北师大版七年级数学下册第7课时探索三角形全等的条件
探索三角形全等的条件课件北师大版七年级数学下册
∴∠DAB=∠EAC
在ΔABD与ΔACE中
∠DAB=∠EAC
AB=AC
B
C
∠ABD=∠ACE
∴ΔABD≌ΔACE
∴BD=CE
三 角
01 三角形全等判定——SSS
形
全 02 三角形全等判定——SAS
等
的 判
03 三角形全等判定——AAS
定
条 件
04 三角形全等判定——SAS
判定两个三角形全等的思路：
针对练习：如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD， 试说明：ΔAOB≌ΔCOD
D C
解：ΔAOB≌ΔCOD,理由如下：
∴∠AOC=∠BOD
∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD
∴∠COD=∠AOB
在ΔAOB与ΔCOD中
OA=OC
∠COD=∠AOB
OB=OD
O
∴ΔAOB≌ΔCOD
A B
A
全等判定——ASA
F
E
D
B
C
三角形全等的性质
全等判定——SSS
全等判定——SAS
选题背景
全等判定——AAS
针对练习：如图，AC=DC，AB=DE,CB=CE.
试说明：∠1=∠2
A
全等判定——ASA
解：∠1=∠2,理由如下： E 在ΔABC与ΔDEC中
AC=DC
AB=DE
CB=CE
B
∴ΔABC≌ΔDEC
E C
D
A
B
三角形全等的性质
全等判定——SSS
全等判定——SAS
选题背景
全等判定——AAS 全等判定——ASA
判定方法四： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 （ 简写成“边角边”或“ASA”）
北师大版数学七年级下册《探索三角形全等的条件》三角形
求证：⊿ABF≌⊿ACE
A
审题： AB=AC ，AE=AC 。
EF
审图：∠A是⊿ABF与⊿ACE的公共角
。审结论：⊿ABF≌⊿ACE
SAS
B
C 证明： 在⊿ABF和⊿ACE中
AB=AC （已知）
∠A= ∠A（公共角）
AE=AC（已知）
∴ ⊿ABF≌⊿ACE （SAS）
小结
通过今天的学习，同学们有什么收获呢？
1、两边夹一角。 2、在找对应部分要依照SAS标准去找。 3、对应：两个全等三角形，字母要一一对应。
特点：若两个三角形有两条边及其夹角对应相等，则 这两个三角形全等。
新授
三角形全等判定定理（一）
如果一个三角形的两条边与其夹角与另 一个三角形的两边及其夹角对应相等，那么 这两个三角形全等。
新授
例1：如图：AB=DC，∠ABC= ∠ DCB，
A O
D
求证：⊿ABC≌ ⊿DCB
分析：审题： AB=DC，∠ABC= ∠ DCB。 审图：BC是⊿ABC与 ⊿DCB的公共边。
B
C
审结论：⊿ABC≌ ⊿DCB
SAS
证明：在⊿ABC和⊿DCB中
注意：
AB=DC（已知）
1、在那两个三角形中？
∠ABC= ∠ DCB（已知） 2、条件按边、角、边给出
BC=CB（公共边）
。
∴ ⊿ABC≌ ⊿DCB （SAS） 3、对应。
新授
例2：已知：AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=AF
如何判断两个三角形是全等三角形？
如何判断两个三角形是全等三角形？
如何判断两个三角形是全等三角形？
如何判断两个三角形是全等三角形？
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》三角形研讨说课复习课件
A
B
探究新知
C
E
D
C′
A
作法：
B A′
B′
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，
A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
探究新知
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成 “角边角”或“ASA”.
书写格式：
A
在△ABC和△A′ B′ C′中，
北师大版 数学 七年级 下册
4.3 探索三角形全等的条件 第1课时
课件
导入新知
小华作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想 画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请 你帮助小华想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角 形全等的三角形.
素养目标
3. 了解三角形的稳定性.
80 40 60
40
60
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
做一做:
2.给出三条边 已知三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm，请画出
这个三角形.
4
5
7
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边 边”或“SSS”.
探究新知
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
所以△ABC≌△DEF（AAS ）.
所以AC ＝ DF.
巩固练习
变式训练 如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E.
