高一数学题 (2)
高一数学必修2精选习题与答案
（数学2必修）第一章 空间几何体 一、选择题1．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:92．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） A. 23 B. 76C. 45D. 563．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:14．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:95．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm π，212cm πB. 215cm π，212cmπC. 224cm π，236cm πD. 以上都不正确二、填空题1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。
2.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 . 3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.5．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。
三、解答题1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱， 求圆柱的表面积65P ABCVEDF2．如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组] 一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
2022-2023学年河南省信阳市高中高一上学期1月测试(二)数学试题(含解析)
信阳市高中2022-2023学年高一上学期1月测试（二）数学试题一、单选题（每小题5分，8小题，共40分）1.已知集合{(,)2,,N}A x y x y x y =+≤∈∣，则A 中元素的个数为 A. 4 B. 5C.6D.无数个2.若对于任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，例如1,[ 1.6]2,==-=-那么“[x]=[y]”是“||1x y -<”的A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，2()1xf x x -=+，则(1)1f x -<的解集为A.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.13,,22∞∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.函数3y =5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则A.()()()161718f f f <-<B.()()()181617f f f <<-C.()()()161817f f f <<-D.()()()171618f f f -<<6.若两个正实数×，J 满足x y xy +=且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是A.(1,4)-B.(4,1)-C.(,4)(1,)-∞-⋃+∞D.(,3)(0,)-∞-⋃+∞7.若不等式2212(1)3log (1)log 3,(,1)3x xa x x ++-≥-∈-∞恒成立，则实数a 的范围是A. [0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a （0<a<r ）的弧度数为（ ）. A.3π B.2π二、多选题（每小题5分，4小题，共20分）9.设函数()2()ln 1f x x x =-+，则下列命题中正确的是（ ） A. 函数()f x 的定义域为R B.函数()f x 是增函数C. 函数()f x 的值域为RD.函数()f x 的图像关于直线12x =对称 10.已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A.当k>0时，有3个零点B.当k<0时，有2个零点C.当k>0时，有4个零点D.当k<0时，有1个零点11.已知正实数a ，b 满足a b mab n +=+，则下列结论中正确的是（ ） A.若1,0m n ==，则4ab ≥ B.若1,0m n ==，则4a b +≤ C.若0,1m n ==，则1221a b b +≥++D.若1,1m n ==-，则2a b +≥12.已知正数, , x y z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（ ）A. 1112x y z +=B. 346x y z >>C. 22xy z >D.x y z +>⎝ 三、填空题（每小题5分，4小题，共20分）13.函数y =的定义域为.14.设函数322(1)()1x x f x x ++=+在区间[2,2]-上的最大值为M ，最小值为N ，则2022(1)M N +-的值为.15.已知tan 2θ=，则sin cos 2sin cos θθθθ-=+.16.若函1()1(0,1) x f x a a a -=->≠且在区间3(21),2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数a的取值范围是.四、解答题17.已知函数e 1()e 1x x f x -=+（1）判断函数()f x 的奇偶性并加以证明；（2）x ∀∈R ，不等式()22(21)0f ax f x ++->成立，求实数a 的取值范围.18.设函数21y mx mx =--.（1）若对任意x ∈R ，使得0y <成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于任意[1,3],5x y m ∈<-+恒成立，求实数m 的取值范围.19.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x （单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好：当07x ≤<时，y 和x 的关系为以下三种函数模型中的一个：①2y ax bx c =++；②1) (0x y k a a a =⋅>≠，且；③log ( 01)a y k x a a =>≠，且；其中,,,k a b c 均为常数.当7x ≥时，13x my -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m 为常数.研究过程中部分数（1）指出模型①②③中最能反映y 和(07)x x ≤<关系的一个，并说明理由； （2）求出y 与x 的函数关系式；（3）求该新合金材料的含量x 为多少时，产品的性能达到最佳.20.已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=.（1）求函数()22()y f x f g x =⋅+在[1,4]上的零点；（2）若函数()[()1]()h x f x g x k =+⋅-在[1,4]上有零点，求实数k 的取值范围.21.已知函数1()21x f x a =+-是奇函数 （1）求a 的值；（2）若[()1]ln 0f x x -⋅<，且1x >求x 的取值范围22.已知函数()4,()3af x xg x kx x=+-=+ （1）对任意的[4,6]a ∈，函数()f x 在区间[1,]m 上的最大值为|()|f m ，试求实数m 的取值范围；（2）对任意的[1,2]a ∈，若不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-任意()1212,[2,4]x x x x ∈<恒成立，求实数k 的取值范围.信阳市高中2022-2023学年高一上学期1月测试（二）数学答案1. C解：{(,)2,,N}{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A x y x y x y =+≤∈=∣. 故集合A 中含有6个元素；故选：C 2.A解：如果[][],x y n n Z ==∈，则有1212,,,[0,1)x n d y n d d d =+=+∈，12||1x y d d ∴-=-<，所以[][]x y =是||1x y -<的充分条件；反之，如果||1x y -<，比如 3.9, 4.1x y ==，则有||0.21x y -=<，根据定义，[]3,[]4,[][]x y x y ==≠，即不是必要条件，故[][]x y =是||1x y -<的充分不必要条件；故选：A. 3.D解2(1)33()1,()111x x f x f x x x x --++===-++++在[0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，1111,(1)1,(|1|),|1|222f f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-<∴-<∴-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得12x <或32x >，(1)1f x ∴-<的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.4. A解：函数3y =1x ≠±当2x =时，30y ==>，可知选项D 错误；当2x =-时，3y ==<，可知选项C 错误；当12x =时，3110y ⎛⎫-⎪==<，可知选项B 错误。
