知识生长点
立足知识“生长点”,助力数学抽象“落地生根”
立足知识“生长点”，助力数学抽象“落地生根”摘要】数学概念的形成需要立足知识形成的“生长点”，找到数学概念化抽象为具体的“转换点”，以直观想象为基础，处理好直观想象与抽象的关系，以形助思，凹显本质，从而更好的发展数学核心素养。
【关键词】数学概念；数学抽象；学科核心素养中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）04-055-02史宁中教授提出：所谓抽象思想，是指数学从现实的材料中抽象出数量关系和空间形式进行的研究而不是研究现实世界具体存在的事物本身。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象。
而学生数学概念的获得的过程，实质上就是数学抽象思维发展的过程，由于小学生思维以具体形象思维为主，数学抽象能力普遍较弱，因此找到数学概念化抽象为具体的“转换点”，以形助思，回归数学本质显得至关重要。
一、以形促感，立足概念形成“生长点”数学概念的形成离不具体的表象，离不开对具体材料的充分探索，具体感知，为此我们应该给学生提供丰富的素材，通过操作体验活动来促进学生感知数学概念的表象，并通过总结回顾活动的过程，不断的提升学生的认知水平，去除概念的非本质属性，形成对概念的初步认识。
以三年级上册《分数的初步认识》的概念教学来说。
自主探究，找一张纸的：刚刚我们已经认识了这个新朋友——，现在给你一张纸，你能找出一张纸的吗？在给足材料的基础上，动手操作，利用具体材料建立的表象。
互动交流：通过三次不同层次的交流，立足概念形成的“生长点”，聚化概念。
具体交流如下：①出示作品1：你是怎样找到这张纸的？②并列出示作品2：你还能用表示吗？为什么？③出示较大正方形、较大圆，涂色部分还能用来表示吗？为什么？（3）回顾反思：通过刚才的活动，说说你对是怎样理解的？通过回顾总结，初步形成的认知。
其实认识分数的过程，就是不断的聚合的表象材料，使得学生感受到不论是一张纸还是一样物品，都是把一个物体把一个物体平均分成2份，每份就是它的。
紧扣知识生长点
紧扣知识生长点作者：张玲罗文清来源：《湖北教育·教育教学》2020年第05期这里的知识生长点是指学生已经具备的相关教学知识，即已经知道了什么。
它是学习新知识的前提和基础。
化生长点为重难点，提升教学的效度。
以“加减计算”为例。
小学阶段，学生经历了从整数“一位→两位→三位→多位，不进位（或不退位）→进位（或退位）”到小数“简单的计算→稍复杂的计算”再到分数“同分母→异分母”的学习过程。
在这个庞大的知识体系中，我们一直在解决两个问题：1.计数单位相同的数才能直接加减。
2.在整数、小数加减中，满十向前一位进一（不够从前一位退一当十）;在分数加减中，满一向整数部分进一，分数部分不够减时从整数部分退一。
以上两点即为知识的生长点，应作为教学的重难点，强力突破。
化生长点为延伸点，拓展教学的宽度。
数学知识的逻辑性、层次性与延续性昭示了某一知识点既是前位知识生长的结果，又是后位知识生长的基础。
以“直柱体的体积”为例，小学阶段学生依次学习了长方体、正方体及圆柱体的体积计算。
三者除了本身存在推理上的因果关系外（长方体体积计算是正方体、圆柱体体积公式推导的前提与基础），还能以“体积=底面积×高”这个公式统一起来。
有的教师可能还会从“长方体的体积=长×宽×高”入手（而公式中的“长×宽”也就是前式中的底面积），对正方体、圆柱体作出类似分析，对三者通用一个公式进行拓展。
教学其实还可再向前迈一步。
教师借助直观图的演示（长方体、圆柱体的高由小变大，让学生感悟到它们好似一片片、一个个小的图形累积起来的），进一步引导学生思考：你感受到了什么？对于它们的体积公式都可用“底面积×高”你又有了什么新的认识？当学生体会到这些图形好像一个个长方形（或一个个圆）向上堆积起来的过程，公式里的底面积就代表那些长方形（或圆）的面积，而高正好就是堆积的高度时，就自然而然地明白了它们都可用“底面积×高”来计算体积了。
契合点 落脚点 生长点——数学教学“错误”资源运用策略探析
2020·09教学研究在数学课堂上生成的错误资源，是学生思维过程的真实反映，是伴随学习过程而产生的原生态想法。
教师应当以敏锐的视角及时捕捉、挖掘甚至设置关键性的“错误”，贯穿课堂教学的契合点、落脚点和生长点，让学生的思维在错误与正确之间激烈交锋,提升数学思考、逻辑思维、模型建构等多方面能力。
