中考第一轮复习课件_第23讲_圆的有关概念及性质
考点五
圆内接四边形性质定理
1．性质定理 1：圆内接四边形的对角互补． 2． 性质定理 2： 圆内接四边形的外角等于它的内对角． 如图， 四边形 ABCD 内接于⊙ O， 则∠ A＋∠ BCD＝∠ B ＋∠ D＝180° ，∠ DCE＝∠ A.
考点六
圆的性质的应用
1．用圆的性质进行计算或证明，常需作出圆心到弦的 垂线段 (即弦心距 )，则垂足为弦的中点，再利用解由半径、 弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的． 2．借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角和 圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由 相等的圆周角所对的弧 (或弦 )相等，进行弧 (或弦 )的等量 代换．
2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的 对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合， 这就是圆的旋转不变性．
考点二 所对的弧．
圆的性质及定理
1．性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 如图， CD是⊙ O的直径， AB为弦， CD⊥ AB，垂足为 E，则 AE＝ EB， AD ＝ DB ， AC ＝ BC .
A．1
B．3.5
C．3
D．2.8
4．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝8 cm， AC ＝ CD ＝ BD ， M 是 AB 上一动点， CM＋DM 的最小 值为 cm.
【解析】 如图， 作点 C 关于 AB 的对称点 C′，连结 C′D 与 AB 相交 于点 M，此时 CM＋ DM 取得最小 值．由垂径定理，得 AC ＝ AC′ ， 又 ∵ AC ＝ CD ＝ BD ， AB 为直 径，∴∠ AOC＝∠ COD＝∠ DOB＝ 60° ，∴∠ C′OA＝ 60° ， ∴∠ C′OA＋∠ AOC＋∠ COD＝ 180° ， ∴ C′D 为直径， ∴ CM ＋ DM 的最小值是 8 cm. 答案： 8
能力评估检测
1．(2015· 绍兴第一中学检测)如图，圆心在 y 轴的负半 轴上， 半径为 5 的⊙B 与 y 轴的正半轴交于点 A(0,1)， 过点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD 长的 所有可能的整数值有( C ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
第六章 第28讲
圆
圆的有关概念及性质
课前热身
1． (2014· 湖州 )如图， 已知 AB 是△ ABC 外接圆的直径， ∠ A＝ 35° ，则∠ B 的度数是( C )
A． 35°
B． 45°
C． 55°
D． 65°
课前热身
2． (2015· 杭州 )圆内接四边形 ABCD 中， 已知∠ A＝ 70° ， 则∠ C＝ ( D A． 20° C． 70° ) B． 30° D． 110°
2．定理 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧． 定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 温馨提示： 平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦不是 直径时才互相垂直.
考点三 对的弦相等．
弧、弦、圆心角之间的关系
1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余 各对量都相等．
考点四
圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上， 且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心 角的一半． 3．推论 1：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角，90° 的 圆周角所对的弦是直径． 推论 2： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
5． (2015· 杭州文澜中学模拟 )如图，已知⊙O 的直径 AB＝6，E，F 为 AB 的三等分点，M，N 为 AB 上两点， 且∠MEB＝∠NFB＝60° ，则 EM＋FN＝ .
【解析】如图，延长 ME 交⊙ O 于点 G，∵ E， F 为 AB 的三等分点，∠ MEB＝∠ NFB＝ 60° ，∴ FN＝ EG.过点 O 作 OH⊥ ME 于点 H，连结 MO，∵ AB＝ 6，∴ OE＝ OA 1 1 1 － AE＝ × 6－ × 6＝ 3－ 2＝ 1， OM＝ × 6＝ 3. 2 3 2
6．(2015· 烟台)如图，以△ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其 他两边 AC，BC 的交点分别为 D，E，且 DE ＝ BE .
(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)已知半圆的半径为 5，BC＝12，求 sin∠ABD 的值．
A． 4 5 cm
B． 3 5 cm
C． 5 5 cm
D． 4 cm
方法总结： 1.已知条件中如果有直径时，常利用直径所对的圆周 角是 90°来求解. 2.已知弧的中点时，注意垂径定理的运用。
已知，如图，△ABC内接于⊙O， ⊙O的半径为5，AC=8, 则cosB＝（ C ） 3 3 4 4 A． B． C． 5 D ． 4 5 3
考点一
圆的性质及定理
如图，在⊙ O 中，CD 是直径，弦 AB⊥ CD，垂 足为 E，连结 BC，若 AB＝ 2 2 cm，∠ BCD＝ 22° 30′，则 ⊙ O 的半径为 cm.
