直线与平面平行的性质定理
线面位置关系的八大定理
符号表示：
注：线面垂直 面面垂直
典例：如图，在四面体 中，
求证：平面 平面
八、平面与平面垂直的性质定理：
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面
图形语言：
符号语典例：如图， ， ，求证：
典例：已知四棱锥 底面 ，底面 为正方形，且 ， 分别为 的中点，
求证：（1） 平面 （2） （3） 平面
六、直线与平面垂直的性质定理：
文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
图形语言：
符号语言：
作用：线面垂直 线线平行
七、平面与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：
符号语言：
作用：线面平行 线线平行
典例：如图， ，求证：
三、平面与平面平行的判定定理
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
图形语言：
符号语言：
作用：线线平行 面面平行
典例：如图，在三棱柱 中，点 分别是 与 的中点，
求证：平面 平面
四、平面与平面平行的性质定理:
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行
图形语言:
符号语言:
作用:面面平行 线线平行
典例：如图， ，直线 与 分别交 于点 和点 ，
求证：
五、直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面
图形语言：
符号语言：
作用：线线垂直 线面垂直
线面位置关系的八大定理
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
线面平行的性质定理
AB1C，求线段EF的长度
应用巩固
例3、如图所示的一块木料中，棱BC平行于 面A´C´.
（1）要经过面A´C´内的一点P和棱BC将木 料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线和平面AC有什么关系?
F
E
课堂小结：
1.直线与平面平行的性质定理
判定定理：找（作） 面内一条直线与已知
2.线线平行 直线平行
性质定理：找（作） 一个过已知直线的平 面，确定其与已知平 面的交线
应用巩固
例1、已知平面外的两条平行直线中的一 条平行于这个平面，求证:另一条也平行于这 个平面.
如图，已知直线a,b,平面 α ,且a//b, a//α, a,b都在平面α外，求证：b//α.
ab
应用巩固
例变式2、：如如图图，，用用平一行个于平四面面去体截A四B面C体D 的一组对 棱ABACBD，，C得D 的到平的面截截面此M四NP面Q体是．平求行证四：边截面 M形N．P求Q证是:平AB行//M四N边形．
若如“果共一面条”直必线平和行一，个换平句面话平说行，，如经果过过该直直线线a的平面
的某个平面与平面相交，则直线a就和这条交
线平和行这.个平面相交，那么这条直线和交线平行.
线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
β a
b α
作用：判定直线与直线平行的重要依据. 关键：寻找平面与平面的交线.
*
1. 定义: 直线与平面无公共点.
2. 判定定理: 线线平行 线面平行
若平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此平面
平行.
a
b
a /
b
a
//
平行的判定与性质
EF //平面 BB 1D 1D.第12讲平行的判定与性质1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示为：a 二二:打a 〃b= a 〃 . 3 .性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交a// :- 线平行.即: a 1 1 =a//b .:-n: =b【例1】已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点, 求证：AF //平面PEC证明：设PC 的中点为G ,连接EG 、FG.1•/ F 为 PD 中点， ••• GF // CD 且 GF= —CD.2•/ AB // CD , AB=CD , E 为 AB 中点， • GF // AE , GF=AE , 四边形AEGF 为平行四边形• • EG // AF , 又••• AF 二平面 PEC , EG 二平面 PEC , • AF //平面 PEC.【例2】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点•求证: 证明：连接AC 交BD 于0,连接0E ,贝U OE // DC , OE = 1 DC.2•/ DC // D 1C 1, DC=D 1C 1 , F 为 D 1C 1 的中点，• OE // D 1F , 0E=D 1F , 四边形D 1FE0为平行四边形•EF // D 1O.又••• EF 二平面 BB 1D 1D , DQ 二平面 BB 1D 1D , •EF //平面 BB 1D 1D.【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //平面EFG .证明：如右图，连结DM ，交GF 于0点，连结0E ,在「BCD 中，G 、F 分别是 BD 、CD 中点， • GF//BC , ••• G 为BD 中点， • 0为MD 中点，在 AMD 中，I E 、0 为 AD 、MD 中点， • EO//AM , 又••• AM 平面EFG , E0 平面EFG , • AM // 平面 EFG .【例4】如图，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、 PC 的中点•( 1)求证：MN//平面FAD ;(2)若MN =BC =4 , PA =4..3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. 解：(1)取PD 的中点H ,连接AH ，由N 是PC 的中点，1• NH // DC .由 M 是 AB 的中点， • NH//AM ,-2 -即AMNH 为平行四边形.• MN //AH . 由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD ,• MN //平面 PAD .1 1(2) 连接 AC 并取其中点为 0,连接 0M 、0N ,「. 0M// - BC , 0N // - PA , -2 - 2 所以Z0NM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，且 M0丄N0. 