若干数学典故中的数学文化
（八）第三章 若干数学典故中的数学文化第一节历史上的三次数学危机历史上，数学的发展有顺利也有曲折。
大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
一、第一次数学危机第一次数学危机是由2不能写成两个整数之比引发的，我们在第一章已专门讨论过，现再简要回顾一下。
这一危机发生在公元前5世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表为整数比。
其实质是：2是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。
他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了2是无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。
这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。
欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。
但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。
二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。
第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。
1．危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。
我们来看一个例子。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻t的瞬时速度。
在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。
牛顿的思路是：让时间从0t 变到1t ，这段时间记作01t t t −=∆，而这段时间里物体走过的距离记作S ∆。
比值tS ∆∆便是0t 到1t 这段时间内物体的平均速度。
牛顿设想：t ∆越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻0t 的瞬时速度。
当t ∆越来越小（当然S ∆也越来越小），最后成为无穷小，将要变成0而还不是0的时候，两个无穷小之比t S ∆∆，就是所要求的瞬时速度。
例如，设自由落体在时间t 下落的距离为)(t S ，有公式221)(gt t S =，其中g 是固定的重力加速度。
我们要求物体在0t 的瞬时速度，先求tS ∆∆。
2222210100001111()()[()][2()]2222S S t S t gt gt g t t t g t t t ∆=−=−=+∆−=∆+∆ ∴)(210t g gt t S ∆=+=∆∆ [大庆：删去左边的第二个等号]（*）当t ∆变成无穷小时，右端的)(21t g ∆⋅也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是0gt ，这就是物体在0t 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。
但是逻辑上不严格，遭到指责。
2）贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。
贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？① 如果是0，（*）式左端当t∆和S∆变成无穷小后分母为0，就没有意义了。
如果不是0，（*）式右端的1()g t∆就不能任意去掉。
2② 在推出（*）式时，假定了0≠∆t才能做除法，所以（*）式的成立是以0≠∆t而求得瞬时∆t为前提的。
那么，为什么又可以让0=速度呢？③ 因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从05××出发，=3两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。
贝克莱还讽刺挖苦说：即然S∆和t∆都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。
这就是著名的“贝克莱悖论”。
对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。
3）实践是检验真理的唯一标准应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。
牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。
数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。
特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。
所以，人们不大相信贝克莱的指责。
这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。
”2．危机的实质第一次数学危机的实质是“2不是有理数，而是无理数”。
那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。
也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。
其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。