高一数学必修2习题(答案详解)
高一数学必修2习题(答案详解)高一数学必修2习题(答案详解)一、选择题1. 题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B的最小值是（）选项：A. 0B. 1C. 2D. 3解析：集合A和集合B的交集即为A∩B。
在这里，A和B的交集为{3, 4}，共有两个元素。
因此，答案为C. 2。
2. 题目：若sinθ=1/2，θ∈（0, π），则cosθ的值为（）选项：A. 1/2B. -1/2C. √3/2D. -√3/2解析：根据三角函数的定义，sinθ=对边/斜边。
在这里，sinθ=1/2，代表一个直角三角形中，对边的长度是斜边长度的一半。
根据勾股定理，可知另外一个边的长度为√3/2。
因此，cosθ=邻边/斜边=√3/2。
答案为C. √3/2。
二、填空题1. 题目：已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A 和事件B同时发生的概率为0.3，则事件A和事件B互不独立。
事件A的补事件的概率是（）。
解析：事件A的概率为0.6，补事件即为事件A不发生的概率，即1-0.6=0.4。
2. 题目：已知函数y=2x-1，若x=3，则y的值为（）。
解析：将x=3代入函数中，得到y=2*3-1=5。
三、计算题1. 题目：已知函数y=2x+3，求当x=1时，y的值。
解析：将x=1代入函数中，得到y=2*1+3=5。
2. 题目：已知函数y=3x^2-2x+1，求当x=2时，y的值。
解析：将x=2代入函数中，得到y=3*2^2-2*2+1=13。
四、解答题1. 题目：求解方程2x-5=7。
解析：将方程两边都加上5，得到2x=12。
再将方程两边都除以2，得到x=6。
因此，方程的解为x=6。
2. 题目：求解方程3x^2-5=0。
解析：将方程两边都加上5，得到3x^2=5。
再将方程两边都除以3，得到x^2=5/3。
对方程两边取平方根，得到x=±√(5/3)。
因此，方程的解为x=±√(5/3)。
高一数学期末模拟卷2
重庆外国语学校（分校）高一期末考试模拟试题（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8个小题，每题5分，共40分，每题只有一个正确答案）1．已知命题2:5,210p x x x ∃>-+>，则p ⌝为（）A ．25,210x x x ∀≤-+≤B ．25,210x x x ∀>-+≤C ．25,210x x x ∃>-+≤D ．25,210x x x ∃≤-+>2．已知角α的终边经过点(M -，则cos α=（）A B C ．D ．3．已知集合{}2log 1A x x =≤，{}31xB y y ==+，则A B = （）A ．[]1,2B ．(]1,2C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦4．“sin 1θ=”是“2πθ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题不正确的是（）A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()2,3内D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内6．已知0.32=a ,3log 2b =,5log 2c =,则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．b c a >>7．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（）（参考数据：lg30.4771≈，lg 50.6990≈，lg11 1.0414≈）A ．3分钟B ．5分钟C ．7分钟D ．9分钟8．已知函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，则12m n+的最小值为（）A ．8B ．24C ．4D ．6二、多选题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，每题有多个正确答案，错选或不选得0分，漏选得2分）9．下列选项正确的是（）A ．3sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．5rad 7512π=︒C ．若α终边上有一点()43P ,-，则4sin 5α=-D ．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为6π10．己知函数()22xf x x =+，下列关于()f x 的性质，推断正确的有（）A ．函数是偶函数B ．函数()f x 与()2f x -的值域相同C ．()f x 在()0,1上递增D ．()f x 在[]1,2上有最大值1311．已知函数()f x 的定义域为R ，若对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且0x <时，()0f x >，则()A ．()210f a a ---<B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 在R 上为减函数D ．不等式()()220f x f x +-<的解集为{}02x x <<12．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，令()()h x f x k =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间为()1,-+∞B ．当(),4k ∈-∞-时，()h x 有1个零点C ．当(]43k ,∈--时，()h x 有3个零点D ．当2k =-时，()h x 的所有零点之和为1-第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分。
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题(二)(含答案解析)
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}log 2,1x B y y x ==>，则A B = （）A ．{}0y y >B ．{}01y y <<C ．{}01y y <≤D ．∅2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð3．设ln 3a =，1log 3eb =，23c -=，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b >>D ．c b a>>4．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－15．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-6．若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称8．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知[0]:,1p x ∀∈,不等式2223x m m -- 恒成立,:[1,3]q x ∃∈,不等式24x ax -+ 0,则下列说法正确的是()A ．p 的否定是:[]00,1x ∃∈,不等式20223x m m-<-B ．q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+C ．