量子力学第1讲 绪论
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学第一章
e nh
n 0
kT
d nx h e dx n 0
e nx
n 0
d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx
h (e h
kT
1)
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
E ( , T ) 2c
应改为
0
E kT
dE
0
0
e E kT dE
E kT
kT( E e
E kT 0
e
dE)
0
e E kT dE
kT
而对于 Planck 假设，能量分布几率则为
e
nh kT
e
n 0
nh kT
E nh e nh
n 0
kT
h me c 2 Ee h '
P Pe P
① ②
于是可得
h ' (1 cos ) me c
h mec
称为电子的康普顿散射波长，它等于 。
2.43 1012 m
所以，从黑体辐射，光电效应和康普顿散射 的实验事实讨论中，我们可以得出结论：辐射除 了显示其波动性外，在与物质的能量和动量的交 换时，还显示出微粒性，两者之间的关系
h P
即 p k （
k
2
）
称为德布罗意关系。 当然，能量与频率关系仍为 E h （称为Einstein关系） 这两关系，把粒子的动力学变量与波的特征 量联系起来。也就是说，对一个具有确定能量 和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波 长（波数）及一定的传播方向 P P。 而一定频率和波长的波（并有一定的传播方 向）是一平面波
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学第一章绪论
微分几何和流形
微分几何
微分几何是研究曲线、曲面和更高维度 的流形在微小变化下如何变化的数学分 支。在量子力学中，微分几何用于描述 量子态的演化、相干性和纠缠。
VS
流形
流形是微分几何中的基本概念，用于描述 弯曲的几何空间。在量子力学中，流形用 于描述量子系统的状态空间和相干性。
背景
经典物理学的成就
在19世纪末，经典物理学已经取得了巨大的成就，包括牛顿力学、麦克斯韦电 磁理论和热力学的统计理论等，这些理论在描述和预测物理现象方面表现出色。
经典物理学的局限性
然而，随着实验技术的发展和对微观世界的深入研究，人们发现经典物理学无 法解释一些新的实验现象，例如黑体辐射和光电效应等。
黑体辐射和紫外灾难
黑体辐射的实验观察
在19世纪末，通过实验观察到黑体辐射的能量分布与经典物理学预测的结果不符 ，导致所谓的“紫外灾难”。
普朗克的光子理论
为了解决黑体辐射问题，普朗克提出了一种新的理论，即光子理论。他认为光是 以离散的能量包（即光子）的形式传播的，而不是连续的波动。这一理论成功地 解释了黑体辐射的实验结果。
双缝实验和量子相干性
双缝实验
双缝实验是一种经典的实验装置，用来研究微观粒子的 波动性质。当单个粒子通过双缝时，会形成干涉图样， 表明粒子具有波动性质。双缝实验是量子力学中最重要 的实验之一，它证明了微观粒子具有波粒二象性。
量子相干性
量子相干性是指微观粒子在相互作用过程中保持相互关 联的性质。这种关联使得粒子之间可以发生纠缠，即一 个粒子的状态与另一个粒子的状态相关联。量子相干性 是量子力学中最重要的性质之一，它是实现量子计算和 量子通信等应用的基础。
量操作可以减小对被观测量子系统的影响。
量子力学 01绪论
3. 普朗克公式
2π c 2 h 1 M λ (T ) = λ 5 e hc / λ kT − 1
在全波段与实验结果符合 在全波段与实验结果符合
经典 量子 通过查阅资料，从能量量 子化假设出发，推导 Planck公式。要求给出完 整的推导过程和参考文献 的名称。
hν
(n ,m)
1 1 = 13.6eV( 2 − 2 ) n m
（氢原子） 氢原子）
n<m
• • • • • • • • •
经典电动力学因无法解释上述两点而失败。 经典电动力学因无法解释上述两点而失败。 为解释这些现象， 玻尔） 为解释这些现象，N.Bohr（尼.玻尔）提出二点 （ 玻尔 假设： 假设： 原子仅能稳定地处于与分立能量（ ① 原子仅能稳定地处于与分立能量（E1, E2 ,L） 相对应的一系列定态 定态中 不辐射能量； 相对应的一系列定态中，不辐射能量； 原子从一个定态到另一个定态 定态到另一个定态时 ② 原子从一个定态到另一个定态时，也就是 电子从一个轨道跃迁到另一轨道时， 电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，将吸收或发 射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差， 射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差， 其频率为 ν = (Em − En ) h
h → h→ → n 0 = n+ m v λ λ 0 e 波长 h (1 − cosθ ) ∆λ = λ − λ 0 = 偏移 m0 c
三 . 康普顿效应验证了光的量子性 经典电磁理论的困难： 1. 经典电磁理论的困难：按经典电动力学电 磁波散射后波长不发生变化。 2. 康普顿的解释 • X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性 射线光子与“ 自由电子” 射线光子与 静止” hν r • 碰撞过程中能量与动量守恒 碰撞 n c hν 0 + m 0 c 2 = hν +mc 2
第一章(量子力学)汇总
2.黑体只能以 E = hν 为能量单位不连续的发射和吸收能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.
