山东省高中数学必修四导学案：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义缺答案

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人教版高中数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b = a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10. （2）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21.(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9.（4）（2a -b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2,（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .【例2】已知a 与b 的夹角为30°，且|a |=3,|b |=1,求向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦. 思路分析：利用cosθ=||||q p q p •确定p ,q 的夹角，必先求pq 及|p ||q |，而求|p|及|q|利用模长公式|p |2=p 2,|q |2=q 2.解：∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+•-b b a a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a |2=a 2及cosθ=||||b a b a •. （2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】已知|a |=4，|b |=3，a 与b 的夹角为120°，且c =a +2b ，d =2a +k b ，问当k 取何实数时，（1）c ⊥d;(2)c ∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件.解：设c 与d 的夹角为θ，则由已知,得c ·d=（a +2b ）·（2a +k b ）=2a 2+（4+k ）a ·b +2k b 2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.|c |=|a +2b |=2244b b a a +•+ =2834120cos 344422=⨯+︒⨯⨯+. |d |=|2a +k b |=22244b k b ka a +•+ =2223120cos 34444⨯+︒⨯⨯•+⨯k k =.642492+-k k∴cosθ=.)64249(746||||2+-+=•k k k d c d c (1)要使c ⊥d ，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-32. (2)要使c ∥d ,只需cosθ=±1, 即)64249(72+-k =±(6k+4),解得k=4.综上，当k=-32时，c ⊥d ;当k=4时，c ∥d . 温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a ·b =|a ||b |或a ·b =-|a ||b |.而两向量垂直，夹角为90°,所以a ·b =0,反之也成立.3.正确理解两向量夹角的定义【例4】 Rt △ABC 中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=23，求·+·+·的值.思路分析：只需求出向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与AB 的夹角，利用数量积定义求解.解：∵∠A=∠C=45°, ∴与夹角为135°,与夹角为135°,与夹角为90°.∴·+·+· =BC ·CA +CA · =3×32·cos135°+32×3·cos135°=-18.温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。

高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案新人教版必修4

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计）一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量的数量积的定义及几何意义；熟练掌握平面向量数量积的性质；掌握关于平面向量数量积的几类重要题型．2.过程与能力目标通过对数量积的定义及运算性质的应用，加深学生对知识的理解与掌握，同时，通过对数量积的几类重要问题的解答，培养学生的归纳能力，运算能力，应用所学知识解决问题的能力．3.情感与态度目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.二、教学重、难点1.教学重点平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.2.教学难点平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用.三、教学准备多媒体、彩色粉笔四、教学过程新课（一）创设情景，引入新课问题：如图所示，一辆小车，在力F 的作用下，产生位移S ，那么请问力F 在这个运动过程中所做的功？（1）力F 所做的功W ：W = （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W （功）是量，F （力）是量，S （位移）是量，θ是 .（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.思考：如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？（二）探究新知探究一:明晰向量数量积的定义1、数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b 数量积（或内积），记作b a ⋅规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a 00=⋅注意： “b a ⋅”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替.2、提出问题（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？（2）影响数量积大小的因素有哪些？（3）学生讨论完成下表θ的范围 0°≤θ<90° θ=90° 90°<θ≤180° a ·b 的与0的关系探究二:向量数量积的几何意义1、给出“投影”定义师引导学生思考：（1）初中学过投影吗？（2）b 在a 方向上的投影应该怎么做？红色线段又表什么？（3）计算投影？作图：如图，我们把│b │cos θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，记做：OB 1=│b │cos θ2、提出问题：向量数量积的几何意义是什么？数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影︱b ︱cos θ 的乘积探究三：探究数量积的运算性质1、（1）我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:b a b a b a =⋅︒=同向，与，0θ;b a b a b a -180=⋅︒=反向，与，θ0,,90=⋅⊥︒=b a b a θ（2）我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢? 根据定义ba b a b a b a ⋅=⇒=⋅θθcos cos 由此我们就可以得出θ的值. 当0=⋅b a 时,︒=⇒=900cos θθ．总结（1）（2）知0=⋅⇔⊥b a b a .（3）特别地，22,a a a a a a a a a 常记为这里或⋅⋅==⋅.（4）请判断的大小关系与b a b a ⋅．分析： 1cos ,cos ≤=⋅θθb a b a ，b a b a b a ≤=⋅∴θcos ．这些就是数量积的性质.在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。

