高一数学试卷附答案解析
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)
高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)一、选择题1. 若集合A={2,4,6,8}，集合B={1,3,5,7}，则A∪B=（）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}B. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C. {2, 4, 6, 8}D. {1, 3, 5, 7}解析：集合的并就是包含所有元素的集合，所以A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，选项A正确。
2. 已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，2），则a+b+c的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：二次函数的顶点坐标为（h，k），所以a+b+c=a(h²)+b(h)+c=a(1²)+b(1)+c=a+b+c=k=2，选项B正确。
3. 若点P(3,4)在直线5x-ky=3上，则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：点P(3,4)在直线5x-ky=3上，代入坐标得到5(3)-k(4)=3，化简得15-4k=3，解得k=3，选项C正确。
二、填空题4. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，已知a1=3，a4=9，求公差d为_____。
解析：代入已知条件，9=3+(4-1)d，化简得3=3d，解得d=1。
公差d为1。
5. 在△ABC中，∠A=60°，BC=8，AB=4，则∠B=_____。
解析：根据三角形内角和为180°，∠B+60°+∠C=180°，化简得∠B+∠C=120°。
由已知BC=8，AB=4，利用正弦定理sinB=BC/AB=8/4=2，所以∠B=30°。
三、解答题6. 已知集合A={x|2x+1<5}，求A的解集。
解析：将不等式2x+1<5移项得到2x<4，再除以2得到x<2。
所以集合A的解集为{x|x<2}。
高一数学试卷带答案解析
高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.用表示a ，b 两个数中的最小值，设，则的最大值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-6 2.函数在一个周期内的图像如图，此函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3.从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（ ）A ．2x ﹣y ﹣1=0 B．x ﹣2y+1=0 C ．x+2y+1=0 D ．x+y ﹣1=05.定义在R 上的函数f(x)满足，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f(x 1)＋f(x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负6.函数的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.已知为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．B ．C ．D ．8.一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ） A ．B ．C ．D ．9.ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是 （ ）A ．A 、M 、O 三点共线B ．M 、O 、A 1、A 四点共面C ．A 、O 、C 、M 四点共面D ．B 、B 1、O 、M 四点共面 10.计算 （ ） A ．B ．C ．D ．311.若函数y ＝sin(2x ＋θ)(0≤θ≤π)是R 上的偶函数，则θ的值可以是( ) A ．0 B ．C ．D ．π 12.函数的图像为（ ）13.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ）A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数 14.已知全集，集合，，那么集合( ) A ． B ． C ．D ．15.已知中，且，，则此三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若3a＝2b，则的值为（）A．－ B． C．1 D．17.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．18.若集合,,则（）A．B．C．D．19.已知，则等于（）A．0 B． C． D．920.某小礼堂有25座位,每排有20个座位.一次心理讲座时礼堂中坐满了学生,讲座后为了了解有关情况,留下了座位号是15的25名学生进行测试,这里运用的抽样方法是A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法二、填空题21.若 .22.（2015秋•安庆校级期中）给出下列五个命题：①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x，当x＞x时，有2x＞x2成立；④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．其中正确的序号是．23.若为锐角，且sin ＝，则sin 的值为________．24.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP=3，则=25.给出下列四个命题： ①函数为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤函数的单调递增区间是.其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）26.（2012•杨浦区二模）若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是 ． 27.已知是集合到集合的一个映射，则集合中的元素最多有_______个．28.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角等于________.29.如图，正方形ABCD 中，M 是边CD 的中点， 设，那么的值等于 。
高一数学试卷含答案、解析以及知识点分类
高一数学试卷含答案、解析以及知识点分类 （数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C 4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈A B C2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C AB =，则C 的非空子集的个数为 。