当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。
他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。
正因为如此，此后一百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。
3．危机的解决1）必要性微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。
而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。
数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。
由于没有严格的极限理论作为基础。
数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。
因此，进入19世纪时，一方面微积分取得的成就超出人们的预料，另一方面，大量的数学结构没有正确的牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误的。
历史要求为微积分学说奠基。
2）严格的极限理论的建立到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。
应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。
①在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。
②达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。
但他本人未能提供这样的理论。
③ 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。
④而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Canchy,1789—1857）。
他在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。
他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在课本上的差不太多了。
3）严格的实数理论的建立①对以往理论的再认识后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。
微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。
但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。
一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，1815—1897）构造了一个“点点连续而点点不可导的函数”。
连续函数在直观上是函数曲线没有间断，连在一起，而函数在一点可导直观上是函数曲线在该点有切线。
所以在直观上连续与可导有密切的联系。
这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。
根本不可想象还会有“点点连续而点点不可导的函数”。
魏尔斯特拉斯的例子是0()cos()n n n f x b a x π∞==∑其中a 是奇数，)1,0(∈b ，使π231+>ab 。
另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann ，1826—1866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。
黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。
黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。
这些例子使数学家们越来越明白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再深挖一步：即需要理解实数系的更深刻的性质。
② 魏尔斯特拉斯的贡献德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass ，1815—1897）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。
他的成功产生了深远的影响，主要表现在两方面，一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“δε−”语言。
“δε−”语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”，等等。
这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算和关系精确地表述出来。
总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。
柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。
魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础，所以建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论—极限理论—微积分。