p 为真命题时,12mD ．q 为假命题时,4a <10．下列命题正确的是（）A ．函数y =的定义域为[3,)+∞B ．函数421x x y =++的值域为(1,)+∞C ．已知23a b k ==（1k ≠），且121a b+=，则实数8k =D ．2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称11）A B ．22cossin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒12．设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减三、填空题13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________.14．已知4sin cos 3αα-=，则sin cos αα=__________．15．已知函数()cos f x x x =+，对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立，则0sin x =_____．16．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．四、解答题17．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.18．计算(1)已知tan 3α=．求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．(2)计算()sin 501︒+︒．19．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x （单位：千部）手机，需另投入可变成本()R x 万元，且()210200800,040,81008018500,40.x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）(1)求2023年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？20．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为412,513，求cos α和sin β的值；(2)在（1）的条件下，求cos()a β-的值．21．已知函数π()2.4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若函数()()g x f x m =-在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．22．设函数f (x )=ax -a -x (x ∈R ，a >0且a ≠1).（1）若f (1)<0，求使不等式f (x 2+tx )＋f (4-x )<0恒成立时实数t 的取值范围；（2）若3(1)2f =，g (x )=a 2x ＋a -2x -2mf (x )且g (x )在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m 的值.参考答案：1．A【分析】根据对数的性质确定集合A 、B ，再应用集合的交运算求结果.【详解】由(1,)x ∈+∞，则2log 0y x =>，故{|0}A y y =>，由x 趋向于1时21log 2log x y x ==趋向正无穷大，x 趋向于+∞时21log 2log x y x==趋向0，故{|0}B y y =>，所以A B = {}0y y >.故选：A 2．C【分析】根据交并补的概念和韦恩图判断即可.【详解】A 选项：()M P S = ⑤，故A 错；B 选项：()M P S = ③⑤⑥⑦⑧，故B 错；C 选项：M P ⋂=③⑤，U S =ð①②③④，所以()U M P S = ð③，故C 正确；D 选项：()U M P S = ð①②③④⑤，故D 错.故选：C.3．C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】ln 3ln 1a e =>=Q ，11log 310eeb log =<=，2139c -==，a c b ∴>>．故选:C .【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．4．D【分析】先将22222x xx-+-转化为11[(1)]21xx-+-，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.【详解】22211[(1)] 2221 x x xx x-+=-+--又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴11[(1)]12(1)xx---+≤---．当且仅当x－1＝11x-，即x＝0时等号成立．故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5．C【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得sinα，再次利用诱导公式可求得结果.【详解】33 sin cos25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos5α∴=-，又α是第三象限角，4sin5α∴=-，20214cos sin25παα⎛⎫∴+=-=⎝⎭.故选：C.6．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：() sin cos cos sin cos cos sin sin2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos0αβαβ-+-=所以()tan1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ++（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin cos =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C.7．B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．A【分析】先判断出函数()y f x =是R 上的增函数，把()()2sin cos 0f f αα-+>转化为sin cos αα<，即可求出锐角α的取值范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数.由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，所以由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-.∵函数()y f x =是R 上的增函数.∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A 9．ACD【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题【详解】p 的否定是:0[0,1]x ∃∈,不等式20223x m m -<-，A 正确q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+>，B 错误若p 为真命题,则2min [0,1],(22)3x x m m ∈--,即2320m m -+ 解得12m，C 正确若q 为假命题,则2[1,3],40x x ax ∈-+>恒成立即4a x x<+恒成立因为44x x += ,当且仅当4x x =,即2x =取等所以4a <，D 正确故选：ACD 10．ABD【分析】对于A ，直接根据表达式求定义域即可；对于B ，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C ，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D ，根据反函数定义以及性质即可求解.