一级倒立摆介绍
一级倒立摆
摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。
因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究倒立摆的控制，先是理论上的计算，然后建模，最后在MATLAB/Simulink下仿真，验证了可行性。
关键词：倒立摆，模糊控制，MATLAB仿真第一章绪论1．1 倒立摆系统的重要意义倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。
在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。
迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的控制稳定。
倒立摆主要有：有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的：倒立摆系统己成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。
同时倒立摆研究也具有重要的工程背景：如机器人的站立与行走类似双倒立摆系统；火箭等飞行器的飞行过程中，其姿态的调整类似于倒立摆的平衡等等。
因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。
1．2 倒立摆系统的控制方法自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：（1）倒立摆系统的稳定控制的研究（2）倒立摆系统的自起摆控制研究而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。
目前，倒立摆的控制方法可分如下几类： (1)线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
一级倒立摆实验(状态反馈)
第1章倒立摆系统介绍1.1 倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
1.2 倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
直线倒立摆系列产品如图 1-1 所示。
终稿一级倒立摆
目录1实验设备简介 (2)1.1倒立摆介绍 (2)1.2 研究倒立摆稳定性的意义 (3)1.3直线一级倒立摆 (3)2 倒立摆建模 (3)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (3)2.1.1受力分析 (4)2.1.2微分方程建模 (5)2.1.3传递函数建模 (6)2.1.4状态空间数学模型 (6)2.2 实际系统模型建立 (8)3系统定性、定量分析 (9)3.1系统开环阶跃响应 (9)3.2系统稳定性与可控性分析 (11)3.2.1稳定性分析 (11)3.2.2能控性分析 (12)4 设计状态观测器 (12)4.1状态空间分析 (12)4.2 极点配置的设计步骤 (13)4.3极点配置的Matlab计算 (14)4.4极点配置的simulink电路仿真 (20)4.4.1无状态反馈仿真 (20)4.4.2有状态反馈的仿真 (20)4.5极点配置的综合分析 (21)5小结 (22)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。
常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。
系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。
光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相小车皮带电机摆杆图1：一级倒立摆结构图滑轨图2：一级倒立摆系统组成框图应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。
1.2 研究倒立摆稳定性的意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。
机器人行走就类似倒立摆系统从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
一级倒立摆控制系统设计说明
