2017苏锡常镇高三数学一模试卷答案

一、填空题1、已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2650,Z M x x x x =-+∈≤，∁U 2、若复数z 满足2i z i i++=（i 为虚数单位），则z = ．3、函数1()ln(43)f x x =-的定义域为 ． 4、下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ．5、某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为 ． 6、已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ． 7、从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 ．8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的右 焦点，则双曲线的离心率为 ．9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的 值为 ．10、在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，其 中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ．11、在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=，若点P 满足AP AB AC λ=+，且1BP CP ⋅=，则实数λ的值为 ．12、已知sin 3sin()6παα=+，则tan()12πα+= ．13、若函数211,12()ln ,1xx f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，则函数1()8y f x =-的零点个数为 ．14、若正数,x y 满足1522x y -=，则3322x y x y +--的最小值为 ．二、解答题15、在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．若cos 3,cos 1a B b A ==，且6A B π-=．（1）求边c 的长；（2）求角B 的大小．16、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面11BCC B ． （1）求证：E 是AB 中点；（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．17、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）．设计要求彩门的面积为S （单位：2m ），高为h （单位：m ）（,S h 为常数）．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢 支架的长度和记为l ．（1）请将l 表示成关于α的函数()l f α=； （2）问当α为何值l 最小，并求最小值．18、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.19、已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.20、已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >，2214(1)0n n n a na ++-=，设数列{}n b 满足2nn n a b t=.（1）求证：数列为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的N n *∈，均存在N m *∈，使得24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数 学 Ⅱ 试 题 2017.31、已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-. （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值.2、已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为22,cos()24πρρθ=--=.（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.3、如图，已知正四棱锥P ABCD -中， 2PA AB ==，点,M N 分别在,PA BD 上，且13PM BN PA BD ==. （1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小； （2）求二面角N PC B --的余弦值.4、设2πθ<，n 为正整数，数列{}n a 的通项公式sintan 2n n n a πθ=，其前n 项和为n S . （1）求证：当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-；（2）求证：对任何正整数n ，1221sin 2[1(1)tan ]2n n n S θθ+=⋅+-.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案2017.3一、填空题．1．{}6,7 23．()3,1 1.4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．245．3006．437．138．29．2 10．1y x =- 11．1或14-12．4 13．414．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）（法一）在△ABC 中，由余弦定理，cos 3a B =，则22232a c b aac +-=，得2226a c b c +-=；① ……2分 cos 1b A =，则22212b c a b bc +-=，得2222b c a c +-=，② ……4分①+②得：228c c =，4c =. ……7分 （法二）因为在△ABC 中，πA B C ++=，则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C +=+=-， ……2分 由sin sin sin a b c A B C ==得：sin sin a C A c =，sin sin b CB c=，代入上式得： ……4分 cos cos 314c a B b A =+=+=. ……7分（2）由正弦定理得cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B Ab A B A B===， ……10分又2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --===++ ……12分解得tan B ，π)(0,B ∈，π6B =. ……14分16．（1）连接1BC ，因为OE ∥平面11BCC B ，OE ⊂平面1ABC ，平面11BCC B 平面11ABC BC =，所以OE ∥1BC . ……4分因为侧面11AA C C 是菱形，11AC AC O =，所以O 是1AC 中点， ……5分 所以11AE AOEB OC ==，E 是AB 中点. ……7分 （2）因为侧面11AA C C 是菱形，所以1AC 1A C ⊥，……9分又11AC A B ⊥，111AC A B A =，11,AC A B ⊂面1A BC ，所以1AC ⊥面1A BC ，…12分因为BC ⊂平面1A BC ，所以1AC BC ⊥． ……14分17．解：（1）过D 作DH BC ⊥于点H ，则DCB α∠=（π02α<<）， DH h =， 设AD x =， 则sin h DC α=，tan h CH α=，2tan h BC x α=+， ……3分 因为S=12()2tan h x x h α++⋅，则 tan S hx h α=-； ……5分则21()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=+- (π02α<<)； ……7分 （2）2222cos 112cos ()()sin sin sin f h h αααααα---'=⋅-=⋅， ……8分 令212cos ()0-'=⋅=f h αα，得π=α. ……9分所以， min π()3Sl f h ==+. ……12分答：（1）l 表示成关于α的函数为21()()sin tan S l f h h ααα==+- (π02α<<)； CBDA（第17题图）H……11分1（第16题图）（2）当π3α=时，lSh+. ……14分18．解：（1）由题1c =，c e a =所以a =1b =. ……2分 所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=……4分（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意； ……5分当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ的方程为(y k x =，……6分 代入2222x y +=，得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=， ……8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则：4(81)0k ∆=-+>，18k <-，1,2x =， ……9分所以2122)12k k x x k ++=+，212248212k k x x k ++⋅=+，……11分又AP AQ k k +=+=422k k ===1.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. ……16分19．解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1a x x+恒成立. 