黄金分割及答案
初中数学黄金分割基础训练含答案
初中数学黄金分割基础训练含答案一、选择题1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm2．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）A．B．C．D．4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）A．0.62m B．0.76m C．1.24m D．1.62m5．如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB•AB，即P A≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）A．6.18B．0.382C．0.618D．3.82二、填空题6．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝_____．7．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝10cm，则AC的长约为_____cm（结果精确到0.1cm）．8．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是_____．9．校团委举办“五•四手抄报比赛”．手抄报规格统一设计成：长是0.8米的黄金矩形（黄金矩形的长与宽的比是1.6：1），则宽为_____米．10．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC＝_____cm，DC＝_____cm．11．如图，已知线段AB，点C在AB上，且有，则的数值为_____；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．三、解答题12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为，＝2.236．13．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．14．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．16．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．17．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°．求证：（1）AD＝BD＝BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．初中数学黄金分割基础训练含答案参考答案与试题解析选择题1．解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．故选：A．2．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选：C．3．解：设AB＝1，AC＝x，根据已知条件中的比例式得，则x2＝1﹣x，x2﹣1+x＝0，x＝（负值舍去）．则比值是．故选：A．4．解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2﹣x）m．依题意，得，解得x1＝﹣1+≈1.24，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去）．经检验，x＝﹣1+是原方程的根．故选：C．5．解：根据题意得：AP≈0.618×10＝6.18，则PB＝AB﹣AP＝10﹣6.18＝3.82．故选：D．填空题6．解：根据题意可知，BC＝AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD＝36°，BC＝BD，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，同理可证DE＝DC，∴DE＝DC＝AC﹣AD＝AB﹣BC＝AB﹣AB＝6﹣2．故答案为：6﹣2．7．解：由题意知AC：AB＝BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC＝0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）故答案为：6.2．8．解：0.61803398在四舍五入后，精确到0.001的近似值为0.618．9．解：设宽为x米，则，解得：x＝0.5．故本题答案为：0.5．10．解：由题意得：则AC＝BD＝AB＝80×＝40﹣40；AD＝AB﹣BD＝80﹣（40﹣40）＝120﹣40；DC＝AB﹣2AD＝80﹣160．故答案为：40﹣40，80﹣160．11．解：设AC＝x，则BC＝AB﹣x，∴x：AB＝（AB﹣x）：x，解得：AC＝x＝，∴的数值为，∴点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；C．解答题12．解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得．解得x＝10cm．13．证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a．在Rt△DNC中，．又∵NE＝ND，∴CE＝NE﹣NC＝（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．14．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点，∴，即，∴矩形CDFE是黄金矩形．15．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，∴OA＝OC＝OE＝DE，则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°．∴∠CDB＝36°．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE是黄金三角形；∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．∴△COE是黄金三角形；∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD．∴OD＝CD，∴△COD是黄金三角形；②∵△COD是黄金三角形，∴，∵OD＝2，∴OC＝﹣1，∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．16．解：（1）如图．（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．【方法1】设∴∴矩形EBCF是黄金矩形．【方法2】设，∴∴矩形EBCF是黄金矩形．（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．17．证明：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠ADB＝108°，∴∠ABD＝180°﹣36°﹣108°＝36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣108°＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD＝BD＝BC．（2）∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC＝CD：BC，∴BC2＝AC•DC，∵BC＝AD，∴AD2＝AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。
《黄金分割》专题练习
《黄金分割》专题练习一、选择题1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为（ ） A ．215- B ．253- C ．215+ D ．215-或253- 2．若=+-1y y x 黄金数，则y x的值是（ ） A ．55B ．21 C ．25D ．5 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ） A ．53-B ．15-C ．51+D ．53+4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。
在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。
如果某女士身高为1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A ．2.5cm B ．5.1cm C ．7.5cm D ．8.2cm 5．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N ．下列命题： ①四边形EDCN 是菱形； ②四边形MNCD 是等腰梯形； ③△AEN 与△EDM 全等； ④△AEM 与△CBN 相似；⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点， 其中假命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个二、填空题1．C 是AB 的黄金分割点，则=BCAC。
2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则AP ＝ cm （保留两个有效数字）。
3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。
一位身高为165cm ，肚脐到 头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。
