单级旋转倒立摆系统
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
单级倒立摆稳定控制
单级倒立摆稳定控制摘要单级倒立摆是一种受控系统，在工业控制和机器人技术中有着广泛的应用。
这篇文档将介绍单级倒立摆的结构、原理和控制方法，特别是借助PID控制系统来实现单级倒立摆的稳定控制。
单级倒立摆是一种类人形机器人，它通常由一个水平旋转的轮子和一个通过电机传动的滑移杆组成，最后再由摆杆上的陀螺控制实现倒立。
这种结构使得单级倒立摆成为了机器人应用领域中的一个挑战问题。
为了实现单级倒立摆的稳定控制，需要在控制系统中引入一个合适的控制机制。
PID控制算法是一种最为通用的控制算法之一，常被用于像单级倒立摆这样的机器人平衡控制。
PID控制PID控制是一种基于反馈的控制系统，在工业和机器人技术中得到了广泛的应用。
PID控制通过比较实际的输出值与期望的输入值之间的差异，来作出对输出值的控制。
PID控制可以对输出值的稳定性、可靠性和精度进行控制，适用于不同类型的工业和机器人控制系统。
PID控制通常由三个部分组成：比例(P)、积分(I)和微分(D)控制。
比例控制反馈调整输出值，使得实际输出值逼近期望输入值。
积分控制记录过去所有误差，并将这些误差相乘来调整输出值。
微分控制通过记录过去的误差变化率，来防止输出值的快速变化。
在单级倒立摆稳定控制中，采用PID控制可以较好地解决因摩擦力、惯性、重心偏移等因素导致的系统不稳定问题，进而实现系统的平衡控制。
单级倒立摆的稳定控制实现单级倒立摆的稳定控制需要进行以下步骤：步骤1：系统建模将单级倒立摆系统建模，根据运动学和动力学原理，得到系统的运动方程。
步骤2：PID参数调节通过对PID控制算法中比例、积分、微分三个部分的参数进行调整，得到较好的控制效果。
步骤3：PID控制实现将PID控制器与单级倒立摆系统进行连接，实现单级倒立摆的稳定控制。
本文档介绍了单级倒立摆的结构、原理和控制方法，分析了PID控制算法在单级倒立摆稳定控制中的应用。
通过对步骤进行深入的解析，得到了单级倒立摆的稳定控制方法。
单级倒立摆及其控制系统的研究和图形化仿真
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图 1 倒立摆的物理模型
控制倒立摆的目的是使摆杆不到，滑块不动，即 为 0 且 不随时间变化。这里，控 制量被定义为作用在滑块 A 上沿 方向的力 。
根据以上物理模型得到系统的动力学方程：
(
)
将滑块速度 和摆杆角速度 分别定义为：
若控制作用 恒为 0，则由动力学方程可知，倒立摆是非线性自治系统。该系统的状
参考文献
1. 施颂椒, 陈学中, 杜秀华. 现代控制理论基础. 北京:高等教育出版社, 2005 2. 刘崇新. 非线性电路理论及应用. 西安:西安交通大学出版社, 2007
3.2. 碰撞过程
定义：设物体 A 与物体 B 以一定相对速率碰撞，碰撞前后，撞击点切面法线方向上的速 率分量分别为 和 ，则物体 A 与物体 B 之间的碰撞分离率 被定义为：
显然，碰撞分离率 与物体 A 和 B 的材质有关，其取值范围为 [ ]，当
生完全弹性碰撞，当
则发生完全非弹性碰撞。
则发
设墙壁与滑块之间的碰撞分离率为 速度 撞击墙壁后，将以速度 击地面后，将以角速度
4. 镇定控制
倒立摆接近平衡状态
时，有
(
)
，系统动力学方程线性化为
令 [] [ 其特征方程为：
⁄
]
[ ⁄ ]，系统可用状态空间表示为：
(
)⁄
⁄
̇
(
)
令̅
̅
其中
̅
，原状态方程变换为能控标准型：
̅̇ ̅ ̅ ̅
⁄
⁄
[
⁄
⁄]
根据给定的极点位置，可以求得期望的特征方程，形如
能控标准型状态方程的反馈向量为：
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
一级倒立摆的Simulink仿真
一级倒立摆的Simulink仿真第一篇：一级倒立摆的Simulink仿真单级倒立摆稳定控制直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。
杆长为2λmguθ图1 直线一级倒立摆系统图2 控制系统结构假设小车质量M =0.5kg，匀质摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度2l =0.6m，x(t)为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，g=9.8m/s2。
控制的目标是通过外力u(t)使得摆直立向上（即θ(t)=0）。
该系统的非线性模型为：&&+(mlcosθ)&12&=mglsinθ(J+ml2)θxJ=ml。