【详解】对于A ，因为3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥，即定义域为[)3,∞+，正确；对于B ，令2xt =，()0,t ∞∈+，则原式可变为2213()124f t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()0,t ∞∈+，则1122t +>，2131312444t ⎛⎫++>+= ⎪⎝⎭，即()1f t >，即421x x y =++的值域为(1,)+∞，B 正确；对于C ，由23a b k ==，根据指对互换法则，得2log k a =，3log k b =，则由121a b+=可得2312log 22log 3log 2log 9log 181log log k k k k k k k+=+=+==，解得18k =，则C 错误；对于D ，根据反函数定义可知，2x y =与2log y x =互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线y x =对称，正确.故选：ABD 11．AB【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：选项A sin 60==︒=；选项B ：22cos sin cos121262πππ-==；选项C ：()1cos15sin 45sin15cos 45sin 4515sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=；选项D ：22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 152236︒︒=⨯=︒=⨯=-︒-︒.故选：AB.12．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围.【详解】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立.①当0k =时，则有30≠，合乎题意；②当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<.综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．718-【分析】将已知条件两边平方，结合同角三角函数的平方关系即可求值.【详解】由22216(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα-=-+=-=，所以7sin cos 18αα=-.故答案为：718-15【分析】对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得0x ，再计算其正弦值．【详解】1()cos 2(sin cos )2sin()226f x x x x x x π=+=+=+,对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值,所以0262x k πππ+=+，Z k ∈，023x k ππ=+，Z k ∈，0sin sin(2sin 33x k πππ=+==．16．π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：π417．（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立.②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ .当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈- .18．(1)4(2)1【分析】(1)先用诱导公式化简，再用同角三角函数的商数关系转化，代入tan 3α=即可求解;(2)用诱导公式化简和同角三角函数的商数关系化简求解.【详解】（1）解：()()πsin 3sin πcos 3sin 13tan 133243πsin cos tan 131cos cos 5π2αααααααααα⎛⎫+++ ⎪---⨯⎝⎭===-+-+-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（2）sin 501sin 50︒︒⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭原式2sin 5012sin 50cos50cos10cos1022cos10︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin100cos101cos10cos10︒︒︒︒===19．(1)()2106001050,040,81008250,40.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；(2)90，8070万元.【分析】（1）()()800250W x x R x =--代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）()()()2280025010200800106001050,040,800250810081008250,40.8002508018500x x x x x x W x x R x x x x x x x ⎧--++⎧-+-<<⎪⎪=--==⎨⎨⎛⎫--+≥--+⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩（2）2106001050,040y x x x =-+-<<，当30x =时，max 7950y =；8100825082508070y x x ⎛⎫=-++≤-= ⎝⎭，当且仅当90x =时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元20．(1)3cos 5α=，12sin 13β=(2)3365【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sin α和sin β，进而求得cos α；（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．【详解】（1）解：∵1OA =，1OB =，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴4sin 5α=，12sin 13β=，又∵α为锐角，∴cos α＝35．（2）解：∵β为钝角，∴由（1）知cos β=＝－513，∴5312433cos()cos cos sin sin 13513565a ββαβα-=+=-⨯+⨯=．21．(1)π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)⎡-⎣.【分析】（1）利用正弦型函数的性质求函数的增区间；（2）将问题化为()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点有2个，结合正弦型函数性质求()h x 的区间端点值，即可确定参数范围.【详解】（1）令222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，解得π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈故()f x 的单调递增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数等于()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点个数．因为π3π,244x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈，所以ππ5π2,434x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ242x -=，3π8x =时，则()h x 在π3π,248⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[3π8，3π4]上单调递减．所以()max 1h x =，π3π24242h h ⎛⎫⎛⎫-=-<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以124m -≤<，即m 的取值范围为⎡-⎣.22．（1）35t -<<；（2）2.【分析】(1)由f (1)<0导出01a <<，再探讨函数f (x )的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；(2)由3(1)2f =求出2a =，借助换元的思想将函数g (x )转化成二次函数问题即可作答.【详解】（1）()1110f a a a a -=--<=，即210a a-<，而0a >，则210a -<，解得01a <<，显然()f x 在R 上单调递减，又()()x x f x a a f x --=--=，于是得()f x 在R 上是奇函数，从而有()()24f x tx f x ++-<0等价于()()()244f x tx f x f x +<--=-，由原不等式恒成立可得24x tx x +>-，即()2140x t x +-+>恒成立，亦即()21440t ∆=--⨯<，解得：35t -<<，所以实数t 的取值范围是：35t -<<；（2）()1211132a a a a f a a ---====-，即22320a a --=，而0a >，解得：2a =，所以()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+，令22x x t -=-，显然22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增，则1322222x x t -=-≥-=，()222h t t mt =-+，对称轴为t m =，当32m ≥时，()()22min 222h t h m m m ==-+=-，解得2m =或2m =-(舍)，则2m =，当32m <时，()2min 33317()()22322224h t h m m ==-⋅+=-=-，解得：253122m =>不符合题意，综上得2m =，所以实数m 的值为2.。