由 MN =BC =4 , PA =4 .3,得 0M=2, 0N=2.3.所以.ONM =30°，即异面直线 PA 与MN 成30°的角■【例5】三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理在四面体 ABCD 中，M 、N 分别是面厶ACD 、△ BCD 的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是C哪几个面？试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F 重合为一点,CiBD . ^=zV 2 =i7且该点为CD 的中点E ，由EM =_EN =1得MN // AB ,MA NB 2因此，MN //平面 ABC 且 MN //平面 ABD.【例6】经过正方体 ABCD-A^C i D i 的棱BB i 作一平面交平面 AAQ I D 于E i E ，求证：E i E // B I B证明：••• AA i// BB i, AA^平面 BEE iB i,BB i平面 BEE iB i,••• AA 〃 平面 BEE i B i . 又 二平面 ADD iA i，平面 ADD* 门平面 BEE iB^ = EE i,AA, // BB i ] •- AA i //EE i .则 二 BB i //EE i .i AA // EE ii i【例7】如图，AB 〃「，AC//BD , C 。
直线、平面平行的判定与性质
[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出 一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．
必修2平行垂直的判定和性质
平行1．直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．垂直1．直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．②如果或，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面．(3)关于垂直的存在唯一性命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．2．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示为：．3．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号表示：． 作用：可作线线平行的判定定理． 4．平面与平面垂直的性质(1)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 符号表示为：．(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． (3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．空间几何定理公理总结：1.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。
直线、平面平行的判定与性质
第4讲 直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理1．辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化.即从“线线平行”到“线面平行”.再到“面面平行”；而在应用性质定理时.其顺序恰好相反.但也要注意.转化的方向总是由题目的具体条件而定.不可过于“模式化”．1．(2016·大连模拟)对于直线m .n 和平面α.若n ⊂α.则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D2．a 、b 、c 为三条不重合的直线.α、β、γ为三个不重合的平面.现给出四个命题：其中正确的命题是( )A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．3．若平面α∥平面β.直线a∥平面α.点B∈β.则在平面β内过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面β内且经过B点时.a∥平面α.但这时在平面β内过B点的所有直线中.不存在与a平行的直线.而在其他情况下.都可以存在与a平行的直线.故选A.4．过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线.其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：各中点连线如图.只有平面EFGH与平面ABB1A1平行.在四边形EFGH中有6条符合题意．答案：65．(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中.E是DD1的中点.则BD1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图.连接AC.BD交于O点.连接OE.因为OE∥BD1.而OE⊂平面ACE.BD1⊄平面ACE.所以BD1∥平面ACE.答案：平行考点一线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P132] 平行关系是空间几何中的一种重要关系.包括线线平行、线面平行、面面平行.其中线面平行在高考试题中出现的频率很高.一般出现在解答题中．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．(2015·高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中.设BC的中点为M.GH的中点为N.(1)请将字母F.G.H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH.[解] (1)点F .G .H 的位置如图所示．(2)证明：如图.连接BD .设O 为BD 的中点.连接OH .OM .MN . 因为M .N 分别是BC .GH 的中点.所以OM ∥CD .且OM ＝12CD .HN ∥CD .且HN ＝12CD .所以OM ∥HN .OM ＝HN .所以四边形MNHO 是平行四边形.从而MN ∥OH . 又MN ⊄平面BDH .OH ⊂平面BDH . 所以MN ∥平面BDH .(1)证明线面平行时.先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行.若找不到这样的直线.可以考虑通过面面平行来推导线面平行．(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置.