高级微观经济学 第四章 成本最小化分解
微观经济学 第四章 生产论知识点
第四章生产论成本理论和生产理论是企业经营管理的关键所在，把生产函数和成本结合起来，就可以分析作为“经济人”的企业或厂商的利润函数。
本章讨论的企业或厂商，其生产的唯一目的就是使得其利润最大化，具体体现为利润最大化。
本章分析生产者行为，通过这种分析可以加深对供给定理的理解，本章只分析生产要素投入量和产出量之间的物质技术关系，不涉及货币因素，因而是一种实物关系。
难点在于各种产量的变化规律、一种要素的合理投入、多种要素的合理投入。
第一部分考查重点1、生产和生产函数2、短期生产函数3、长期生产函数4、等成本线和最优生产要素组合5、生产的经济区域6、规模报酬7、齐次生产函数与欧拉定理8、规模经济与范围经济第二部分主要内容解析一、生产和生产函数1、生产（1）厂商在微观经济分析中，生产者亦称厂商，是指能够做出统一的生产决策的单个经济单位，包括个人、合伙和公司性质的经营组织形式。
厂商被假定为合乎理性的经济人，其生产目的是为了追求最大化的利润。
（2）生产要素生产中的投入程总生产要素。
厂商进行生产的过程就是从生产要素的投入到产品产出的过程。
生产要素一般分为四类：①劳动（L）：指人类在生产过程中提供的体力和智力的总和。
②土地（N）：包括土地和地上、底下的一球自然资源。
③资本（K）：包括资本品（实物形态）和货币资本（货币形态）。
④企业家才能（E）：指企业家组织建立和经营管理企业的才能。
2、生产函数的概念生产函数表示在一定时间内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的投入数量与所能生产的最大产量之间的关系。
一般地，如果1x ，2x ，…，n x 表示生产过程中投入的各种要素数量，Q 表示所能生产的最大产量，则生产函数可以表示为：),...,,(21n x x x f Q =假定生产者只投入劳动和资本这两种要素，则生产函数可表示为),(K L f Q =3、常见的生产函数（1）固定投入比例生产函数（也称为里昂惕夫生产函数）①概念固定投入比例生产函数：是指在每一产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数的。
微观经济学第四章生产理论
目录
• 生产理论概述 • 生产函数 • 成本最小化与产出最大化 • 生产要素的最优组合 • 扩展生产理论
01 生产理论概述
生产、生产函数与生产可能性边界
01
02
03
生产
生产是指企业使用一定数 量的生产要素，经过一定 的加工或组合，创造新的 使用价值或效用的过程。
生产函数
生产函数描述了在一定技 术条件下，一定数量的投 入与最大产出之间的关系。
生产可能性边界
生产可能性边界描述了在 一定资源和技术条件下， 一个经济能够生产的商品 的最大数量组合。
短期与长期生产函数
短期生产函数
短期生产函数描述了在固定生产 规模下，一定数量的可变投入与 最大产出之间的关系。
长期生产函数
长期生产函数描述了在可变规模 下，一定数量的可变投入与最大 产出之间的关系。
详细描述
固定投入比例生产函数形式为 Y=min{aX,bK}，其中Y表示产出，X和 K分别表示劳动和资本两种投入要素，a 和b为常数。这种生产函数形式强调各 投入要素之间的比例关系固定不变。
柯布-道格拉斯生产函数
总结词
柯布-道格拉斯生产函数是一种常用的生产函数形式，用于描述现实生产过程中投入和产出的关系。
最优的生产要素组合应当满足边际技术替代率和边际替代率相等，即等产量线和等 成本线相切的条件。
05 扩展生产理论
要素可替代性
要素替代性
在生产过程中，如果两种或多种生产要 素可以互相替代使用，则它们被称为可 替代要素。可替代要素之间存在一定的 替代关系，当一种要素价格上涨时，生 产者可能会选择使用更多的另一种要素 来代替它，以保持生产成本不变或降低 生产成本。
规模收益对于企业的竞争策略具有重要影响 。企业可以通过扩大生产规模来降低成本和 提高市场份额，从而在竞争中获得优势。同 时，企业也需要根据市场需求和自身条件， 合理地选择生产规模和经营策略，以实现最
微观经济学第四章
•成本理论
C L rK C K L r r
K
isocost line
r
注意：1.一条等成本线 对应某一给定的成本；2. 一条等成本线上不同的 点对应不同的（L,K） 组合，但成本支出相同； 3.等成本线的斜率 K/L=-/r 表示由市场 确定的两要素的替代比 例。如=10， r =5，则 K/L=-/r =-2，表示 企业可以用两个单位的 资本来替代一个单位的 劳动而总成本保持不变。
- - - -由于K减少带来的产出变化 A B的变化是在同一条等量 曲线上
K
A
C
B
MPL L MPK K 0 MPL K L MPK
MRTS LK
MPL
MPK
L
生产的基本规律
也可以用数学方法得到上面的结论
Q f ( L, K ) f f dQ dL dK 0 L K dK f L dL f K
生产理论
成本理论
pi yi j x j
i 1 j 1
n
m
收益
生产ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本规律
利润
生产的基本规律
二、生产函数的概念（production
function） （一）. 生产的概念 生产是对各种生产要素进行组合以制成 产品的行为。也可以将生产理解为将投入 转化为产出的过程。
Input
AP L
L L
生产的基本规律
MPL
AP L
• AP和MP的关系 MP>AP , 则AP增加 MP<AP , 则AP减少 MP=AP , 则AP最大
L L
生产的基本规律
二、边际报酬（收益）递减规律
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-成本最小化(圣才出品)
第4章成本最小化1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。
Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.证明：令*x 为价格(),p w 下利润最大化的一个投入向量。
这意味着，对于所有可允许的x ，*x 必须满足()()**pf x wx pf x wx -≥-。