摘要关键词错误资源；契合点；落脚点；生长点“在数学教学活动中，‘错误’往往是教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象。
”［1］当学生出现错误时，有些教师不知所措，甚至以一个“错”字叫停学生，殊不知这样既打断学生的思维，也浪费了难得的课堂生成资源。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：在数学教学过程中恰当地使用“错误”资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量。
一、发现“错误”，架设新旧知识契合点在数学学习中，新旧知识之间的联系是密切的。
正因为数学知识的连贯性，教学时，大多教师都会把教学设计的重心放在新旧知识的沟通关联上，让学生通过与教材、教师、同伴的一次次对话发现错误，进而分析错误、纠偏错误，实现对所学新知识的获取，充分体验“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”。
例如，教学人教版小学数学五年级上册“平行四边形的面积计算”这一课时，学生已经理解并能熟练计算长方形和正方形的面积，不管是长乘宽，还是边长乘边长，学生印象中构建的是“两条邻边长度相乘的积”这一数学模型。
上课伊始，教师用课件展示一块平行四边形菜地（如图1），要求学生尝试计算菜地的面积。
图1受之前的面积计算的影响，有的学生脱口而出：5×4=20（平方米）；有的学生发现多了3.2m ，认为答案应该没有那么简单。
这时，要求学生拿出课前制作好的长5cm 、宽4cm 的可拉伸长方形学具。
通过拉动对角，长方形慢慢变成了平行四边形，并且越拉越扁，即高越来越小，面积也跟着变小了。
知识的生长点
（1）小数乘法转化为整数乘法1）按整数乘法的法则算出积；2）再看因数中一共有几位小数,就从得数的右边起数出几位,点上小数点.3）得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉.（2）除数是小数的小数除法转化为除数是整数的小数除法小数除法,要先将除数转化为整数,按除数是整数的除法计算,关键是商的小数点要和被除数的小数点对齐.（3）分子、分母各不相同的分数比较大小可以转化为分子相同或分母相同的分数再比较（4）异分母分数加减法转化为同分母分数加减法根据通分,我们可以把异分母分数加、减法化成同分母加、减法（5）分数除法转化为分数乘法（6）循环小数的运算可以转化为分数的运算（7）分数和小数混合运算可以转化为分数（或小数）运算（1）正方形（长方形）面积的推导过程是先统一了面积计量单位，用面积单位进行铺摆，看一行能摆几个，能摆几行，所以用乘法求面积。
（2）平行四边形是沿着一条高剪开，就可以转化成长方形。
（3）三角形可以有两种转化方法：一种是用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，所以计算三角形面积就先求出与之等底等高的平行四边形面积再除以2；第二种可以将三角形外面画一个长方形，长方形的长等于三角形的底，长方形的宽等于三角形的高，这个三角形的面积是长方形面积的。
（4）梯形的转化可以用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，高等于平行四边形的高，所以梯形面积就是这个平行四边形面积的1/2。
数学知识之间是充满联系的，知识与知识之间是成网络的，如果你善于运用这些数学方法去回顾知识，梳理知识，那么知识在同学们的头脑当中就不再零散了，这也是数学方法的价值所在。
生活中的转化无处不在，任何数学知识也是一环扣一环的，中间充满了联系。
“转化”在数学学习当中非常重要，我们学习每一个新知识的时候，都离不开旧知识，都要将新知识巧妙地转化成旧知识。
所以转化对数学学习来说非常重要。
知识是在不断变化的，我们总在学习一些不同的新知识，但解题的方法是不变的，只要掌握了这种方法，就能够很好地融会贯通了，所有的新问题都能够迎刃而解。
把握知识的生长点
教学要抓住知识的“生长点”和“延伸点”——《分数的意义》教学案例分析孙明知识生长点是一种根知识，它是知识的本原雏形或胚胎，具有高生长性高附加值高信息量，有时具有一定的缄默性。
它是原有认知结构中影响新知识学习的一个最关键的因素，对开展教学，特别是探究问题成功与否起着重要作用。
根据奥苏伯尔的有意义学习理论，学生认知结构中已有的适当知识对新知识有意义学习起固着作用。
根据学生已有的知识状况进行教学是教育心理学最基本的原理。
