勾股定理的数学思想
勾股定理的内容
勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。
在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。
起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。
据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。
后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。
在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。
随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。
数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。
这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。
应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。
例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。
总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。
结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。
了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。
在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
勾股定理应用中的数学思想
勾股定理应用中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，揭示了直角三角形的一个重要的三边关系．在勾股定理的探索和应用过程中，蕴含着丰富的数学思想．下面试举几例：一、方程思想方程思想是初中数学中一种常用的数学思想，它通过设未知量、寻找相等关系建立方程模型，运用方程的有关知识沟通“已知”和“未知”之间关系的思想，即方程思想．例1、如图1，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC 边上的高AD ．分析：本题的图形是由一条公共边AD 的两个直角三角形（Rt △ABD 和Rt △ACD ）组成的图形，我们一般称为复合三角形．求解复合三角形的基本思路是抓住公共边，利用公共边相等来建立方程．解析：设DC=x ，则BD=14- x ．根据勾股定理得 AD 2=152-（14- x ）2， AD 2=132- x 2∴152-（14- x ）2=132- x2225-（196-28x + x 2）=169- x 2225-196+28x -x 2=169- x 228x=169-225+196 28x=365-225 28x=140 x=5在Rt △ACD 中 AD 2= AC 2-CD 2=132-52= 144 ∴ AD=12 二、数形结合思想数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例1．如图2有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC•沿直DABC图1线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．解析：本题关键在于观察图形，明确折叠前、后的两个图形是全等的，特别要注意△DEB 仍是直角三角形．通过Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8 利用勾股定理可求出 AB=10．由题意知△ACD ≌△AED ⇒∠AED=∠C=90°⇒∠DEB=90°，且DE=CD ，AC=AE=6，设CD=x ，则DE=x ，而EB=10-6=4，抓住Rt △DEB 的三边关系，利用勾股定理就可以求出．在Rt △DEB 中，BD 2=DE 2+BE 2（8-x ）2=x 2+42， 64-16x+x 2=x 2+16， 16x=48， 解得x=3（cm ）． 即CD 的长是3 cm. 三、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．例3.在一个直角三角形中，已知有两条边的长分别为3和4，求以第三条边为边长的正方形的面积．解析：此题中并没有说明第三条边是直角边还是斜边，所以需要分类讨论，设第三条边的长为x ．（1）当x 为斜边时，根据勾股定理得x 2=32+42=52=25，所以第三条边为边长的正方形的面积是25．（2）当x 为直角边时，根据勾股定理得x 2=42-32=16-9=7，所以第三条边为边长的正方形的面积是7．因此，以第三条边为边长的正方形的面积是25或7. 四、转化思想转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．数学的解题过程，就是图3AMG C DEH FB从“未知”向“已知”、从“复杂”到“简单”的化归转换过程．在本章中，求长方体、圆柱等立体图形表面的最短距离时，通常都是把其侧面展开成平面图形，然后根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求解．例4. 如图3是一个长8 m、宽6m、高5m的长方体形仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，请你帮壁虎设计爬到蚊子处的最短路线，并说明理由．解析：解决立体图形中最短距离问题的关键是把利用转化思想，把陌生的立体图形转化到熟悉的平面图形，再利用“两点之间，线段最短”求解，壁虎要从A点爬到B点，有两条路线可走：（1）如图a，经过CDEF面后进入CFGH面到达B点．在Rt△ABE中，BE=4+5=9m，AE=6m，根据勾股定理得AB2=AE2+BE2=62+92=117 .(2)如图b，经过CDEF面后进入EFGM面，在Rt△ABN中，EN=FB=4m，AN=AE+EN=6+4=10m， BN=FE=5m，所以AB2=AN2+BN2=102+52=125. 显然125＞117,所以壁虎趴到蚊子处的最短路线是沿着图a中的线段AB．图aHCD EFGAB图bG CDFAB。
勾股定理中的数学思想方法.docx