4．如图，节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F．那么BF：FD的值为。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
2024年九年级中考数学复习——黄金分割及其应用含参考答案
2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm5人们把5-12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5-12，b=5+12得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，⋯，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+⋯+S10=．6黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．7两千多年前，古希数学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400年一公元前347年)发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即PBAP=APAB，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD< CD，AB=CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)若BC=4cm，求BD的长．8以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．【答案】(805-160)cm【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-12，由此即可求解．【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80-x，∴80-x80=5-12，解方程得，x=120-405，点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80-y，∴80-y80=5-12，解方程得，y=120-405，∴C,D之间的距离为80-x-y=80-120+405-120+405=805-160，故答案为：(805-160)cm．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．【答案】(5-1)或者-1+5【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE=BEAB=5-12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AE BE =BEAB=5-12．∵AB=2米，∴BE=(5-1)米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m 【答案】B 【解析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得x 2=5-12,求解即可．设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2-x )m ，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴x 2=5-12, ∴x =5-1≈1.24，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则26x≈0.618，解得x ≈42.072，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则26+42.072y≈0.618，解得y ≈110.149，∴其身高可能是110.149÷0.618≈178(cm)。
4.2 黄金分割(含答案)-
C BA CBAC BA4.2 黄金分割一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( ) A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.12,12 B.12,12; C.12,12; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.CBA2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.AB3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C为AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,求CD的长.AD C B七、已知C、D是线段AB上的两点,且不难证明当AB=1时,C、D是线段AB的黄金分割点,试探究当AB任意长时,C、D是否是线段AB的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB=12,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB ,BD AB因为AB=1,所以,所以AD=AB-BD=1-12=32,因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
最新中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练(有答案)
最最中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D. 0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割第 2 页 共 15 页C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
黄金分割-初中数学习题集含答案
黄金分割（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ．2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A ．3.14B ．2.71C ．0.62D ．0.575．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ． C． D ．二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 ．P AB AP BP >2AB cm =()1-3()AB 20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m ()10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm ABC ∆ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠0.618)ABCD 1AD =AB8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 （结果精确到．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段长为 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.710cm 0.618)cm 0.1)AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP P OP米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：8cm cm ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n x y 11x x+=210x x -+=依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g ABC 2.2)ABCDE AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF黄金分割（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ． 【分析】【解答】解：点是的黄金分割点，，， 则短线段故选：．【点评】2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．【解答】解：观察图象可知，，，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②， 故选：．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台P AB AP BP >2AB cm =()1-3Q P AB AP BP >1AP AB ∴==-21)3BP AB AP =-=--=-D ()0.618AC AB ≈0.618DE CD ≈∴B (0.618)AB的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．【解答】解：为的一个黄金分割点，， ，故选：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A．3.14 B ．2.71 C ．0.62D ．0.57【分析】 【解答】黄金矩形的宽与长的比， 四选项中更接近于这一比值的是0.62，故选：．【点评】本题考查了黄金分割的知识，熟记黄金分割比是解题的关键．5．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ．C ．D ．