第09章扭转

解
TAB = −10kN ⋅ m
TBC = −3kN ⋅ m
扭矩图如图
TAB TAB τ max AB = = 3 = 50.9MPa WtAB πd AB 16 TBC TBC τ max BC = = 3 = 70.7 MPa WtBC πd BC 16
τ max = 70.7 MPa
27Leabharlann 扭 转解m A = 9549
PA = 183.6 N ⋅ m n
PB = 275.4 N ⋅ m mB = 9549 n P mC = 9549 C = 91.8 N ⋅ m n TAB = 183.6 N ⋅ m
TBC = −91.8 N ⋅ m
Tmax = 183.6 N ⋅ m
36
例
7
扭 转
§ 9-2
圆轴扭转时横截面上的应力分析
一、薄壁圆筒扭转时横截面上的应力
壁厚远小于半径的圆筒称为薄壁圆筒。
实验观察：各纵向线倾斜了相同的角度 圆周线的形状、大小和相互之间的距离没有变化 各微小矩形只发生切应变 圆筒很薄 圆筒横截面上的切应变相同 圆筒横截面上的切应力相同 8 沿圆周切线方向
扭 转
解
m A = 9549
PA = 7.03 × 103 N ⋅ m n
PB mB = 9549 = 4.71×103 N ⋅ m n PC mC = 9549 = 2.32 × 103 N ⋅ m n TI = − mC = −2.32 × 103 N ⋅ m
TII = m A − mC = 4.71×103 N ⋅ m
§ 9-4
圆轴扭转时变形和刚度计算
一、圆轴扭转时的变形计算 T dφ = dx GI P
dφ 表示相距为dx的两截面之间的相对扭转角
T φ = ∫ dφ = ∫ dx 0 GI l P
l
Tl φ= GI P
--扭转变形计算公式
其中 GI P 抗扭刚度
32
扭 转
思考：
实心圆轴和空心圆轴，两轴材料，横截面面积，长度 和所受扭矩均相同，则两轴的扭转角之间的关系如何？
dφ T ϕ= = --单位长度扭转角 dx GI P T ϕ max = ( ) max ≤ [ϕ ] GI P 圆轴扭转时的刚度条件
ϕ max
T 180 =( ≤ [ϕ ] ) max × π GI P
可查相关手册
ο
}
[ϕ ]
[ϕ ] = (0.25 − 0.50)ο / m 精密机器的轴 [ϕ ] = (0.5 − 1)ο / m 一般传动轴
τ =τ'
切应力互等定理：在单元体两个相互 垂直相交的表面上，垂直于交线的切 应力大小相等、方向相向或相背于交 线。 单元体
10
扭 转
三、圆轴扭转时横截面上的应力 建立薄壁圆筒切应力的计算公式采用的方法： 从变形方面分析，根据实验观察获得表面现象，通 过假设确立横截面上的应变分布规律； 通过物理方面，联系应变和应力的关系，建立横截 面上切应力的分布规律； 从力学方面入手，建立静力平衡方程，得到横截面 的切应力计算公式。
∑m
x
= 0 m = 2πrt × τ × r = 2πr tτ
2
m －薄壁圆筒扭转时横截面上的 τ= 切应力计算公式 2πr 2t 注意ｒ为圆筒的平均半径。
9
扭 转
二、纯剪切和切应力互等定理
纯剪切：仅在两对平行的表面上作用 有切应力，另一对平行的表面上无任 何应力作用。
(τdydz )dx = (τ ' dxdz )dy
3
扭 转
二、功率、转速和外力偶矩之间的关系
工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的， 而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下
P m = 9549 n
N⋅ m
kW
r / min
4
扭 转
三、扭矩和扭矩图
截面法：
T =m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩 扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
60
20
Ⅰ C1
z zC
20 × 603 + 1200 × (40 − 20) 2 I zC (II) = 60 12 = 8.4 × 105 mm 4
I zC = I zC (I) + I zC (II) = 1.36 ×10 6 mm 4
C C2
Ⅱ
y
20
26
例
３
m m 一钢制阶梯轴如图所示，已知： 1 = 10kN ⋅ m ， 2 = 7kN ⋅ m ， m3 = 3kN ⋅ m ，试计算其最大切应力。
解
确定形心的位置
60
20
Ⅰ C1
zC1 A1 + zC 2 A2 zC = A1 + A2