3. 热力学与统计物理学----热现象理论
二、经典物理学的困难
进入20世纪以后，经典理论在解释一些新的试验结果 上遇到了严重的困难，晴朗的物理学天空飘着几朵乌 云：
1、黑体辐射问题－紫外灾难
2、光电效应--光照射到金属材料上，会产生光电子。但 产生条件与光的频率有关，与光的强度无关.
3、原子的稳定性问题－原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约 为1ns.
内容
第一章 绪论
第二章 波函数和 Schrödinger 方程
第三章 量子力学中的力学量 第四章 态和力学量表象 第五章 微扰理论 第六章 散射 第七章 自旋与全同粒子
参考：周世勋教材 高等教育出版社 曾谨言教材(卷I) 科学出版社
第一章 绪论
§1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 微粒的波粒二象性
•Planck 辐射定律成 功的解释了实验
对
Planck
辐射定律的讨论： d
8 h 3
C3
exp(h
1 / kT
)
1
d
•1.当 ν 很大（短波）时，因为 exp(hν /kT)-1 ≈ exp(hν /kT)， 于是 Planck 定律 和 Wien 公式一致.
d
8h
C3
3
exp(h
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实验观测到： 氢原子光谱是彼此分裂的线状光谱， 每一条谱线具有确定的波长（或频率）
H 6562 .8 A
H 4861 .3 A H 4340 .5 A
原子光谱是研究和了解原子内部结构的重要方法
14
一、经典物理遇到的困难与能量量子化(12)
—— 辐射频率公式
16
一、经典物理遇到的困难与能量量子化(14)
根据玻尔的假设，可以计算出电
子在量子数为 n 的轨道上运动时，原
子系统总能量是：
En
1 n2
me4
8 02h2
(n 1,2,3)
能量是量 子化的
kn En Ek / h
νkn
me4
8
2 0
h2
(
1 k2
1 n2
)
5 4
3
-8.5eV -1.5eV
黑体辐射
氢原子光谱
狭义相对论
量子力学
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（4）
20世纪初物理学界遇到的几个难题
一、黑体辐射问题－紫外灾难
按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的
能量 E 与频率 的关系（R-J公式）为：
E
E(
)
8kT
c3
2
υ
此关系与实验及日常经验严重不符！
6
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（5）
绝对黑体和黑体辐射
能完全吸收各种波长电磁 波而无反射和透射的物体。
存在热辐射过程：任何物体在任何温度下都在
不断地向外发射各种波长（频率）的电磁波。
E
E(
)
8k T
c3
2
（R-J公式）
υ
7
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（6）
不同温度下黑体的辐射率
1 Wien公式
(1893)
E( ) c1 e3 c2 /T
2 Rayleigh—Jeans公式
(1900-1905)
E(
)
8kT
c3
2
3 普朗克公式
(1900)
E(
)
c1 3
ec2 /T 1
M
与实验结果 惊人地符合
实验结果 维恩线 瑞利－金斯线 普朗克线
l
8
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（7）
普朗克(1858-1947)量子假说
辐射黑体中分子和原子的振动 可视为线性谐振子，这些线性谐 振子可以发射和吸收辐射能。这 些谐振子只能处于某些分立的状 态，在这些状态下，谐振子的能 量不能取任意值，只能是某一最
电子的能量变化只能发生在不 2 同的能级间，称为电子能态的跃 迁，因此只能产生分立谱线。
n1
-3.39eV -1137.6eV
一、经典物理遇到的困难与能量量子化(15)
能量量子化概念不仅解释了原子寿命的问 题，而且提出了产生电磁波的量子论观点
小能量 的整数倍
,2 ,3 ,4 ,, n
能量不连续，只 能取某一最小能
量的整数倍!!!!!