高一数学必修2练习题2
高一数学必修2练习题（二）2.1空间点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质A 组题（共100分）一、选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有四个命题：a) 直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b a ,相交，则平面α与β重合b) 直线b a ,共面，直线c b ,相交，则直线c a ,共面。
c) 直线a 在平面α内，,b =βα a 与b 平行，则a 与面β没有公共点d) 有三个公共点的两个平面一定重合以上命题中错误命题的个数是（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2、已知0//,//,30AB PQ BC QR ABC ∠=，则PQR ∠等于（ ）A 030B 0030150或C 0150 D 以上几个都不对3、如果直线//a 直线b ，且a//平面α，那么b 与α的位置关系是（ ）A 相交B //b αC b α⊂D //b αα⊂或b4、下列语句中，正确的个数为 （ ）（1）一条直线和另一条直线平行，它和经过另一条直线的任何平面平行（2）一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的任何直线平行（3）过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条（4）平行于同一个平面的两条直线互相平行A 0B 1C 2D 35、如右图，ABCD--1A 1B 1C 1D 是正方体，N M H G F E ,,,,,分别为所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）)(A GH 和MN 为平行直线，GH 和EF 为相交直线)(B GH 和MN 为平行直线，MN 和EF 为相交直线)(C GH 和MN 为相交直线，GH 和EF 为异面直线)(D GH 和EF 为异面直线，MN 和EF 也是异面直线二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6、已知b a ,是两条异面直线，a 上有三个点，b 上有两个点，这些点可确定 个平面7．不共线的三个平面两两相交，可将空间分成 个部分．8、在正方体1AC 的六个表面中，与AC 异面组成060角的对角线共有 条。
高一数学练习题2
高一数学练习题（2）2009.10.22一、选择题：1、下列集合为空集的是（ ）A ．{x ∈N|x 0≤}B ．{x|x 2-1=0}C ．{x|x 2+x+1=0}D ．{0}2、下列函数中与y = - x 是同一函数的是（ ）A ．y = 2x x - B ．y= -C ．y=D ．y= 23y = x 2 + 3x-5的值域是（ ）A ．RB ．[0,+ ∞)C ．[-7,+ ∞)D ．[-5,+ ∞)4、函数f(x)=(a 2-1)x+3a 是一次函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≠B ．1a ≠-C ．1a ≠±D ．a R ∈5、函数y= x- 1x在[1,2]上的最大值为（ ） A ．0 B ．32C ．2D ．3 6、函数f(x)= 26,[1,2]7,[1,1]x x x x +∈⎧⎨+∈-⎩,则f(x)的最大值、最小值为（ ） A ．10，6 B ．10，8 C ．8，6 D ．以上都不对7、函数f(x)=(x-1) 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数8、已知函数f(x)= ax 3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=( )A ．-26B ．-18C ．-10D ．109、函数f(x)= 22,(1),(12)2,(2)x x x x x x +≤-⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩，若f(x)=3，则x 的值是（ ）A ．1 B． C ．32,1 D10、若函数f(x)=2x 2-mx-3在区间（- ∞，-2]上是减函数，则f(1)的（ ）A ．最小值为7B ．最大值是7C ．值恒等于7D ．值恒小于711、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x),则f(6)的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．212、如果函数f(x)= x 2+bx+c 对任意实数上都有f(2+t)=f(2-t)，那么（ ）A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)二、填空题： 13、函数y =1x+的定义域为____________________. 14、若函数f(x)=kx 2+(k-1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是____________________.15、二次函数y = -x 2 + bx + c 的图象的最高点为(-1,-3)，则b+c= _____________.16、函数y=f(x)在定义域（-1，1）上单调递减函数，且f(1-a)<f(a 2-1),则a 的取值范围是___________________.三、解答题：17、已知全集U={x|53x -≤≤},A={x|51x -≤<},B={x|11x -≤<},求C U A,C U B, (C U A )⋂(C U B),( C U A) ⋃(C U B), C U (A ⋂B), C U (A ⋃B),并指出其中相等的集合.18、已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)+g(x)=11x-,求f(x),g(x).19、画出下列两个函数图象：（1）、f(x)=0,1,1xx x<⎧⎨≥⎩(2)、g(x) = x|x-2|20、已知二次函数f(x)满足f(2)= -1,f(-1)= -1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.21、设函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 的图象关于y 轴对称，它的定义域为[a-1,2a](a,b ∈R),求f(x)的值域.22、函数f(x)= 21ax b x ++是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25（1）、确定函数f(x)的解析式；（2）、用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数；（3）、解不等式.f(t-1)+f(t)<0.。
高一数学必修1第二章试题(2)