，其中2&&&3&=(mlsinθ)θ+u(mlcosθ)θ+(M+m)&x解：一、非线性模型线性化及建立状态空间模型&=0）对系统进行线性化，所以因为在工作点附近（θ=0,θsinθ≈θ-θ33!可以做如下线性化处理：,cosθ≈1-θ22!当θ很小时，由cosθ、sinθ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cosθ≈1，sinθ≈θ，θ’^2≈0；因此模型线性化后如下：（J+ml^2）θ’’+mlx’’=mglθ(a)mlθ’’+(M+m)x’’=u(b)其中J=ml13&,输出y=[x&,x3=θ,x4=θ取系统的状态变量为x1=x,x2=x的角位移.θ]T包括小车位移和摆杆⎡x1⎤⎡x⎤⎢x2⎥⎢x'⎥⎡x⎤⎡x1⎤即X=⎢⎥=⎢⎥ Y=⎢⎥=⎢⎥⎢x3⎥⎢θ⎥⎣θ⎦⎣x3⎦⎢⎥⎢⎥⎣x4⎦⎣θ'⎦由线性化后运动方程组得-3mg4X1’=x’=x2 x2’=x’’=x3+u4(M+m)-3m4(M+m)-3m3(M+m)g-3X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=x3+u4(M+m)l-3ml4(M+m)l-3ml故空间状态方程如下：⎡0⎢⎡x1'⎤⎢0⎢x2'⎥⎢X’=⎢⎥=⎢⎢x3'⎥⎢0⎢⎥⎢⎣x4'⎦⎢0⎣100⎤⎡0⎤⎥⎢⎥-3mgx14⎡⎤⎢⎥00⎥⎢⎥4(M+m)-3m⎥x2⎢4(M+m)-3m⎥⎢⎥+ ⎢⎥001⎥0⎥⎢x3⎥⎢⎥⎢⎥⎥x4⎢⎥3(M+m)g-300⎥⎣⎦⎢⎥4(M+m)l-3ml⎦⎣4(M+m)l-3ml ⎦u⎡x1'⎤⎡0⎢x2'⎥⎢0⎢⎥⎢X’=⎢x3'⎥=⎢⎥⎢0⎣x4'⎦⎢⎣0100⎤0⎡⎤x1⎡⎤⎢1.8182⎥⎢x2⎥0-2.67270⎥⎥⎢⎥ + ⎢⎥ ux3⎥001⎥⎢⎢0⎥⎢⎥⎥⎣x4⎦⎢⎥031.18180⎦⎣-4.5455⎦⎡x1⎤⎢⎥⎡x1⎤⎡1000⎤⎢x2⎥Y= ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣x3⎦⎣0010⎦x3⎢⎥⎣x4⎦二、通过Matlab仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。
单级旋转倒立摆系统
《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。
其中摆的长度∕1=lm,质量∏71 =Olkg ,横杆的长度厶 =1 m f 质量nt2 =Olkg1重力加速度g =0.98∕π/52O以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移q为输出。
控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面360°的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。
在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位,这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M为输入，横杆相对参考系产生的角位移q为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
2模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆M-NI 2=J 2d~θx分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；〃勺为摆杆质量； 厶为摆杆长度；人为摆杆的转动惯量；“为横杆的质量；厶为横杆的长度；厶为 横杆的转动惯量；q 为横杆在力矩作用下转动的角度；g 为摆杆与垂直方向的夹 角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立 摆模型受力分析如图2所示。
图2倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程：NM I 牛甸/+O + ? Sina) (∕2-横杆的转动弧长即位移)摆杆垂直方向受力平衡方程：〃2 I I卑g=卑 2叶一寸COSq)Ur 2 2摆杆转矩平衡方程：横杆转矩平衡方程:XX考虑到摆杆在设定点q,Q=o 附近做微小振动，对上式进行线性化，即• ml JSi 吨≈q, cos^2 ≈1 ‘心0,其中八〒，近似线性化得到,JlN = OΛ-(Θ +OM (IV ・//-0.98 = 0 1 /1If)——= H ∙0.5IN ∙0.5∙l 30 dfM-N = -^∙30 dr整理上式可得倒立摆的状态方程:1 ∙∙ ∙∙—q —0 + 14.70—15M<4 ∙∙ 1 ∙∙-<91 + -6>2-10M =O l3 2本文参数代入计算可得：& =-4.642Q+11.05 3M Q= 12.3790—9.474M■x=q=[ι 0 0 0]■■ ■X =■ qO I■O^Λ ^^0χ2OO -¾.OO"P ■O 尤2 + 11.053 1O O9.474取状态变量如下：故1 OO -4.642 O O O 12.3793稳定性和能控性分析3.1稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
单级倒立摆