学生头脑中的已有知识至少包括如下两类：已有知识经验是新知识的生长点，其二，已有知识经验可作为获取新知识的工具。
找到知识生长点有助于找到新知识的源头活水，激发探究新知识的欲望。
每一个知识点既是已学知识的延伸点，又是后续学习的生长点。
《分数的意义》是学生在学习了除法，借助操作、直观初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读写简单的分数。
以上这些都是学生学习本课新知的“生长点”。
本节课的教学，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，简单了解分数产生的过程。
知道把一个物体、一个计量单位平均分成若干份，取这样的一份或几份，可以用分数来表示的；重点是使学生理解不仅一个物体，一个计量单位可用自然数1来表示，许多物体组成的一个整体也可用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”，进而总结概括出分数的意义。
本课的重点难点是学生对单位“1”的理解。
这是学生本课将要学习的新知，也是旧知的延伸点。
教学片断:上课开始，姜老师说我们玩一个拍掌游戏，请大家用掌声来表示计算的结果。
师：把8个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：啪、啪、啪、啪四下清脆的掌声师：把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：啪、啪两下清脆的掌声师：把1个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：没有反应师：为什么不拍了？生：二分之一怎么拍？生：不是一个整数。
引出分数的产生：在分物、测量或计算时往往不能得到一个整数的结果，这时候我们就用一个分数来表示。
抓住新知识的生长点,让学生经历“数学化”的过程
抓住新知识的生长点，让学生经历“数学化”的过程
《儿童乐园》本课是在上一节“有多少块糖”的基础上，结合“儿童乐园”的现实情境，在计算相同加数连加时引入乘法算式，使学生初步体会学习乘法的必要性。
尽管大部分学生对乘法并不陌生，甚至好多人已经会背诵乘法口诀，但对于乘法的意义并不了解，更不清楚乘法是怎么产生的，为什么学了加法还要再学乘法等。
因此，教学中我从学生的已有经验出发，“儿童乐园”是儿童熟悉的现实世界。
“你喜欢哪项活动？请选择自己喜欢的活动算一算有多少人参加了这项活动，并在练习本上写一写。
”这样把孩子们引到解决他们身边数学问题的数学活动中去。
在汇报交流中，请孩子们把自己的想法都记录在黑板上：坐飞机的一共有多少人？2+2+2+2=8（人）；乘小火车的一共有多少人？4+4+4+4+4+4=24（人）；坐在椅子上说话的有多少人？3+3=6（人）……从而把孩子们从现实世界引向符号世界。
这些相同加数的连加算式就是本课的思维对象——乘法的生长点。
“可喜欢划船的人可多着了，肖老师也喜欢划船。
如果有20条船，每只船上也坐着3人，坐船的一共有多少人”，此时孩子们真切地感受到学习乘法的必要性。
接着，我又引导孩子们把连加算式2+2+2+2=8（人）改写成乘法算式“2x4=8（人）或4x2=8（人）”，随后，让每个孩子动笔继续把黑板上其他连加算式都改写成乘法算式，并追问：“当遇到求几个相同加数的和时，你
会采用加法计算还是乘法计算？”孩子们的回答也不出所料“当然用乘法计算，这样不需要写那么长的算式，简便多了。
”孩子们真正地经历了数学化的过程。
小学数学知识点教学的“生长点”与“延伸点”的探究
小学数学知识点教学的“生长点”与“延伸点”的探究摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调培养学生核心素养，使其具备面向未来社会和个人发展所需的能力。
随着教育体系的不断发展，小学数学教学依托核心素养的革新成为关注的重点内容。
这也要求小学数学教师在教学中不仅要设计合适的教学内容和方法，还要根据素质教育的要求，深入剖析学科知识特点，做好知识点的“生长与延伸”，增强学生学习体验的同时，培养他们良好的数学思维，提升知识综合运用能力。
基于此，本文立足小学数学，从以下几个方面展开论述，以期为广大教师后续教学工作开展提供价值参考。
关键词：小学数学；知识“生长”与“延伸”；策略研究引言：数学作为一门逻辑学科，对学生逻辑思维、科学发展观等品质的发展有着十分重要的指导作用。