有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.1.如图.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点.E .F 分别是PA .BD上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD .求证：EF ∥平面PBC .证明：法一：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM . 因为AD ∥BC .所以BF FD ＝MFFA.又由已知PE EA ＝BFFD .所以PE EA ＝MF FA.由平面几何知识可得EF ∥PM . 又EF ⊄平面PBC .PM ⊂平面PBC . 所以EF ∥平面PBC . 法二：作FN ∥BC 交AB 于N .因为NF ⊄平面PBC .BC ⊂平面PBC . 所以NF ∥平面PBC . 因为AD ∥BC . 所以NF ∥AD .则BF FD ＝BN NA . 又PE EA ＝BF FD . 所以PE EA ＝BN NA.连接EN .则EN ∥PB .又EN ⊄平面PBC .PB ⊂平面PBC . 所以EN ∥平面PBC . 又EN ∩NF ＝N .所以平面EFN ∥平面PBC . 而EF ⊂平面ENF . 所以EF ∥平面PBC .考点二 面面平行的判定与性质[学生用书P132]如图.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.E .F .G .H 分别是AB .AC .A 1B 1.A 1C 1的中点.求证：(1)B .C .H .G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .[证明] (1)因为GH 是△A 1B 1C 1的中位线.所以GH ∥B 1C 1. 又因为B 1C 1∥BC .所以GH ∥BC . 所以B .C .H .G 四点共面．(2)因为E .F 分别为AB .AC 的中点.所以EF ∥BC . 因为EF ⊄平面BCHG .BC ⊂平面BCHG . 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G 綊EB .所以四边形A 1EBG 是平行四边形.所以A 1E ∥GB . 因为A 1E ⊄平面BCHG .GB ⊂平面BCHG . 所以A 1E ∥平面BCHG .因为A 1E ∩EF ＝E .所以平面EFA 1∥平面BCHG .在本例条件下.线段BC 1上是否存在一点M 使得EM ∥平面A 1ACC 1?解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接EM (图略).在△ABC 1中. E .M 分别为AB .BC 1的中点.所以EM 綊12AC 1.又EM ⊄平面A 1ACC 1.AC 1⊂平面A 1ACC 1.所以EM ∥平面A 1ACC 1.判定面面平行的方法(1)利用定义.即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性.即两个平面同时平行于第三个平面.则这两个平面平行(客观题可用)．2.如图.已知ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体.点E 在AA 1上.点F 在CC 1上.G 在BB 1上.且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1.H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E .B .F .D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明：(1)因为AE ＝B 1G ＝1.所以BG ＝A 1E ＝2. 因为BG ∥A 1E .所以A 1G ∥BE . 又因为C 1F 綊B 1G .所以FG ∥C 1B 1∥D 1A 1.所以四边形A 1GFD 1是平行四边形． 所以A 1G ∥D 1F .所以D 1F ∥EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)因为H 是B 1C 1的中点.所以B 1H ＝32.又B 1G ＝1.所以B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23.且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°. 所以△B 1HG ∽△CBF .所以∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . 所以HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE .且HG ∩A 1G ＝G .FB ∩BE ＝B .所以平面A 1GH ∥平面BED 1F .考点三 平行关系的综合应用[学生用书P133](2016·洛阳月考)如图.ABCD 与ADEF 为平行四边形.M .N .G 分别是AB .AD .EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.[证明] (1)如图.连接AE.则AE必过DF与GN的交点O.连接MO.则MO为△ABE的中位线.所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF.MO⊂平面DMF.所以BE∥平面DMF.(2)因为N.G分别为平行四边形ADEF的边AD.EF的中点.所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG.GN ⊂平面MNG.所以DE∥平面MNG.又M为AB中点.所以MN为△ABD的中位线.所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG.MN⊂平面MNG.所以BD∥平面MNG.又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线.所以平面BDE∥平面MNG.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时.一定要注意定理成立的条件.严格按照定理成立的条件规范书写步骤.3.如图.在正方体ABCDA1B1C1D1中.S是B1D1的中点.E、F、G分别是BC、DC、SC的中点.求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图.连接SB.因为E、G分别是BC、SC的中点.