3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则AB =_____________．4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是()A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.若，，则的值为()A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是()A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间单位：年之间的关系为其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为参考数据：，A.20B.16C.12D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域为__________.12.设，则的最小值为__________.13.已知，若，则__________.14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为__________.15.已知函数，则_______________用“>”“<”“=”填空；的零点为__________.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
高一数学试题及答案解析
高一数学试题及答案解析高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的答案填在指定位置上。
）1.XXXα、β满足−90°<α<β<90°，则是（）。
A。
第一象限角B。
第二象限角C。
第三象限角D。
第四象限角2.若点P(3,y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα=1/2，则tanα=（）。
A。
−1B。
−√3C。
√3D。
13.设f(x)=cos(30°x)，g(x)=2cos2x−1，且f(30°)=3/4，则g(x)可以是（）。
A。
cosxB。
sinxC。
2cosxD。
2sinx4.满足tanα≥cotα的一个取值区间为（）。
A。
(0,π)B。
[0,π/4)C。
(π/4,π/2)D。
[π/2,π)5.已知sinx=−√2/2，则用反正弦表示出区间[XXXπ,−π/2]中的角x为（）。
A。
arcsin(−√2/2)B。
−π+arcsin(−√2/2)C。
−arcsin(−√2/2)D。
π+arcsin(−√2/2)6.设|α|<π/4，则下列不等式中一定成立的是（）。
A。
sin2α>sinαB。
cos2α<cosαC。
tan2α>tanαD。
cot2α<cotα7.△ABC中，若cotAcotB>1，则△ABC一定是（）。
A。
钝角三角形B。
直角三角形C。
锐角三角形D。
以上均有可能8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t的函数：IA=Isinωt，IB=Isin(ωt+2π/3)，IC=Isin(ωt+4π/3)，且IA+IB+IC=0，π/3≤ϕ<2π/3，则ϕ=（）。
A。
πB。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知，则函数的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2-bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°3.已知，且，则函数与函数的图像可能是（ ）4.已知的值等于（ ）A ．B ．3C ．－D ．－3 5.函数f(x)＝是( )A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数6.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 若，且，直线不通过（ ）A ．第三象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第二象限 8.已知集合满足，则集合的个数为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5 9.在空间直角坐标系中，已知，，则，两点间的距离是 A ．B ．C ．D ．10.如右图，是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且，，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ． 11.无论=（x 1，x 2，x 3），=（y 1，y 2，y 3），=（z 1，z 2，z 3），是否为非零向量，下列命题中恒成立的是（ ）A ．cos ＜，＞=B ．若∥，∥，则∥C ．（）•=•（）D ．|||﹣|||≤|±|≤||+||12.函数f(x)=7+a x-3 (a>0,a≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为 A ．(3,3) B ．(3,2) C ．(3,8) D ．(3,7)13.某种商品，现在每件定价p 元，每月卖n 件。
根据市场调查显示，定价每上涨x成，卖出的数量将会减少y 成，如果涨价后的销售总金额是现在的1．2倍，则用x 来表示 y 的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ．14.若函数在上单调递减，则的取值范围是 A ． B ． C ．D ．15.．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则②若，，，则③若，，，则④若，，，则正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．416.（12陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A． B． C． D．17.△ABC中，，则△ABC一定是 ( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形18.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．19.已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3 B．中位数是4 C．极差是4 D．方差是220.函数y＝的单调递减区间为()A．(－∞，－3]B．(－∞，－1]C．[1，＋∞)D．[－3，－1]二、填空题21.设函数，则函数的零点为▲．22.（2015秋•昆明校级期末）已知α∈（0，），且tan（α+）=3，则lg （8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）= ．23.已知集合，则集合的非空真子集的个数是．24.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是 .25.已知，则的值为．26.已知cos（x﹣）=，x∈（，）．则=___________.27.28.已知函数的单调增区间是，则__________．29.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是__________30.在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= .三、解答题31.（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）若，求取值范围；（Ⅱ）求的最值，并给出最值时对应的的值.32.（本题15分）已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。