高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教案新人教A版必修四

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）A.6B.5C.7D.82.若A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为（ B ）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W = |F|⋅|s|cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a||b|cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是a⋅b = b⋅c a = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠ a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、a⊥b ⇔ a⋅b = 02、当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|.特别的a⋅a = |a|2或aaa⋅=|| |a⋅b| ≤ |a||b| cosθ =||||baba⋅探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a，b夹角为θ，则a ⋅ b = |a||b|cosθ，b ⋅ a = |b||a|cosθ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa)⋅b =λ(a ⋅b) = a ⋅(λb)证：若λ> 0，(λa)⋅b =λ|a||b|cos θ， λ(a ⋅b) =λ|a||b|cos θ，a ⋅(λb) =λ|a||b|cos θ，若λ< 0，(λa)⋅b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ，λ(a ⋅b) =λ|a||b|cos θ， a ⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ.3．分配律：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a ， = b ，= c ， ∵a + b （即）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b| cos θ = |a| cos θ1 + |b| cos θ2∴| c | |a + b| cos θ =|c| |a| cos θ1 + |c| |b| cos θ2， ∴c ⋅(a + b) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12， |b|=9，254-=∙b a ，求a 与b的夹角。

高中数学第二章平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案新人教A版必修4

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图.思考1 如何计算这个力所做的功？答案 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理知识点二平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b 在向量a 上的投影？什么叫做向量a 在向量b 上的投影？答案如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.思考2 向量b 在向量a 上的投影与向量a 在向量b 上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同. 梳理 (1)条件：向量a 与b 的夹角为θ. (2)投影：(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 知识点三平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定.当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数. 梳理设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(3)a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.类型一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积.解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.类型二求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方. 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值. 解 |3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400，故|3a ＋b |＝20. 类型三求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a与b 的夹角θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.2.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， ① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3.若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 答案 11解析 (a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －2a ·c －4b ·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.4.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案－25解析易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，C ＝90°. ∴cos B ＝513，又cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B )， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 5.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的投影和a 在b 方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |.5.两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.课时作业一、选择题1.已知|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝19，则|a －b |等于( ) A.7 B.13 C.15 D.17答案 A解析因为|a ＋b |2＝19，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝19，所以2a ·b ＝19－4－9＝6，于是|a －b |＝|a －b |2＝4－6＋9＝7.2.已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A.－6 B.6 C.－6 3 D.6 3 答案 C3.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4.若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A.－3B.－2C.2D.－1 答案 D解析向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 5.已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A.|a |＝a ·a B.|a·b |＝|a ||b | C.λ(a·b )＝λa·b D.|a·b |≤|a ||b | 答案 B解析因为|a·b |＝||a ||b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a ||b ||cos θ|，当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a ||b |，故B 错.6.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0，π6]B.[π3，π]C.[π3，2π3]D.[π6，π]答案 B解析 ∵Δ＝a 2－4|a ||b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)，若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a ||b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，∴Δ＝4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又∵0≤θ≤π， ∴π3≤θ≤π. 7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝(12AB →＋34AC →)·(AC →－AB →)＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18.故选B.8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形答案 B 二、填空题9.设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 答案－9210.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________. 答案 120°11.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 答案223解析 ∵|a |＝(3e 1－2e 2)2＝ 9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.12.已知向量a 在向量b 方向上的投影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________.答案 2解析 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉＝3×23＝2.13.已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案－25解析 ∵|CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2，∴∠B ＝90°，∴AB →·BC →＝0. ∵cos C ＝45，cos A ＝35，∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos (180°－C ) ＝4×5×(－45)＝－16.CA →·AB →＝|CA →||AB →|cos(180°－A ) ＝5×3×(－35)＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 三、解答题14.已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算： (1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |. 解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0. (2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a －2b |＝16. 四、探究与拓展15.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影；(3)AB →在BC →方向上的投影. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16.(2)|AC →|·cos〈AC →，AB →〉＝AC ，→·AB →|AB →|＝5×3×355＝95.(3)|AB →|·cos〈AB →，BC →〉＝BC ，→·AB →|BC →|＝－BA ，→·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.。