单级倒立摆单级倒立摆评分：_________ SHANGHAI UNIVERSITY课程论文COURSE PAPER 单级倒立摆学院机自学院专业电气工程及其自动化学号12121696 学生姓名王龙康课程现代控制理论打印日期目录一、倒立摆的概述··················3二、单级倒立摆····················4三、倒立摆状态空间描述················5四、使用MATLAB·················· 8（1）状态反馈系统的极点配置··········· 8 （2）状态观测器实现状态反馈极点配置·······10一、倒立摆的概述：倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。
由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。
1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。
目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。
二．系统建模1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。
倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。
在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
本科毕业设计任务书：旋转单级倒立摆系统建模与实物控制
系 信控 系 主 任批准日期 2015-3-6毕 业 设 计（论 文）任 务 书信息与控制工程 系 自动化 专业 ×× 班 学生 ×× 一、毕业设计(论文)课题旋转单级倒立摆系统建模与实物控制二、毕业设计(论文)工作自 2015 年 3 月 2 日起至 2015 年 6 月 28 日止 三、毕业设计(论文)进行地点学科2号楼801实验室四、毕业设计(论文)的内容要求1、 设计目的倒立摆系统自身是一个典型的绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统。
许多抽象的控制理论概念如系统的可控性、稳定性、系统的抗干扰能力和系统的快速性等，都可以由倒立摆系统直观地展示出来。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
因此倒立摆系统是一个研究和验证先进控制算法性能的一个优秀平台。
目前国内外关于倒立摆的研究大都集中在直线型倒立摆系统，旋转倒立摆的研究较少。
本次毕业设计以加拿大QUANSER 公司的旋转单级倒立摆为研究对象，采用机理建模法建立其动力学模型，在此基础上分析该倒立摆系统的性能，并设计控制器实现平衡控制且动态性能满足%16.3%,3s t s σ≤≤。
通过此次毕业设计使学生具备如下能力：①通过毕业设计，熟悉和掌握建立实际物理系统模型的能力；②利用经典控制理论和现代控制理论对控制系统进行系统性能分析和控制器设计的能力；③利用MATLAB /SIMULINK 实现控制系统建模、仿真、实物控制并对实验结果进行分析的能力。
④查阅相关中英文文献，了解典型运动控制对象-旋转倒立摆控制技术的前沿发展动态；2、设计要求（1）建立所用的旋转单级倒立摆系统的数学模型并分析系统的性能。
（2）根据给定的性能指标，分别设计满足要求的LQR 控制器和变结构控制器，在MATLAB 环境下实现上述两种控制算法。
一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统分析一级倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个质量为m、长度为l的摆杆组成。
摆杆的一端通过一个旋转关节连接在支撑杆的顶端，另一端可以自由地在重力作用下摆动。
我们将摆杆的摆动角度定义为θ，并假设摆杆的运动是平面运动，不考虑摆杆在垂直方向上的移动。
首先，我们需要建立一级倒立摆系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，可以得到以下方程：1.支撑杆垂直方向受力平衡方程：-mgl sinθ = 0其中g为重力加速度。
2. 摆杆绕旋转关节的转动惯量为I = ml^2/3，根据转动惯量的定义可以得到角加速度α与力矩τ之间的关系：τ=Iα其中τ = ml^2/3α。
3.摆杆绕旋转中心的转动方程：τ = Iα = ml^2/3α = -mgl sinθ可以得到α与θ之间的关系：α = -3g/(2l)sinθ。
以上方程可以描述一级倒立摆系统在垂直方向上的平衡和旋转运动。
其中，第一条方程表示摆杆在垂直方向上的受力平衡，第二条方程表示摆杆的转动惯量及其与角加速度之间的关系，第三条方程表示摆杆绕旋转中心的转动方程。
接下来，我们可以通过线性化分析来研究一级倒立摆系统的稳定性。
线性化是一种将非线性系统近似为线性系统的方法，通过计算系统在一些平衡点附近的一阶导数来实现。
我们首先要找到一级倒立摆系统的平衡点。
根据第一条方程，当θ=0时，系统达到平衡。
在这个平衡点，摆杆不再摆动，所有受力均平衡。
接下来，我们对系统进行线性化。
首先将θ分解为平衡点的偏差值Δθ和小量δθ，即：θ=θ_e+Δθ+δθ其中θ_e为平衡点的角度。
将上述表达式带入到第三条方程中，并只保留一阶项，可以得到线性化的转动方程：α = -3g/(2l)(sinθ_e + cosθ_e Δθ +cosθ_e δθ)。
