高等数学二重积分的计算(1)
高等数学--二重积分的计算
D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
高等数学A10-2二重积分的计算(1)
10-2 二重积分的计算
（宋）苏轼
寄蜉蝣于天地,
渺沧海之一粟.
哀吾生之须臾，
羡长江之无穷.
10-2 二重积分的计算
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考
10-2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 在直角坐标系下用平行于 y
坐标轴的直线网来划分区域 D，
则面积元素为
d dxdy
o
D
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
10-2 二重积分的计算
(2) 如果积分区域 D如图所示，那么可用不等式表示为
a x b, 1( x) y 2( x). ［X－型］
其中ri 为 ri与 ri ri 的平均值.由此当 ri , i 充分小 时，极坐标系下的面积元素 d rdrd.
10-2 二重积分的计算
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系
x r cos
y
r
sin
最后, 两坐标系下积分区域 D 形状不变，因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
o
10-2 二重积分的计算
D
D
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算．
r 1( ) r 2( )
DD
r 1( )
r 2( ) D
r 2( )
D
o
Ao
Ao
A
r 1( ) 0
二重积分的简单计算
探秘二重积分的计算方法
二重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解平面上某个区域内的面积，也被称为二重积分面积公式。
下面，我们将探讨二重积分的简单计算方法。
首先，二重积分的计算需要先确定被积函数和积分区域。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，其在直角坐标系下的边界可以用以下公式表示：
∬f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dA
接下来，我们需要根据积分区域D的形状来确定积分的范围。
当积分区域为直角坐标系下有界区域时，我们可以采用以下方法求解：
1. 积分区域为矩形时，通常采用先对x积分后对y积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA = ∫ab∫cd f(x,y)dxdy
其中，积分范围为a≤x≤b，c≤y≤d。
2. 积分区域为三角形时，可采用先对y积分后对x积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA=∫cd∫h1(x)h2(x) f(x,y)dydx
其中，积分范围为c≤y≤d，h1(x)≤y≤h2(x)。
3. 积分区域为梯形时，可采用换元法将积分区域转化为矩形的形式，即：
∫∫f(x,y)dA=∫ab∫g1(y)g2(y) f(x,y)dxdy
其中，积分范围为g1(y)≤x≤g2(y)，a≤y≤b。
以上是二重积分计算的基本方法，希望能对您有所帮助。
重积分—二重积分的计算(高等数学课件)
1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
高等数学课件D92二重积分的计算
电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。
高等数学 第二节 二重积分的计算
图示法
• 写出积分限
(先积一条线 , 后扫积分域)
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
第十章 第二节
30
(2)
被积函数形如
f (x2 y2) ,
f
y x
,
f
x y
。
第十章 第二节
22
例9 将下列直角坐标系下的二次积分化为极坐 标系下的二次积分。
1
4 x2
2
4 x2
(1) dx
f ( x , y)dy dx
f ( x , y)dy
0
1 x2
1
0
R
Rx x
R
R2 x2 x
5
(3) 如果二重积分 f ( x , y)dxdy 的被积函数 f (x , y)
D
是两个函数 f1( x) , f2( y) 的乘积，f ( x , y) f1( x) f2( y)，
积分区域 D {(x , y) a x b , c y d}，则该二重积
分等于两个定积分的乘积，即:
D
极坐标系中的面积元素
i
o
d rdrd
f (x , y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
第十章 第二节
18
极坐标系下二重积分化为二次积分的公式
(1) 极点在积分区域的边界曲线外
区域特征如图
r 1( )
D
1( ) r 2( )
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
a
1 ( x )
• 若积分区域为 Y 型
则
f ( x , y)d
高等数学 上、下册9_2 二重积分的计算法
个公式的成立并不受此条件限制.类似地，如果积分区域D 可用不等式
1(y)x2(y),cyd
表示（图9-5），其中1(y),2(y)在区间c,d 上连续，这样的
区域称为Y-型区域，
y
y
d
D
d
x 2(y)
x 1 ( y) x 2 ( y)
x 1 (y)
c
D c
O
x
O
x
(a)
(b)
图 9-5
其特点是：穿过 D 内部且平行 x 轴的直线与 D 的边 界相交不多于两点，则有
B 是穿出区域 D 的点，它的纵坐标 2 (x)是积分的上限，把计
算的结果（是 x 的函数）再对 x 在其变化区间a,b上作定积分.