新编人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案

2.4.1.平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标.1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一.平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.知识点二.平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.类型一.向量数量积的运算性质例1.给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0，其中正确结论的序号是________. 答案.④解析.因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0，故④正确.反思与感悟.向量的数量积a·b 与实数a 、b 的乘积a ·b 有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________.(填序号) 答案.③解析.(a ·b )·c 表示与向量c 共线的向量，(c ·a )·b 表示与向量b 共线的向量，而b ，c 不共线，所以①错误；由[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝0知，(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确. 类型二.平面向量数量积有关的参数问题命题角度1.已知向量垂直求参数值例2.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 答案.2解析.由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.反思与感悟.由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于(..)A.－92B.0C.3D.152答案.C解析.因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6). 因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1) ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.命题角度2.由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3.已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________.答案.(0，1)∪(1，＋∞)解析.∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟.由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3.设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解.设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12).1.下面给出的关系式中正确的个数是(..)①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A.1 B.2 C.3 D.4 答案.C解析.①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是(..)A.60°B.30°C.135°D.45° 答案.C解析.∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.3.已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为(..) A.1 B.0 C.2 D.3 答案.D解析.由题意得(a －m b )·a ＝0，a 2＝m a ·b ， ∴m ＝|a |2a ·b ＝|a |2|a ||b |cos 60°＝32×12＝3，故选D.4.已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是(..) A.32 B.12 C.－32D.－12答案.C解析.∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，即|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴3＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.5.已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的投影.解.(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝9，即16－4a ·b －3＝9， ∴a ·b ＝1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝7，即|a ＋b |＝7. 设a 与a ＋b 的夹角为α，则向量a 在a ＋b 上的投影为|a |cos α＝|a |×a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ＋b |＝57＝577.1.数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等.2.在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .课时作业一、选择题1.已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是(..) A.0 B.a C.b D.c 答案.B解析.b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2.已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于(..) A.0 B.2 2 C.4 D.8 答案.B解析.|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2. 3.已知a⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于(..) A.32 B.－32C.±32D.1答案.A解析.∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.4.设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角θ的余弦值是(..)A.34B.537C.2537D.53737 答案.D解析.∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝(3e 1＋4e 2)·e 1|3e 1＋4e 2||e 1|＝537＝53737.5.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为(..)A.4B.－4C.94D.－94答案.B解析.∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.6.设向量a 与b 满足|a |＝2，b 在a 方向上的投影为1.若存在实数λ，使得a 与a －λb 垂直，则λ等于(..) A.12 B.1 C.2 D.3 答案.C解析.∵b 在a 上的投影为1，|a |＝2， ∴a ·b ＝2×1＝2，又∵a ⊥(a －λb )，∴a ·(a －λb )＝0， ∴λa ·b ＝|a |2，故2λ＝4，λ＝2，故选C. 7.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为(..)A.0B.π6C.π3D.π2答案.D解析.∵a ·c ＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b＝a ·a －⎝⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b ·(a ·b )＝a ·a －a ·a ＝0.∴a ⊥c .故选D.8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE →·BD →等于(..)A.－3B.0C.－1D.1 答案.C 二、填空题9.已知平面内三个向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|c |＝3，且a ＋b ＋c ＝0，则向量a ，b 夹角的大小是________. 答案.π3解析.∵a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝c 2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2， ∴1＋2a ·b ＋1＝3，a ·b ＝12，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.10.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________.答案.2π3解析.由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2，即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2，设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1，即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0，因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.11.已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.答案.233解析.∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，|a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝ a 2－4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， ∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°，化简得32a 2－2b 2＝0，所以|a ||b |＝233.12.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________. 答案.4解析.方法一.由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0，即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 方法二.如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ，∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ，又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ，所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.13.已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________.答案. 2.1解析.(12a ＋b )·(2a －3b )＝a 2＋12a ·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 三、解答题14.已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？解.(1)∵|a |＝2|b |＝2，∴|a |＝2，|b |＝1.又∵向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1.又∵|a |＝2，|b |＝1，∴cos θ＝－12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.四、探究与拓展15.已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ. 解.假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2， ∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)， ∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0， ∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0，解得cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.。