我们可以进一步线性化该方程，即将sinθ_e和cosθ_e在一阶项展开，并忽略二阶项，得到：α=-3g/(2l)(θ_e+Δθ+δθ)。
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《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1 引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。
其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。
以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。
控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1 单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。
在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
2 模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立摆模型受力分析如图2所示。
图2 倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：2111222(0sin )2l d N m l dt θθ=++（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）摆杆垂直方向受力平衡方程：2111122(cos )22l l d H m g m dt θ-=-摆杆转矩平衡方程：22111222sin cos 22d l lJ H N dt θθθ=-横杆转矩平衡方程：21222d M Nl J dt θ-=考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即N22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈，其中23mlJ =，近似线性化得到，()212222222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧=+⎪⎪-=⎪⎪⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪⎪-=⎪⎩整理上式可得倒立摆的状态方程：21221114.71524110032M M θθθθθ••••••••⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：12224.64211.05312.3799.474MMθθθθ••⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 取状态变量如下：11213242x x x x x θθθθ•⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233440010000 4.642011.05300010012.37909.474x x x x M x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦3 稳定性和能控性分析3.1 稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
编写Matlab 语句可得该系统的传递函数，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; D=0;Gss=ss(A,B,C,D); G1=zpk(Gss)G1 =11.053 (s+2.898) (s-2.898) -------------------------- s^2 (s-3.518) (s+3.518)Continuous-time zero/pole/gain model.从结果可以看出，传递函数存在一个在复平面右半侧的极点，故该系统是不稳定的。
3.2 能控性分析判断系统是否完全能控，只需判断该系统能控性矩阵是否为满秩，即[]21n C Q BAB A BA B -=若CrankQ n =，则该系统是完全能控的。
根据Matlab 语句中Qc=ctrb(A,B)，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; Qc=ctrb(A,B); n1=rank(Qc)n1 =4从结果可以看出该系统是完全能控的，可以实现任意极点的配置。
3.3 能观测性分析与判断能控性类似，只需判断该系统能观测性矩阵是否为满秩，即01n C CA Q CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若0rankQ n =，该系统是完全能观测的。
借用Matlab 语句中Qo=obsv(A,C)，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; Qo=obsv(A,C); n2=rank(Qo)n2 =4从结果可以看出该系统是完全能观测的，故可以配置状态观测器4 状态反馈分析4.1 原系统Simulink 仿真及分析根据现代控制原理，绘制原系统的状态模拟图，如图3所示。
