线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵

1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
0 0 1 0 0 0 1 0
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0 k =Er(2,4(k)) 0 1 0 0 =Ec(2,4(k)) 0 1
0 0 c2+kc4 ——— 0 1
初等矩阵的可逆性
初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k≠0) . 其逆阵分别为:
E(i, j)-1=E(i, j)；
E(i(k))-1=E(i(k -1))；
E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .
下页
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于
在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
a11 a12 a13 a14 例如，设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 0 1 0 a11 a12 a13 a14 E(1, 2)A= 1 0 0 a21 a22 a23 a24 = 0 0 1 a a a a 31 32 33 34
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
4c3Байду номын сангаас
1 5 -4 -1 1 -2 4 3 3 8 -4 1 1 -9 12 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
第 5节
矩阵的初等变换与初等矩阵
一、初等变换
二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法
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第 5节
矩阵的初等变换与初等矩阵
5.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i行与第j行记为rirj . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
r2r4
1 5 -1 -1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3
下页
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 交换第i列与第j列记为cicj . 例如
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
E=
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1 0 E= 0 0 E= 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
r2+kr4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 k
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
4r2
1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
c1c3
-1 5 1 -2 -1 8 3 -9
下页
1 -1 1 3 3 1 1 7
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i行记为kri . 例如
E=
1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
———
r2r4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
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0 1 =E(2, 4) 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0
1 0 E= 0 0
0 0 c2c4 ——— 0 1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
———
c3+c1
1 5 1 -2 3 8 1 -9
下页
0 -1 2 3 2 1 4 7
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
———
4 r3
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 4 0 0 0 4 0
下页
0 0 =E(3(4)) 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1
E=
0 0 4 c3 ——— 0 1
5.2
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为

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初等行变换和初等矩阵的关系

初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。

初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。

初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。

这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。

初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。

而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。

初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。

初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。

初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。

这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。

2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。

这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。

3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。

对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。

4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。

这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。

初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。

它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。

通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。

初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。

初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。

线性代数(第二版)第六节矩阵的初等变换

称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、列初等变换统称为矩阵的初等变换.
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证明 (1) 我们仅对第三种行初等变换进行证明 .
将矩阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶单位矩阵 E 按行分块为
的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 (不妨设 i < j )，则相应
证明 (1) 我们仅对第三种行初等变换进行证明
将矩阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶单位矩阵 E 按行分块为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1

《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵

r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2

ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B，则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1

线性代数课件矩阵的初等变换

第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单位矩阵,其他位置上的元素全都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定义由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性若 A B , 则 B A; （3）传递性若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

大学课程大一数学线性代数上册7.矩阵的初等变换课件

aMin caMi1
cai 2 M
L
amn am1 am2 L
类似可证 AEi (c) 相当于给 A 的第 i 列乘以非零数 c:
a1n
M
cain M
amn
8
第i列
第i行
1
O
1
k
O
1
O
第j列
a11 a12 L
M
M
ai1 M
ai 2 M
L
a
j1
aj2
L
M M
1 am1 am2 L
第i列第j列
或看作是将 I 的第 j 列的 k 倍加到第 i 列.
6
3) 交换单位矩阵 E 的第 i 行与第 j 行(或交换 E 的第 i 列与第 j 列):
1 Ei, j
1 0 1
1
第i列
1
1
0
1
1
第j列
第i行第j行
7
➢ 如果矩阵 A 经过一次初等变换变为 B, 那么 A 与 B 之间究竟有何种关系?
1
Ei, j ()1 Ei, j ().
1
1
第i行
第j行
第j列
1
14
1 Ei, j
a11 a12
a11 a12
例如 a21
a22
r2
a21
a22
,
a31 a32
a31 a32
消法变换：将一行的倍加到另一行
ri+rj rj
a11 a12
a11 a31 a12 a32
例如
a21
a22
r3 r1
a21
a22

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

线性代数—矩阵的初等变换

1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵．一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )

线性代数-线代2-05

初等变换的结果审视：
• 初等变换后的矩阵和原矩阵不等. • 行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是
惟一的. • Gauss-Jordan 消元法可以将矩阵化为行标准型;
仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形 F. • 矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:
– 非零行的数目r 相等. – n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵. – 从阶梯形可以直接得到标准型.
（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数k 乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．
➢消去一些系数，使得方程组呈阶梯形，从而可以用回代法求解的方法称为Gauss消元法． ➢变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． ➢Gauss消元法完全可以转换为相应矩阵行的变换．
1 ．矩阵初等变换的定义
定义2 .10 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
p53 1 对调两 i,j两行 ,记行（ ri 作 rj对）调； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所 3把（某i一行第行k ,记所乘有 kr i倍作 k 元）加素到的另一
对应的元素上 j行去的 k（倍第加到 i行第上记作 ri kjr） .
0
0
1
0
0
2
*
0 0 0 0 0 0 0
• 行标准形：
– 行阶梯形中，每一个非零行领头的非零元是数1，它所在的列其余元素是零的矩阵被称为行标准形。
• 例：下列矩阵是行标准形
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 *
0
1
*
0 0 0
0 1 * 0
0
0

《线性代数》第2章⑶初等变换与初等矩阵

因为 | A | 0
所以
| A | k | I |
A
上三角阵
对角阵
单位阵
6/2
三．用初等变换法求逆矩阵
1.模型：
( A I ) I A ）（
一系列初等行变换
1
当 A I 则 I A 1 说明：在矩阵 A 的右边并上一个单位阵 I ，对
A
,
施加一种变换同时对 I 也施加同种变换，待
2 3 1 5 0 [3] 0 5
2 1 0 0 2
4 6 1 2
1 0 2 1 1 1 3 2
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 1
3 4 1 0 0 5 6 2 1 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 [1 / 3] 4 / 3 1 / 3 5 / 3 3 4 1 0 0 0 1 5 6 2 1 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0 0 1 4 1 5 3
1
A变为 I
原先所并的 I 随即变为 A 。相当于将 A I 时，反向
将 IA 。 2.步骤：自上而下、由左向右将
1
A
变为上三角阵,
再自下而上、由右向左将上三角阵化为单位阵。即
7/2
①首先将 a11 调整或化为1，继而将其下方元素化为0；以次类推，分别依次将 a22 ,, ann 化为1，并将其下方化为0。 ②反之，再依次将 ann , an1,n1 ,, a22 上方元素化为0即可。 1 2 3 例1：设 A 4 5 6 问 A 1 是否存在？ 7 8 9 解：运用初等变换法，得
22 6 26 17 20 13 17 5 1 A 1 0 2 1 4 1 5 3

矩阵的初等变换与初等矩阵

定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0

0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )

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