(2015· 广元)如图①，已知⊙ O 的直径 AB⊥ CD 于点 E，则下列结论不一定正确的是( B )
A． CE＝ DE C. BC ＝ BD
B． AE＝ OE D．△ OCE≌△ ODE
如图②， 在⊙ O 中， 弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若∠ BAD＝ 30° ，且 BE＝ 2，则 CD＝ 4 3 .
考点二
弧、弦、圆心角之间的关系
如图， 半圆 O 的直径 AB＝ 10 cm， 弦 AC＝ 6 cm， AD 平分∠ BAC，则 AD 的长为( A )
B’
B A
O
●
C
如图②，AB 是半圆， O 为 AB 的中点， C， D 两点在 AB 上，且 AD∥OC，连结 BC，BD，若 CD ＝ 62° ，则 AD 的度数为( A )
A．56°
B．58°
C．60°
D．62°
考点三 圆周角定理及其推论 (2015· 海南)如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经 过圆心 O，点 P 是优弧上一点，则∠APB 的度数为( D )
∵∠AFD＝∠BGD＝90° ，∴△AFD≌△BGD， ∴AF＝BG.易证△CDF≌△CDG，∴CF＝CG. ∵AC＝6，BC＝8，∴AF＝1， ∴CF＝7. ∵△CDF 是等腰直角三角形， ∴CD＝7 2.故选 B. 答案：B
3．如图，Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB＝4， CE AC＝3，D 是 AB 的中点，CD 与 AB 的交点为 E，则 等 DE 于( C )
A.
41 2
B.
34 2
C．4
D．3
(2015· 兰州)如图②，经过原点 O 的⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是劣弧 OB 上一点，则 ∠ACB＝( B )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
考点四
圆的综合应用
(黄冈市)已知：如图，C为半圆上一点， AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足， 弦AE分别交PC，CB于点D，F。(1)求证： AD=CD；(2)若DF=5，tan∠ECB=3/4，求PB的 长. 【分析】 (1)在圆中证线段相等通常转 化为证明角相等。 (2)先证明 CD=AD=FD，在 Rt△ADP中再利用勾股定理及 tan∠DAP=tan∠ECB=3/4，求出DP、PA、 CP，最后利用△APC∽△CPB求PB的长 .
A．2
B．4
C．6
D．8
课前热身
5．(2015· 绍兴、义乌)如图，已知点 A(0,1)，B(0，－1)， 以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C， 则∠BAC 等于 60 度．
考点一
圆的概念及其性质
1．圆的概念有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋 转一周，另一个端点 P 所经过的封闭曲线叫做圆．定点 O 叫做圆心，线段 OP 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合 ．
A．45°
B．30°
D C．75°
D．60°
方法总结： 圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系 在一起，求圆周角的度数，可通过求同弧所对的圆心角的 度数得到.
(2014· 衢州、 丽水)如图， 半径为 5 的⊙A 中， 弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知 DE ＝6， ∠BAC＋∠EAD＝180° ， 则弦 BC 的弦心距等于( D )
温馨提示： 1.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周 角相等或互补. 2.当已知条件中有直径时，常常作直径所对的圆周角， 这是圆中常添加的辅助线.
⑦
A
.O
已知,ΔABC内接于⊙O,
AD⊥BC于D,AC=4,AB=6, C
AD=3,求⊙O的直径。
B
Ｅ
Ｄ F
引申:若F为弧BC的中点,求证:∠FAE＝∠FAD ;
2．如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 6， ∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD 的长为( B )
A．7
B．7 2
C．8 2
D．9
【解析】如图，作 DF⊥ CA，垂足 F 在 CA 的延长线 上，作 DG⊥ CB 于点 G，连结 DA，DB.∵ CD 平分 ∠ ACB， ∴∠ ACD＝ ∠ BCD，∴ DF＝ DG， AD ＝ BD ， ∴ DA＝ DB .