假设对于产出()*f x ，*x 没有使成本最小化，即存在一个向量**x 满足()()***f x f x ≥与w ()***0x x -<，因而在**x 下所取得的利润必须大于在*x 下所取得的利润：()()()*********pf x wx pf x wx pf x wx --≥>-这与*x 使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。
2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。
Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.答：互补—松弛条件为：()()()()******0000j j j j jj f x t w x x f x t w x x y f x t y f x t ⎡⎤∂⎢⎥-=∂⎢⎥⎣⎦∂-≤∂≥⎡⎤-=⎣⎦-≤≥当*0i x >和*0j x =成立时，上式就隐含着：()()**iijj f x x w w f x x ∂∂≥∂∂这个不等式意味着用 j x 代替i x 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的 j x 的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。
3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为()2111/2C y y =和()222C y y =。
(上交)微观经济学课件第13讲 成本最小化 PPT文档
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
y,
2w1 w2
1/3 y
.
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例 子
所以公司的总陈本函数是
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y)
x2
收入y单位的最便宜的投入集是?
4x1 = x2
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补的例子
厂商的生产函数是
y min{4x1, x2}
以及这些条件投入需求是
x*1 ( w1 ,
w2, y)
y 4
and x*2(w1, w2, y) y.
成本最小化的完全互补的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
来之于
(b),
x*2
2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
y min{4x1, x2}
条件投入需求是
x*1 ( w1 ,
w2, y)
y 4
和
x*2(w1, w2, y) y.
所以厂商的总成本函数是
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2( w1, w 2, y)
(精品) 微观经济学课件：成本最小化
x2
4x1 = x2
产出为y’的最小成本 投入束位于何处？
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
厂商的总成本函数为：
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2 ( w1, w 2 , y)
成本最小化的完全互补品的例子
2/ 3
y
w
2
2w1 w2
1/ 3
y
12
2/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}.
给定投入要素价格w1 和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(成本最小化)
第 4 章 成本最小化
1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。 Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.
证明：令 x* 为价格 p, w 下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的
y
x1b
x 1b 2
。该技术的成本函数是什么？
A firm has two plants. One plant produces output according to the production
function
x1a x21a .The other plant has a production function
是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是丌可微的？
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Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses a1 units of good 1 and a2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses b1 units of good 1 and b2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are
f x* wj x j
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-成本最小化(圣才出品)
在哪个国家建厂？（ ）
A．A 国
B．B 国
C．没关系，因为两个国家的成本是一样的
D．如果产量大于 14，则建在 A 国，否则建在 B 国
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【答案】B
【解析】柯布-道格拉斯生产函数
y
Kx1 x2
下成本最小化条件有
的函数。（ ） 【答案】F
【解析】要素 1 的条件需求函数 x1 w1，w2，y 是指厂商在生产某个既定产量 y 的条件
