线性代数期末考试题及答案

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

四、证明题(每小题7分，共14分).1.设n 阶方阵A 满足270A A E --=,证明A 和3A E -可逆.2.设n 阶方阵A 满足2A E =,证明A 特征值是1或-1.答案：一． 1．D 2. A 3. B 4. D 5. B 6.C 7.D 8．B二．1．6E 2. 111211n -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3. 1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ 4. 0 5. 2k = 6.111,,23- 三．1．32301230n n n a a x a x a x a x =+++=∑2． 121312134841200003630009A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因此当9a =时，秩(A )=1；当9a ≠时，秩(A )=2；3．解一2130053213011301022401123419013112100201010011000010350********014141035011200110000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→--→所以41232a a a a =++。

解二 考虑4112233a x a x a x a =++即 123122312323031224349.x x x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-++=-=-+=+-=方程组有唯一解(2，1，1)T ，组合系数为(2，1，1)4．解：222222323100100100010010010001001001100100010100100010010001001010001A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢-+-+⎢⎥⎢→→⎢⎥⎢--⎢⎥⎢--++⎣⎦⎣ 222232332342341001000100100010010010001λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎥⎥⎥⎥⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-++-++⎢⎥⎢⎥--+++⎣⎦⎣⎦(1)当1λ≠±时，有唯一解；(2)当1＝λ时，()4,()3r A b r A == ，无解；(3)当1-=λ时，()()3r A b r A == ，有无穷多解，通解为 k k x T T ,)1,1,1,1()0,1,0,1(--+=任意。

四．1．证明：22707()77A EA A E A A E A A E E AE ---=⇒-=⇒-=⇒=，所以A 可逆，且17A EA --=. 270(3)(2)0(3)(2)A A E A E A E E A E A E E --=⇒-+-=⇒-+=，所以3A E -可逆，且1(3)2A E A E --=+.2．证明：设λ为A 的特征值，x 为对应的特征向量，则Ax x λ=，22()()()A x A Ax A x Ax x λλλ====，因2A E =，上式得2Ex x λ=，又因为单位阵E 的特征值全为1，所以211λλ=⇒=±.《线性代数》模拟题（B ）卷五、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式D=12513225a-=0，则a =( ).A. 2；B. 3；C. -2；D. -3.2.设A 是m n ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，C 是m s ⨯矩阵，则下列运算有意义的是( ). A. AB ； B. BC ； C. T AB ； D. T AC . 3.A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( ).A. A A -=- ；B. 若0A ≠，则0Ax =有非零解；C. 若2A A =，则A E =；D. 若秩()A n <，则0A =. 4.设A 为n (2)n >阶矩阵，秩()1A n <-，则秩(*A )=( ).A. 0；B. 1；C. 1n -；D. n .5.设矩阵101002340005A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则A 中( ).A ．所有2阶子式都不为零；B ．所有2阶子式都为零；C ．所有3阶子式都不为零；D ．存在一个3阶子式不为零. 6.设A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =有惟一解的充分必要条件是( ).A ．m n =；B ．0Ax =只有零解；C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出；D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关. 7.向量组s ααα ,,21的秩不为2S ≥的充分必要条件是( ).A. s ααα ,,21全是非零向量；B. s ααα ,,21 全是零向量；C. s ααα ,,21中至少有一个向量可由其它向量线性表出；D. s ααα ,,21中至少有一个零向量.8.若方阵A 与对角矩阵D=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111相似，则6A =( ). A. A ； B. E -； C. E ； D. 6E .六、填空题(每小题3分，共18分).7.行列式1111123414916182764的值为_________________ .8.设A 是m n ⨯矩阵，且A 的秩为r n <，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系中含有解的个数为 __________ .9.方程组132312 2 02 1x x t x x x x -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 有解的充分必要条件是t =_____________.10.若向量),,0(2k k =β能由向量123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)k k k ααα=+=+=+唯一线性表示，则k 应满足 _______________ .11.二次型323121232221321444),,(x x x x x x tx tx tx x x x f +--++=是负定的,则t 的取值范围是__________________.12.设三阶方阵A 的特征值为1，-1，-1，且2B A =，则B 的特征值为_________.七、计算题(共44分).1.(7分)计算行列式3111131111311113.2.(7分) 设120250003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求1A -.3.(15分)λ取何值时，线性方程组123123123(21) (1) 1 (2) (1)(2) (21) (1)(21)x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλ+-++=-⎧⎪-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎩有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时求通解.4.(15分)已知2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量是(1,1,1)Tx =-. (1) 确定,a b 以及x 对应的特征值λ； (2)求r(A).八、证明题(每小题7分，共14分).3.设n 阶方阵A 满足220A A E --=,证明A 和E A -可逆.4.设n 阶方阵A 可逆，λ是A 的一个特征值，证明21λλ+是矩阵12A A -+的特征值.答案：一．1．B 2. C 3. D 4. A 5. D 6.D 7.C 8．C 二．1．12 2. n r - 3. 1 4. 03k k ≠≠且 5. 4-<t 6. 1,1,1 三．1．解：将第2,3,4行元素都加到第1行上，得21314131116111111111111311*********20066684811316131113100201113611311130002r r r r r r --====⨯=- 2．15202101003A -⎛⎫ ⎪-⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭3．解：21111212012012(1)(1)2112101211A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-+-+=---=--=--=-+-----+因此当10±≠≠λλ，且时，有唯一解； 当0λ＝时，101110111011212001020102111001010001A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()2,()3R A R A ==无解； 当λ＝1时3120312001131011`10111011101101131011000200020002A ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→--→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2,()3R A R A ==，无解 当λ＝-1时110211021102323132310535323100000000A ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----→----→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()2R A R A ==，有无穷多解。