排队理论(queueing theory)

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排队系统模型的基本组成部分
排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时 刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图 1 为一最简单的排队系统模型。 排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
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输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾 客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按 规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入 是指在时间 t 内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间 t 内到达 n 个顾客的概率为
在单队单服务台的情况下:
, 多队多服务台可看作是多个单队单服务台。在单队 k 个服务台的情况下:
，
三、超市收银台的优化设计
作为顾客来说，超市收银台越多越好越方便，而就超市经营者来说，增加收银台就要增加投 资。所以应该合理的规划收银台的数量，使得既不会因为收银台的数量过多而造成资源闲置浪
费，也不会因为收银台的数量过少而造成严重的排队现象。因此可对超市收银台进行管理和优化 设计。
Ls = Ls(C)
化简得：
(5)
通过计算机模拟依次算出 LS(1),LS(2),LS(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确 定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数 C 的最优解 C * 。
1.对超市布局进行合理规划，为顾客营造出温馨，简便的购物环境。让顾客在尽量短的时间 内买到自己想买的商品，提高单位时间内进出超市的客流量，这样既节省了顾客的时间，也使超 市增加了顾客的流量，从而使超市的经营效率得到了提高。对于大型的超市在恰当的位置增加导 购员使一种很好的方法。对于第一次来消费的顾客，导购员的指导就会大量的减少他们的漫无目 的的逗留时间。收银台前的管理也是非常重要的，尽量让等待的顾客按顺序排队，避免过分的拥 挤和混乱。
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排队系统问题的求解
研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措 施。通常评价排队系统优劣有 6 项数量指标。
①系统负荷水平 ρ ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度； ②系统空闲概率 P0：系统处于没有顾客来到要求服务的概率； ③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为 LS； ④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为 Lg； ⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为 WS； ⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为 Wg。M/M/1 排队系统是一种 最简单的排队系统。系统的各项指标可由图 2 中状态转移速度图推算出来（表 1）。其他类型的 排队系统的各种指标计算公式则复杂得多，可专门列出计算公式图表备查。现已开始应用计算机 仿真来求解排队系统问题。
或相继到达的顾客的间隔时间 T 服从负指数分布，即
式中 λ 为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ 为平均间隔时间。在排队论中， 讨论的输入过程主要是随机型的。 [编辑]
排队规则
排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾 客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服 务，或是随机服务和有优先权服务（如医院接待急救病人）。如果顾客来到后看到服务机构没有 空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数 的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。
所以招收收银员时要适当考虑收银员的资历和形象，要对收银员的爱岗敬业精神和职业技能 加强培训。要定期对收银员进行考核或开展职业技能方面的竞赛。要及时掌握收银员的工作状 态、业务水平及相关资料，这不仅是对员工进行科学管理的需要，这些资料可以反映收银员的工 作强度，对于管理与优化都是非常重要的数据资料。
3.尽量采用单队多服务台的排队规则，提高工作效率。
X 处填写相继到达间隔时间的分布；
Y 处填写服务时间分布;
Z 处填写并列的服务台数目。
各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k 阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-
一般随机分布等。这里 k 阶埃尔朗分布是指
为相互独立且服从相同指数分布
的随机变量时， 服从自由度为 2k 的 χ2 分布。例如,M/M/1 表示顾客相继到达的间隔时间 为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。D/M/C 表示顾客按确定的间隔时 间到达、服务时间为负指数分布和 C 个服务台的模型。至于其他一些特征,如顾客为无限源或有 限源等，可在基本分类的基础上另加说明。
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服务机构
可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。服务时间 一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）时间是相 同的，因而是确定型的。而随机型服务时间 v 则服从一定的随机分布。如果服从负指数分布， 则其分布函数是
式中 μ 为平均服务率，1/μ 为平均服务时间。 [编辑]
2.加强培训，提高收银员的基本素质。收银台是超市中顾客接触最多的地方。可以说是超市 的窗口，收银员的素质和服务质量直接影响超市的形象。如果超市位于社区内，顾客都是些老客 户，他们知道哪个收银员的收银速度比较快，服务态度好，可能就会在她的通道内排队的顾客比 较多，从而导致其他的收银员暂时的资源闲置。这样也不利于超市经营者的管理。
排队论
排队论(Queuing Theory)
目录
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1 排队论简介