而“历史顺序”则正好相反。
实数理论是学习数学分析的难点，诸如区间套定理，有限复盖定理等，在数学学院，通常也只有数学专业才比较彻底地讲授。
4）极限的“δε−”定义及“贝克莱悖论”的消除①极限的“δε−”定义定义：设函数)(xf在1x的附近都有定义，如果有一个确定的实数a，0>∀ε（无论多么小的正数ε）。
都0>∃ε（都能找到一个正数δ，依赖于ε），使当δ<−<||01x x 时（满足不等式δ<−||1x x 的所有不等于1x 的x ，）有ε<−|)(|a x f （这些x 对应的函数值)(x f 与a 的差小于预先给定的任意小的ε）我们就说函数)(x f 在x 趋近于1x 时，有极限a 。
记为a x f xx =→)(lim 1。
由极限的这个 “δε−”定义，可以求出一些基本的极限，并严格地建立一整套丰富的极限理论。
简单说，例如有两个相等的函数，取极限后仍相等；两个函数，和的极限等于极限的和。
等等。
② “贝克莱悖论”的消除回到牛顿的（*）式上：)0)((210≠∆∆+=∆∆t t g gt t S。
这是在0≠∆t （即01t t ≠）条件下，得到的等式；它表明t ∆时间内物体的平均速度为)(210t g gt ∆+。
（*）式等号两边都是t ∆的函数。
然后，我们把物体在0t 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当t ∆趋于0时的极限，即物体在0t 时刻的瞬时速度=t S t ∆∆→∆0lim。
下边我们对（*）式的等号两边同时取极限0→∆t ，根据“两个相等的函数取极限后仍相等”，得瞬时速度=))(21(lim 00t g gt t ∆+→∆ 再根据“两个函数和的极限等于极限的和”，得)(21lim lim ))(21(lim 00000t g gt t g gt t t t ∆+=∆+→∆→∆→∆ 然后再求极限得000gt gt =+=上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。
数学文化故事精选
数学文化故事精选数学文化是指与数学相关的各种文化现象，包括数学历史、数学传统、数学思维方式等。
数学文化不仅是一种学术研究对象，也是人类智慧与创造力的重要体现。
以下是一些有代表性的数学文化故事，以展示数学在不同文化中的奇妙之处。
1.风筝定理（中国）风筝定理是中国古代数学的杰作之一、相传春秋时期，中国著名的工匠墨子发明了风筝，并用来进行军事侦察。
在风筝上悬挂一根铜线，通过拉动铜线的方式，可以测量出水平方向与地面的距离。
这一发明被后人总结为风筝定理：在一个直角三角形中，直角的两条直线分别与斜边相交，相交点与顶点的连线平分斜边。
2.黄金分割比例（古希腊）古希腊是数学文化的发源地之一、黄金分割比例就是从古希腊开始研究的数学现象。
黄金分割是指将一条线段分为两个部分，使整个线段与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例。
古希腊哲学家伽利略斯德提出了黄金分割的概念，并将其运用于建筑、艺术等领域。
3.零的发现（印度）零的发现是数学史上的一大突破。
在古印度的数学家们发现了零这个概念以前，他们使用的是罗马数字等方式来表示数值。
然而，罗马数字并没有零这个概念，因此计算和记录都存在一定的困难。
公元6世纪，印度的数学家布拉马叶首次提出并运用零的概念，这不仅为日后的数学家们提供了更好的运算工具，也为代数学的发展奠定了基础。
4.费马大定理（法国）费马大定理是一道困扰数学家长达300多年的数学难题。
费马大定理是法国数学家费尔马在17世纪提出的，它表述为“对于任意大于2的整数n，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解”。
数学家们经历了漫长的努力，终于在1994年由安德鲁·怀尔斯宣布证明了该定理的最终解答。
费马大定理的证明过程涉及到了许多高深的数学概念和技巧，展示了人类智慧和数学思维的辉煌。
5.计算巧妙（古巴比伦）古巴比伦是世界上最早开始进行数学研究的地方之一、古巴比伦人在计算中采用了一种被称为“基60”的进位制。
这种进位制在计算过程中很巧妙地避免了一些繁琐的运算，使得他们能够进行更快速、更准确的计算。
了解数学史与数学文化的趣味故事
文学作品如寓言、科幻小说等，常通过数学概念和数学思维来构建 情节，使读者在娱乐中感受到数学的魅力。
数学推理与悬疑小说
数学中的逻辑推理和思维方式常被用于悬疑小说的创作，让读者跟 随数学推理解开谜团。
数学与日常生活
1 2 3
时间与日历
人们日常生活中对时间的把握和日历的使用，都 离不开数学，如时、分、秒的计算，日历中闰年 的判定等。
建筑与规划
建筑师在设计建筑时需要运用大量的数学知识， 如比例、面积、体积的计算，以确保建筑的稳定 性和实用性。
金融与商业
商业活动中的折扣计算、利率计算等都需要数学 知识，而金融领域更是离不开数学模型和算法来 进行风险评估和投资决策。
05
结语
数学史与数学文化的意义
传承人类文明
数学作为人类文明的重要组成部分，其历史和文化价值不可估量。通过了解数学史和数学文化，我们可以更好地传承 和弘扬人类文明。
阿基米德是古希腊数学家，他发现了浮力原理，并解决了 王冠之谜。
要点二
描述
阿基米德在一次洗澡时，发现身体浸入水中时，水位上升 ，从而悟出了浮力原理。另外，他还被请来解决一个王冠 之谜，即王冠是否由纯金制成。通过运用浮力原理，他将 王冠和相同重量的纯金分别放入水中，发现王冠排出的水 比纯金排出的水多，从而证明了王冠中掺了银子。这个故 事展现了阿基米德的聪明才智和浮力原理的实际应用。
了解数学史与数学文化的趣 味故事
目录
• 数学史概述 • 著名数学家的故事 • 数学中的趣味问题 • 数学在文化中的应用 • 结语
01
数学史概述