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：根据题意得：较长线段的长是． 故选：．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段，较长的线段原线是本题的关键． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m C Q AB 12.4BC AB cm ∴=≈2012.47.6AC cm ∴=-=B ()0.618=≈C 10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm 10100.618 6.18cm =⨯=C ==ABC ∆①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．【分析】（1）由得到，再根据和三角形内角和得到，然后可求出的度数；（2）如图，利用黄金三角形的定义得到和都为等腰三角形，设，则可表示出，，然后利用三角形内角和得到，解方程得到，然后计算即可．【解答】解：（1），，，而，，；（2）如图，为“黄金三角形”，和都为等腰三角形，设，，，，，，解得，．故答案为，．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠36︒ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠AB AC =B C ∠=∠:1:2A C ∠∠=22180A A A ∠+∠+∠=︒A ∠ABD ∆ADC ∆B x ∠=C B CAD x ∠=∠=∠=2BDA BAD x ∠=∠=2180x x x x +++=︒36x =︒2x x +AB AC =Q B C ∴∠=∠:1:2A C ∠∠=Q 180A B C ∠+∠+∠=︒22180A A A ∴∠+∠+∠=︒36A ∴∠=︒ABC ∆Q ABD ∴∆ADC ∆B x ∠=AB AC =Q C B x ∴∠=∠=CAD x ∴∠=2BDA BAD x x x ∴∠=∠=+=2180x x x x ∴+++=︒36x =︒2108BAC x x ∴∠=+=︒36︒108︒AB AC ()BC AC BC >AC AB BC，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 2 ．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：矩形是黄金矩形，且，，，故答案为2．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 6.2 （结果精确到．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解．【解答】解：如图：设较长线段，则，根据黄金分割定义可知：，即，，::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB 0.618)ABCD 1AD =AB Q ABCD 1AD =-∴AD AB ==2AB ∴=10cm 0.618)cm 0.1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB C AB AC x =10BC x =-AC BC AB AC=2AC AB BC =g 210(10)x x ∴=-2101000x x +-=解得，（不符合题意，舍去）答：较长的线段的长约为．故答案为6.2．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．【分析】（1）根据勾股定理得到，根据线段的和差即可得到结论；（2）根据勾股定理求得，再由线段的和差求得，于是得到结论．【解答】解：（1），， ，，由作法知，，，点，；11) 6.18 6.2x =-≈≈25x =--6.2cm AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP 1P OP OF ===OF OP 2OE =Q 112EF OE ∴==EF OE ⊥Q OF ∴===1FH EF ==1OP OH OF FH ==-=-∴P 1-1-1-（2）在（1）中计算线段长时，首先根据勾股定理求得，再由求得，故答案为：勾股定理．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 黄金分割 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．【分析】利用已知结合黄金分割比例和解直角三角形的应用分别填空得出答案．【解答】解：结合：，故明明说：“我的理由是黄金分割”明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度， 我想用学到的解直角三角形（答案不唯一）知识，我要带测角仪、皮尺（答案不唯一）等测量工具”．故答案为：黄金分割；解直角三角形（答案不唯一）；测角仪、皮尺（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了黄金分割以及解直角三角形的应用等知识，正确掌握黄金比例是解题关键．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．OP OF OP OH OF FH ==-OP 41(10.618)15.7()m ⨯-≈8cm 1)cm【分析】根据黄金分割的定义，． 【解答】解： 较长线段的长度． 故答案为．【点评】本题考查了黄金分割： 把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项 （即，叫做把线段黄金分割， 点叫做线段的黄金分割点，其中，并且线段的黄金分割点有两个 ． 三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．【分析】（1）可以根据，的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律【解答】解：（1）如图1所示：，，81)cm cm ==-1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC ::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n AB AC =36A ∠=︒AB AC =Q 36A ∠=︒当，则，则，则这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；在中画条线段，则图中有个等腰三角形，其中个黄金等腰三角形．故答案为，【点评】该题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：∴AE BE =36A ABE ∠=∠=︒108AEB ∠=︒36EBC ∠=︒∴⋯ABC ∆n 2n n 2n n x y依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△即可证明这个数不存在；（2）设其中较短的线段的长度为，则较长的线段的长度为，根据黄金分割的定义列出方程，再变形即可．【解答】（1）证明：△，因为这个方程无解，所以这个数不存在；（2）解：依据题意，得， 变形 得，展开，得，，两边同时除以，得， ．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、11x x+=210x x -+=11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z 0<z 1z -111z z z -=-224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<111z z z -=-2(1)z z -=231z z =-0z ≠Q ∴z 13z z=-13133z ∴=---⋯AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g AB C建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为丈，由题意可得，解得，，（舍去）则，答：太和门到太和殿的距离为60丈．【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得出，根据相似三角形比例关系即可得出答案．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，2.2)x 2100(100)x x =-150x =-+250x =--5050 2.260x ≈-+⨯=AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB ABCD E AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF CBF AEB ∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∆∆∽Q ABCD CBF AEB ∴∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∴∆∆∽，即， 把，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中．∴BC AE CF BA =AD CF AE AB=AD AE =1AB ==2CF =。
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（1）一条线段有2个黄金分割点。
（2）
（3）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形
（4）黄金分割点把线段分成一长一短，则 ，即：
点C是线段AB的黄金分割点：①若AC>BC,则 ；②若AC<BC,则 .