高一数学必修1第二章试题(2)一、选择题：1.下列:f A B →能构成一一映射的是（ ） A 3:,,x y x f R B R A =→==，A x ∈B A ＝R ，B ＝{x ∈R ∣x ≥0 }，对应法则是“求平方C}1,0{,*==B N A ，对应法则:f x x →除以2得的余数； D 1,13},{3,5,7,9,1B {1,2,3,4},A ==A x x y x f ∈+=→,12: 2.下列各组中表示同一函数的是（ ）A 2x y x y ==与B 22)x (==y x y 与C 1-1-12x x y x y =+=与 D 1-(t)1-x (x )22t g f ==与3.为了得到322+-=x x y 的图像，只需将2x y =的图像（）A 向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 4.设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A －1,1B ． 1,3C ．－1,3D ．－1,1,35.若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则bx ax y +=2在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增6.已知奇函数f(x)对任意的正实数a,b 总有()()0f a f b a b->-则一定正确的是 ( )A ．f(4)>f(－6)B ．f(－4)<f(－6)C ．f(－4)>f(－6)D ．f(4)<f(－6)7.2()log (1)f x x =+对于函数在区间[14-，4]上，以下判断正确的是（ ） A.211()(4)0,()log (1),4]44f f f x x -⋅>=+满足所以函数在区间[-上没有零点 B.211()(4)0,()log (1),4]44f f f x x -⋅<=+满足所以函数在区间[-上没有零点 C.211()(4)0,()log (1),4]44f f f x x -⋅<=+满足所以函数在区间[-上有零点 D.211()(4)0,()log (1),4]44f f f x x -⋅>=+满足所以函数在区间[-上有零点 8.设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）9. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A. )2()1()23(f f f <-<-B. )2()23()1(f f f <-<-C. )23()1()2(-<-<f f fD. )1()23()2(-<-<f f f10. 已知函数f(x)=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤4二、填空题11. 设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =12. 若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = .13. 计算机成本不断降低,若每隔两年计算机成本价格降低13，那么现在成本价格为8100元的计算机, 年后该计算机的成本价格为1600元.14.写出函数x x y 62-2+=在定义域为3}x 0|Z {x ≤≤∈的值域___________ 三.解答题：15. 二次函数)()(x g x f 与的图像开口大小相同，开口方向相同，若)(,)1(2)(2x f x x g +-=的顶点是（-3，2），求)(x f 的解析式。
高一数学试题2参考答案
高一数学试题参考答案一、填空题（14小题，共70分）1．A l ∈ ,l α⊄ 2． 4 3． 724．①②③ 5．6． 120° 7． 3x+6y-2=0 8． 1 9． 310． 2 11．x+y=2或y=x 12．9x-5y-6=0 13．)43,1[-- 14．65 二、解答题（6大题,共90分）15. (本题14分) 解：(1)3x+y-1=0 ………………7分 (2)22 ………………7分 16. (本题14分)解：因为)(134434213421333cm R V ≈⨯⨯=⨯=ππ半球 ………………5分 )(2011243131322cm h r V ≈⨯⨯==ππ圆锥 ………………10分因为圆锥半球V V <所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子． ………………14分17．(本题15分)证明（1）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点， ∴OE∥AP， ………………4分 又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA∥平面BDE ． ………………7分 （2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ， ………………10分 又∵AC ⊥BD ，且AC PO=O∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， ………………13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE ． ………………15分 18．(本题15分)解：（Ⅰ）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则⎩⎨⎧=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ⎩⎨⎧=+=-0n m 23n m ，解得1m -=，2n =． ………………6分即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+． ………………9分（Ⅱ）设圆的半径为R ，则222)554(d R +=，其中d 为弦心距，53d =，可得5R 2=，故所求圆的方程为5y x 22=+． ………………6分 19．(本题16分) (1)证明：由l 2：2x +a 2y －2a 2－4=0变形得a 2(y －2)+ 2x －4=0 …………3分 所以当y=2时，x=2 …………………………………………………4分 即直线l 25分(2)如图…………………8分(3)直线l 1与y 轴交点为A(0,2-a )，直线l 2与x 轴交点为B(a 2+2,0)，如下图由直线l 1：ax －2y －2a +4=0知，直线l 1也过定点C(2,2) …………10分 过C 点作x 轴垂线，垂足为D ，于是S 四过形AOBC =S 梯形AODC +S △BCD …………………11分=2212)22(212⋅+⋅+-a a=42+-a a ………………………13分∴当a =21时，S 四过形AOBC 最小.………………15分故当a =21时，所围成的四边形面积最小。
高一数学(必修二)向量的加法运算练习题(附答案)
高一数学（必修二）向量的加法运算练习题(附答案)一、选择题1.下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c)＝(a ＋c)＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →．A.②③B.②C.①D.③2.在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( )A.四边形ABCD 是矩形B.四边形ABCD 是菱形C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形3.若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示() A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 kmC.向北偏东60°方向航行2 kmD.向东北方向航行(1＋3)km4.已知向量，a ，b 均为非零向量，则下列说法不正确的个数是( )①向量a 与b 反向，且|a|＞|b|，则向量a ＋b 与a 的方向相同；②向量a 与b 反向，且|a|＜|b|，则向量a ＋b 与a 的方向相同；③向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同．A.0B.1C.2D.35.CB →＋AD →＋BA →等于( )A.DB →B.CA →C.CD →D.DC →6.向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →7.(多选)下列各式一定成立的是( )A.a ＋b ＝b ＋aB.0＋a ＝aC.AC →＋CB →＝AB →D.|a ＋b|＝|a|＋|b|8.(多选)对于任意一个四边形ABCD ，下列式子能化简为BC →的是( )A.BA →＋AC →B.BD →＋DA →＋AC →C.AB →＋BD →＋DC →D.DC →＋BA →＋AD →9.已知有向线段AB →，CD →不平行，则( )A.|AB →＋CD →|>|AB →|B.|AB →＋CD →|≥|CD→| C.