下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之前的关系。有条件的要素需求给出的是既定产量 水平下的成本最小化选择。
3．某竞争性厂商生产函数为 f x，y x 2 y 。如果要素 x 的价格变成原来的两倍，要
成本最小化弱公理一致？（ ） A．一致 B．不一致 C．因为不知道生产函数，所以不能确定 D．因为不知道产品价格，所以不能确定 【答案】B
【解析】当两种要素价格为 w1, w2 15,17 ，1517 17 71 15 77 17 4 ，两种方法
得到的产量是相等的，但是厂商使用的是成本较大的方案，不符合成本最小化的条件，因此 厂商行为与成本最小化弱公理不一致。
单位
x1 和
4 3
单位
x2 ，成本 CB
4
3 6.93 。 CA CB ，
因此该厂商选择在 B 国建厂。
4．某竞争性厂商使用两种要素投入 x 和 y 。当要素 x 的价格是 10 元/单位，要素 y 的 价格是 20 元/单位时，厂商使用 1 单位 x 和 2 单位 y ；当要素 x 的价格是 20 元/单位，要素 y 的价格是 10 元/单位，厂商使用 2 单位 x 和 1 单位 y ；且在以上在两种情况下，厂商具有 相同的产量水平。以上情况说明（ ）。
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• 若是三个生产要素，海塞加边矩阵的形式 为
D 2 L( , x1 , x2 , x3 ) f1 f11 f 21 f 31 0 f 1 f2 f3 f2 f12 f 22 f 32 f3 f12 f 23 f 33
x2 ( w1 , w2 , y ) A Nhomakorabea
1 a b
• 其成本函数为
c( w1 , w2 , y ) A
1 a b a a b 1 a ab a a b [( ) b ( ) a b ]w1a b w2 y a b b b
• 若正规化技术A=1，并采用规模报酬不变，有
s.t.x1 x2 y
•
令
r / ( 1) 成本函数写为
1 r
r r c(w1 , w2 , y) y(w1 w2 )
• 作为练习，写成一般化CES情形下的成本函 数
• 要求这个海塞加边矩阵的三阶四阶行列式 在最优选择处的取值都为负
二、成本最小化的求解
1、要素需求函数 对每个w和y的选择，都存在使生产y单位产 出成本最小的某个x*的选择。将给出这个最 优选择的函数称作条件要素需求函数，把 它记作x(w，y)。
注意：条件要素需求函数依赖于要素价格 和产出水平y，和产出价格无关。
• 海塞加边矩阵
D 2 L ( , x1 , x2 ) 0 f1 f2 f1 f11 f 21 f2 f12 f 22
• 若此海塞加边矩阵行列式为负，则说明未 曾加边的那个矩阵在约束条件下为半负定， 即成本最小化的二阶条件满足。二阶条件 得到满足
• 写成向量形式
w Df ( x* )
• 如何解释一阶条件的经济含义？技术替代 率等于经济替代率
f
* x
wi xi wj f x* x j
• 如果不满足，则存在调整的空间来保证产 出但是节约成本
f x* wi xi 2 1 wj 1 1 f x* x j
2、求解的困难 （1）柯布-道格拉斯生产技术
c( w, y ) min w1 x1 w2 x2
x1 , x2 a b s.t. Ax1 x2 y
取对数有可能简化运算。求得条件要 素需求函数为：
x1 ( w1 , w2 , y ) A
1 a b 1 aw2 a b [ ] b y a b bw1 a 1 aw2 a [ ] b y a b bw1
w1h1 w2 h2 f1h1 f 2 h2 0
• 故二阶条件简化为
f ( x1 h1 , x2 h2 ) f11 1 f ( x1 , x2 ) ( h1 , h2 ) 2 f 21 f12 h1 h f 22 2
a 1 a C Kw w y 1 2
K a a (1 a)a 1
给我们什么启发？ 1．此时成本完全是产量的线性函数 2．a越大，则要素1价格变化对成本影响越大
（2）CES技术的成本函数
1
f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 )
min w1 x1 w2 x2
第四章 成本最小化
内容要点
一、成本最小化视角： 一阶条件 二、成本最小化的二阶条件
三、条件要素需求函数 四、成本最小化弱公理
一、成本最小化的微分分析
• 将成本最小化写成规划问题
min wx
x
s.t
f ( x) y
写出拉格朗日函数并求解一阶条件
L( , x) wx ( f ( x) y ) f ( x* ) wi 0 xi f ( x* ) y
h t D 2 f ( x* ) h 0 对所有h满足wt h 0
如何判断一个矩阵是半负定的？ 顺序主子式负正相间； 约束条件下的判断方法：设法将约束条 件与原矩阵写成加边矩阵，若加边矩阵顺 序主子式始终不变号，则原矩阵在约束条 件下构成半负定矩阵。
3、从拉格朗日方程考察二阶条件
L ( , x1 , x2 ) w1 x1 w2 x2 [ f ( x1 , x2 ) y ] D 2 L ( , x1 , x2 ) 2L 2 2L x1 2L x2 0 f1 f2 2L x1 2L 2 x1 2L x2 x1 f1 2 L 2 x1 2 L x2 x1 2L x2 2L x1x2 2L 2 x2 f2 2 L x1x2 2 L 2 x2
• 此时减少1单位i，增加1单位j，同样能够 保持产出不变，但是可以减少成本。
二、二阶条件
1、两种要素的情况 当投入要素1和2发生微小变动时，运用泰勒 f (x h , x h ) 展开，写成矩阵形式
1 1 2 2
但要求成本不变，即有
w1h1 w2 h2 0
h1 f ( x1 , x2 ) ( f1 , f 2 ) h2 f11 f12 h1 1 ( h1 , h2 ) h f f 2 21 22 2
• 成本最小化点要求：此时沿着等成本线任 何方向移动，产出都下降
f11 (h1 , h2 ) f 21 f12 h1 0 f 22 h2
h1 对所有(h1 , h2 )，满足( f1 , f 2 ) 0 h2
2、推广到多种要素的情况 二阶条件概括为：生产函数的海塞矩阵 是满足线性约束的半负定矩阵