导学案1：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

必修四第二章平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示.2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量数量积的运算性质2、难点：平面向量数量积的运算性质知识要点．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特例：a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |[预习自测]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32归纳反思能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10. 3、答案 D 解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或72。

2.4.1平面向量的数量积导学案

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。

2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。

2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。

3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。

【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。

【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。

2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。

4.b在a上的投影是。

5.数量积a b⋅的几何意义是。

6.零向量与任一向量的数量积等于。

7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。

A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。

人教版数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积(或内积)，其中θ是a 与b 的夹角记法记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b |cos θ 规定零向量与任一向量的数量积为____投影 ____________(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影______________的乘积(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a 的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定 2．运算律交换律 a ·b ＝________ 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·________分配律(a ＋b )·c ＝________(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bca ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )．其中正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．向量数量积的性质垂直 a ⊥b ________共线同向 a·b ＝________a ·a ＝a 2＝|a |2 |a |＝a ·a反向a·b ＝________绝对值|a ·b |≤________符号a ·b ＞0θ∈________ a ·b ＝0 θ＝________a ·b ＜0θ∈________夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； (2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2； (3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )．【做一做3－1】在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________. 【做一做3－2】已知|a |＝7，则a ·a ＝__________. 【做一做3－3】已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1. 2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c 【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0. 【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】0cos θ＝a·b|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0，则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·b＝b·c b＝0或a＝c或b⊥(a－c)；在向量的数乘中，λa＝λb(λ∈R) a＝b或λ＝0；在实数的乘法中，ab＝bc a＝c或b＝0.在向量的数量积中，(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λm)a＝λ(m a)(λ∈R，m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c＝a(bc)．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积．题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为__________．反思：已知向量a与b的夹角为θ，且|a|＝m，|b|＝n，求(x a＋y b)·(s a＋t b)，其中x，y，s，t，m，n∈R，且m＞0，n＞0，其步骤是：①先求a·b；②化简(x a＋y b)·(s a＋t b)＝xs|a|2＋(xt＋ys)a·b＋yt|b|2；③将a·b，|a|，|b|代入即可．题型二求向量的长度【例2】若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于()A．3 B．2 2 C．10 D.10反思：已知不共线的向量a与b，求|x a＋y b|(x，y∈R)时，其步骤是：①求a·b；②求|x a ＋y b|2＝x2|a|2＋2xy a·b＋y2|b|2；③求|x a＋y b|.题型三求两向量的夹角【例3】已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ.分析：求出a，b的数量积a·b，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a与b的夹角θ的步骤：(1)计算a·b，|a|，|b|；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |计算cos θ；(3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四证明两向量垂直【例4】已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )．分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零．反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五判断平面图形的形状【例5】在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】－8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2. ∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0， ∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0，所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |. 3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60. (2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。

【知识学习】高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案

高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；新知梳理：．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则叫与的数量积，记作，即有=，（０≤θ≤π）.并规定向量与任何向量的数量积为.思考感悟：、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.（2）向量的数量积写成•；符号“•”既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能为0.2．“投影”的概念：作图：定义：||cos叫做向量在方向上的投影.思考感悟：投影不是向量，是一个数量。

当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为||；当=180时投影为||3．向量的数量积的几何意义：数量积等于与||cos的乘积.4.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，=当与同向时，=，当与反向时，特别的：=||2或；||≤||||；cos=5.平面向量数量积的运算律①交换律：=②数乘结合律：==③分配律： =+说明：（1）一般地，≠（•）（2）•＝•＝对点练习．下列叙述不正确的是（A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律c.向量的数量积满足结合律D.是一个实数2．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为（）A.平行B.垂直c.夹角为D.不平行也不垂直3.已知|m→|=，n→=，m→•n→=9，则m→,n→的夹角为（）A.150ºB.120ºc.60ºD.30º4.已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。