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
二、设计要求倒立摆的设计要使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用 MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。
直线一级倒立摆文档
0 0 1 0
0 I ml 2 ( M m) I mMl 2 B 0 ml 2 ( M m ) I mMl C I 44
带入参数得线性化后的系统参数矩阵为
1 0 0 0 0.0883167 0.629317 A 0 0 0 0 0.235655 27.8285
图. 4 Simulink 框图
图. 5 小车位置图
图. 6 摆杆与垂直方向角度图
Y轴
φ 摆杆 l F
X轴 小 X
图2
车
导轨
图 3 是将小车与摆杆分开受力分析的示意图。其中（a）图是小车的受力分析示意图， （b）图是摆杆的受力分析示意图。其中 N 和 P 分别为小车与摆杆相互作用的水平和垂直方 向的分量。执行装置的正方向由图. 2 所示的矢量方向确定。
P N F 小 (a)
图. 3 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
(3) (4)
cos ml 2 sin F bx ml (M m) x
分析摆杆垂直方向上的合力，可以得到下面的方程：
P mg m
即：
d2 (l cos 2 cos P mg ml
根据式(9)可得到如下的状态空间方程：
AX Bu X Y CX
其中
X x1
x2
x3
x4
T
1 0 ( I ml 2 )b 0 ( M m) I mMl 2 A 0 0 mlb 0 ( M m) I mMl 2
0 m 2l 2 g ( M m) I mMl 2 0 ( M m)mgl ( M m) I mMl 2
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。
在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。
然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。
在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。
在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。
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摘要倒立摆沿着水平轨道车移动时的平衡问题是控制领域中的经典问题。
随着工业农业交通运输和国防等各个方面不断发展这些方面都离不开较高的控制性能，自动控制就有了很大的应用舞台从二十世纪五十年代到现在人们对倒立摆的研究不断加深是研究控制理论的一种实验设备具有多变量、高阶次、强耦合、绝对不稳定的特性,因此对倒立摆的研究具有重要的工程实践意义。
倒立摆已经由一级发展到了多级控制手段并且倒立摆还具有结构简单、成本低廉、形象直观、便于模拟的特点，被人们应用和推广在很多领域。
本文主要是对一级倒立摆的研究和意义做出了简单介绍。
关键词：控制；稳定性；倒立摆目录摘要 (I)1.总体介绍 (1)2.一级倒立摆 (2)2.1研究背景 (2)2.2系统组成 (2)2.3倒立摆国内研究和发展动态 (3)2.4倒立摆的PID控制方法介绍 (4)2.4.1直线一级倒立摆的数学模型 (4)2.4.2球杆系统的PID控制器设计 (6)2.4.3 MATLAB建模及实验 (8)2.5结论 (9)2.6倒立摆研究的意义 (9)2.7展望 (10)3总结 (10)参考文献 (11)1.总体介绍本课程的目标主要有两个方面：一是通过各专题使学生了解本学科、专业的国民经济应用领域的广泛性，进一步加深学生对专业理解，有助于学生确定自己的发展方向与就业定位；二是各专题内容来源于各位授课教师的科研与项目积累，通过专题的理论介绍、实践与引申，使学生了解专业、学科前沿或新技术应用，科研回馈教学，提高学生学习的主动性，拓宽学生的知识面，培养学生的综合素质，进一步提高学生的专业兴趣与能力，为学生毕业设计提供指导，培养学生综合运用工程知识和专业基本原理分析、解决自动化领域复杂工程问题的能力。