课前热身
3．(2015· 宁波 )如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆，∠ A＝ 72° ，则∠ BCO 的度数为 ( B )
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人教版九年级上册数学第二十三章圆课件PPT
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
C A
D
B
O
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
D B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
∠AOB=∠COD
（3）如果∠AOBA=B∠CODCD，那么_______A_，B=_C_D_____； ∠AOB=∠COD
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？
AB= CD
AB=CD
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
C A
D
B
O
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
D B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
∠AOB=∠COD
（3）如果∠AOBA=B∠CODCD，那么_______A_，B=_C_D_____； ∠AOB=∠COD
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？
AB= CD
AB=CD
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
[初三数学]第23讲 圆的性质
![[初三数学]第23讲 圆的性质](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/437e33dd48d7c1c708a145d0.webp)
中考步步高
课
对
前
接
必
中
读
考
圆的问题不算难，常把半径直径连；
易
网
错
络
有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；
防
构
范
建
直径是圆最大弦，直圆周角立上边；
课
考
直径垂直平分弦，垂径相似在心间；
时 跟
点
踪
梳 理
圆周角、圆心角，细找关系把线连；
检 测
同弧圆周角相等，证题用它最多见.
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中考步步高
课
对
前
接
必
中考步步高
课 【例题1】 (2011·山东济宁改
对
前
必
编)如图，AD为△ABC外接
接 中
读
考
圆的直径，AD⊥BC，垂足
易
网 络
为点F，连接BD、CD.求证：
错 防
构 建
BD＝CD.
范
课
时
考
跟
点
踪
梳 理
检
分析 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明． 测
证明 ∵AD 为直径，AD⊥BC，∴
，
∴BD＝CD.
建
3．连接圆上任意两点的线段叫做_弦_，经过圆心的弦
课
考
叫做_直__径__．
时 跟
点
踪
梳 理
4．圆上任意两点间的部分叫做_弧_，大于半圆的弧叫
检 测
做_优__弧__，小于半圆的弧叫做_劣__弧__．
5．从圆心到弦的距离叫做_弦__心__距__．
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中考步步高
课
对
前
接
第1部分 第23讲圆的相关概念及性质-2021年中考数学一轮复习课件(云南专版)
● (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑤________，所对的弧也相
等．
相等
相等
相等
知识点4 垂径定理及其推论
文字描述
数学符号(如图)
定理
垂直于弦的直径①___平__分___ 弦，并且②__平__分____弦所对
的两条弧
CCDD⊥ 是⊙ABO的直径1推出
AA︵MC＝＝④BM__＝B_︵_C③_______2___AB
● 2．圆内接四边形的任意一个外角等于它的②__________(和它相邻的内角的对角)．如图，
∠DCE＝③_______.
内对角
∠A
知识点6 正多边形与圆的关系(以正六边形为例) 1．圆内接正六边形的中心角为 60°，即 θ＝60°.
2．由一边和与该边两个端点相连的两条半径构成的三角形是等边三
角形，即△OAC 为等边三角形．
∠AOB 圆周角 顶点在⑤__圆__上____且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如
∠ACB 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆
● 2.圆的有关性质 ● (1)轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． ● (2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是⑥________. ● (3)圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合．
3．正六边形的边长等于圆的半径，即 AC＝R.
4．正六边形的边心距 r＝
R2－R2 2＝
3 2 R.
五年真题 精选
命题点1 圆周角定理及其推论
●
1 ． ( 2 0 1 7 ·云 南 1 4 题 4 分 ) 如 图 ， B ， C 是 ⊙ A 上 的 两 点 ， A B 的 垂 直 平 分 线 与 ⊙ A 交 于 E ， F 两 点 ，
2024年中考数学一轮复习课件--圆的性质
成立，则其余对应的两项也成立.如图，①∠AOB＝∠COD，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
2023最新中考数学总复习(精品课件)第六篇 《圆》
经过半径的外端并且 垂直 这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 .
(2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离
等于半径
.
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
_____p_r______
知识点5:五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段. (2)作一个角等于已知角. (3)作一个角的平分线. (4)经过一已知点作直线的垂线: ①经过已知直线 上 一点作这条直线的垂线; ②经过直线 外 一点做已知直线的垂线. (5)作已知线段的垂直平分线.
【注意】运用基本作图法作图时,一般先画出草图,分析作图步骤以及相应的字母表 示,选择正确的作图程序,再按分析后编排的字母写出已知、求作,按步骤一边画图一 边写好作法.