勾股定理中的数学思想方法山东李敏数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁，如果能正确把握数学思想方法, 在解题时可思路开阔，方法简便、快捷，下面就勾股定理屮的数学思想方法归纳如下，供同学们在复习时参考，一、方程思想例1、（课本题）在我国古代数学著作《九章算术》中记载看〈池葭出水〉的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的末端正好与水面一样平，水有多深？芦苇有多长？求解此题（“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈二10尺，1米二3尺）分析、由图1和题意，我们可抽象出图2,在图2屮AC为水深，BC为水面宽的一半，AD 和AB都等于芦苇的长度，AABC为直角三角形解、设水深AC=x尺，芦苇长为AB=（x+l）尺，D 在RtAABC中，根据勾股定理得：X2+52=（X+1）2解得：x=12所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺点评、方程虽然是代数中的内容，但是很多儿何图形的计算问题，都可以转化为方程问题来解决，本题虽然只有一条直角三角形的边，但题意中包含看另二条边的关系，因此我们可以从这一数量关系入手就可以利用勾股定理列出方程，通过方程使问题得以解决.二、转化思想例2、如图3,有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在图柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A处相对的B处的食物，沿着圆柱的侧面爬行的最短距离是多少？（兀取3.）分析、木题看上去是一个曲面上的路线最短问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图转化为平面上的路线最短问题，使曲转化为直，如图4是圆柱的侧面展开图，其一边长为圆柱的高, 另一边长为圆柱的底面周长，显然，蚂蚁沿AB线爬行时，其爬行的路线最短,解、画出圆柱的侧面展开图，如图4, 根据题意，蚂蚁在A处，食物在B处，AB为蚂蚁爬行的最短路线，IL AC=12,1BO- X2 n X3=92在RtAABC中，根据勾股定理AB2=AC2+BC2=122+92= 152所以蚂蚁爬行的最短路线AC=15厘米点评、本题将曲面上的问题，转化为平面上的问题，充分体现了，转化思想在解题屮的应用.三、整体思想例3、(课本题)已知a 、b^ c 分别是RtAABC 的两条直角边和斜边，且a+b 二14, c=10,贝§ S AABC = ____________分析，一般的想法，耍求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b,则S AABC 即可求 出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S AABC =-^，那么只要2求出ab 这一整体就可以了.解、由 a+b=14,两边平方得：a 2+2ab+b 2=196,根据勾股定理，a 2+b 2=c 2因此、S AABC 二—ab =48 2点评、整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定 程度上，体现了解题者的目标意识.四、数形结合思想例4、用四个全等的直角三角形可以拼成如图5所示的正方形，这个 图形我们称之为“弦图”，利用这个“弦图”，你能验证:a 2+b 2=c 2 吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流.分析、显然，图5以c 为边长的正方形的面积有两种不同的表示方法解、由图可知;S 正方形=4X —ab+ (b-a) 2=a 2+b 22 2 S 正方形二c 所以、a 2+b 2=c 2点评、数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识 转化为形彖的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视. 所以ab= 196-（/+沪） 2所以,"豊=196-10； =48。
数学思想在“勾股定理及逆定理”中的体现
数学思想在“勾股定理及逆定理”中的体现勾股定理及逆定理是数学中的一个重要互逆定理，它的应用极为广泛，我们在解题时若能正确的运用数学思想和方法，将会使你的解题思路更为开阔。
希望同学在学习数学知识，求解数学问题时，要注意领悟和掌握蕴含其中的数学思想。
1、数形结合的思想。
数形结合是一支双刃剑，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
N M例 1 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A.13B.26C.47D.94解析：由勾股定理可知所以故应选C.2、方程思想。
方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为方程来求解，勾股定理的灵活运用为用方程解决某些图形中线段的长度的计算问题构筑了一个极好的平台。
例2在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？解析：如图所示，一只猴子经过的路径B→C→A，共走了10+20=30（m），另一只猴子经过的路径是B→D→A，也走了30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决.3、转化思想。
转化是求解问题的一种办法，往往会收到“山丛水复疑无路，柳暗花明又一村。
”的效果。
例3有一根13dm长的木棒，要放在长、宽、高分别是4dm，3dm，12dm的木箱中，能放进去吗？解析：木箱即为长方体，因此若能求出长方体的对角线的长，再与13dm长的木棒比较即得答案. 由勾股定理，得这个木箱对角线长的平方=32+42+122=169=132，而木棒长的平方为132，即木箱对角线长的平方=木棒长的平方，所以13dm长的木棒刚好能放在长、宽、高分别是4dm，3dm，12dm的木箱中。
说明本题的求解过程中，利用勾股定理将问题转化为比较两条线段的大小.另外，在运用勾股定理求解问题时，有时会遇到不是直角三角形，这时，我们必须通过作高线的方法，将此转化成直角三角形，这样就便于解决问题.4、分类讨论思想。
勾股定理中隐含的数学思想
．
■
图 １
一
对数学 问题进行 分情况讨 论求解 ，可使解 题准确 ，从而 避
例 ４ 下面是数学课堂的一个学 习片断 ，阅读后 ，请 回答 下
免产生漏解现象出现．
面 的问 题 ．
学 习勾 股定理有 关 内容后 ，张老 师请 同学们交 流讨 论这 样
解 析 ：由题 意可 知 ＋ｂ ＝１ ，（ 一ｂ ｚ ： ３ ０ ）＝１
一
、
课 堂提 问 表 象
思 维起源于 问题 ，没有 问题 就没有思维 ． 数学课堂 中每天都 的研究 调查和实 际操作策 略等方 面的研究较 少 ，已有 的成果被
在 思考问题 ，解决 问题 ，但 这些问题 中的含金量 有多少 呢？有 引入 到具体 的数 学教学 实践时 ，在操作 中就 难免会 出现许 多误 下 效 性多大 呢？结合 笔者听课 经历 ，发 现一部分 教师根 据数学 内 区． 面就课 堂教学 提问中存在 的误 区进行分析与探究． 容设计 问题的意识 比较差 ，有效 提问很少 ． 这种现状直 接导致课 堂 教学 效率低下 ，急需 改观．
陈 同金 （ 西省赣 州 中学） 江
摘 要 ：数学 思想方法对 于打好 “ 双基 ”和加 深对知识 的理
根据完全平方公式 （ —ｂ ２ ａ ｎ ）＝ａ —２ｂ＋ｂ 可得 １ ３—２ｂ＝１ ａ ，
所 以 ２６＝１． ｎ ２ 所 以 （ ＋ｂ ２ ａ ０ ）＝ａ ＋２ｂ＋ｂ ＝１ ３＋１ ２＝２ ． ５
想 ，构造直角三角形 ，再利用勾股定 理求解．任何一个数学 问题
二 、 整体 思 想
对 于数 学问题 ，从 大处着 眼 ，从整 体人手 ，可使 问题 变难 都 是通过数或形 的逐步 转化 ，化 归为一个 比较熟悉 、比较容易