数学的起源与早期发展
早期计数系统
早在远古时代，人类就开始使用 简单的计数系统，如结绳记事和 手指计数，这是数学发展的雏形
历史中与数学有关的趣味故事
历史中与数学有关的趣味故事历史中承载着无数的故事与事件，而有些故事中还融入了数学的奥妙和趣味。
让我们一同探索历史中与数学相关的一些趣味故事。
1. 《斐波那契数列与兔子繁殖》在13世纪的意大利，有一位名叫斐波那契的数学家，他提出了一种数列，即斐波那契数列。
这个数列的定义是：第一个数字是0，第二个数字是1，从第三个数字开始，每个数字是前两个数字之和。
斐波那契数列的前几个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... 有趣的是，这个数列与兔子的繁殖速度有关。
假设一对新生兔子出生后需要一个月才能长大并开始繁殖，而每对兔子每个月只能生育一对新兔子。
那么，根据斐波那契数列，经过n个月后的兔子总数就是第n个斐波那契数。
这个有趣的故事将数学与生活联系在了一起。
2. 《勾股定理的神奇起源》勾股定理是数学中的重要定理，它在古代中国、印度、埃及等地都有出现过。
然而，最早提出并证明这个定理的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
相传，公元前6世纪，毕达哥拉斯和他的学生们在数学研究中发现了一个神奇的现象：当直角三角形的两个直角边的长度为3和4时，斜边的长度恰好是5，而且这种情况并不仅限于3和4。
毕达哥拉斯据此总结出了勾股定理。
这个有趣的故事告诉我们，数学的发现往往源于观察和实践。
3. 《阿基米德和数学中的浮力定律》阿基米德是古希腊的一位杰出数学家和物理学家。
他发现了浮力定律，即物体在液体中受到的浮力等于其排开的液体的重量。
传说中，公元前3世纪，阿基米德被要求确定一位国王的王冠是否是纯金。
他想了一个聪明的办法，利用浮力定律来解决这个问题。
阿基米德将王冠和同重量的纯金分别放入水中，通过浮力的大小可以判断哪一个是纯金，因为纯金的密度较大，所以排开的液体重量也较大。
阿基米德借助数学的帮助成功解决了这个难题。
4. 《牛顿的苹果和万有引力定律》在17世纪，牛顿发现了万有引力定律，即每两个物体之间存在引力，这个引力的大小与它们的质量和距离有关。
数学文化小故事
数学文化小故事在古老而神奇的数学领域，隐藏着许多令人惊叹和启发的小故事。
这些故事既展示了数学的美妙之处，又传承了世代间的智慧和技艺。
斐波那契的兔子在数学史上，斐波那契数列是一种著名的数列，起源于斐波那契（Fibonacci），一个意大利数学家。
斐波那契数列以0和1作为开始的两个数，之后的每一个数都是前两个数的和。
这个数列如下：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …斐波那契数列在自然界和艺术中都有广泛的应用。
例如，在植物的生长规律中可以看到斐波那契数列的身影；在艺术作品中，斐波那契数列被用来创造出优美的黄金分割比例。
数学之美数学作为一门学科，既实用又优美。
在古代，数学家们追求几何中各种规则和定理的简洁和完美；在当代科学中，数学被广泛用于建模和研究。
数学之美在于其严密的逻辑和概念的统一性，让人不禁感叹宇宙间存在的精妙规律。
圆周率之谜圆周率是一个无穷不循环小数，其小数点后的数字永远不会重复。
圆周率的确切值一直是数学家们追求的目标，然而迄今为止，我们只能用一个约等于3.14159的近似值来表示。
圆周率在数学和科学中有着重要的应用，例如在几何学、物理学和工程学中都需要用到圆周率。
圆周率的不规则性让人产生无限的遐想和思考，使人们对数学的奥秘充满好奇和探求的欲望。
数学的启蒙在古代，数学是一门非常神秘的学科，只有极少数人能够理解和掌握。
然而，随着科学技术的发展，数学逐渐被揭开了神秘的面纱，成为一种普及的学科。
现代社会的每个人都可以通过学习数学来提升自己的逻辑思维和问题解决能力。
数学文化的小故事正是我们从古人智慧和创造中汲取灵感和启发的源泉，让我们一起探讨数学的奥秘，感受数学的美妙之处。
在数学文化的广袤天地中，隐藏着无数有趣、充满智慧和启发的小故事，让我们一起感受数学之美，探索数学的深沉魅力吧！。
数学文化小故事简短
数学文化小故事简短
有一位古代的数学家名叫欧几里德。
有一天，他得知国王正在寻找一位宫廷数学家，他决定前去应聘。
当欧几里德见到国王时，国王向他提出了一个问题：“我的宫殿有一条非常长的走廊，两边都有无限多的房间。
现在我希望将每个房间的门牌号码按照一种特殊的方式安排。
”
国王要求每个房间的门牌号码必须是正整数，且要满足以下条件：对于每个房间的门牌号码N，如果你从起点开始，向左或向右移动固定的步数，最终都可以回到起点。
这样的话，所有房间的门牌号码应该如何排列呢？
欧几里德思考了一会儿，然后告诉国王：“陛下，我已经有了一个解决方案。
让我们从起点开始，顺着走廊向左侧放置门牌号码：1、2、3、4、5……向右侧放置门牌号码：-1、-2、-3、-4、-5……这样，每个房间的门牌号码都可以满足要求。
”
国王听后非常满意，并对欧几里德的聪明才智赞不绝口。
他决定任命欧几里德为宫廷数学家，为国王和贵族们解答和研究数学问题。
这个小故事展示了欧几里德对数学的深入理解和巧妙解决问题的能力。
他的解决方案展示了数学中的对称性和无穷的概念。
欧几里德的智慧为数学文化留下了宝贵的遗产。
数学文化小故事
数学文化小故事在古代，有一位名叫毕达哥拉斯的数学家，他是古希腊的数学奠基人之一。
据说，毕达哥拉斯是一位非常虔诚的数学爱好者，他相信一切都可以用数字来解释和理解。
他的学生们也都对他的数学理论深信不疑。
有一天，毕达哥拉斯的学生们问他，“老师，您认为数学和音乐之间有什么联系吗？”毕达哥拉斯微笑着回答说，“当然有联系。
数学和音乐都是宇宙中的奥秘，它们之间存在着深刻的内在联系。