|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →| D.|AB →＋CD →|<|AB→|＋|CD →| 二、填空题10.设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是________．(填序号)①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0．11.如图，在平行四边形ABCD 中，DA →＋DC →＝________12.如图，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ．绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________ N ，方向为________13.如图所示，已知在矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c|＝________．三、解答题14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP →＋CQ →＝0．求证：AP →＋AQ →＝AB →＋AC →．15.在长江某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？16.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：②错误，AB →＋BA →＝0，①③正确．2.D 解析：由AC →＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等，故四边形ABCD 为平行四边形．3.B 解析：AB →＝a 表示“向东航行1 km ，BC →＝b 表示“向北航行 3 km ”，根据三角形法则，∴AC →＝a ＋b ，∵tan A ＝3，∴A ＝60°，且AC →＝(3)2＋12＝2(km)，∴a ＋b 表示向北偏东30°方向航行2 km ．4.B 解析：对于②，向量a ＋b 与b 的方向相同，故②说法不正确．分析知①③说法正确．5.C6.D 解析：原式＝(AB →＋BM →)＋(PB →＋BO →＋OP →)＝AM →＋0＝AM →．7.ABC 解析：A ，B ，C 项满足运算律及运算法则，而D 项向量和的模不一定与向量模的和相等，需满足三角形法则．8.ABD 解析：在A 中，BA →＋AC →＝BC →；在B 中，BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在C 中，AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；在D 中，DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →． 9.D解析：由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|，等号在a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.二、填空题10.答案：③ 解析：单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确．11.答案：DB →12.答案：123，竖直向上解析：以OA ，OB 为邻边作平行四边形BOAC ，则F 1＋F 2＝F ，即OA →＋OB →＝OC →，则∠OAC ＝60°，|OA →|＝24，|AC →|＝|OB →|＝12，∴∠ACO ＝90°，∴|OC →|＝123．∴F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上． 13.答案：8 3解析：a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →．如图，延长BC 至E ，使CE ＝BC ，连接DE ，∵CE →＝BC →＝AD →，∴CE AD ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC →＝DE →，∴AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →，∴|a ＋b ＋c|＝|BE →|＝2|BC →|＝2|AD →|＝83．三、解答题14.证明：∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →．又∵BP →＋CQ →＝0，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →．15.解：如图，AB →表示水速，AC →表示渡船实际垂直过江的速度，以AB 为一边，AC 为对角线作平行四边形，AD→就是船的速度．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°.所以渡船的航向为北偏西30°.16.解：如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则 CE →＋CF →＝CG →．易得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°． ∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53，|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5． ∴A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N ．。
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1. 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车４次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低.2. 一家饮料厂商专营甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加１份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是1L 甲种饮料得3元,1L 乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？3、已知数列{a n }的前n 项和公式12)2(2n n S n +=π.求证{a n }是等差数列,并求出首项和公差.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.5. 在等比数列}{n a 中，S n 为其前n 项的和。
设28,4,0142=-=>a S a a n .求nn a a 3+的值。
6. 有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.7. 若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ，第n 项等于m(其中m ≠n)，求数列{x n }的前m ＋n 项的和。
3、证明： (1)a 1=S 1=4π, a n =S n －S n –1=12π(4n －1) (n ≥2),且当n=1时,a 1=4π=S 1, ∴a n =12π(4n －1) (n ∈N). ∵a n+1－a n =12π[4(n －1)－1]－12π(4n －1)=3π,∴{a n }是以4π为首项,3π为公差的等差数列.4、解： (Ⅰ)依题意,有 02)112(1212112>∙-⨯+=d a S 02)113(1313113<∙-⨯+=d a S ，即⎩⎨⎧<+>+)2(06)1(011211d a d a由a 3=12,得 a 1=12－2d (3) 将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ⎩⎨⎧<+>+030724d d ，∴3724-<<-d . (Ⅱ)由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得a n ＞0,a n+1＜0, 则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值.由于 S 12=6(a 6+a 7)＞0, S 13=13a 7＜0，即 a 6+a 7＞0, a 7＜0.由此得 a 6＞－a 7＞0.因为a 6＞0, a 7＜0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大. 5、解：由⎩⎨⎧=++=,28,44322a a a a 得⎩⎨⎧=+=.24)1(,4211q q a q a 由0>n a 解出⎩⎨⎧==.2,21q a 所以833==+q a a nn . 6、依据题设条件,有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++111)(21n n n n n n b b a a a b 由此可得)(2111+-+=n n n n n b b b b b =)(2111+-+n n n b b b .∵n b ＞0,则211+-+=n n n b b b 。