所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1.EG⊄平面BDD1B1.所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD .因为F 、G 分别是DC 、SC 的中点. 所以FG ∥SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1.FG ⊄平面BDD 1B 1. 所以FG ∥平面BDD 1B 1.又EG ⊂平面EFG . FG ⊂平面EFG .EG ∩FG ＝G . 所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1.方法思想——立体几何中的探索问题如图所示.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.D 是棱CC 1的中点.问在棱AB 上是否存在一点E .使DE ∥平面AB 1C 1？若存在.请确定点E 的位置；若不存在.请说明理由．[解] 点E 为AB 的中点时DE ∥平面AB 1C 1.证明如下：法一：取AB 1的中点F .连接DE 、EF 、FC 1. 因为E 、F 分别为AB 、AB 1的中点.所以EF ∥BB 1且EF ＝12BB 1.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.DC 1∥BB 1且DC 1＝12BB 1.所以EF 綊DC 1.四边形EFC 1D 为平行四边形.所以ED ∥FC 1. 又ED ⊄平面AB 1C 1.FC 1⊂平面AB 1C 1. 所以ED ∥平面AB 1C 1.法二：取BB 1的中点H .连接EH .DH .DE . 所以E .H 分别是AB .BB 1的中点. 则EH ∥AB 1.又EH ⊄平面AB 1C 1. AB 1⊂平面AB 1C 1. 所以EH ∥平面AB 1C 1. 又HD ∥B 1C 1.同理可得HD ∥平面AB 1C 1. 又EH ∩HD ＝H .所以平面EHD ∥平面AB 1C 1. 因为ED ⊂平面EHD . 所以ED ∥平面AB 1C 1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究.对条件和结论不完备的开放性问题的探究.解决这类问题一般根据探索性问题的设问.假设其存在并探索出结论.然后在这个假设下进行推理论证.若得到合乎情理的结论就肯定假设.若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”.“只需使……成立”．如图所示.在四棱锥P ABCD 中.底面ABCD 是平行四边形.PA ⊥平面ABCD .若M 、N 分别为BC 、PA 的中点．在线段PD 上是否存在一点E .使NM ∥平面ACE ？若存在.请确定点E 的位置；若不存在.请说明理由．解：当E 为PD 的中点时有NM ∥平面ACE . 证明如下：如图.取PD 的中点E .连接NE .EC .AE . 因为N .E 分别为PA .PD 的中点.所以NE 綊12AD .又在平行四边形ABCD 中.CM 綊12AD .所以NE 綊MC .即四边形MCEN 是平行四边形． 所以NM ∥EC .又EC ⊂平面ACE .NM ⊄平面ACE . 所以MN ∥平面ACE . 即在PD 上存在一点E . 使得NM ∥平面ACE .1．在空间内.下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A.平行直线的平行投影也可能互相平行.或为两个点.故A 错误；对于B.平行于同一直线的两个平面也可能相交.故B 错误；对于C.垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故C 错误；而D 为直线和平面垂直的性质定理.正确．2．设平面α∥平面β.A ∈α.B ∈β.C 是AB 的中点.当A .B 分别在α.β内运动时.所有的点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A .B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A .B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A .B 如何移动都共面解析：选D.根据平面平行的性质.不论A .B 如何运动.动点C 均在与α.β都平行的平面上．3．(2016·惠州模拟)已知两条不同的直线l .m .两个不同的平面α.β.则下列条件能推出α∥β的是( )A ．l ⊂α.m ⊂α.且l ∥β.m ∥βB ．l ⊂α.m ⊂β.且l ∥mC ．l ⊥α.m ⊥β.且l ∥mD ．l ∥α.m ∥β.且l ∥m解析：选C.借助正方体模型进行判断．易排除选项A.B.D.故选C.4．(2016·长沙模拟)用a .b .c 表示空间中三条不同的直线.γ表示平面.给出下列命题： ①若a ⊥b .b ⊥c .则a ∥c ； ②若a ∥b .a ∥c .则b ∥c ； ③若a ∥γ.b ∥γ.则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．③ C ．①③ D ．② 解析：选D.若a ⊥b .b ⊥c .则a ∥c 或a 与c 相交或a 与c 异面.所以①是假命题；在空间中.平行于同一直线的两条直线平行.所以②是真命题；若a ∥γ.b ∥γ.则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面.所以③是假命题.故选D.5. 如图所示.在空间四边形ABCD 中.E .F 分别为边AB .AD 上的点.且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4.又H .G 分别为BC .CD 的中点.则( )A ．BD ∥平面EFGH .且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD .且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD .且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC .且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD .所以EF ∥平面BCD .又H .G 分别为BC .CD的中点.所以HG 綊12BD .所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．6．设l .m .n 表示不同的直线.α.β.γ表示不同的平面.给出下列命题： ①若m ∥l .且m ⊥α.则l ⊥α； ②若m ∥l .且m ∥α.则l ∥α；③若α∩β＝l .β∩γ＝m .γ∩α＝n .