”。
毕达哥拉斯接着告诉他的学生们一个有趣的故事。
据说，古代的一位数学家在走路的时候，听到了一群打铁的工人在敲打铁锤，发出了不同的声音。
他忽然发现，不同重量的铁锤所发出的声音音调也不同。
于是，他开始思考，难道不同重量的铁锤发出的声音音调之间存在着某种数学规律吗？于是，这位数学家开始进行实验，他用不同重量的铁锤在不同硬度的表面上敲打，然后记录下每次敲打所产生的声音音调。
最终，他得出了一个惊人的结论，不同重量的铁锤所发出的声音音调之间存在着数学规律，即音调的高低与铁锤的重量成正比。
这个故事给了毕达哥拉斯很大的启发，他开始研究音乐和数学之间的内在联系。
最终，他发现了一种被称为“毕达哥拉斯定律”的数学规律，这个定律揭示了音乐中的和谐之美与数学之间的奇妙关系。
据说，毕达哥拉斯定律的发现对后世的音乐理论产生了深远的影响。
这个故事告诉我们，数学并不是一种枯燥的学科，它与我们生活中的方方面面都有着密切的联系。
数学不仅存在于我们的日常生活中，也存在于我们所热爱的音乐艺术中。
正是因为数学的存在，才使得音乐如此美妙动人，充满了和谐之美。
在现代社会，数学文化已经成为了一种重要的文化形态。
我们可以在音乐、绘画、建筑等各个领域中看到数学的身影。
数学文化不仅仅是一种学科，更是一种生活的态度和追求。
通过数学文化，我们可以更加深刻地理解世界的奥秘，感受到数学之美，体验到数学所带来的乐趣。
因此，我们应该更加重视数学文化的传承和发展，让更多的人了解数学的魅力，感受数学的美妙。
第三章若干数学典故中的数学文化
终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的
比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的 比”，而是“比所趋近的极限”。 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但 并没有明确说清这个词的意思。
31
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积 分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。
理论的建立。
20
三、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分
的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉
斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由
牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是
对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
21
1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一
次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动 了数学科学的发展。
3
一、什么是悖论
悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推 理，得出荒谬的结论。 理解悖论必须明确以下三点： 1.任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的. 2.悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示. 3.悖论并不是“悖理”、“荒谬”．
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖
锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，
引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能
不说是巨大的贡献。
13
几个主要的悖论： （1）理发师悖论 村中有一位理发师，村上的人，有的人是自己给 自己刮胡子，有的人不给自己刮胡子．理发师规 定，他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子． 请问：理发师本人能不能给自己刮胡子？
若干数学典故中的数学文化
若干数学典故中的数学文化数学典故是指在数学发展历程中留下的一些有趣的故事或传说。
这些典故反映了数学家们的智慧和创造力，也展示了数学领域的重要成就。
在这些典故中，蕴含了丰富的数学文化，让我们来一探究竟。
首先，让我们来看看古希腊时期的数学典故。
在这个时期，数学家毕达哥拉斯提出了一个著名的定理，即毕达哥拉斯定理。
这一定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理的证明充分展示了毕达哥拉斯学派深刻的数学思想和推理能力。
这个定理在数学教学中被广泛应用，是数学文化中不可或缺的一部分。
接下来，让我们来了解一下古印度数学典故。
在古代印度，有一位名叫阿耶尔巴塔的数学家。
他是数学领域的一位巨匠，他的主要成就之一是提出了无穷数的概念。
在他的研究中，他发现了一种称为“零”的数学概念。
这个概念彻底改变了数学的发展方向，也赋予了数学无限的可能性。
零的概念在现代数学中扮演了重要角色，成为了数学文化中的一个象征。
还有一个有趣的典故是关于数学家费马的费马大定理。
费马大定理是数论领域中的一个重要成就，它在数学史上长期被认为是无法证明的。
费马在文辞中提到了一些证明方法，但并未留下具体的证明。