5.7探索直角三角形全等的条件
7
探索直角三角形全等的条件
1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS， SAS。 判定两个三角形全等方法， 2、如图，Rt ∆ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜边 AB 。 如图， ABC中 A C
回 顾 与 思 考
B
A 如图， BE于 BE于 3、如图，AB ⊥ BE于C，DE ⊥ BE于E， B C D，AB=DE， （1）若∠ A=∠ D，AB=DE， ABC与 全等” 则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 等”） ASA 根据 （用简写法） F E
下面让我们一起来验证这个结论。
已知线段a、 ﹤ 和一个直角 和一个直角α， 已知线段 、c(a﹤c)和一个直角 ， 利用尺规作一个 一个Rt△ 利用尺规作一个 △ABC,使 使 ∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. ，
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做： 按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ∠ ° M 在射线CM上截取线段 上截取线段CB=a; ⑵ 在射线 上截取线段 M B
C N 为圆心,C为半径画弧 ⑶ 以B为圆心 为半径画弧， 为圆心 为半径画弧， 交射线CN于点 于点A; 交射线CN于点A; M B
C 连接AB. ⑷ 连接 M B
N
C
A
N
C
A
N
就是所求作的三角形吗？ ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ 就是所求作的三角形吗 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 它们能重合吗？ 它们能重合吗？
F C
E
Байду номын сангаас
3.3《探索三角形全等的条件》 课件(北师大版) (7)
1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 2、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 理由是？
SAS ASA AAS SSS
。
3、有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 理由是？
做一做
试用尺规作出满足下列条件的三角形．
⑴∠B=30°，AB=5cm，AC=3cm； 所作的三角形为什么不一定全等？
直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或 “HL”.
议一议
到现在为止,你能够用几种方法说明两个 直角三角形全等？与你的同伴交流交流．
SAS、ASA、AAS、SSS、HL
对两个直角三角形，除直角外， 如果斜边和一条直角对应相等，那 么这两个直角三角形全等． 这个结论是一个特殊的直角三 角形全等的条件.
A
B
C1 D C2
做一做
⑵∠B=30°，AB=5cm，AC=2.5cm 所作的三角形全等吗？
A
B （C1）D（C2）
对上述图形，如果逐渐减小AC的长度，我 们会发现的C1C2长度也随之减小，△AC1C2 随之变得越来越“窄”（高不变），我们 可以想像，当AC的长度减小到某一个值时， C1C2褪化为一点，这时AC1和AC2都与高AD重 合,即△ABC2和△ABC1都是直角三角形，且 △ABC2≌△ABC1 A A
知识运用
例1：如图，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分 别为C、D，AC=BD,Rt△ABC与 Rt△BAD全等吗？为什么？
练一练：
1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，
将上述条件标注在图中，你能说明BC与 BD相等吗？
练一练：
2、已知：A B⊥AC，CD ⊥AC，AD＝CB， 问 △ABC 与△CDA全等吗?为什么？
专题探索三角形全等的条件(SSS和SAS)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。
北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件
BD=CE
10
练一练
如图，AB∥CD，AD∥BC，那么
AB=CD吗？为什么？
AD与BC呢？
D
Cபைடு நூலகம்
A
B
重要思路：两直线平行，可以找到等角.
11
练一练
如图，D在AB上，DF交AC于点E，DE＝FE， FC∥AB，若AB＝4，CF＝3， 则BD的长是( ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
D
9
练一练 如图，AD=AE，∠B=∠C，
请证明：BD=CE.
D B
A 证明:∵在△ABE和△ACD中，
∠B=∠C （已知）
E
∠A=∠A （公共角）
AE=AD （已知）
C ∴ △ABE≌△ACD（AAS）
∴ BD=CE （全等三角形对应边相等）
不是三角 形的边 ∴ AD=AE（全等三角形对应边相等）
北师大版七年级下册
第四章 三角形
1
复习
两个三角形全等的判定方法1：
三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.