令1()ln +1g x x=+，则21()x g x -'=， ……2分 因此，min ()(1)2g x g ==，即02a<.……6分……４分（2）当02a <时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分 故不等式(1)()0x f x -恒成立． ……10分若2a >，ln (1)1()x x a x f x x+-+'=，设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分 当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<，则()()0p x f x x'=<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分 则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<，矛盾. ……15分 因此，02a <. ……16分20．解：（1）由题意得2214(1)n n n a na ++=，因为数列{}n a 各项均正，得22141n n a a n n +=+2= ……2分2=，所以是以1a 为首项公比为2的等比数列.……4分（2）由（1112n a -=⋅，12n n a a -=，22114n n n n n a a n b t t -==， ……5分 如果数列{}n b 是等差数列，则2132b b b =+，……6分得：2212023111123244423a a a t t t --⋅⋅=+，即2316148t t t=+，则216480t t -+=， 解得 14t =，212t =. ……7分当14t =时，214n a nb =，2221111(1)444n n a n a n a b b ++-=-=，数列{}n b 是等差数列，符合题意； ……8分当2t =12时，2143n na nb =⋅，2222111241244242211434343162a a a b b a +=+==⋅⋅⋅，2132133428231b a a ==⋅⋅，2432b b b +≠，数列{}n b 不是等差数列，2t =12不符合题意；……9分 综上，如果数列{}n b 是等差数列，4t =.……10分（3）由（2）得214n a nb =，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=，则4242111(1)816424a n n a m a n +⋅-=，所以214na m =. ……12分当12a k =，k ∈N *，此时2244k n m k n ==，对任意的n ∈N *，符合题意； ……14分当121a k =-，k ∈N *，当1n =时，22441144k k m k k -+==++. 不合题意. …15分综上，当12,a k k =∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=.……16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）. 解：连结OC ，由于l 是圆的切线，故OC l ⊥，因为AD l ⊥，所以AD ∥OC ， ……2分 因为AB 是圆O 的直径，6AB =，3BC =， 所以60∠=∠=︒ABC BCO ,则DAC ∠=906030ACO ∠=︒-︒=︒. ……4分23cos30AC =⋅︒=sin30DC AC =︒=，9cos302DA AC =︒=. ……7分 由切割线定理知，2DC DA DE =⋅， ……9分所以32DE =，则3AE =. ……10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，M 11811a b c d +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，M 122242a b c d ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……3分 ABC D O（第21—A 题图）E882224a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，，，，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，即M =6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……5分（2）则令特征多项式62()(6)(4)8044f λλλλλ--==---=--， ……8分解得1282λλ==，.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：（1）圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，①……3分由2πcos()24ρθ--=，得22(cos sin )2-+=ρρθθ，……4分222()2x y x y +-+=，故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，② ……6分 （2）②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=， ……8分该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分D ．（选修4—5：不等式选讲）解：因为：2(111)(313131)a b c +++++++, ……7分由于3a b c ++=16，当且仅当1a bc ===时6. ……10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22．解：（1）设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P ABCD -中，OP ⊥平面ABCD .又2PA AB ==，所以OP =以O 为坐标原点，DA ，AB 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图： ……1分 则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,1,0)D --，P故21122(,,)3333OM OA AM OA AP =+=+=-，111(,,0)333ON OB ==， ……3分 所以222(0,,)33MN =-，(1,1,2)PC =--， 3cos ,2MN PC MN PC MN PC⋅<>==，所以MN 与PC 所成角的大小为π6. ……5分（2）(1,1,2)PC =--，(2,0,0)CB = ，42(,,0)33NC =-.设(,,)x y z =m 是平面PCB 的一个法向量，则0PC ⋅=m ,0CB ⋅=m ， 可得20,0,x y z x ⎧-+-=⎨=⎩令0x =，2y =，1z =，即(0,2,1)=m ， ……7分设111(,,)x y z =n 是平面PCN 的一个法向量，则0PC ⋅=n ，0CN ⋅=n ， 可得1111120,20,x y z x y ⎧-+-=⎨-+=⎩ 令12x =，14y =，12z =，即(2,4,2)=n ， …9分52533cos ,33322⋅<>===⨯m nm n m n ，则二面角N PC B --的余弦值为53333.……10分23．证明：（1）因为πsintan 2nn n a θ=. 当n 为偶数时，设2n k =，2222πsintan sin πtan 02kk n k k a a k θθ===⋅=，0n a =.…1分 当n 为奇数时，设21n k =-，21(21)ππsintan sin(π)tan 22n n n k k a a k θθ--===-⋅. 当2k m =时，21ππsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=-，此时1212n m -=- ，121221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---==-=-=-.……2分 当21k m =-时，213π3πsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=，DNMABC P（第22题图）Ox yz此时1222n m -=-， 122221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---===-=-. 综上，当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-. ……3分（2）当1n =时，由（1）得：212tan S a a θ=+=，121sin21(1)tan 2n n θθ+⎡⎤+-⎣⎦=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ+=⋅⋅=. 故1n =时，命题成立……5分假设n k =时命题成立，即1221sin21(1)tan 2k kk S θθ+⎡⎤=⋅+-⎣⎦. 当1n k =+时，由（1）得：2(1)22122221k k k k k k S S a a S a ++++=++=+=12211sin21(1)tan (1)tan 2k k k k θθθ++⎡⎤⋅+-+-⎣⎦ ……6分=122112sin 21(1)tan (1)tan 2sin 2k k k k θθθθ++⎡⎤⋅+-+-⋅⎢⎥⎣⎦ =2222112sin 21(1)tan ()2tan sin 2tan k k θθθθθ++⎡⎤⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 2222221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++⎡⎤=⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ =()2221sin21(1)tan 2k k θθ++⋅+-⋅ 即当1n k =+时命题成立. ……9分 综上所述，对正整数n 命题成立. ……10分。