课程目标1：具备运用网络、文献检索引擎获取自动化相关领域理论及技术的最新发展情况及文献综述能力；课程目标2：了解国内外前沿的先进运动控制方法及智能控制手段，了解最新的复杂过程分析、控制、优化方法，了解新能源发电的最新技术，了解现代检测技术在检测技术、测控系统设计、人工智能、工业计算机集散控制系统等方面的国内外最新成果及先进的检测技术，了解模式识别与智能控制方面的最新研究成果，并能识别、分析及评价技术及理论的应用对社会、健康、安全、法律以及文化等的潜在影响；课程目标3：具备应用外语了解国外自动化专业相关的研究热点、最新技术、发展现状及趋势的能力；课程目标4：针对实际案例能进行深度剖析，并能够了解工程管理原理与经济决策方法对自动化领域工程实践的重要性，培养学生解决复杂工程问题的能力；课程目标5：培养终身学习的习惯，持续关注自动化及相关领域的发展现状、研究热点、最新进展以及国际发展趋势。
刘慧博老师为我们分别介绍了倒立摆的定义、研究意义、应用和发展前景、分类、特性、控制方法。
直线一级倒立摆控制系统是控制理论研究的典型实验平台之一，本文我对一级倒立摆做出简单介绍。
2.一级倒立摆2.1研究背景随着控制理论、计算机技术、以及信息技术的飞速发展很多新的理论和控制算法不断地出现倒立摆系统逐渐被人们用来检验控制方法的有效性。
通过人们的不断研究拓展,倒立摆系统已经由一级发展到了二级、三级、四级乃至更多级,并且产生了平面倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆等多样式倒立摆,其控制手段也是多种多样的。
由于其结构简单,价格低廉,物理结构和参数容易调整等特点,在工业和航天业中的控制系统中倒立摆系统有很大的应用舞台,对倒立摆系统理论的研究都有着深远的意义,是人们生活、学习、以及对于控制方法和理论的验证具有非常大的意义。
我国的倒立摆研究起步比较晚，但是随着现代控制理论和方法的不断发展和应用，国内很多大学和科研机构都对倒立摆系统的控制进行了大量的研究工作，并取得了很多优越的成果。
2.2系统组成小车上的倒立摆一端被绞链在小车顶部.另一端可以在小车轨道所在的垂直平面上自由转动.控制目的是通过电机推动小车运动,使倒立摆平衡并保持小车不和轨道两端相撞。
2.3倒立摆国内研究和发展动态1983年国防科学技术大学的研究人员对一级倒立摆系统的进行了研究并完成了控制实验；1987年上海机械学院完成了一级倒立摆和二级倒立摆系统的研制，并且完成了二级倒立摆在倾斜轨道上的控制。
1994年，北京航空航天大学的张明廉教授领导的课题组提出了“拟人智能控制理论”，并将其运万方数据直线一级倒立摆系统研究用于三级倒立摆的控制。
1996年翁正新等利用带观测器的H∞状态反馈控制器对二级倒立摆系统进行了仿真控制，1997年翁正新等利用同样的方法对倾斜轨道上的二级倒立摆进行了仿真控制。
随着智能控制理论的发展，基于神经网络的控制方法越来越受到研究人员的青睐，基于神经网络的倒立摆控制方法不断涌现。
刘妹琴等在使用进化RBF神经网络的方法控制二级倒立摆方面做了研究。
2001年单波等利用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆进行了仿真控制。
现在，在某些方面我国的倒立摆研究已经处于世界的前沿。
李德毅院士在国际上最早提出“隶属云”理论，并基于该理论实现了三级倒立摆的稳定控制。
北京师范大学的李洪兴教授在倒立摆控制方面取得了很大的成就，他使用变论域模糊控制算法，成功的控制了三级倒立摆，取得了非常满意的控制效果，在此基础上，2002年，李洪兴教授应用变论域自适应模糊控制算法控制直线倒立摆，在世界上首先完成了四级倒立摆实物系统控制和仿真，填补了当时的世界空白，在这之后，经过进一步研究和改善，于2003年10月在世界上首先实现了对平面三级倒立摆实物系统的控制并取得不错的控制效果。
2.4倒立摆的PID控制方法介绍2.4.1直线一级倒立摆的数学模型利用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型.为了便于分析，将直线一级倒立摆系统简化为一个小车上拖着一个倒摆的简易模型如图2所示（其中：F为作用于小车上的力；M为小车质量；m为摆杆质量；l 为摆杆中心到小车的长度；I为摆杆惯性；θ为摆杆与垂直方向下方向的夹角；x为小车位移）。
在设计PID控制器之前首先应推到该系统的传递函数，通过对直线一级倒立摆系统中的小车和摆杆的受力分析，即可得到系统的微分方程，该系统的小车和摆杆的受力分析图如图3所示.其相关参数为：N为小车与摆杆相互作用力的水平方向的分量；P为小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量；b为小车的阻尼速度；x为小车速度；ẍ为小车的加速度；mg为摆杆的重力；θ为摆杆与垂直方向的旋转加速度。
