对数与对数函数
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3对数与对数函数
2a lg 1 1 10 a 1. 2 40 b 0 b 1. g (0) 20
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则f[f(2)]=
2e x 1 , x 2, 【7】(06山东)设函数 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x ≥ 2,
2
.
【8】计算 lg( 3 5 3 5 ).
解:由a>0, ab=1可知b>0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称， 由图象可知b>1, 且0<a<1, 由单调性可知，B正确.
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解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实 践来学到它！ ——波利亚
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【1】(07上海)方程 9 x 6 3 x 7 0 的
2
3 3＋1· lg 2
lg 2 lg 2 lg 3 lg (3)原式＝lg 3＋lg 9· 4＋lg lg lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＝lg 3＋2lg 3· 2＋3lg 2 2lg
3 8
3lg 2 5lg 3 5 ＝ · ＝ . 2lg 3 6lg 2 4
解 3 ×70 7 (1)原式＝lg － lg23－2lg 3＋1 3
＝lg 10－ (lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
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(2)令 3x＝t，∴x＝log3t， ∴f(t)＝4log23· 3t＋233＝4log2t＋233， log ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233 ＝4· 2(2·2·3· 28)＋8×233 log 2 2 …· ＝4· 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008. log
第二章 第六节 对数与对数函数
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
(1)D
(2)A
解
析
：
(1)a
＝
log315
＝
log3
3×5
＝ 1 ＋ log35>1 ， b ＝ log420 ＝
log44×5
＝1＋log45>1，c＝log21.9<1，因为
log35＝llgg
5 3
lg 5 >lg 4
＝log45，所以 a>b>c.
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
D
解析：画出函数 f(x)＝|lg x|，∵f(2)＝|lg 2|＝|－lg 2|＝lg
1 2
，且14
1 <3
1 <2
，
∴f14
1 >f3
1 >f2
，即 a>b>c.
5．(多选)函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图所示， 则下列结论成立的是( )
第二章 函 数 第六节 对数与对数函数
必备知识 增分策略 关键能力 精准突破
栏目索引
必备知识 增分策略
必备知识 1．对数的概念 如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫作以 a 为底，(正)数 N 的对数，记作 b ＝logaN.这里，a 叫作对数的_底__数_，N 叫作对数的真数．
答案：0，
2 2
解析：若方程 4x＝logax 在0，12 上有解，则函数 y＝4x 与
对数与对数函数
真数相同 比较 若底数与真数
常借助1,0等中间量进行比较 都不同
返回
5．函数 y＝ log0.54x－3的定义域为______． 解析：要使函数有意义，须满足4loxg－0.534>x0－，3≥0， 解得34<x≤1. 答案：34，1
返回
6．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的图象恒过的定点是 ________． 解析：当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的 值为 2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)
2．利用结论是捷径
返回
对数函数图象的特征
(1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降，
即 a＞1 时，图象上升；0＜a＜1 时，图象下降．
(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如
图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中
0＜c＜d＜1＜a＜b.
在 x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在 x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
解析：原式＝llgg
32·3llgg32＋3
1 2 log 3
4 log34＝3＋3 log 3
2＝3＋2＝5.
答案：5
[怎样快解·准解]
返回
1．解题“思路”小结
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数
幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔_x_＝__l_o_g_aN__ 性质
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
常借助1,0等中间量进行比较 都不同
返回
5．函数 y＝ log0.54x－3的定义域为______． 解析：要使函数有意义，须满足4loxg－0.534>x0－，3≥0， 解得34<x≤1. 答案：34，1
返回
6．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的图象恒过的定点是 ________． 解析：当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的 值为 2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)
2．利用结论是捷径
返回
对数函数图象的特征
(1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降，
即 a＞1 时，图象上升；0＜a＜1 时，图象下降．
(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如
图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中
0＜c＜d＜1＜a＜b.
在 x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在 x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
解析：原式＝llgg
32·3llgg32＋3
1 2 log 3
4 log34＝3＋3 log 3
2＝3＋2＝5.