2．如何作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD= AB.
13．在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2 cm，求BC．
14．如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中， ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形请说明你的结论的正确性．
3．当 时，分式 无意义；当 时，分式 的值为零；
4．当 时，分式 _______；
5．计算： __________；
例5、解答题
1． 计算：（ － ）·
2．请阅读下列计算过程，再回答下面所提出的问题。
…………………..（A）
= ……….（B）
= ………………………（C）
=
（1）从上述计算过程中，从那一步开始出现错误：________
5．已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是_________．
A．AM∶BM=AB∶AMB．AM= AB
C．BM= ABD．AM≈0．618AB
二、填空题
6．在1∶500000的地图上，A、B两地的距离是64 cm，则这两地间的实际距离是________．
7．正方形ABCD的一边与其对角线的比等于________．
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
作图原理：可设AB=1,，则BD= ,则由勾股定理可知 .可进一步求出AE, AC.从而解决问题。
3.比例的基本性质：如果 ,那么ad=bc，逆命题也成立。
4.合比性质：如果 ，那么 ；如果 ，那么 。
A. B. C. D.
（3）已知分式 的值为零，则 .
例2、（1）若把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值（）
A、扩大3倍B、 不变C、 缩小3倍D、 缩小6倍
（2）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
例3、选择题
1.计算： + ，结果为B.－1+y+y
2．下列各式中，正确的是（ ）
A B C D
分式
（一）、主要知识点：
1.分式的定义
分母中含有字母的式子叫做分式，成立的条件：分母不为0。
2、分式的基本性质
， ，（M为不等于0的整式）
3、分式的运算
加减法： ，
乘除法： ，
乘方：
4.特别注意，只有当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零。
5.使分式有意义时字母的取值范围，又称为分式字母的允许值范围，如分式 的字母允许值范围是a≠0
2.计算： .
3.计算：
4.先化简,再求值: ,其中 , .
5.化简： ．
6．化简：
7.化简求值： ，其中 ．
8.先化简，再求值 （ ）÷ ，其中x＝ y＝
9.
10.已知x= ，求 的值.
11.已知实数a满足a2＋2a－8=0，求 的值.
12.解方程
13.先化简，再求值 ，其中， 。
14.计算： .
9.
10.原式 ； 当 时,原式＝ .
11. = =
由a2＋2a－8=0知，(a＋1)2=9，
∴ = ，即 的值为 .
12. 原方程变为
整理得 解得
经检验均是原方程的根
13. ＝ ＝
当
14.原式= =x2-y2
15.原式= = =
16.原式= · = =
17.比较可知，A与B只是分式本身的符号不同，
C．a=2，b= ，c=2 ，d=
D．a=2，b=3，c=4，d=1
3．已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是_________．
A．a∶d=c∶bB．a∶b=c∶d
C．d∶a=b∶cD．a∶c=d∶b
4．若ac=bd，则下列各式一定成立的是_________．
A． B． C． D．
（2）从B到C是否正确_____若不正确错误的原因是______
（3）请你正确解答.
（三）、典型习题：一、选择题
1.计算 的结果为.
+1C. D.
2.一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：
＋ = ．若u=12㎝，f=3㎝，则v的值为
A．8㎝B．6㎝C．4㎝D．2㎝
3.化简 的结果是
3. 下列各式： 其中分式共有（ ）
A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
4、若分式 同时扩大2倍，则分式的值 （ ）
A、扩大两倍 B、不变C、缩小两倍 D、无法确定
5. 已知 ， 等于（ ）
A B C D
例4、填空题
1. 在等号成立时，右边填上适当的符号： =_______ .