知识点5:圆心角与圆周角
________
∠_________________. ACB=90°
知识点6:圆内接四边形及其性质
___∠__D____
知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆 或 等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一 组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别 相等 .
知识点4:垂径定理及推论
1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过 圆心 ,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径 垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
中考数学一轮复习第五章图形的性质(二)第23讲圆的基本性质课件
距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；
(2) 有关直径的问题 ， 常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角 来进行证明或计算．
(3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆
周(心)角．
夯实基础
1．(2015· 广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列 结论一定错误的是( A．CE＝DE ︵ ＝BD ︵ C.BC
5 3 11 BC2－CM2＝ 2 ，∴AM＝AC－CM＝ 2 ，∴AB＝ AM2＋BM2＝7
类型二：圆心角、弧、弦之间的关系
【例2】 (2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦
AB所对的圆周角是___________________ 30°或150° ．
【点评】
在很多没有 给定 图形的问题中 ，常常不能根据 题目的
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2. 解：(1)解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°，∵∠BAC＝
∠ CDB ＝ 39° ， ∠ CAD ＝ ∠ CBD ＝ 39° ， ∴∠ BAD ＝ ∠ BAC ＋ ∠CAD＝39°＋39°＝78°
(2) 证明： ∵ EC ＝ BC ， ∴∠ CEB ＝ ∠ CBE ， 而 ∠ CEB ＝ ∠ 2 ＋
(2)在PC上截取PD＝AP，如图①，又∵∠APC＝60°，∴△APD是 等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°. 又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在
∠ BAE ， ∠ CBE ＝ ∠ 1 ＋ ∠ CBD ， ∴∠ 2 ＋ ∠ BAE ＝ ∠ 1 ＋ ∠ CBD
，∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2
中考数学复习课件 第23课 圆的有关概念与性质
若 AB＝8，CD＝2，则 EC 的长为
()
A．2 15
B．8
C．2 10
D．2 13
【解析】 连结 BE ，如解图 1. ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8，
∴A C ＝12A B ＝4. 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2.在 Rt△AOC 中， ∵A C ＝4，OC＝r－2，OA 2＝A C2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5，∴AE＝2r＝10. ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中，∵AE＝10，AB＝8， ∴BE ＝ AE2－AB2＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE ＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13. 【答案】 D
点评：(1)本题主要考查圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性 质，难度中等． (2)要注意题目中的隐含条件(半径相等)及分类讨论思想的应用． 解析：(1)连结 OB，OF，如解图 2. ∵A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点， ∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°， ∴△AOB，△AOF 均是等边三角形． ∴AB ＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AD. (2)当点 P 在B︵F上时，PB＋PF＝PD；
当点 P 在B︵D上时，PB＋PD＝PF；
当点 P 在D︵F上时，PD＋PF＝PB.
【预测演练 1－1】 下列四个命题：①直径是弦；②经过 三个点一定可以作圆；③一个圆中最长的弦是直径；
④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的命题有
A．4 个 C．2 个
B．3 个 D．1 个
()
解析：其中②应该是经过不在同一直线上的三个点才可以
2．用垂径定理进行计算或证明时，常需连结半径或作出 圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再 利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形 来求解．
中考数学总复习第一轮第六单元圆第课圆的证明课件
点 ， 过 点 C 作 ⊙ O 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D. 若
∠A=32°，则∠D= 26
度．
4.（2020·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，
过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则
∠C=
45
度．
5.（2020·巴中）如图，在矩形ABCD中，以AD为直径
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°， ∴OA⊥PA，∴ PA是⊙O的切线．
（2）若PD= 5 ，求⊙O的直径．
解：在Rt△OAP中，∠P=30°， ∴ PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴ OA=PD，
∠A=32°，则∠D= 26°
．
4.（2020·黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交 OP于点C.
（1）求证：∠CBP=∠ADB.
证明：如图，连接OB，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°， ∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线， ∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90°， 而OA=OB，∴∠A=∠OBA， ∴∠CBP=∠ADB.
半径的直线是圆的切线.
切线的性质 切线垂直于经过切点的半径 .
切线长
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段长叫做这点到圆的切线长.
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长定理 切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
知识点4 三角形与圆
确定圆 不在同一直线的三个点确定一个圆. 的条件