现阶段学生已初步建立了数学基础知识和解决问题的能力，然而受教育资源、教育环境等因素的影响，部分学生难以将知识建立有机联系，难以正确运用所学知识解决实际问题。
基于此，为弥补当下教学存在的短板，教师可从“生长点、延伸点”等方面入手，探索知识间的关联，并做好教学内容、方法的革新，从而更好地引导学生进行知识学习，促进其能力、素养的协同发展。
一、做好知识点的“生长”，培养学生思考意识知识的延伸能够提高学生的学习体验，并激发他们的探究意识。
在实际教学中，教师要充分利用多种教育资源，简化抽象的数学知识，从而提高学生学习积极性。
以“分数”相关知识为例，在实际教学中，教师可摆脱以往“直授式”的教学模式，引入日常生活中的例子，如分割苹果、平均分配糖果等，让学生初步感受分数在实际中的应用。
随后，教师可以生活案例为线索，引导学生在问题中思考、总结知识，如：把一块巧克力平均分给三个人，每人分到块，如果再平均分给其他两个人，他们分到的是多少？学生思考过程中，教师可让学生利用手中的画笔表示每个人分得蛋糕的数量，同时阐述原因。
通过这种方式，能够让学生逐步挖掘、理解分数的性质特点，并学会用分数解决实际问题。
如何了解学生的知识“生长点”在哪里———高雅老师《小数的初步认识》教学片断与赏析
一、结合生活情境，了解学生知识起点师：今天高老师也给你们带来一个笔筒（实物），大家猜一猜多少钱？生1：10元。
生2：8元5角。
生3：7.5元。
师：每个人都希望自己能够猜中价钱，是不是？现在请把你自己猜的价格写在老师发给你的价格标签纸上。
（标签纸就是超市中常见的标签纸，和生活结合很紧密）教师巡视：选择典型的价格标签，作为展示的对象。
【赏析：高老师首先以生活情境的形式引入，符合中低年级段学生的心理特点，很快就把学生的注意力、好奇心集中起来。
数学问题很自然就在“你猜这个笔筒多少钱？”中提出来了。
通过学生猜价格的过程，老师就可以初步了解学生对小数的初步认识到了什么样的程度。
一个简单的设计，在无痕的活动中就了解了学生的知识起点，为后续的教学提供了基础。
】二、汇报展示，进一步了解学生的“生长点”师:黑板上是几位同学猜的价格标签：请他们给大家介绍一下分别代表什么意思。
生：9.5元表示9元5角。
生：9.50元也表示9元5角。
生：后面的0表示什么意思？是没有？还是0分？生：“分”？我怎么平时从来———高雅老师《小数的初步认识》教学片断与赏析hi感悟名师109 . All Rights Reserved.没有见到过分啊？师：同学们！在人民币的单位中有元、角、分，只是因为现在的货物的价格很少用到分这个单位了，但它也是存在的。
生：9.98元就表示9元9角8分。
师：为什么9.98元中的前面两个都是9，一个表示元一个表示角呢？生：因为第一个9在小数点的前面，第二个9在小数点的后面第一位，因为位置不一样，所以表示的意思就不一样了。
生：我知道了小数点前面的数字代表元，小数点后面第一位表示角，小数点后面第二位表示分。
师：你们刚才写的价格中，像9.5、9.50、9.98这样的数就叫小数。
【赏析：老师在巡视的过程中就是在了解学生的知识起点，最后展示在黑板上的几种情况就代表了不同学生的知识基础。
在汇报的过程中，更是充分了解学生对小数的相关知识达到了一个什么样的程度。
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教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。
教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。
注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体。
（1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。
学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。
为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。
教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。
数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。
