等腰三角形常用方法
等腰三角形面积计算方式
等腰三角形面积计算方式
等腰三角形是一种具有两边相等的三角形，其中两条边被称为腰，第三条边被称为底。
计算等腰三角形的面积可以使用以下方法：
1. 已知底和高：等腰三角形的面积可以使用以下公式计算：面
积=（底*高）/2，其中底为三角形的底边长度，高为从底边垂直上方的距离。
2. 已知两边长度和夹角：等腰三角形的面积可以使用以下公式
计算：面积=（边长^2*sin(夹角))/2，其中边长为腰的长度，夹角为腰和底之间的夹角。
3. 已知三边长度：通过海龙公式，可以计算出等腰三角形的面积。
海龙公式为：s=(a+b+c)/2，其中a、b、c为三条边的长度，s
为半周长，即s=(a+b+c)/2。
根据海龙公式，可以计算出等腰三角形的半周长，然后使用以下公式计算面积：面积
=sqrt[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)]。
计算等腰三角形的面积需要清楚地知道所给出的信息，然后选择合适的公式进行计算。
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等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学等腰三角形中做辅助线的七种常用方法在数学中，等腰三角形是一种非常常见的三角形，其两边长度相等，而另外一边则为底边。
由于等腰三角形的对称性，中心轴线即底边中线，将等腰三角形分为两个对称的部分。
在解决等腰三角形问题时，我们可以运用七种常用的辅助线方法来简化解题过程。
下面将一步一步回答这个主题。
一、作中线中线是连接等腰三角形底边中点和对立角顶点的直线线段。
相比于直接解题，中线的作用是将等腰三角形分解成一个矩形和两个全等直角三角形。
我们可以利用三角形的性质和数学定理，来推导出等腰三角形的各种性质和解题方法。
例如，在求等腰三角形的面积时，利用中线将其分成两个全等直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解。
二、作高线高线是从三角形一个顶点，垂直于另一条边所作的线段。
在等腰三角形中，高线不仅垂直于底边，而且还平分底边。
利用高线我们可以求出三角形的高和底边中分线段的长度。
例如，当已知等腰三角形的底边和顶角时，我们可以利用高线分割出一个全等直角三角形。
再根据勾股定理，直接求出等腰三角形的两边长度和面积。
三、作角平分线角平分线是从一个角的顶点，把角分成两个角度相等的线段。
在等腰三角形中，角平分线从顶点出发，与底边平行，平分底边长度，并将等腰三角形分成两个全等三角形。
例如，在已知等腰三角形两边长度和底边角度的情况下，我们可以画出角平分线并运用正弦定理求解。
四、作中垂线中垂线是连接等腰三角形底边中点和对立角的角平分线的垂线。
利用中垂线，我们可以将等腰三角形分解成一个底边中垂线分割的两个全等直角三角形。
例如，当已知等腰三角形的两边长度和底边长度时，可以利用中垂线将三角形分成两个全等直角三角形。
再根据直角三角形勾股定理求出等腰三角形的两边长度和面积。
五、作垂线垂线是从一个点到一条线段垂直的线段。
在等腰三角形中，垂线从顶点出发，垂直于底边，平分底边，并将等腰三角形分解成两个全等直角三角形。
等腰三角形的性质及判定方法
等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质以及判定方法。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
根据定义，等腰三角形的两边是等长的，它们被称为等腰三角形的腰，而剩下的边则被称为底边。
2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底边上的两个底角相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
由于底边两边等长，所以两个底角的两边也相等，根据三角形内角和定理，两个底角相等。
（2）等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半。
这个性质可以通过角度和边的关系来推导。
设等腰三角形的两个底角为x度，则顶角为180度减去两个底角的和2x度。
（3）等腰三角形的高线线对称于底边中点的垂直平分线。
等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，而底边的中点是由两点确定的垂直平分线。
这两条线通过等腰三角形的顶点，并且垂直于底边。
3. 等腰三角形的判定方法（1）边长判定：如果一个三角形的两边长度相等，则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的两边长度，如果相等，则可以判定为等腰三角形。