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=； 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b c 222+=，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考． 一、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想． 例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-22222230)5()5(20x y x y只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值．②-①得10（x+y ）=500∴x+y=50故标杆的高为50cm评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．二、方程思想例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；图1出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题．析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为x 尺，根据勾股定理，可得2222(0.5)x x +=+，所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺． 三、转化思想例4．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ⨯=．在Rt ACB △中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，因此彩带的长为 2.9m AB =．（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．∵EF 为木柱的17，∴2m 7EF =. 又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222DE DF EF =+， ∴29m 70DE =，因此，彩带的长为7 2.9m DE ⨯=． 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．四、分类讨论思想例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．A .)323(+厘米B .97厘米C .85 厘米D .9厘米分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得222310AB +==109． 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得22267AB +==85．分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得22294AB +==97． 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以85=AB 厘米．故选C ．五、整体思想例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC =分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b ，则S △ABC 即可求出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S △ABC =ab 21，那么只要求出ab 这一整体就可以了．解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196， 所以ab=()219622b a +- 根据勾股定理，a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48 因此S △ABC =ab 21=48例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在Rt FAC △中，22222135194F C A F A C =+=+=，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成） 评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
勾股定理中的数学思想
勾股定理中的数学思想数学思想是解决数学问题的灵魂，正确运用数学思想也是解题成功的关键。
在运用勾股定理解题时，尤其应注重数学思想的运用。
那么勾股定理解题中，蕴含了哪些数学思想呢？现就勾股定理中的常用的数学思想举例说明。
一、方程思想例1：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝8，△ABD 沿BD 对折，交DC 与F ，求CF 的长？解：由题意得，△AB D ≌△EB D∴∠ABD ＝∠EBD又∵A B ∥DC∴∠ABD ＝∠BDC∴∠EBD ＝∠BDC∴BF ＝DF设CF ＝x,则BF ＝DF ＝8-x在Rt △BCF 中，222CF CB BF +=即：2226(8)x x +=-,解得：x=74∴CF ＝74二、分类讨论思想 例2：一个等腰三角形的周长为14ｃｍ，一边长4ｃｍ，求底边上的高。
解：(1)若4ｃｍ为腰长时，则底边长为6ｃｍ则底边上的高(2) 若4ｃｍ为底边长时，则腰长为5ｃｍ则底边上的高∴底边上的高三、数形结合思想例3：如图，在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设BD=x 米,由题意得，CD=(20-x)米，AC=10米在R t △ACD 中，∠CAD=900∴222AC AD CD +=即：222(10)10(20)x x ++=-解方程得：x=103米 则这棵树的高度为（10＋103）米 答：这棵树的高度为（10＋103）米。
四、转化思想 例4：如图，长方体的长AB=15ｃｍ，宽BC=10ｃｍ，高BF=20ｃｍ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点G ，需要爬行的最短路程是多少？解：有三种情况：(1)如图：路径AG 则为蚂蚁爬行的最短路程，在R t △ACG 中，∠ACG ＝900，AC=25cm,CG=20cm,则(2)如图：路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，在R t△ABG中，∠ABG＝900，AB=15cm,BG=30cm,则(3)如图：路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，在R t△AFG中，∠AFG＝900，AF=35cm,FG=10cm,则∵∴蚂蚁爬行的最短路程为：勾股定理是人类的瑰宝，数学的奇葩，勾股定理中蕴含了丰富的数学思想，现拮取了勾股定理中的部份数学思想，以起抛砖引玉的作用。
第十七章 勾股定理(单元解读)八年级数学下册(人教版)
教材内容 ---教学目标定位
1.经历股定理及其逆定理的探索过程;知道这两个定理的联系与区别能运用 这两个定理解决一些简单的实际问题. 2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几 何问题. 3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题， 知道原命题成立时其逆命题不一定成立. 4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感:通过对勾股 定理的探索和交流，培养数学学习的信心.
