自动控制原理第三章 二阶系统的数学模型及单位阶跃响应..
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自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
自动控制原理第三章 3.2
若z =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭 虚根，即 (3.22) s = ±jw
1,2 n
此时单位阶跃响应为
(3.23)
它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频 率wn 。当系统有一定阻尼时，wd总是小于wn 。
2. z =１，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn 系统输出的拉氏变换为
由于
，所以
因此
(3.35) 式中 (3.36)
由式(3.35)可见，z越小，tr也越小。
2. 峰值时间tp 按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到
到达第一个峰值时
wd tp = p
所以
(3.37) 上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一 定, z越小，tp也越小。
(3.27)
对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单 位阶跃响应为 (3.29)
图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。 显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z =１时来得长。
(a)根分布 图3-13
(b)单位阶跃响应 过阻尼情况(z >1)
3. 最大超调量sp
以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量
(3.38)
由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小， 超调量越大。当z =０时，sp %= 100%，当z =１时，sp % =０。sp与z的关系曲线见图3-16。
图3-16 sp与z的关系
4. 调节时间ts
根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中 T=1/zwn ，为c(t)包络曲线的时间常数，在z =0.69(或0.77)， ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中 曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造 成的，如图3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值 或0.02
1,2 n
此时单位阶跃响应为
(3.23)
它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频 率wn 。当系统有一定阻尼时，wd总是小于wn 。
2. z =１，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn 系统输出的拉氏变换为
由于
，所以
因此
(3.35) 式中 (3.36)
由式(3.35)可见，z越小，tr也越小。
2. 峰值时间tp 按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到
到达第一个峰值时
wd tp = p
所以
(3.37) 上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一 定, z越小，tp也越小。
(3.27)
对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单 位阶跃响应为 (3.29)
图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。 显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z =１时来得长。
(a)根分布 图3-13
(b)单位阶跃响应 过阻尼情况(z >1)
3. 最大超调量sp
以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量
(3.38)
由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小， 超调量越大。当z =０时，sp %= 100%，当z =１时，sp % =０。sp与z的关系曲线见图3-16。
图3-16 sp与z的关系
4. 调节时间ts
根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中 T=1/zwn ，为c(t)包络曲线的时间常数，在z =0.69(或0.77)， ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中 曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造 成的，如图3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值 或0.02
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
自动控制原理第三章3.3
Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
自动控制原理第三章(胡寿松)
11
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
注意：
1．不同性质的控制系统，对稳定性、准 确性和快速性要求各有侧重。 2．系统的稳定性、准确性、快速性相互 制约，应根据实际需求合理选择。
12
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的 时间。
调节时间ts：响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的 最小时间，误差带通常取 5 % h ( )或 2 % h ( )
h(t)
1.0
误 差 带 5%或 2%
0.5
td
h()
0
tr tp ts
16
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即：
快速性：输出量产生偏差时，系统消除这种偏差的快 慢程度。快速性表征系统的动态性能。一般用过渡过 程的时间来表示，如：上升时间、峰值时间、调节 时间等。
10
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
准确性：是衡量控制系统控制精度的重要标志。一般 用被控量的稳态值与期望值之间的误差（称为稳态误 差）表示。
成都信息工程学院控制工程系
3
第一章 自动控制的一般概念
⑴阶跃函数
Step Signal 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 1 2 3 4 t 5 r(t)
函数表达式：
当A=1时称为单位阶跃信号。
阶跃信号：含宽频带谐波分量，产生容易，是最常 用系统性能测试信号。
4
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
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当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的不衰减
（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线
d n 1 2
在 一定的情况下，n
越大，振荡频率 d也越
高，响应平稳性也越差。
结论：对于欠阻尼二阶系
统而言， 大， n 小，系 统响应的平稳性好。
• 快速性
从图中看出，对于5％误
1
1t
e T1
1
1t
e T2 , (t 0)
T2 / T1 1
T1 / T2 1
过阻尼系统单位阶 与一阶系统阶跃
跃响应
响应的比较
c(t)
一阶系统响应
1
c(t)
二阶过阻尼系统
0
t
t
0
过阻尼二阶系统分析
• 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近，衰减速度慢；（指数关系）
欠阻尼二阶系统单位响应系统的输出
c(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
1 s n
n
s (s n )2 d2 (s n )2 t
1 2
(sin dt)]
c(t) 1
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t) A0 A1es1t A2es2t
式中A0 , A1, A2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。
➢典型二阶系统的暂态特性
①特征根分析— 0 1（欠阻尼）
s1,2 ns jn 1 2
此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
⑥特征根分析—（负阻尼） 1
s1,2 n n 2 1
此时s1,s2为 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
➢二阶系统单位阶跃响应
1. 过阻尼 ( 1)二阶系统的单位阶跃响应
由
C(s) R(s)
• 衰减项前的系数一个大，一个小；
• 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统；
• 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 c(t)
h(t) 1
1
1t
e T1
1
1t
e T2 , (t 0)
s2
n2 2n s
n2
得
C(s)
n2
1
1
1
(s s1)(s s2) s (T1s 1)(T2s 1) s
s1 n n 2 1 1/ T1
s2 n n 2 1 1/ T2
取C(s)拉氏反变换得：
h(t) 1
此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
s1=s2=-n
④特征根分析—（无阻尼） 0
s1,2 n n 2 1 jn
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。
S1,2= jn
⑤特征根分析—（负阻尼）1 0
s1,2 n jn 1 2
22 nn
ss((ss 22nn))
C(s)
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G(s) n2 s(s 2n )
闭环传递函数：
C(s) R(s)
s2
n2 2n s
n2
二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 0
解方程求得特征根：
s1,2 n n 2 1
1
1 2
ent
sin(d t
arccos )
欠阻尼二阶系统输出分析
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分 量和暂态分量组成。稳态分量值等于1， 暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。
右图为 二阶系 统单位 阶跃响 应的通 用曲线
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(d t
arccos )
根据右图分析系统的结
构参数 、n 对阶跃
响应的影响
• 平稳性（％）
暂态分量的振幅为：A ent
1 2
振荡角频率为：d n 1 2
结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的 振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，
越小， ωd 越大，振荡越严重，平稳性越差。
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
d 2c(t) dt 2
2n
dc(t) dt
n2c(t)
n2 r (t )
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
差带，当 0.707时，调
节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量<5％， 平稳性也较好，故称
0.707 为最佳阻尼比。
总结： n 越大，调节时
间 ts 越短；当 一定时，n
越大，快速性越好。
• 稳态精度
h(t) 1
T2 / T1 1
T1 / T2 1
t
0
c(t)
过阻尼二阶系统阶 跃响应指标分析
t
1.误差ess
lim[r (t )
t
c(t)]
0
0
2.响应没有振荡％ 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ts，
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快
速性的一个方面，但确定 ts 的表达式是很困难的，
一般取相对量 ts / T1 及T1 / T2 经计算机计算后制成曲线 或表格。
2.欠阻尼 (0 1)二阶系统的单位阶跃响应
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
s1,2 n jn 1 2
jd
n为根的实部的模值；
d n 1 2为阻尼振荡角频率
此时s1,s2为 一对共轭复 根，且位于 复平面的左 半部。
②特征根分析—（过阻尼） 1
s1,2 n n 2 1
此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
③特征根分析—（临界阻尼） 1
s1,2 n n 2 1 n