我想一个老师要讲好课，首先要对整个课的前后关系应该非常的清楚，一步步的，你要教的知识在关系中处于什么地位，这是第一步要清楚的。
第二步是你说的核心词，这个是在知识以上的东西，这个要搞清楚。
第三步老师要知道教书的重点和难点是什么。
重点和难点是不一样的，重点是在知识过程中起关键作用的一些东西，难点是学生很难掌握。
《分数的意义》是学生在学习了除法，借助操作、直观初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读写简单的分数。
本节课的教学，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，简单了解分数产生的过程。
知道把一个物体、一个计量单位平均分成若干份，取这样的一份或几份，可以用分数来表示的；重点是使学生理解不仅一个物体，一个计量单位可用自然数1
来表示，许多物体组成的一个整体也可用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”，进而总结概括出分数的意义。
不单纯是指数学知识吧？
每一个知识点的学习一般都有它的生长点和延伸点，遵循螺旋上升的原则，这是认知规律。
从心理学角度看，知识生长点是知识的固着点。
知识生长点是一种根知识，它是知识的本原雏形或胚胎，具有高生长性高附加值高信息量，有时具有一定的缄默性。
它是原有认知结构中影响新知识学习的一个最关键的因素，对开展教学，特别是探究问题成功与否起着重要作用。
根据奥苏伯尔的有意义学习理论，学生认知结构中已有的适当知识对新知识有意义学习起固着作用。
根据学生已有的知识状况进行教学是教育心理学最基本的原理。
学生头脑中的已有知识至少包括如下两类：已有知识经验是新知识的生长点，其二，已有知识经验可作为获取新知识的工具。
找到知识生长点有助于找到新知识的源头活水，激发探究新知识的欲望。
找到探求新知识所必须的工具，才能使探求新知识成为可能，知识生长点只有在接受工具性知识这种阳光雨露滋润后才能生长出新知识。
二者比较而言，知识生长点在新知识的学习中起着更为关键的作用。
如果学生的头脑中有新知识的生长点，这个生长点必须激活；如果学生头脑中没有新知识的生长点或生长点比较模糊和肤浅，教师要利用先行组织者将生长点植入学生的头脑，以便于把新知识固着在已有知识中。
此外，根据知识保持的由不稳定向稳定还原原则，新学的数学知识相对认知结构中原有的旧知识来说，新知识总是不够稳固的，而原有的旧知识则是比较稳固的，因此，新知识容易被遗忘而还原为旧知识。
只要找准并抓住知识生长点，搞清知识是如何从旧知识生长而来的生长机制，即使新知识忘记了，学生仍会将新知识生长出来。
知识的生长点就是我们已经具备的相关知识（即已经知道了什么），是学习新知识的前提和基础；知识的延伸点是指学完某一知识后，在后续学习中还将学习的相关知识内容，为再后续学习提供知识准备；根据知识的延伸点可以确定当前知识学习的终结点。
因此，每一个知识点既是已学知识的延伸点，又是后续学习的生长点。
上课开始，姜老师说我们玩一个拍掌游戏，请大家用掌声来表示计算的结果。
师：把8个苹果平均分给2人，每人分得几个？
生：啪、啪、啪、啪
师：把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？
生：啪、啪
师：把1个苹果平均分给2人，每人分得几个？
生：没有反应
师：为什么不拍了？
生：二分之一怎么拍？
生：不是一个整数。
引出分数的产生：在分物、测量或计算时往往不能得到一个整数的结果，这时候我们就用一个分数来表示。
探究新知环节：
1、课件出示：出示圆片图、正方形图、线段图，分别说出这些图的1/4
2、分苹果的1/4
师：把一盒苹果平均分给4位同学，每人分得多少？
生：1/4
师：为什么不说分得了几个？
生：不知道盒子中一共有几个？
师：想知道有几个吗？
生：想
课件演示：共有4个苹果。
你能找出这4个苹果的1/4吗？
生：上台指一指。
师：为什么不用数字1表示呢？
生：因为4个苹果平均分成4份，一份就是4个苹果的1/4。
巩固练习环节：
9块糖，一生拿走这些糖的1/3，还剩6块，另一生在拿走这6块糖的1/3，把糖分给这两位同学，你认为这样分公平吗？
生：不公平，因为单位“1”不同。
1、一生在上来拿糖。
拿走剩下4块糖的1/2。
引导：一个是1/3，一个是1/2，分数不同，为什么块数相同？
生：单位“1”不同，平均分的份数不同，所分得的块数却有可能相同。
3、老师口袋里还有2块糖，是原有糖的1/5，请问老师口袋里还有多少块？课后解决这个问题。