则l ∥m ∥n ；④若α∩β＝m .β∩γ＝l .γ∩α＝n .且n ∥β.则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由题易知①正确；②错误.l 也可以在α内；③错误.以墙角为例即可说明；④正确.可以以三棱柱为例说明.故选B.7. 如图.在空间四边形ABCD 中.M ∈AB .N ∈AD .若AM MB ＝AN ND.则直线MN 与平面BDC 的位置关系是__________．解析：在平面ABD 中.AM MB ＝ANND.所以MN ∥BD .又MN ⊄平面BCD .BD ⊂平面BCD . 所以MN ∥平面BCD . 答案：平行8．棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.M 是棱AA 1的中点.过C .M .D 1作正方体的截面.则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线.所以截面是梯形CD 1MN .易求其面积为92.答案：929．设α.β.γ是三个不同的平面.a .b 是两条不同的直线.有下列三个条件：①a ∥γ.b ⊂β；②a ∥γ.b ∥β；③b ∥β.a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a .b ⊂γ.且________.则a ∥b ”为真命题.则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知.①正确；当b ∥β.a ⊂γ时.a 和b 在同一平面内.且没有公共点.所以平行.③正确．故填入的条件为①或③.答案：①或③10．已知平面α∥β.P ∉α且P ∉ β.过点P 的直线m 与α.β分别交于A .C .过点P 的直线n 与α.β分别交于B .D .且PA ＝6.AC ＝9.PD ＝8.则BD 的长为________．解析：如图1.因为AC ∩BD ＝P .图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β.α∩平面PCD ＝AB . β∩平面PCD ＝CD . 所以AB ∥CD .所以PA AC ＝PBBD.即69＝8－BD BD .所以BD ＝245. 如图2.同理可证AB ∥CD .图2所以PA PC ＝PB PD .即63＝BD －88. 所以BD ＝24.综上所述.BD ＝245或24. 答案：245或24 11. 如图.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.E .H 分别为棱A 1B 1.D 1C 1上的点.且EH ∥A 1D 1.过EH 的平面与棱BB 1相交.交点分别为F .G .求证：FG ∥平面ADD 1A 1.证明：因为EH ∥A 1D 1.A 1D 1∥B 1C 1.EH ⊄平面BCC 1B 1.B 1C 1⊂平面BCC 1B 1.所以EH ∥平面BCC 1B 1.又平面FGHE ∩平面BCC 1B 1＝FG .所以EH ∥FG .即FG ∥A 1D 1.又FG ⊄平面ADD 1A 1.A 1D 1⊂平面ADD 1A 1.所以FG ∥平面ADD 1A 1.1. (2016·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a .点P 是棱AD 上一点.且AP ＝a 3.过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ .Q 在直线CD 上.则PQ ＝________．解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD .而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ .平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1.所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD .所以BD ∥PQ .设PQ ∩AB ＝M .因为AB ∥CD .所以△APM ∽△DPQ . 所以PQ PM ＝PD AP＝2.即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB .所以PM BD ＝AP AD ＝13.所以PM ＝13BD .又BD ＝2a .所以PQ ＝223a . 答案：223a 2. 如图.已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形.AB ∥CD .∠DAB ＝90°.PA ⊥底面ABCD .且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1.M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点.求证：DN ∥平面AMC .证明：(1)在直角梯形ABCD 中.AD ＝DC ＝12AB ＝1. 所以AC ＝ 2.BC ＝ 2.所以BC ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD .BC ⊂平面ABCD .所以BC ⊥PA .所以BC ⊥平面PAC .所以BC ⊥PC .在Rt △PAB 中.M 为PB 的中点.则AM ＝12PB . 在Rt △PBC 中.M 为PB 的中点.则CM ＝12PB . 所以AM ＝CM .(2)连接DB 交AC 于点F .因为DC 綊12AB .所以DF ＝12FB . 取PM 的中点G .连接DG .FM .则DG ∥FM .又DG ⊄平面AMC .FM ⊂平面AMC .所以DG ∥平面AMC .连接GN .则GN ∥MC .所以GN ∥平面AMC .又GN ∩DG ＝G .所以平面DNG ∥平面AMC .因为DN ⊂平面DNG .所以DN ∥平面AMC . 3. (2016·阜阳月考)如图.在三棱锥A BOC 中.AO ⊥平面COB .∠OAB ＝∠OAC ＝π6.AB ＝AC ＝2.BC ＝ 2.D .E 分别为AB .OB 的中点．(1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F .使得平面DEF ∥平面AOC .若存在.试确定F 的位置.并证明此点满足要求；若不存在.请说明理由．解：(1)证明：因为AO ⊥平面COB .所以AO ⊥CO .AO ⊥BO .即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6.AB ＝AC ＝2. 所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2.可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥ BO .又因为AO ∩BO ＝O .所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F .使得平面DEF ∥平面AOC .此时F 为线段CB 的中点． 证明如下.如图.连接DF .EF .因为D .E 分别为AB .OB 的中点.所以DE ∥OA .又DE ⊄平面AOC .所以DE ∥平面AOC .因为E .F 分别为OB .BC 的中点.所以EF ∥OC .又EF ⊄平面AOC .所以EF ∥平面AOC .又EF ∩DE ＝E .EF ⊂平面DEF .DE ⊂平面DEF . 所以平面DEF ∥平面AOC .。