2. 当x时，分式 的值为负数.
21.计算： ÷(a― )
22.先化简再求值。 其中：
23.先化简，再求值： － ÷ ，其中 ＝ ， ＝ ．
黄金分割 答案：
一、1．C 2．C 3．B 4．B 5．C
二、6．320 km7．1∶ 8．2∶5 ， 9． 10．
三、11． 12．30 m13．10 cm
14．矩形ABFE是黄金矩形 由于 ，设AB=( －1)k，BC=2k，所以FC=CD=AB，BF=BC－FC=BC－AB=2k－( －1)k=(3－ )k，
所以 ，所以矩形ABFE是黄金矩形．
分式答案：解题指导
例1．1．C 2.D 3。 例2．1．C 2. B例3．1．A 2．D 3．A 4．B 5．D
例4．1．- 2．x 3．x=-2，x= 4． 5．a-3
例5．1．
2． （1）C （2）不正确，应通分而不是去分母 （3）
3．解：
=
=
=
典型习题：
一、选择题
A.一4B.4C. D. +4
4.化简 的结果是
A. B . C. D.
5.计算 的结果是
A. B. C. D.
二、填空题
1若x∶y=1∶2，则 =_____________．
2.计算 ．
3.用换元法解方程 时，若设 ，原方程可变为。
4.当 时,分式 的值为零.
5.计算： ＋ ＝。
三、解答题
1.已知x＝ ＋1，求x＋1－ 的值。
所以A、B互为相反数．
18.原式＝ 当x＝ 时，原式＝
19．原式= = = .
当 时,原式= =
20. 原式=x+1 21.原式= 。
22. 原式= = =2ab
当 时 原式=
23.原式＝ － · ＝ － ＝ ＝
当 ＝ ， ＝ 时 原式＝ ＝
5.D
二、填空题
1. 2. 3. y2—3y＋2＝04. 35. 1
三、解答题
1.原式＝ . 当x＝ ＋1时，原式＝－
2.原式= + = + = =1
3. 4.原式= ;1. 5.原式= = ． 6． 1
7.原式＝ ＝ ＝ ．
当 ＝ 时， 原式＝ ＝ ．
8.原式= ÷ = × = 当y＝ 时， = =
8．若2x－5y=0，则y∶x=________， =________．
9．若 ，则 =________．
10．若 ，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________．
ห้องสมุดไป่ตู้三、解答题
11．已知 ，求 ．
12．在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m，同时高为1．5 m的测杆的影长为2．5 m，那么古塔的高是多少
不能约分后再求分式的取值范围，要防止以下错误：
，当a≠1时，分式有意义(丢掉了a≠0)。
6、分式加减法的最后结果应化为最简分式或整式。
7、分式化简与解分式方程不能混淆。分式化简是恒等变形，不能随意去掉分母。
（二）、解题指导
例1 （1）下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. x2C. D.
（2）当a为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是（ ）
黄金分割及答案
黄金分割
（一）、主要知识点：
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中 ≈.
推导黄金比过程。设AB=1，AC=x，则BC=1-x，所以 ，即 ，用配方法解得x= ≈.
15.化简： ．
16.先化简，再求值：（ ）÷ ，其中x=2005
17.已知两个分式：A= ，B= ，其中x≠±2．下面有三个结论：
①A=B； ②A、B互为倒数； ③A、B互为相反数．请问哪个正确为什么
18.已知 ，求 的值。
19．已知 ，求 的值．
20.先将分式(1+ )÷ 进行化简，然后请你给x选择一个合适的值，求原式的值。
5.等比性质：如果 =……= （b＋d＋……＋n≠0）；
那么，
（二）、典型习题：
一、选择题
1．等边三角形的一边与这边上的高的比是_________．
A． ∶2B． ∶1C．2∶ D．1∶
2．下列各组中的四条线段成比例的是_________．
A．a= ，b=3，c=2，d=
B．a=4，b=6，c=5，d=10