： x f (t ) Dsint
系统固有频率从左到右：
0 1.6, 0 1.0, 0 0.63
1.001
10
简谐惯性力激励的受迫振动
• 已知质量块相对基座位移为x1， 而基s
2
2
x1 (t ) Dsin(t ) x f (t ) Dsint
2 0 x 20 x x 0
cx kx F0 sin t mx
• 变换动力学方程可以得到：
2 0 x 2 0 x x
固有频率：
0
k m
F0 sin t m 相对阻尼系数： c 2 km
（齐次微分方程）
x (t )
a
z
14
简谐惯性力激励的受迫振动
满载时阻尼比ζ1=0.5； 空载时阻尼比ζ2=1.0； 满载时频率比s1=1.87； 空载时频率比s2=0.93 记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2。 有：
B1 1 (2 1s1 ) 2 0.68 2 2 2 a (1 s1 ) (2 1s1 )
m
k/2 xf
c
x 0 k/2 xf
l =5 m
a l
z
B2 1 (2 2 s 2 ) 2 1.13 2 2 2 a (1 s 2 ) (2 2 s 2 )
因此满载和空载时的振幅比：
B1 0.60 B2
这就解释了地盘重汽车振动更小
15
简谐惯性力激励的受迫振动
振动传感器
x1 (t ) Dsin(t )
• 则质量块的绝对位移为：
tan 1
2 s 1 s 2
x x1 x f Dsin(t ) Dsin(t ) cos 1Dsin(t ) Dsin cos(t ) 2 Dsin t 2
2
16
简谐惯性力激励的受迫振动
高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转 机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为ω
x：机器离开平衡位置的垂直
位移 则偏心质量的垂直位移：
e
t
m x
me 2 sint
M
k
x c
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
单自由度系统受迫振动
姓 名: 何江波
学 院: 机械工程学院
邮 箱：445875183@
2016/12/18
简谐力激励的受迫振动
• 响应分析 • 稳态响应的特性 • 简谐惯性力激励的受迫振动
2
简谐惯性力激励的受迫振动
背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动
3
简谐惯性力激励的受迫振动
• 设质量块相对基座位移为x1，而基座位移为正弦函数 ：
x
m
汽车的拖车在波形道路上行驶。
已 知 拖 车 的 质 量 满 载 时 为 m1=1000 kg，空载时为 m2=250 kg。 悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m; 阻尼比在满载时为ζ1=0.5。 车速为 v =100 km/h。路面呈正 弦波形，可表示为 2 z x f a sin l
1.4
1
t
0.2
5
简谐惯性力激励的受迫振动
振动微分方程：
2 0 x 2 0 x x
F0 sin t m
• 设特解为带有初始相位的正弦函数:
x2 (t ) A2 sin(t )
式中，A2 和ϕ 分别为振动幅度和相位，它们是待定常数
• 将特解公式带入振动微分方程可以得到:
2
2 1 s 2 2 s 2
2 ( s)
0 0.1 0.25
可看出： 当 s 2 时， 2 1
0.35 0.5
幅频曲线
振幅恒为支撑运动振幅D
1
1.0
当 s 2 时， 2 1 振幅恒小于D 增加阻尼反而使振幅增大
0 0 1
2
s
12
简谐惯性力激励的受迫振动
例：
k/2 xf
0 c k/2 xf
l =5 m
a l
z
求： 拖车在满载和空载时的振幅比
13
简谐惯性力激励的受迫振动
解：
•已知行驶速度为v，则行驶路程可表示为：
m
z vt
•那么路面的波形就可以表示为：
k/2 xf
c
x 0 k/2 xf
l =5 m
2 vt l l •路面的激励频率为： 2 v 34.9 rad / s l c 已知 ，以及c、k 为常数，因此 与 m 成反比 2 km m1 1 因此得到空载时的阻尼比为： 2 1 m2 m1 m2 s 1.87 s 0.93 2 满载和空载时的频率比： 1 01 k 02 k x f asin
1 cx 1 kx1 mx f mD 2 sint mx
特点：激振惯性力的幅值与频 率的平方成正比例
4
简谐惯性力激励的受迫振动
• 令： mD 2 F0 • 则动力学方程转换为： 非齐次微分方程通解 ＝ 齐次微分方程通解(齐次解) ＋ 非齐次微分方程特解 • 齐次解
6
简谐惯性力激励的受迫振动
带人方程(1)中，可以得到：
F0 F0 2 2 A cos sin( t ) 2 A sin cos(t ) 0 2 0 0 2 m m
(s)
0.25 0
幅频曲线
180
(s)
相频曲线
0.5 1 0.75
90
1.0
2.0
s
0 1
s=ω /ω 0
0
1
s
9
简谐惯性力激励的受迫振动
x1 (t ) Dsin(t )
s2
1 s 2 s
2 2
2
D
tan 1
2 s 2 1 s
F A2 0 cos 0 m F 2 0 A2 0 sin 0 m
2 0 2
A2
F0
2 m 0 2 2 0 2 1 2
2 0 tan 2 2 0
7
简谐惯性力激励的受迫振动
x f (t ) Dsint
x m 0 c xf m
D：基座位移振幅
• 质量块受到弹簧力和阻尼力作用，分为：
x1
k
Fk kx1 ,Fc cx1
• 质量块的运动平衡方程为：
1 kx1 m( x1 x f ) cx
• 质量块的运动平衡方程为：
kx1
1 cx
2 A2 0 2 sin(t ) 2 0 A2 cos(t )
F0 sin t m
为了便于比较，将上式右端也表示为两个三角函数:
F0 F F F sin t 0 sin t 0 cos sin t 0 sin cost m m m m
x m
2 s , tan 1 2 2 1 s 2 2 1 s 2 s s
2
0
c xf
x1
k
放大因子：β；频率比：s=ω /ω 0 当s<<1时，并且阻尼很小时，β 可以表示为：
s 2 , 0
2 1 x1 (t ) s Dsin(t ) 2 Dsin(t ) 2 x1 (t ) 0 0
• 绝对位移的放大因子为：
cos sin
1 s 2 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2 2 s (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
2
1 2 s
2
2 1 s 2 2 s 2
11
简谐惯性力激励的受迫振动
2
1 2 s
2 s A2 D, tan 1 1 s 2 s2 2 2 2 1 s 2 s
放大因子：β
频率比：s=ω /ω 0
8
简谐惯性力激励的受迫振动
s2
2 1 s 2 2 s 2
2 s A2 D, tan 1 1 s 2
A2 F0
2 m 0 2 2
2 0
2
F0 mD 2
A2
mD 2
2 m 0 2 2 0 2 2
tan 1
2 0 2 2 0
tan 1
2 0 2 2 0