人教版高中数学必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【导学案】

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语你要知道科学方法的实质，不要去听一个科学家对你说些什么，而要仔细看他在做什么。

——爱因斯坦学习目标1．熟练掌握向量数量积的定义形式.2．掌握向量投影的形式.3．掌握向量数量积的重要性质及运算律，并能进行相关计算.学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的数量积.①前提：a，b为非零向量.②结论：称a与b的数量积(θ为向量a与b的夹角).③表示： .(2)投影.叫做向量a在b方向上的投影；叫做向量b在a方向上的投影.(3)数量积的几何意义.数量积a•b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.2．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质.设a，b为非零向量.①②a与b同向时，；a与b反向时，a•b=________.③.(2)向量数量积的运算律.①a•b =_________(交换律)；②(λa)•b＝__________＝a•(λb)(结合律)；③(a+b)•c＝__________(分配律).预习评价1．等边三角形ABC的边长为1，则，等于A.0B.1C.D.2．已知且( a－b)与a垂直，则a与b的夹角是A.60°B.30°C.135°D.45°3．已知两单位向量e1与e2的夹角为，则e1•e2=__________.4．若则a与b的夹角为__________.5．设，e为单位向量，a与e的夹角为60°，则a在e方向上投影为__________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量的数量积结合数量积的定义：，其中θ为向量a与b的夹角，探究下面的问题；(1)向量的数量积的运算结果是向量还是实数？(2)根据两向量数量积的定义完成下面的填空：•若a•b>0，则向量a与b的夹角为____________.‚若a•b<0，则向量a与b的夹角为_____________.2．如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？3．当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？教师点拨1．对向量数量的四点说明(1)向量的数量积是实数，而非向量，其值由向量的模和两向量的夹角和余弦值决定.(2)利用数量积证明两向量垂直时，首先要判断两向量是否为零向量.(3)利用两向量的数量积可以证明向量，线段的垂直及求向量的模和夹角.(4)向量的投影是一个实数，不是图形.2．向量数量积的常用结论(1)(2) .(3)(4)交流展示——向量数量积的运算已知在边长为1的正三角形ABC中,=2,=2,则·=A. B. C. D.变式训练在平行四边形中，60°，为的中点，若，则的长为B.1C.2D.3A.交流展示——向量的夹角、模的求解2．已知△ABC中,||=||=1,且|-|=,则∠BAC的大小为A. B. C. D.3．已知单位向量e1,e2的夹角为α，且，若向量a=3e1-2e2，则=________.变式训练2．已知向量a,b满足|a|=1,|a+b|=,<a,b>=,则|b|=A.2B.3C.D.43．已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°交流展示——向量数量积的综合运算如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于、的任意一点，若为半径的动点，则的最小值是A.2B.0C.D.变式训练若平面向量满足且，则可能的值有个.学习小结1．求向量夹角及模的方法(1)求两向量的夹角主要借助于公式cosθ= ，求解方法有两种情况；一是根据已知条件求出a•b，与，代入公式求解；二是找出，与a•b的关系通过的分求解.(2)向量模的求解方法：根据，求向量的模可转化为向量的数量积求解.2．求向量数量积的方法及注意事项(1)方法：分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解.(2)注意事项：①要牢记数量积的运算公式；②要注意两个向量的夹角；③对于平行向量要注意两向量是同向还是反向.3．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则.(2)如果a⊥b，a•b＝0；对于两个非零向量，如果a•b＝0，则a⊥b.(3) 或.(4)设向量a和b的夹角为θ，则.(5) .当堂检测1．已知空间向量满足,则_____. 2．已知向量与的夹角是,且,则 .3．已知单位向量，的夹角为60°，则＝____.4．已知向量a,b 满足a·(b+a)=2,且|a|=1,|b|=2,则a 与b 的夹角为. 5．在等腰直角三角形ABC 中,D 是斜边BC 的中点,如果AB 的长为2,则(+)·的值为. 知识拓展1．向量a b 、满足1,a a b a b =-=与的夹角为60°，则b =___________. 2．过点A(3,1)的直线与圆C:相切于点B ，则．2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)②｜a｜｜b｜cosθ③a·b(2)｜a｜cosθ｜b｜cosθ(3)｜b｜cosθ2．(1)①a·b＝0②-｜a｜｜b｜(2)①b·a②λ(a·b) ③a·c＋b·c【预习评价】1．D2．D3．4．π5．4♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积，其符号由两向量夹角的余弦值决定. (2)由向量数量积的定义可知，•当a·b＞0时，向量a与b的夹角为锐角或零角；‚当a·b＜0时，向量a与b的夹角为钝角或平角.2．根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为｜a｜cosθ，又a·b＝｜a｜｜b｜cosθ所以，所以向量a在向量b上的投影为｜a｜cosθ＝｜a｜＝3．不一定垂直.当两向量都不为零向量时，若数量积为零，则两向量垂直.【交流展示——向量数量积的运算】B【解析】本题主要考查平面向量的线性运算,数量积等知识,考查考生的运算求解能力.·=(+)·(+)=(+)·(-+)=(++)·(--+)=(+)·(-)=-·+·-=-·-=--·,而·=1×1×cos 120°=-,所以·=.【变式训练】C【解析】本题考查平面向量的数量积。