（2）角度判定：如果一个三角形的两个底角相等，则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的两个底角，如果相等，则可以判定为等腰三角形。
（3）边角关系判定：如果一个三角形的一边与另外两边的边长比相等，并且底角相等，则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的边长和角度，如果满足该条件，则可判定为等腰三角形。
4. 实际应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
例如，在建筑物的设计中，等腰三角形常用于门窗的设计，通过运用等腰三角形的性质，可以确保门窗的开合顺畅和美观。
此外，在数学问题解答中，等腰三角形的性质和判定方法也经常被使用。
例如，在解决几何证明问题时，可以通过利用等腰三角形的性质进行推理和证明。
综上所述，等腰三角形具有底边两个底角相等和顶角等于底角的一半等独特性质。
等腰三角形解题方法ppt课件
＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠DEA＋∠AEF ＝180°×12＝90°，∴DE⊥EF，∵EF∥BC，∴ DE⊥BC
五、构造30°的直角三角形 3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°， 求证：AB＝2BC.
解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，又∵BD＝AD，∴∠BAD＝ x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°，∵AC＝DC，∴∠DAC＝2x°，在△ADC中，2x ＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3＝108°
二、分类讨论在等腰三角形中的应用
5．已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角
证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝ ∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF (2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM＋∠MFE＋∠AEF＝90°， ∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
度数．
①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ABD ＋ ∠A ＝ 90 ° ， 又 ∵∠ABD ＝ 50 ° ， ∴ ∠ A ＝ 90 ° － 50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)＝70°， 即这个三角形的三个内角分别为40°，70°，70°； ②当△ABC为钝角三角形时，如图所示：∵BD⊥AC， ∠ DBA ＝ 50 ° ， ∴ ∠ BAC ＝ 90 ° ＋ 50 ° ＝ 140 ° ， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－140°)＝20°.即这个三角形 的三个内角分别为140°，20°，20°.综上所述，这个 三角形的三个内角分别为40°，70°，70°或140°， 20°，20°
列举构造等腰三角形4种常用方法模型
列举构造等腰三角形4种常用方法模型
1. 构造等腰三角形的一个底角：
已知等腰三角形的一个底角，我们可以使用圆规和直尺来构造等腰三角形的另一条底边和另一个底角。
2. 利用中垂线构造等腰三角形：
已知线段的中点，我们可以使用中垂线性质来构造等腰三角形。
3. 利用平行线构造等腰三角形：
已知一条直线和该直线外的一点，我们可以使用平行线性质来构造等腰三角形。
4. 利用角平分线性质构造等腰三角形：
已知一个角的角平分线，我们可以使用角平分线性质来构造等腰三角形。
等腰三角形的性质和计算方法
等腰三角形的性质和计算方法等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有许多独特的性质和计算方法。
在本文中，我们将深入探讨等腰三角形的性质以及如何进行相关计算。
一、等腰三角形的性质（1）定义：等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两边被称为等腰，而剩下的一边被称为底边。
