近世代数之等价关系与集合的分类

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~ 3 = {a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ c, c ~ a}
~ 4 = {a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ b, b ~ a} ~ 5 = {a ~ a, b ~ b, c ~ c}
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注 如果用 Β ( n ) 表示一个具有 n个元素的集合上 的不同等价关系的个数, 则有下列的递推公式:
(3) 如果 S 分划为三个子集, 则有Ρ5 = {{a} ,{b} ,{c}}
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因此,S 上共有五个不同的等价关系, 它们是
~1 = {a ~ a, b ~ b, c ~ c, a ~ b, b ~ a, a ~ c, c ~ a, b ~ c, c ~ b}
~ 2 = {a ~ a, b ~ b, c ~ c, b ~ c, c ~ b}
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{
}
例8 对实数集 R , 令子集Ri = [i, i + 1] , i ∈ Ζ .由 于 i ∈ Ri ,且i ∈ Ri 1 , 同一元素在两个子集中重复出现, 所以 {[i, i + 1] | i ∈ Ζ}不是R 的一种分类.
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三,集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间 联系 定理1.1.1 定理 集合 S 的任何一个等价关系都确定
a ~ a.如果 a ~ b , 即 a 与 b 属于同一类, 自然 b 与 a 也
属于同一类, 所以 b ~ a . 最后, 如果 a ~ b , b ~ c ,
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即 a与 b 属于同一类, b与 c属于同一类,因而 a与 c同在
b所在的类中, 所以 a ~ c .因此"～"是 S
的一个等价
关系.显然, 由此等价关系得到的等价类就是原分类中 那些类.
a, b ,由( a, b ) = 1 ,可推出( b, a ) = 1 .
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定义1.1.2 定义 果 满足
设 是 S 非空集合的一个关系, 如
(E1) 反身性, 即对任意的a ∈ S, 有aa ; (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ; (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc ,则ac. 则 称是S 的一个等价关系 等价关系(equivalence relation), 等价关系 并且如果 ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b .
Β ( n + 1) = ∑ C Β ( k ), n ≥ 1 其中, C 为二项式系数, 并
规定 Β ( 0 ) = 1, Β (1) = 1
k =0 k n
k n
n
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参考文献及阅读材料
[1] 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论(第2版).北京: 高等教育出版社, 1990 本书的第1章有关于整数整除性的详细讨论, 第3章 则介绍了同余的概念及其性质. [2] AignerM..Combinatorial Theory:Springer-Verlag;New York:Heiderberg,1979
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定义1.1.3 定义 对a ∈ S , 令
如果～是集合 S 的一个等价关系,
[ a ] = { x ∈ S | x ~ a}
称子集[ a ] 为 S 的一个等价类 (equivalence class) . 等价类 S 的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 商集 (quotient set), 记作 S / ~ .
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例4
易知, 三角形的全等,相似, 数域Κ上n 阶方
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阵的等,相似,相合等都是等价关系, 而例1,例2,例3及 本节开头所述的关系都不是等价关系.
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例5
设 m 是正整数, 在整数集 Ζ 中, 规定 则 (1)对任意整数 a ,
ab m | a b, a, b ∈ Ζ
(3) 有 m | a a (2) 若m | a b, 则m | b a ; 若 m | a b ,
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例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵的集合,令 M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集. (1) M = ∪ M i
i =0 n
;
(2) M i ∩ M j = φ , i ≠ j . 所以{M i | i = 0,1,, n}是 M 的一种分类. 例7 Ζ m = a | a = 0,1,2,, m 1 是整数集 Ζ 的一 种分类.
了S 的一种分类,且其中每一个类都是集合 S 的一个等 价类.反之,集合S 的任何一种分类也都给出了集合 S 的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那 些类.
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证 首先,设 ~ 为 S 集合的一个等价关系, 则 (1) 对任意的 a ∈ S , 由反身性知a ∈ [ a ] , 所以
S = ∪[ a ]
a∈s
[ a ] = [b].这说明, 不同的类没有公共元素.
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从而由 (P1), (P2)知, 全体等价类形成的 S 一种 分类,显然每一个类都是 S 的等价类. 其次, 如果已知集合 S 的一种分类 Ρ , 在 S 中规 定关系"～":
a ~ b a与b属于同一类,a, b ∈ S .
对任意的 a ∈ S , 由于 a 与本身属于同一类, 所以
系及其性质是初等数论的基础
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二,集合的分类
定义1.1.4 定义 如果非空集合 S 表成若干个两两不 相交的非空子集的并, 则称这些子集为集合 S 的一种 分类 (partition),其中每个子集称为一个类 (class).如果 类
Ρ = { Si | i ∈ I }
S 的子集族 {Si | i ∈ I } 构成 S 的一种分类,则记作
m | b c , 则m | a c . 是Z 的一个等价关系,显然 所以 a与b 等价当且仅当a与b被 m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作 同余关系
a ≡ b ( mod m ) (读作" 同余于 , 模 ").整数的同余关 a m b
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例9 设 S = {a, b, c} , 试确定集合S 上的全部等价 关系. 解 由定理1.1.1知,只要求出的 S 全部分类,也 即求出的 S 所有可能的子集分划即可. (1) 如果 S 分划为一个子集, 则有 Ρ1 = {S } ; (2) 如果S 分划为两个子集, 则有
Ρ 2 = {{a} ,{b, c}} , Ρ3 = {{b} ,{a, c}} , Ρ 4 = {{c} ,{a, b}} ;
§1.1 集合关系与集合的分类
等价关系 集合的分类 集合的等价 关系与分类
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一,等价关系
定义1.1.1 定义 设S 是一个非空集合, 是关于 S 的
元素的一个条件.如果对 S 中任意一个有序元素对
( a, b ),我们总能确定a 与 b是否满足条件,就称是
S 的一个关系(relation).如果a与b 满足条件 ,则称 a
(2) 如果[ a ] ∩ [b ] ≠ φ , 则 c ∈ [ a ] ∩ [b ] 于是 有 . c ~ b, c ~ a, 从而由对称性知 b ~ c, 再由传递性知
' 又对任意的 b ∈ [b ] ,则 b ' ~ b , 同样由传递性得 b ~ a. ' .于是 b ∈ [ a ], 因此 [b ] [ a ] .同理[ a ] [b ] , 所以 b ~a '
A B , B C ,则有A C .
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例2 在整数集 Ζ 中, 规定ab a | b .因为 a | b 与a / b有且仅有一个成立, 所以"|"是 的一个关系. Ζ | 这个关系也具有反身性和传递性. 例3 在整数集 Ζ 中, 规定 ab ( 即 a 与 b 互 素). 因为 ( a, b ) = 1 与 ( a, b ) ≠ 1有且仅有一个成立, 所 以是Ζ 的一个关系.这个关系既不满足反身性也不满 足传递性, 但却满足所谓的对称性, 即对任意两个整数
与 b 有关系,记作a b ;否则 a称b与无关系 .关 系也称为二元关系.
2
例1
设 S是一个非空集合,S 的所有子集组成的
B A 集合记为P ( S ) .因为对S 的任意两个子集A, , B
或A B 有且仅有一个成立,所以集合的包含关系" "
是 ( S ) 的一个关系.进一步讨论可以发,这个关系还 P 具有下面两条性质: (1) 反身性,即对S 的任一子集 A ,有 A A; (2) 传递性, 即对S 的任意子集 A , B , C , 如果