为了提高分析的可靠性，对该系统做了合理的假设，由于摆杆是在竖直向上的平衡位置，若将其位置上的方程线性化，则有θ=π并且假设该系统在平衡位置很小的误差范围内保持稳定，即ϕ≤20°（ϕ为摆杆与竖直平衡位置之间的角度）则可得θ=π+ϕ，由于ϕ很少，故cosθ≈-1，sinθ=ϕ，θ2=∅2≈0，并以u代替输入F.最终得到直线一级倒立摆的方程为：对方程组（1）进行拉普拉斯变换之后得：假设初始条件为0，消除上述方程组中的X(s)，则得到小车对摆杆角度的传递函数为：消除方程组（2）中的Φ(s)，则得到小车位移作为输出的传递函数为：其中：2.4.2球杆系统的PID控制器设计具有线性控制器特点的PID控制器由偏差的比例、积分和微分通过线性组合的控制器.PID的控制器的传递函数为：其中：Kp为比例系数；TI为积分时间常数；TD为微分时间常数。
以倒立摆系统的摆杆角度（平衡位置为垂直向上）为输出量，得到该系统的PID控制原理框图如图4所示：由图4的控制原理框图可以得到以倒立摆系统的摆杆角度（平衡位置为垂直向上）为输出量的直线一级倒立摆系统的PID控制的传递函数为：其中：num1,den1分别代表传递函数G1的分子和分母；numPID和denPID分别代表PID传递函数的分子和分母。
以倒立摆系统的摆杆角度（平衡位置为垂直向上）和小车位移为输出量，最终得到的改进的系统PID控制框图如图5所示：由图5的控制原理框图，并考虑了倒立摆系统的摆杆角度（平衡位置为垂直向上）的影响，小车位移为输出量的直线一级倒立摆系统的PID控制的传递函数为：其中：num2,den2分别代表传递函数G2的分子和分母。
2.4.3 MATLAB建模及实验采用MATLAB中的M函数对该系统进行PID控制具体实现过程为：首先新建一个M文件，添加相关的代码，在M文件中建立该系统的PID控制模型，然后使用反馈命令产生第2节提到的闭环传递函数T(s)，外力F（即U）作为该系统的输入，摆杆偏离竖直平衡位置的角度ϕ作为输出得到该系统的PID控制模型的M文件。
当PID控制的对应参数为Kp=100、TI=8、TD=40时，对应的响应曲线如图7所示：当考虑小车在水平直线上的位移x也作为输出时，即外力F（即U）作为该系统的输入，摆杆偏离竖直平衡位置的角度ϕ和小车在水平直线上的位移x作为输出得到该系统的最终PID控制模型的M文件，该M文件的闭环传递函数为第2节提到的T1(s)，此文件模型的建立跟上述方法一致，得到的小车位置响应曲线图如图8所示：从上图2个仿真试验结果来看，不管是小车摆杆角度还是小车位移都在很短的一段时间之内趋于稳定故该PID控制器能较好地控制直线一级倒立摆系统，使该系统处于稳定状态。
2.5结论通对直线一级倒立摆系统进行分析，对其建立数学模型，并推导出其小车摆杆角度和小车位移的传递函数，通过其传递函数结合PID控制器建立了该系统的PID控制模型通过MATLAB的仿真得到该模型的小车摆杆角度和小车位移的响应曲线，从响应曲线可得该算法准确性良好。
2.6倒立摆研究的意义倒立摆系统在我国以及世界工业应用中具有重要的理论研究意义,研究倒立摆系统具有的挑战意义不仅仅是由于级数的增加而产生的控制难度,并且由于他的本身所具有的复杂性、不稳定性以及非线性的特点进而不断研究拓展的新的理论方法,以应用到新的控制对象中,提供更好的实验理论和实验平台。
对于机器人的直立行走,航天飞行器的飞行平稳控制都具有非常大的意。
2.7展望不断进行理论与工业的实践结合,推动我国科学技术的发展,更加广泛的应用到经济活动中。
这对于我国甚至世界的航空航天技术的进步具有非常大的理论意义和实际意义,具有非常广阔的研究前景。
3总结随着自动控制理论的不断发展，各种控制方法不断被提出来，倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型试验设备，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
倒立摆控制系统是一个非线性、复杂的、不稳定的系统，检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力，可以对通过对倒立摆的控制来进行验证，对倒立摆的研究不仅有典型的理论意义，在工程实践中的应用意义也非常深远，倒立摆控制系统可以为作为提控制理论通往实践的桥梁。
自动化是新的技术革新的一个重要方面，自动化技术的研究、应用和推广，对人类的生产、生活等方式将产生深远的影响。