知识结构
◆本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的 逆定理及其应用.在第二节中结合勾股定理逆定理的内容展开，穿插介绍了 逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
知识结构
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个 判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的 观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理 的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现 了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜 想→证明的基本流程.
教材内容 ---地位和作用
◆勾股定理既是对直角三角形性质的丰富与深化，又是学习锐角三角函数 的基础;是“以形求数、以数溯形”的重要工具;在解决面积问题、三角形 问题、四边形问题圆的问题中都有勾股定理的“倩影”. ◆勾股定理的证明和应用历来都是中考命题的重点.近年来各地中考中有关 勾股定理方面的命题主要有以下几个方面:利用股定理解决门框是否能通过 的问题、利用勾股定理解决梯子移动的问题、利用勾股定理解决芦苇倾斜 的问题、利用勾股定理在数轴上表示无理数、利用勾股定理建立方程、折 叠问题、最短路径问题等。尤其是“利用勾股定理建立方程解决问题”几 乎在每个省份的考查中都有体现.
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勾股定理中的数学思想 《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。
在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
下面举例说明。
1. 整体思想
例1 如图1，已知Rt △ABC 的周长为62+，其中斜边2=AB ，求这个三角形的面积。
图1
分析：若要直接求出a 与b 的值，要用二次方程求解较繁。
但由ab S 2
1=联想到运用整体思想（将ab 视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得
2222=+b a 即42)(2=-+ab b a 又由已知得6=+b a
所以42)6(2=-ab
解得1=ab
所以2
121==ab S 2. 转换思想
例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2
（1）试确定壁虎所走的最短路线；
（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）
分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3
（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且
40'20==BC AB ，。
根据勾股定理，得 22''BC AB AC +=
)
(7.4440202
2cm ≈+= 壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想
例3 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。
试求BC 的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC 的长可以从以下两方面考虑：
（1）如图4，当BC 边上的高线在△ABC 内部时，由勾股定理，得
图4
912152222=-=-=AD AB BD
1612202222=-=-=AD AC CD
所以25169=+=+=CD BD BC
（2）如图5，当BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得
图5
169==CD BD ，
此时7916=-=-=BD CD BC
综上所述，BC 的长为25或7。
4. 方程思想
例4 如图6，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。
图6
分析：在Rt △ABC 中，由勾股定理容易求出AC 的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得
681022222=-=-=BC AB AC
因为△ABC 的面积CD AB AC BC ⋅=⋅=2
121 即CD 102
16821⨯=⨯⨯ 所以8.4=CD
5. 数形结合思想
例5 某市气象台测得一热带风暴中心从A 城正西方向300km 处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km 的范围内为受影响区域。
试问A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。
如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。
解：构造数学模型，如图7所示，设O 为风暴中心，OC 为风暴中心移动方向，AD ⊥OC 。
图7
在Rt △OAD 中，∠AOD=30°，OA=300km
所以AD=150km<200km
即A 城受到这次风暴的影响。
如图7，设AB=AC=200km
在Rt △ABD 中，应用勾股定理，得
)(7501502002222km AD AB BD =-=-=
所以，A 城遭受风暴影响的时间2.10267502≈⨯=
（小时）。