答案：5
[怎样快解·准解]
返回
1．解题“思路”小结
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数
幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔_x_＝__l_o_g_aN__ 性质
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
对数与对数函数
y
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是 底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上 是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数 因为 所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是 底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上 是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数 因为 所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
对数与对数函数
2.已知 1<a<b<a2, 比较 logab, logba, loga a , logb a , 1 的大小. b b 2 a a 2 解: 由 1<a<b<a 可知: loga b <0, logb b <0, logab>1. ∴0<logba<1. ∵ 0>log a a>log a b, ∴logaa <logb a . b b b b 2> 1 log b= 1 , 又 logba= 1 log a 2 b 2 2 b 1 a ∴ logab>logba> 2 >logb b >loga a . b 3.已知 logm4>logn4, 比较 m, n 的大小. 解: 由已知 logm4>logn4, 可分情况讨论如下: ①当 m>1, 0<n<1 时, logm4>0, logn4<0, 原不等式成立. ∴m>1>n>0; ②当 m>1, n>1 时, 由 logm4>logn4>0 得: log4m<log4n. ∴n>m>1; ③当 0<m<1, 0<n<1 时, 由 0>logm4>logn4 得: log4m<log4n. ∴0<m<n<1. 综上所述: m, n 的大小是 m>1>n>0 或 n>m>1 或 0<m<n<1.
对数与对数函数
一、对数
如果 a(a>0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式. 常用对数: (lgN), 自然对数: (lnN).
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
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自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
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跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
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考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数及对数函数
[答案] D
(2011·佛山一模)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2x.则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) (2010·天津文数)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( ) A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c [解析] 因为0＜log53＜1，所以0＜(log53)2＜log53，又log53＜log54＜1 log45＞1，所以b＜a＜c. [答案] D
3．形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的函数有如下性质
化同底后利用函数的单调性； 作差或作商法； 利用中间量(0或1)； 化同真数后利用图象比较．
4．对数值的大小比较的方法．
“当底数与真数同时大于1或底数与真数同时大于0而小于1时，对数值是正数，否则对数值小于0”．这一结论对解选择题，填空题很有帮助，能大大提高解题的效率．
Annual Work Summary Report
2021
2023
lgN
lnN
零与负数
0
1
logaN＝b(a>0，a≠1)
1．对数的概念及运算性质 (1)对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记 ． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作 . (2)对数的性质 ① 没有对数；②loga1＝ ；③logaa＝ ；④alogaN＝N(对数恒等式)．
命题等价于x2－2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3} ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3即a＝2 [点评与警示] 对数函数的值域为R时，其真数必须取遍所有的正数．
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1
对数与对数函数
对数定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a
为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）N 10log =N lg 常用对数
2）N e log =N ln 自然对数 )71828
.2( =e e ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）； 2）01log =a ； 3）1log =a a ； 4）对数恒等式：N a
N
a =log 。
③运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>则
1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）
④换底公式：log log log m a m N
N a
= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)
1）1log log =⋅a b b a ；2）b m
n
b a n
a m log log =。
例1. 把下列指数形式化成对数形式
（1） 328= （2）4381= （3）2
1
5
25
-=
例2. 把下列对数形式化成指数形式
（1）2log 164= （2）9log 812= （3）lg10003=
例3. 计算
lg 0.001= 5log 125= 3log 1=
243log (33)⨯= 7lg10=
22log 6log 3-= 55log 75log 15-=
lg5lg 2+= 43log (279)⨯=
1. 计算
33log 18log 2-= 552log 10log 0.25+= 22log (log 16)=
2. 已知lg 2a =，lg3b =，求下列各值
（1）lg 6 (2)2log 12 (3)3lg 2
2
定义：函数x y a log =(0>a 且1≠a )称为对数函数，其定义域是),0(+∞.
例1. 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）4
.32log 5.82
l o g （2）8
.13.0log 7
.23
.0l o g
（3）1
.5log a ，9
.5log a
（a ＞0，且a ≠1）
例2. 求系列函数的定义域
（1
）y = （2
）y =
例3.函数x y a log =在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a 的值；
1. 下列四个数中最大的是（ ）
.A 2(ln 2)
.B ln(ln 2) .
C
.D ln 2
2. 设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则
.A R Q P << .B P R Q <<
.C Q R P << .D R P Q <<
3. 已知7.01.17.01.1,8.0log ,
8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是
.A c b a << .B c a b << .C b a c << .D a c b <<
4. 若函数()122
log 2log y x =-的定义域是
.A ()0,2 .B ()2,4 .C ()0,4 .D ()0,1
5. 设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，，
，≤则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6. 解不等式：222log ()log (3)x x x ->+。