图3 原系统状态模拟图运用MATLAB 中的Simulink 来对原系统进行仿真，首先可以得出原系统的Simulink 仿真模型如下图4所示4x 3x x图4 原系统Simulink仿真图通过Simulink仿真可以得到原系统的零状态响应，其中初始值2=0.174θ，M=0，响应曲线如下图所示图5 原系统2θ和M零状态响应曲线从仿真波形可以看出，在初始扰动情况下，摆杆不会稳定到垂直位置，横杆会一直运动，故原系统不稳定，这与上文所述传递函数有左半平面极点符合。
4.2状态反馈分析由于原系统是不稳定的，要使系统稳定，需要加入状态反馈，使系统的极点全部位于左半平面，状态反馈的结构图如图6所示。
图6 状态反馈系统的结构图控制系统的各种特性及其品质指标在很大程度上是由其闭环系统的零点和极点的位置决定。
极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择，使其闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标的要求。
极点配置是一个非常复杂的问题，是一个工程实践与理论相结合的问题。
我们这里采用一种工程实践中经常用到的简便方法-主导极点法，其基本思路是先根据期望的性能指标和经验公式确定一对主导闭环极点，然后将另外的非主导极点放在复平面上远离主导极点的位置设倒立摆控制系统期望的性能指标为：阻尼系数ξ=0.6，调节时间 ts=2s。
亦即控制系统在任意给定的初始条件下，能够以适当的阻尼ξ=0.6 （大约 10%的超调），在 2s 钟内将摆杆恢复到垂直平衡位置。
根据控制理论的经验公式得到无阻尼自然频率为：ωn =4/ （ts•ξ）=4/1.2=3.33P=wn•ξ由上述条件的很容易构建一个二阶系统，其两个极点为：p1 = -2.0000 +2 jp2 = -2.0000 -2 j它们就是需要的主导极点，控制系统的性能主要由这两个主导极点决定。
另外两个非主导极点（为简化取两个实数极点）经过反复试验整定，分别取距离两个主导极点4 倍和 5 倍的远处，即：p3 = -8.0000p4=-10.0000本文设计的状态反馈要求系统期望的特征值为：-10;-8;-2+j;-2-j。
手算求解状态反馈阵K有待定系数法和直接法，由于矩阵A阶数较高，本文使用Matlab 中K=place(A,B,P1)，求解K。
A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474]; P1=[-10;-8;-2+2j;-2-2j]; K=place(A,B,P1)K =-6.8931 -4.9957 -26.2369 -8.1525状态反馈[][]1234 6.8931 4.997526.23698.1525K k k k k ==----运用MATLAB 中的Simulink 来对原系统进行仿真，得到状态反馈模型仿真图如下图7所示。
图7 状态反馈Simulink 仿真图同理可得，初始值2=0.174θ，M=0的零状态响应，响应曲线如图8所示。
图8 状态反馈系统2θ和M 零状态响应曲线从响应曲线可以看出，在2=0.174θ，=0M 的初始扰动下，经过3s 左右的时间，摆杆回到垂直的位置，这说明加入状态反馈后可以使原系统达到稳定状态。
5 带状态观测器状态反馈系统分析5.1 状态观测器的设计由于在系统建模时状态变量并不是都是能直接测量，因此人为地构建一个系统来实现状态重构也即状态观测。
状态观测器的结构图如下，即图9 状态观测器的结构图观测器的状态方程为：()()x A x G y y Bu A GC x Bu Gy ∧∧∧∧=+-+=-++显然选择观测器的系数矩阵A GC -的特征值均具有负复数，就可以使状态估计逐渐逼近状态的真实值。
本文设计全维状态观测器的特征值为：-10，-8，-2+2j ，-2-2j ，同理根据语句G=place(A ’,C ’,P2)可得1234 22.0000 172.3790-158.6252 -597.5613G G G G G ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 5.2 带状态观测器状态反馈分析带观测器的状态反馈系统由3个部分组成，即原系统，观测器和状态反馈。
图10 综合后Simulink 仿真图初始值2=0.174θ，=0M 的零状态响应曲线如下图11 综合后零状态响应曲线从上面响应曲线可以看出，加入观测器后系统在3s左右达到稳定，这是因为观测器后极点特征值的实部更加偏离原点，极点离远点越近，达到稳定的时间越短。
此外，综合后超调量略有增加。
综合后阶跃响应如图12所示。
图12 综合后阶跃响应曲线从响应曲线可以看出，加入阶跃M=1后，摆杆发生左右来回振荡，振荡幅度较大，最终摆杆处于垂直位置，横杆位于一个具体位置。
6 总结单倒立摆是一个非线性系统，通过近似线性变化，得到一个单输入单输出的线性定常系统。
选择一组状态变量11=x θ，2=x θ•，32=x θ ，42=x θ，线性定常系统做稳定性，能控性和能观测性分析，得出原系统是不稳定，完全能控的，完全能观测的。