同理可得 Y-型区域的定限方法.
注意 以上说的 X 型
（Y 型）区域都要求平行于 y
y
轴（ x轴）的直线与区域D 的 边界曲线相交不多于两点，如 果不满足这个条件时
(
y
2)2
y
y5
dy
1 2
y4 4
4 3
y3
2y2
y6 6
2 1
55 8
若 按 x- 型 区 域 计 算，用公式（1），则由 于下方边界曲线
y
y x
(4,2)
y 1(x) 在区间[0,1] 及
[1, 4]上的表达方式不一
y x2
D1 D2
致，所以要用经过交点
Ox 1
x4 x
(1, 1) 且 平 行 于 y 轴 的 y x (1,-1)
0
0
D
1 0
x2
y
3
1 0
x
2
dx
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高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学中，二重积分是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等。
理解和掌握二重积分的计算方法对于解决相关的实际问题和理论研究都至关重要。
二重积分的定义是在平面区域上对函数进行积分。
直观地说，它可以用来计算平面区域上某个量的总和，比如平面薄片的质量、平面区域的面积等。
那么，如何计算二重积分呢？常见的计算方法主要有直角坐标法和极坐标法。
直角坐标法是我们最常接触的方法之一。
当积分区域是由直线边界围成的矩形、三角形或者其他简单形状时，直角坐标法往往比较适用。
我们先来看 X 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（a\leq x\leqb\），＼（＼varphi_1(x)＼leq y\leq ＼varphi_2(x)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{a}＾｛b}dx ＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) dy＼这里要先对＼（y\）积分，再对＼（x\）积分。
再来看 Y 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{c}＾｛d}dy ＼int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y) dx＼在使用直角坐标法计算二重积分时，关键是要正确确定积分区域的类型，以及积分的上下限。
接下来我们说一说极坐标法。
当积分区域具有圆形、扇形或者是与圆相关的形状时，极坐标法通常会更加简便。
在极坐标系中，点用＼（（＼rho,＼theta)＼）表示，其中＼（＼rho\）表示点到原点的距离，＼（＼theta\）表示极角。
如果积分区域可以表示为＼（＼alpha\leq\theta\leq\beta\），＼（＼varphi_1(＼theta)＼leq\rho\leq\varphi_2(＼theta)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}d\theta ＼int_{＼varphi_1(＼theta)｝＾｛＼varphi_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta,＼rho\sin\theta)＼rho d\rho＼在极坐标法中，要注意＼（＼rho\）的积分上下限以及函数在极坐标下的表达式。
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0
0
1
0
积分次序.
解：积分区域如图
y 3
x 3 y
f (x, y)d
d
[
2(y)
f
(x, y)dx]dy
D
c 1(y)
d
dy
2 ( y)
f
(x, y)dx
c 1(y)
先对x后对y
的二次积
分
应用公式时注意：
1) 首先应判定区域D是否为X-型或Y型区域。
画出积分区域 D 的图形. 2) 若 D 既是 x－型 区域又是 y－型 区域 则有：
块为好；
②根据被积函数f(x,y)特点，选择积分次序，以积分 简便或能够进行积分为原则，
如被积函数是：e
1 x
,
sin
x
,
cos
x
,
1
y
, ex2 , e x等应选择先积y，后积x.
x x ln x
（3）确定二次积分的上、下限，把二重积分化 为二次积分计算即可。 定限方法归纳如下
①先定限后积②域内划条线③先交为下限④后交为上限
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
OR
(x,
y)
D
:
0 0
y x
R
R2
x2
则所求体积为
x x2 z2 R2
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
例 2 试将 f (x, y)d 化为两种不同次序的累次
D
积分，其中 D 是由 y = x，y = 2 x 和 x 轴所围成的区域.