这引发了数学家们数以百计的努力去尝试证明这个定理。
最终，安德鲁·怀尔斯在1994年给出了一个完美的证明，这个定理在此之后便成为数学的一部分。
费马大定理的证明过程体现了数学家的聪明才智和坚持不懈的精神，也成为了数学文化中的传奇。
总的来说，数学典故中的数学文化是我们不可或缺的一部分。
这些典故体现了数学家们的智慧和创造力，也展示了数学领域的重要成就。
它们不仅给我们带来了乐趣和启示，还使我们对数学有了更深入的了解。
这些数学文化的遗产将继续在数学教育和研究中发挥重要作用，为数学领域的进一步发展做出贡献。
中国古代数学中的数学文化PPT
学著作，据写在一支竹简反面的字迹识 别，这部竹简算书的书名叫?算数书?， 它是中国现存最早的数学专著。经研究 ，它和?九章算术?〔公元1世纪〕有许 多相同之处，体例也是“问题集〞形式 ，大多数题都由问、答、术三局部组成 ，而且有些概念、术语也与?九章算术? 的一样。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古
• 2002年7月，考古 人员在湖南龙山里
耶战国－秦汉古城 出土了36000余枚 秦简。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)
• 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年〔即
公元前221－前210年 〕的秦朝历史，其中
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九〞乘法口诀。 • ?西游记?中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途
经历七七四十九劫，九九八十一难。 • ?越王勾践?中，翻过九九八十一座山，渡过八
八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦 溪山。 • 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子 。 • “六六三十六，阎王接你吃腊肉〞、“不管三七 二十一〞等。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
?史记·夏本纪?
大禹治水 (公元前21世纪)
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 在殷墟出土的商代甲骨文中， 有一些是记录数字的文字，说 明中国已经使用了完整的十进 制记数，包括从一至十，以及 百、千、万，最大的数字为三 万。这是对世界数学最伟大的 奉献。
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前1100年 )
• 如图，Plato对等腰直角三 角形作了证明，他把腰上 两个正方形沿对角线切开 ，所得四个全等的等腰直 角三角形可以拼成原三角 形斜边上的正方形。
数学的历史小故事
数学的历史小故事数学的历史小故事有哪些？数学在古代就有了。
下面是小编为大家带来的数学的历史小故事五篇，希望大家能够喜欢！数学小故事一勒斯(古希腊数学家、天文学家)来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能测量金字塔高度。
泰勒斯说可以，但有一个条件——法老必须在场。
第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓。
秦勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。
每过一会儿，他就让人测量他影子的长度，当测量值与他身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面上的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离。
这样，他就报出了金字塔确切的高度。
在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理。
也就是今天所说的相似三角形定理。
数学小故事二大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。
他们使用罗马数字。
罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。
在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。
而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。
他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介。
过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇。
教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝 ! 于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是。
虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡。
后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
数学小故事三战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马：上马，中马与下马。