z zC
0 × 1200 + 40 × 1200 = = 20mm 60 2400
C C2
Ⅱ
y
20
25
例
２
60 × 203 + 1200 × 20 2 I zC ( I) = 12 = 5.2 × 105 mm 4
铸铁
[τ ] = (0.8 − 1)[σ ]
28
扭 转
二、圆轴扭转破坏现象分析
圆轴实验表明：低碳钢试件沿横截面断裂，铸铁试件沿着 与轴线成45度的螺旋线断裂。
σα τα
∑N =0 ∑T = 0
σ α dA + τdA cos α sin α + τdA cos α sin α = 0
29 τ α dA − τdA cos α cos α + τdA sin α sin α = 0
力学方面
dφ T = ∫ ρτ ρ dA = G A dx
令
∫
A
ρ 2 dA
I P = ∫ ρ 2 dA
A
极惯性矩
dφ T = dx GI P
Tρ τρ = IP
dφ τ ρ = Gρ dx
--圆周扭转时横截面上切应力计算公式 16
扭 转
τ max
T D T = ⋅ = I P 2 Wt
--圆轴扭转时横截面上最大切应力计算公式
30
例
４
实心圆轴横截面的扭矩 T = 5kN ⋅ m。轴的许用切应力为 [τ ] = 50MPa ，试设计轴的直径D。若将轴改为空心圆 轴,且内、外径之比为 d D = 0.8 ，试设计截面尺寸，并 比较两种轴所需的材料用量。 16T T πD 3 D≥3 = 79.8mm ≈ 80mm Wt ≥ 实心轴 Wt = 解 π [τ ]
I Wt = P 其中 D 2
扭转截面系数
实心圆轴
IP = IP =
πD 4
32
Wt =
πD 3
16
空心圆轴
πD 4
32
(1 − α 4 ) Wt =
πD 3
16
(1 − α
4
d ) α= D
17
扭 转
思考：
画出受扭空心圆轴横截面的切应力分布图。
T
在推导圆轴扭转横截面上的切应力公式时，是否 用到切应力互等定理？
第九章 扭转
扭 转
§ 9-1 外力偶矩 扭矩 扭矩图 一、概述
2
扭 转
受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、 且作用面垂直于杆件轴线的力偶。 变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对 转动的变形。这种变形称为扭转。 扭转时杆件两个横截面相对转动 的角度称为扭转角-- φ 以扭转为主的杆件通常称为轴。 截面形状为圆形的轴称为圆轴。 本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。
5
扭 转
思考：
等截面圆轴上装有４个皮带轮，如何安排合理？
0.2
0.2
0.6
1. 0
A
B
C
D
6
例
1
一等截面传动轴如图所示，其转速 n = 300rpm ，主动轮A 的输入功率 PA = 221kW ，从动轮B，C的输出功率分别为 PB = 148kW ， C = 73kW 。试求轴上各截面的扭矩，并 P 作扭矩图。
Tl φ= GI P
IP =
πD 4
32
d IP = (1 − α ) α = D 32
4
πD 4
材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在 扭矩相同的情况下，最大切应力是否相同，扭转角是否相 同？
τ max
T D T = ⋅ = I P 2 Wt
Tl φ= GI P
33
扭 转
二、圆轴扭转时的刚度条件
§ 9-3
圆轴扭转时强度计算
一、圆轴扭转时的强度条件
τ max
⎛T =⎜ ⎜W ⎝ t
⎞ ⎟ ≤ [τ ] ⎟ ⎠ max
--圆轴扭转时的强度条件
许用切应力根据剪切极限应力除以安全系数得到。 实验表明：在静载下，材料在纯剪和轴向拉伸时的机械性质 之间存在一定的关系 钢
[τ ] = (0.5 − 0.6)[σ ]
扭 转
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
α = 45ο α = 0ο
σ α = σ min = −τ τ α = τ max = τ
α = −45ο α = 90ο
σ α = σ max = τ τ α = τ min = −τ
用塑性较好的材料制成的轴扭转时，由于横截面上作用 最大切应力，沿横截面断裂。 用脆性材料制成的轴在扭转时，在45度斜截面上作用最 大拉应力，沿45度方向破坏。 塑性材料抗剪能力低于抗拉能力，而脆性材料抗拉能力 低于抗剪能力。
dφ γρ = ρ dx