解 首先画出积分区域 D 如图，并求出边界曲线 的交点(1, 1)、(0, 0) 及 (2, 0).
则 f ( x, y)d
D
f ( x, y)d f ( x, y)d
例 1 试将二重积分 f ( x, y)d 化 为两种不同
D
次序的累次积分，其中 D 是由 x = a, x = b, y = c, y = d
(a < b, c < d) 所围成的矩形区域 .
解 画出积分区域 D 如图.
如果先积 y 后积 x，则有
b
d
f (x, y)d a d xc f (x, y)d y.
b
V a A(x)dx
Z
截面为曲边梯形面积为：
z f (x, y)
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
所以：
y
1( x) 2(x)
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
b
[
2(x) f(x.y)dy]dx
D
a
a 1(x)
b
dx
2(x)
f(x.y)dy
a
1(x)
--- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
D
如果先积 x 后积 y ，则可得
d
b
f (x, y)d c d ya f (x, y)d x.
D
例1、计算 xy d ,
D
D是直线y 1, x 2及y x所围成。
例2、计算 xy d ,
D
D是直线y x 2与曲线y2 x所围成。
例3、计算 y 1 x2 y2 d ,
D
D是直线y 1, x 1及y x所围成。
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
3、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的草图,求出边界曲线交点坐标；
（2）根据积分域D和被积函数特点, 选择适当的
积分次序，选序原则有两个:
①根据D的形状选择积分次序，以将D不分块或少分
D1
D2
1x
2
2 x
0d x 0 f (x, y)d y 1 d x0 f (x, y)d y,
如果先积 x 后积 y ， 则为
1
2 y
f ( x, y)d 0d y y f ( x, y)d x.
D
例 4
改变积分
1
dy
2y
f ( x, y)dx
3
dy
3 y f ( x, y)dx 的
c
1y
积分次序: Y-型域 ,先x后Y;
二重积分的计算公式
如果D是X型区域: D{(x, y)|1(x)y2(x), axb}, 则
f (x, y)d
b
[
2 ( x)
f (x, y)dy]dx
Da 1(x)Fra bibliotek先对y后对x
b
dx
2(x)
f(x.y)dy
的二次积
a
1(x)
分
如果D是Y型区域: D{(x, y)|1(y)x2(y), cyd}, 则
第十章 重 积 分
第二节 二重积分的计算方法
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、利用极坐标系计算二重积分
理学院 季丹丹
一、直角坐标系下计算二重积分
1. 设积分区域 D 可用不等式组表示为
1( x) ≤ y≤ 2( x),
a ≤ x ≤ b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
2. 设积分区域 D 可用不等式组表示为
1
y
c
x y
d
2
,
y
,
d
x 1y
c
D x 2y
d
x 1y D x 2y
c
［Y－型］
Y-型域下
1
y
x
2
y
,
c yd,
A y 2y f x, ydx 1 y
D
f
x, y
d
d 2y c 1y
d
dy
2y
f x, ydxdy
f x, ydx
例 3
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy的次序.
0
0
解
积分区域如图
原式
1
1 y
dy f ( x, y)dx .
0
0
如何变换积分次序：
y 1 x
①由已知的二次积分的上下限，写出积分区域不等式组； ②画出积分区域草图； ③确定交换后积分次序的上下限，将二重积分化为二次积 分。
例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.
a
b
［X－型］
X-型域下 f (x, y)dxdy
z
D
设f(x, y)0,
y
D：1( x) ≤ y ≤ 2( x),
a ≤ x ≤ b 由几何意义
a
y 2(x)
x
z f (x, y)
A( x)
bx
y 1(x)
f (x, y)dxdy V
D
(曲顶柱体的体积)
应用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.
3) 如果积分区域 D 不是 x－型 区域也不是 y－型 区域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割 为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算 二重积分，再根据重积分对区域可加性， 在各个 标准区域上的积分之和就是D 上的二重积分.