直线与平面平行的性质定理
直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a④α，a β，α∩β=b.求证：a④b.证明：④应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.④应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？练习如图6，a④α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a④b,a④α,a,b都在平面α外.求证：b④α.练习如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH④FG.图8例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a④b,a⊂α，b⊂β，α∩β=c.求证：c④a④b.练习求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a④α,a④β,α∩β=b，求证：a④b.练习如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 上，求证：BD④面EFGH，AC④面EFGH.练习如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD 上，且CD=a，AB=b，CD④AB.图12（1）求证：EFGH是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.提高练习：求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b是异面直线.求证：过b有且只有一个平面与a平行.图13已知：a④α，A∈α，A∈b，且b④a.求证：b α.图14。
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（２）因为棱ＢＣ平行于平面 AC
EF // BC EF 平面AC BC 平面AC
EF // 平面ＡＣ
∴ＢＥ，ＣＦ显然都与平面ＡＣ相交．
变式训练：
a
b
结论：直线和平面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
a // , a , b
注意：
a a // b来自b1.定理三个条件缺一不可.
2.简记:线面平行,则线线平行.
即时训练
1 . 已 知 棱 B C 平 行面 于A C, 试 判 断 B C 平 行 于 哪直 条 线？
3分钟后检测，比比谁的学习效果好!
学习效果检测（一）
b ⊂ ，那么 a与 b的关 1.如果直线 a //平面 ， 系是( B ) A 相交 B 平行或异面 C 平行 D 异面
a a b
b α
α
已知：如图，a∥ ,a β , β b. 求证：a∥ b.
证明： Q β b, b . 又 Q a ∥ , a与b无公共点. 又 Q a β , b β a ∥ b.
a
b
作用：判断直线与平面平行依据 α 简记：线线平行，则线面平行
学习目标
1.记住直线与平面平行的性质定理，并
会用三种语言准确描述. 2.会运用性质定理解决实际问题.
学习指导（一）
请同学们用3分钟时间阅读教材第58— 59页例3以上的内容，并思考以下问题： 1.直线与平面平行的性质定理是什么? 2. 如何证明该定理?
D
F E
D B
P
C
A
B
C
直线EF、直线B C
' ' ' '
'
'
A
在平面A B C D内有多少条与直线 BC平行的直线？
无数条
学习指导（二）
请同学们用3分钟时间快速阅读教材第 59页例3的内容，并完成以下任务：
在练习本上正确书写例3的解答过程；
温馨提示：过点 p作EF // B C , 连接BE，CF
2.线面平行判定定理、性质定理的简单综合应用
达标练习
1.判断正误 如果直线 a , b 和平面 满足
a // , b // , 那么a // b. ( ×) P 过点 P平行于 a 的 2．直线 a //平面 ，
直线( C ) A．只有一条，不在平面 内 B．有无数条，不一定在 内 C．只有一条，且在平面 内 D．有无数条，一定在 内
BC // EF （线面平行的性质定理）
规律总结
线面平行的判定定理
线线平行
线面平行的性质定理
线面平行
我的收获
1.直线与平面平行的性质定理.
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与这个平面的交线与该直线平行. 符号表示：
a
b
a ∥ , a , b a ∥b.
如图，已知BC // B C 求证： BC // EF ' ' 证明： BC // B C
'
'
又 BC 平面BCFE
且BC 平面A' B 'C ' D' B'C ' 平面A' B'C ' D' ' ' ' ' BC // 平面A B C D （线面平行的判定定理）
平面BCFE 平面A' B'C ' D' EF
' '
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学习效果检测（二）
定理应用
例３：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． （1）要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？
解：（１）如图，在平面AC 内，过点Ｐ作直线ＥＦ，使 ＥＦ// BC ，并分别交棱AB ，C D 于点Ｅ，Ｆ．连接 ＢＥ，ＣＦ．则ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ就是应画的线．
作业
必做题：P62：5 选做题：P62：6
让自信成为你学习最大的资产！
课前准备：
1.请同学们打开课本第58页，准备好铅笔、 直尺、练习本、作业本. 2.回忆直线与平面平行的判定定理.
复习回顾
直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示：
a b a // a // b