33.求的定义域.34.（1）已知，，其中，，求；（2）已知，，且，求的值.35.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E-BCD的体积．参考答案1 .C【解析】试题分析：由题意得，因为，所以，则，当且仅当时，即时等号的是成立的，故选C．考点：基本不等式的应用．2 .B【解析】在△ABC中，由余弦定理可得：，所以,故选B.3 .B【解析】试题分析：当时，，所以为增函数，也是增函数，故选B.考点：函数图象与性质.4 .D【解析】故选D5 .B【解析】试题分析：f(x)的定义域为R,，∴f(x)为奇函数.而f(x)＝=为增函数，故选B.考点：函数的单调性与奇偶性6 .B【解析】试题分析：，所求回归方程是。
考点：用最小二乘法求回归直线方程点评：本题考查了公式，同学们要熟记公式并理解各符号的含义。
7 .C【解析】略8 .B【解析】令集合由题意可得：，其中集合是集合的子集，利用子集个数公式可得：集合的个数为个.本题选择B选项.9 .A【解析】试题分析：∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|=。
故选A．考点：空间两点间的距离公式．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，是一个基础题，这种题目是一些解析几何问题的题目的一个环节，一般不会单独出题．10 .D【解析】本题考查数形结合、三角函数的和角公式等知识。
由题意，，故，对照选项，故选D。
11 .D 【解析】试题分析：逐个验证：选项A，当有一个为零向量时不成立；选项B，当时，则∥不一定成立；选项C，当与不共线时，不成立；选项D，无论与共线，还是不共线，都成立解：选项A，当有一个为零向量时不成立，故错误；选项B，当时，则∥不一定成立，错故误；选项C，当与不共线时，不成立，故错误；选项D，由向量模长的意义和三角形的三边关系可得，无论与共线，还是不共线，都成立，故正确．故选D点评：本题考查空间向量的共线与三角不等式，属基础题．12 .C【解析】析：由题意令x-3=0，解得x=3，再代入函数解析式求出y的值，得到函数f（x）图象恒过的定点，然后根据原函数与反函数图象的关系可得到结论．解答：解：令x-3=0，解得x=3，则x=3时，函数y=a0+7=8，即函数f（x）图象恒过一个定点（3，8）．故选C．点评：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点，以及原函数与反函数图象的关系，属于基础题．13 .C【解析】上涨x成后的价格为元；卖出的数量为则，即所以故选C14 .C【解析】试题分析：（1）当时，函数变为，由一次函数的性质知，在R上是减函数，符合题意；（2）当时，，对称轴为，根据在上单调递减，可判断出函数开口向上，解得：；综上：，故选：C.考点：二次函数的图像与性质15 .D【解析】，则存在有。
因为所以，从而有，命题①正确；，则。
而，所以可得，命题②正确；，则存在有。
同理存在有，所以，从而可得。
因为，所以。
因为，所以，命题③正确；设，因为，则存在，当时有。
同理可得存在，当时有。
所以，从而有。
因为，所以。
因为，所以，命题④正确。
综上可得，选D16 .D【解析】试题分析：是奇函数的仅有C,D，而为减函数，故选D。
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性。
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称。
17 .A【解析】试题分析：由正弦定理，得，即，即，所以，即考点：根据正弦定理判断三角形形状18 .B【解析】试题分析：由题意得关于轴对称，所以的一个可能取值为，选B.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；19 .B【解析】解：因为样本数据1，2，4，3，5，则中位数是4.5，平均数是5，极差是4 ，方差是2故选B20 .A【解析】该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．21 .【解析】当时，令可得，解得，符合；当时，令可得，解得。
因为，所以。
综上可得，函数的零点为22 .1【解析】试题分析：根据角的范围，由两角和的正切函数公式可求tanα，利用对数的运算性质即可计算得解．解：∵α∈（0，），且tan（α+）=3，∴=3，∴tan，∴lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=lg=lg=lg10=1．故答案为：1．考点：同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．23 .6【解析】试题分析：集合中有3个元素，故集合的非空真子集的个数为个．考点：集合的运算24 .【解析】略25 .【解析】试题分析：考点：本题考查了诱导公式及二倍角公式的运用点评：由值求值类型的试题往往通过角的变换转化，应用时往往用到诱导公式及二倍角公式26 ..【解析】试题分析：因为，且，则，所以；.考点：三角函数的基本公式.27 .【解析】28 .-6【解析】∵，且的单调递增区间是，∴，解得．29 .＜-或＞0且≠【解析】略30 .9【解析】试题分析：解：因为已知AB=4，AC=7，因为D是BC边的中点，根据正弦定理：又设cos∠BAD=x，cos∠BAD=根据余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•x=AC2+AD2-2AC•AD•解得：x=所以BD2=AB2+AD2-2AB•AD•x=BD=，BC=9．故答案为9．考点：余弦定理点评：此题主要考查在三角形中余弦定理正弦定理的应用，考查学生的分析应用能力，有一定的计算量属于中档题目．31 .(1) (2)时取得最大值【解析】试题分析：解：（Ⅰ）∵，为增函数，∴，即取值范围是…………………4分（Ⅱ）由得：，………………………6分又，∴当，即时取得最小值，………9分当，即时取得最大值. ………………………12分考点：本试题考查了对数函数的性质。
点评：解决该试题的关键是对于对数函数的性质的熟练运用，以及构造变量，得到形如二次函数，结合二次函数的性质求解得到，属于中档题。