用符号表达：
指明范围
A
在△ABC和△A′B′C′中，
三个条件
AB＝A′B′， AC＝A′C′，BC＝B′C′
B
∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)
写出结论
C A'
B'
C'
∴ △AOC≌△BOD ( ASA )
8
练一练 图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
A
在△ABC和△DBC中，
110
_∠__A_B__C_=_∠__DBC（已知）B ∠__A__=_∠__D__（__已知）
北师大版七年级下册数学 探索三角形全等的条件 课件
【思考】 判别三角形全等是不是还有其他方法呢?
新知讲解
【做一做】 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个 内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗？ 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）
拓展提高
4.如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE.
解：∵AD∥BC，BE∥DF，
∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
在ADF和△CBE中，
∵ ∠A= ∠C
AF=CE
∠DFA= ∠BEC
答：带1去，因为有两角且 夹边相等的两个三角形全等.
1 23
新知讲解
议一议 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？
你能将它转化为“做一做”中的条件吗？
新知讲解
【做一做】 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两 个内角分别是60°和80°，其中60°角所对的边为2cm。
新知讲解
【思考】如图所示，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B, △AOC与△BOD全等吗？
因为点O是AB的中点，所 以OA=OB.又已知∠A=∠B， 且∠AOC=∠BOD，所以 △AOC≌△BOD。
C
A
O
B
D
你能理解其中的意思吗？
新知讲解
【总结归纳】
利用两个三角形全等解决问题，先根据已知条件或要说明的结论确 定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什么条件，再去 说明什么条件，简言之：即综合利用分析法和综合法寻找解题的途 径．
探索三角形全等的条件北师大版
B
C
D
∴△ABC≌△DEF（SAS） E
F
A
D
数
学
语B 言
CE
在△ABC和△DEF中， AB= DE
F
表
∠B= ∠E
达 BC=EF
\ △ABC ≌△DEF （SAS）
分别找出各题中的全等三角形，
并说明理由。
A
B
40°
A
B
DC
D
C
(2)
A
A
B 图一
C
B
C 图二
“两边和其夹角”。
“两边和其中 一边的对角”
探究1： 两边及其夹角 作三角形,两边为15cm、10cm，夹角为450
并剪下,于同桌进行比较
画法：1、画∠MAN=45°； 2、在射线AM上截取AC=15cm； 3、在射线AN上截取AB=10cm； 4、连结BC。△ABC为所作三角形。
与同桌比较，能完全重合吗？
发现：
如果两个三角形有＿两＿边＿及其＿夹＿角＿对应相 等，那么这两个三角形全等。
是否只能是两边及其夹角呢？ 两边及一边对角行吗？
探究2： 两边及一边的对角 作三角形,两边为30cm、24cm,
24cm边对角为450
1、画∠MAN=45°； 2、在射线AM上截取AC=30cm； 3、以点C为圆心，24cm长为半径画圆，
E
_
A_
_C
_B
D
∴ EF=BC（ 全等三角形的对）应边相等
∠DEF =∠ABC （全等三角形的对应角相等）
∴ EF‖BC(内错角相等，两直线平行)
例：已知，如图AB =AC，AD = AE， ∠1 = ∠2.请判断线段CE与BD有什 么关系？并证明你的猜想.
北师大七级下册数学：.探索三角形全等的条件
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新课
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我的思考过程如下： 因为点O 是AB的中点，所以OA = OB. 又已知∠A = ∠B，且∠AOC = ∠BOD， 所以△AOC ≌ △BOD.
2021/4/17
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新课
做一做 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形
断AF和AG的关系是否相等，并说明理由．
解答：∵AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，
∴ AD=AE.
AB AC,
∴在△ABD和△ACE中，
BAD CAE, AD AE.
∴△ABD≌△ACE (SAS)．
∴∠ABD≌∠ACE.
F G,
在△ABF和△ACG中， ABF ACG,
∴△ABF≌△ACG (AAS)． AB AC.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等， 简写成 “角角边”或“AAS ” .
2021/4/17
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新课
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想一想 如图4-29所示，AB 与CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，∠A
= ∠B，△AOC 与△BOD 全等吗？为什么？
2021/4/17
30◦ 3cm
3cm
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新课
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（2）三角形的两个内角分别为30°和50° ；
30◦
50◦
30◦
50◦
2021/4/17
6
新课 （3）三角形的两条边分别为4cm，6cm.
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4cm 6cm
2021/4/17
4cm 6cm