2 排队系统模型的基本组成部分
o
2.1 输入过程
o
2.2 排队规则
o
2.3 服务机构

3 排队系统的分类

4 排队系统问题的求解

5 排队论的应用

6 排队论的案例分析
o
6.1 排队论案例一：超市收银台[1]
o
6.2 排队论案例二：汽车售后服务[2]
在超市排队系统中，输入过程服从泊松分布，从理论来说，采用单队多服务台的排队规则比 采用多队多服务台的工作效率高。以有三个收银台的超市为例，设顾客的平均到达率为 λ = 0.9(人)，平均服务率为 μ = 0.4(人)，如果按多队多服务台的排队规则进行排队，则约有 75%的顾 客需要排队等待付款，平均等待时间约为 7 分钟。而按单队多服务台的排队规则进行排队，则 只有约 57%的顾客需要排队，平均等待时间不到 2 分钟。
排队系统的分类
如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种 类型。因此只能按主要特征进行分类。一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的 分布和服务台数目为分类标志。现代常用的分类方法是英国数学家 D.G.肯德尔提出的分类方 法，即用肯德尔记号 X/Y/Z 进行分类。
4.诚信经营。在现在的市场经济条件下，谁占有了消费者的购买信心，谁就占有了市场。所 以，超市经营者一定要诚信经营，让消费者在超市消费时，没有后顾之忧。使消费者相信他选中 的这个超市是可以长期合作的。这样消费者和经营者就达到了和谐。
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排队论案例二：汽车售后服务[2]
当今排队论研究的内容包括 3 个方面：系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的 合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。利用排队论的 知识来解决汽车售后服务中的排队论问题。
1.排队模型的建立
假设客户平均到达率为 λ，单个服务台的平均服务率（表示单位时间被服务完的顾客数）为
μ，整个服务机构的平均服务率为 Cμ，系统的服务强度
时才不会排成无限的队
列，Pn(c)为 C 个服务台任意时刻系统中有 n 个顾客的概率；当到达率为\lambda，服务率为 Cμ 的过程达到稳态时，可得

7 参考文献
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排队论简介
研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理 论，为运筹学的一个分支。
日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现 象。排队论的基本思想是 1910 年丹麦电话工程师 A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形 成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型， 并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自 20 世纪初以来，电 话系统的设计一直在应用这个公式。30 年代苏联数学家 А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流 称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析 了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50 年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、 英国数学家 D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定 了理论基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队 问题。70 年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论 的新趋势。
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排队论的应用
排队论已广泛应用于交通系统、港口泊位设计、机器维修、库存控制和其他服务系统。表 2 中列出排队论的应用。
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排队论的案例分析
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排队论案例一：超市收银台[1]
一、超市收银台 随着市场经济的不断发展，城镇里的超市越来越多。在激烈的市场竞争中，如何提高经营效 益、吸引更多的顾客是超市经营商最关心的问题。收银台是超市的服务窗口，不仅能够反映超市 的形象更与超市的服务质量和经营效率密切相关。收银员的形象、服务态度、职业技能等固然重 要，而收银台的管理与优化也与不容忽视。顾客选择超市的标准，不仅是价廉物美的商品，也有 服务质量。收银台前排队成龙的超市显然不是人们希望的购物环境，多数人宁愿放弃或者稍微走 远一点去购物也不愿意在拥挤中排队等待。尤其是一些成功人士，他们宁愿多花点钱也不愿意排 队，对于他们来说时间就是金钱。在商品的质量和价格基本相同的条件下，服务质量才是竞争的 焦点。前者可以通过采购环节加以控制，而后者只有通过收银台的增减与管理加以调节。就超市 经营者而言，增加收银台就意味着增加投资，有时还有可能发生资源空闲浪费的现象；而收银台 太少，排队现象就会严重，影响服务质量，造成客源流失。