∴{n b }是等差数列.∴n b =2)1(2+n .又 ∙==-2212n b b a n n n2)1(2+n =22)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n ,∴n a =)1(21+n n 7、2m+n -1物理1. 如图所示，一直河流的水速为，一小船在静水中的划速速率为，若这船在该河流中航行，要船从一岸到另一岸路程ｓ最短，河宽用d表示，则有（）A. 时，ｓ＝ｄB. 时，ｓ＝ｄC. 时，ｓ＝ｄD. 时，ｓ＝ｄ2.一条宽度为的河流，已知船在静水中的速度为，水流速度为.那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若>，怎样渡河位移最小？（3）若<，怎样渡河船漂下的距离最短？3. 排球场总长18m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。
假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。
（g取10m/s2）（1）若击球的高度h＝2.5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
4．（13分）如图所示，在距离一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体R 远处有一质量为m 的质点。
此时M 对m 的万有引力为F 1，当从M 中挖去一半径为R/2的球体时，剩余部分对m 的万有引力为F 2，则F 1与F 2的比值为多少？5．（14分）在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为M 1和M 2，相距为L ，求它们的角速度。
6.（14分）某星球自转周期为T ，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W ，在赤道上称得该物重W '，求该星球的平均密度ρ。
7．（18分）我国自行研制的“神舟五号”载人飞船载着中国第一代宇航员杨利伟，于2003年10月15日9时在酒泉发射场由“长征二号F”大推力运载火箭发射升空，并按预定轨道环绕地球飞行14圈后，于10月16日6时23分安全返回落在内蒙古的主着陆场。
(1)设“神舟五号”飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，飞船绕地球运行的周期为T 。
试计算飞船离地面的平均高度h 。
(2)已知将质量为m 的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为r 处的过程中，万有引力做功为W=GMm/r ，式中G 为万有引力恒量，M 为地球的质量。
那么将质量为m 的飞船从地面发射到距离地面高度为h 的圆形轨道上，火箭至少要对飞船做多少功?(为简化计算，不考虑地球自转对发射的影响)R R m8．一质量为m 的小球以速度v 0水平抛出，经时间t 落地，不计空气阻力，求以下问题：⑴此过程小球重力势能变化多少？ ⑵小球落地时的动能为多少？ ⑶此过程中重力的平均功率为多少？ ⑷小球落地时重力的瞬时功率为多少？9．如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为R 的粗糙半圆形轨道相连接，质量为m 的小球在倾角为θ的轨道上由静止释放，开始离地面高度为H ，求： （1）小球在斜面上的加速度大小； （2）要使小球恰能通过圆形轨道的最高点， 小球在圆形轨道上克服摩擦力做功为多少？10．汽车在水平直线公路上行驶，额定功率为P e =80kW ，汽车行驶过程中所受阻力恒为f =2.5×103 N ，汽车的质量M =2.0×103kg 。
若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为a =1.0m/s 2，汽车达到额定功率后，保持额定功率不变继续行驶。
求： （1）汽车在整个运动过程中所能达到的最大速度； （2）匀加速运动能保持多长时间； （3）当汽车的速度为5m/s 时的瞬时功率； （4）当汽车的速度为20m/s 时的加速度。
Hθ1.A C2.解：（1）如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需的时间为可以看出：、一定时，t随sinθ增大而减小；当θ＝90°时，sinθ＝1（最大）。
所以，船头与河岸垂直时渡河时间最短。
（2）如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直.这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ.根据三角函数关系有因为0≤cosθ≤1，所以只有在>时，船才有可能垂直河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。
怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头与河岸成θ角.合速度与河岸成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短.那么，在什么条件下α角最大呢？以的末端为圆心、大小为半径画圆，当与圆相切时，α角最大，根据cosθ＝/，船头与河岸的夹角应为.船漂下的最短距离为此时渡河的最短位移：。
3.解：（1）球以v l速度被击回，球正好落在底线上，则t1＝，v l=s/t1将s=12m，h＝2.5m代入得v1=；球以v2速度被击回，球正好触网，t2＝，v2=s//t2将h /=（2.5－2.25）m ＝0.25m ，s /＝3m 代入得v 2=。
故球被击回的速度范围是＜v≤。
（2）若h 较小，如果击球速度大，会出界，如果击球速度小则会融网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则=，s 、s /的数值同（1）中的值，h /＝ h －2.25（m ），由此得 h ＝2.4m故若h ＜2.4m ，无论击球的速度多大，球总是触网或出界。
4、若质点与大球球心相距为2R ，其万有引力为F 1，则有()221412R Mm G R MmGF == 大球质量334R M πρ⨯= 小球质量8348123432MR R M =⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯='πρπρ小球球心与质点相距23R ，小球与质点间的万有引力为2218123R MmG R m M G F =⎪⎭⎫⎝⎛'=' 剩余部分对质点m 的万有引力2221236718141RMm G R Mm G R Mm G F F F =-='-= 7921=∴F F 5、解 如右图所示，设M l 的轨道半径为r 1，M 2的轨道半径为r 2，两个行星都绕Ｏ点做匀速圆周运动的角速度为ω；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有211221ωr M LM M G= 222221ωr M LM M G= L r r =+21以上三式联立解得321)(L M M G +=ω；L M M M r 2121+=；L M M M r 2111+=6、解：题目中弹簧秤称得物重W与W'，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力，在星球的两极物体受星球的引力F引与弹簧秤的弹力W的作用，因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有F引=W= G MmR2———①（3分）（其中M为星球质量，m为物体质量，R为星球半径）又M=ρV =ρ43πR3，（2分）代入①式后整理得ρ=3W4πGRm———②（2分）在星球赤道处，物体受引力F引与弹簧秤的弹力W''的作用，物体随星球自转做圆运动，所以F引－W' = m(2π/T)2R （2分）又F引=W ∴磁场改变一次方向，t时间内粒子运动半个圆周。