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2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
编审：周彦魏国庆
【学习目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
【自学新知】知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 与b ，作＝a ，
OB ＝b ，则
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；
（2）当θ＝π时，a 与b 反向；
（3）当θ＝2
π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；新知梳理：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是
θ，则叫a 与b 的数量积，记作，即有a ⋅b = ，
（０≤θ≤π）. 并规定向量与任何向量的数量积为 . 思考感悟：
1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.
（2）向量的数量积写成a ·b ；符号“·”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若0≠a ，且0=ab ，则b=0；但是在数量积中，若a ≠0 ，且a ⋅b =0，
不能推出b =.因cos θ有可能为0.
2．“投影”的概念：作图：
定义：|b |cos θ叫做向量b
在a 方向上的投影. 思考感悟：
投影不是向量，是一个数量。

当θ为锐角时投影为值；当θ为钝角时投影为
值，当θ为直角时投影为；当θ=0︒时投影为|b |；当θ =180︒时投影为-|b |
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于与 |b |cos θ的乘积.
4. 两个向量的数量积的性质：设a ，b 为两个非零向量， (1)a ⊥b ⇔a ⋅b =
(2)当a 与b 同向时，a ⋅b = ，
当a 与b 反向时，a ⋅b =
特别的：a ⋅a =|a |2或||a =
|a ⋅b |≤|a ||b |；
cos θ =||||
a b a b ∙ 5.平面向量数量积的运算律
①交换律：a ⋅b =b ⋅ a
②数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )③分配律：(a +b )⋅c = a ⋅c +b ⋅c
说明：
（1）一般地，(a ·b ) c ≠a （b ·c ）
（2）a ·c ＝b ·c a ＝b
对点练习
1．下列叙述不正确的是（）
A. 向量的数量积满足交换律
B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律
D. a ⋅b 是一个实数
2．|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b
的位置关系为（）
A.平行
B.垂直
C.夹角为3π
D.不平行也不垂直
3.已知|m →|=n →=(cos θ,sin θ)， m →·n →=9，则m →, n →的夹角为（
）
A.150º
B.120 º
C.60 º
D.30 º
4.已知||2a = ，||10b = ，0,120a b <>= ，则向量b 在向量a 方向上的投影是___________，向量a 在向量b 方向上的投影是___________。

【合作探究】典例精析：
例1．证明：2222)(+∙+=+
变式1．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60o ，求：
（1）(a +2b )·(a -3b ).
（2）|a +b |与|a -b |.
例2．已知|a |=12，|b |=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角。

变式2．已知|a |=3， |b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a +k b 与a -k b
互相垂直.
【课堂小结】
【当堂达标】
1．下列命题中：①若b ≠0 ，且a 〃b =c 〃b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;
③(a 〃b )〃c =a 〃(b 〃c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2〃b 2=(a 〃b )2 ；正确命题的个数为____
2．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos375°、a ，b 夹角为30°，则a 〃b 为（）。