（2）角度性质：等腰三角形的底边两边的夹角相等，被称为顶角。
根据等腰三角形的性质，顶角可以将底边等分。
（3）对称性质：等腰三角形具有对称性质，即以等腰三角形的顶点为中心进行旋转，可以得到另一个等腰三角形。
（4）高度性质：等腰三角形的高度是指从顶点到底边的垂直距离。
在等腰三角形中，高度同时也是中线、角平分线和垂直平分线。
二、等腰三角形的计算方法（1）边长计算：已知等腰三角形的底边长度和顶角的情况下，可以通过以下计算方法求得等腰三角形的边长。
1. 通过正弦定理计算：根据正弦定理，可以得到等腰三角形的边长公式为：边长 = 底边长度 / sin(顶角的一半)。
通过这个公式，我们可以求得等腰三角形的边长。
2. 通过余弦定理计算：根据余弦定理，可以得到等腰三角形的边长公式为：边长 = 2 * 底边长度 * cos(顶角的一半)。
通过这个公式，我们同样可以求得等腰三角形的边长。
（2）面积计算：已知等腰三角形的底边长度和高度的情况下，可以通过以下计算方法求得等腰三角形的面积。
根据等腰三角形的性质可以知道，等腰三角形可以看作是一个矩形和两个直角三角形组成。
因此，可以通过计算矩形和两个直角三角形的面积之和来求得等腰三角形的面积。
（3）角度计算：已知等腰三角形的边长情况下，可以通过以下计算方法求得等腰三角形的顶角。
根据边长计算方法中的公式，可以将已知的边长代入，通过反正弦函数求得顶角的一半，再将其乘以2，即可得到等腰三角形的顶角。
三、实例应用例如，已知一个等腰三角形的底边长度为8cm，顶角为60度。
我们可以通过边长计算方法中的公式，将底边长度和顶角代入，计算得到等腰三角形的边长为8 / sin(60/2) ≈ 9.24cm。
等腰三角形的证明方法
等腰三角形证明方法
噫，说起等腰三角形嘞证明方法，咱四川人也得搞得巴巴适适嘞。
你看哈，等腰三角形，就是两边边长相等，底角也相等那种三角形。
要证明它，方法还是有那么几手嘞。
首先嘞，你可以从它的定义下手。
比如说，你晓得一个三角形两边长度一样，那你就可以直接喊它等腰三角形了，这没得啥子好说的。
再来说说另一种方法，用等腰三角形嘞性质。
等腰三角形底边上嘞两个底角是相等的，这是它嘞一个很重要嘞性质。
所以嘛，你要是在一个三角形里头找到了两个相等的角，那它嘞对应两边肯定也是相等的，这个三角形也就是等腰三角形了。
还有一种比较高级嘞方法，就是用到啥子全等三角形嘞知识。
你画一条从等腰三角形嘞顶角到底边中点嘞线，这条线就是高、中线，还是角平分线。
然后嘞，你就可以通过证明两边嘞两个小三角形是全等的，来证明这个三角形是等腰三角形。
总之嘞，等腰三角形嘞证明方法还是比较多嘞，关键是要根据题目给出嘞条件，灵活地选择方法。
你要是掌握了这些方法，那遇到等腰三角形嘞题目，你就可以游刃有余地解决了。
所以说呀，学数学还是要动脑筋嘞，不能光靠死记硬背，要活学活用，这样才能真正嘞学好数学。
等腰三角形斜边长公式计算方法
等腰三角形斜边长公式计算方法
至少有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一条边称为底。
接下来分享一下等腰三角形斜边的求法，供参考。
等腰三角形斜边长公式
(1)记住直角三角形的勾股定理：a²+b²=c²，其中c是斜边长。
(2)按等腰三角形考虑：a=b，所以：c²=2a²，a是直角边长。
c=sqrt(2)*a，sqrt(2)是计算机函数的“根号2”的表示法，c约=1.414*a。
(3)用正弦或余弦定理也行：sin(45度)=a/c，
c=a/sin(45)=a/(sqrt(2)/2)=sqrt(2)*a约=1.414*a。
等腰三角形判定的方式
定义:在同一个三角形中，两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理:在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角的对边也相等(简写为等角等边)。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
1.在三角形中，如果一个角的平分线与该角对边的中线重合，则该三角形为等腰三角形，该角为顶角。
2.在三角形中，如果一个角的平分线与该角对边的高度重合，则该三角形为等腰三角形，该角为顶角。
3.在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。
4.有两条相等平分线(或中线或高度)的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
八年级数学人教版(上册)小专题(九)构造等腰三角形的常用方法
方 法 2 ： 延 长 AB 至 点 E ， 使 BE ＝ BD ， 连 接 DE ， 证 △AED≌△ACD 即可.
方法 3：延长 CB 至点 E，使 BE＝AB，连接 AE，则∠E＝∠C ＝∠EAB，易证∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB ＋BD．
AB＝EB， ∠ABD＝∠EBD， BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC＝∠BED＝108°.
∴∠DEC＝72°.
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠C＝∠ABC＝36°.
∴∠CDE＝72°.
∴∠CDE＝∠CED．∴CD＝CE. ∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD． 方法 2：(补短法)延长 BA 至点 E，使 BE＝BC，连接 DE， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠EBD． 在△EBD 和△CBD 中，
AD 于点 E.求证：BE＝12(AC－AB). 证明：延长 BE 交 AC 于点 F，
∵BF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEF.
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. ∠AEB＝∠AEF，
在△ABE 和△AFE 中，AE＝AE， ∠BAE＝∠FAE，
∴△ABE≌△AFE(ASA). ∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF. ∵∠C＋∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF＋∠CBF＝∠ABC ＝3∠C， ∴∠C＋2∠CBF＝3∠C． ∴∠CBF＝∠C．
EB＝CB， ∠EBD＝∠CBD， BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD(SAS).
∴DE＝DC，∠E＝∠C． ∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EAD
＝72°. ∴∠E＝36°.∴∠EDA＝72°.
∴∠EDA＝∠EAD． ∴EA＝ED．∴CD＝DE＝AE. ∴BC＝BE＝AB＋AE＝AB＋CD．
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解：由△AHE≌△BCE,得BC=AH
17. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°，求证：AD=DC
解：作AF⊥BD于F,DE⊥AC于E
可证得∠DAF=DAE=15°,所以△ADE≌△ADF（或由角平分线的性质），得AF=AE,
由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°，所以∠B=∠DEC
所以∠DEC=∠AFD，所以DE=DF,故BD=ED
14. 如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G，求证：EG=FG
15. 如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD，求证：AF=FC
点E，∠E、∠F的平分线交于点H
求证：EH⊥FH，延长EH交AF于点G，由∠BAD+∠BCD=180°,∠DCF+∠BCD=180°，得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2,故△FGM是等腰三角形，由三线合一,得EH⊥FH
20.等腰三角形ABC中，M是BC边上一点，CF平分ACF，且AMF=60度，求证（1）BAM=CMF;(2)AM=MF证明：（1）在等边三角形ABC中，∠B=60°，
22.现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）,分割成两个等腰三角形，把图（2）分平面内有一直线及两点A,B，在直线上找一点P，使（1）AP+BP最小；（2）AP-BP 最大.
24.
证明：
12.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线,求证：CD= CE
解：延长CD到点E,使DE=CD.连结AE，证明△ACE≌△BCE
13. 如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC，求证：BD=ED
解：在CE上取点F,使AB=AF，易证△ABD≌△ADF,得BD=DF,∠B=∠AFD
由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC,因此DE垂直平分AC,所以AD=DC
18. 如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD
求证：EC=ED延长BD到点F,使DF=BC,可得等边△BEF（类比第21题）
19. 如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于
∵∠AMC=∠BAM+∠B，
∴∠BAM+∠B=∠AMF+∠CMF，
∵∠AMF=60°，
∴∠BAM=∠CMF；
（2）过点M作MD∥AC交AB于D，易证
21.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。
证明：连接AD，AC，并过A作AF∥DE，交BC的延长线于F，则△ABF是等边三角形，AF=AB=FB，AE=AB-BE=FB-BD=FD，又AC=AD，∠ACD=∠ADC，故其补角∠ACF=∠ADB，∠F=∠B，∠FAC=∠BAD，∴△AFC≌△ABD，故CF=BD=DE，DE+DC=CF+DC=FD=AE。故证。