n为整数，称为量子数
对频率为 的谐振子, 最小能量 为: 称为能量子
hν
普朗克常数：h = 6.6260755×10-34 J·s
9
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（8）
普朗克从这些假设出发可以得到著名的普朗克公式：
量子力学
光电子科学与工程学院
第一讲 绪 论
1
目录
一、经典物理遇到的困难与能量量子化 二、波粒二象性 三、学习量子力学的目的和要求 四、平面波与傅里叶变换
2
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（1）
威尔杜兰特
世界文明史
（1885-1981） 1968年获普利策奖
（11卷本）
文明是增进文化创造的社会秩序…。动乱终结之时
连续的。 普朗克常数：h = 6.6260755×10-34 J·s
11
作业
通过查阅资料，从能量量子化假 设出发，推导Planck公式。 要求：给出完整的推导过程和参 考文献的名称。
12
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（10） 二、原子的稳定性问题
原子塌陷与氢原子光谱
按经典理论，如果采用卢瑟福的原子有核模 型，电子绕核做加速运动，因而以连续谱的形式 向外辐射能量，并最终因能量耗尽而掉到原子核 里，原子的寿命约为1ns。
，即是文明的起点，因为一旦恐惧被克服，好奇心与
建设不受约束，人们自然便会产生进一步了解并改善
生活的冲动。
3
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（2）
19世纪末，物理学界建立了牛顿力学、电动力学、热 力学与统计物理，统称为经典物理学。其中的两个结论为：
1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动 时，会向外射电磁波。如：回旋加速器中的轫致辐射。
能量的状态，在这些状态上电子虽然绕核做园周运动
但并不向外辐射电磁波。这些状态称为原子系统的稳
定状态（简称定态）。这些定态的能量：
E1 , E2 ,, En
（2）跃迁假设：电子从一个能
量为 En 的稳定态跃迁到另一能量 为 Ek 的稳定态时，要吸收或发射 一个频率为 的光子，有：
n=n = kn
En - Ek h
动力学理论断言，热和光都是运动的方式。但现在这
一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然
失色…
——《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》
开尔文男爵 1900年4月27日
4
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（3）
物理学晴朗的天空上， 飘着几朵令人不安的乌云
迈克尔逊 —莫雷实验
光电效应
康普顿效应
经典物理学认为能量永远是连续的。在解释
黑体辐射时遇到困难。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电
磁波，只能以“量子”的方式进行，那末黑体辐
射问题就能得到很好的解释。
经典理论认为能量是；普朗克的连续不断的
观点改变了这种认识，认为能量是量子化的，是
一份一份的。于是，量子的概念浮出水面。只是
由于普朗克常数太小，我们通常感受的能量都是
E(
)
c1
ec2 /T
3
1
为了找出N个振子具有总能量
Un的可能性，我们必须假设Un 是不可连续可分割的，它只能
是一些相同部件的有限总和…
——《黑体光谱中的能量分布》 普朗克在德国物理学会的报告 1900年12月14日
1918年他荣获诺贝尔物理学奖 10
一、经典物理遇到的困难与能量量子化（9） 能量的量子化假设
按经典理论，如果采用卢瑟 福的原子有核模型，应该观测 到的是连续谱。但连续谱会导 致原子的塌陷。可是，为何会 产生分立谱？
原子的稳定性问题？
问题： 原子分立的线状光谱？
玻尔
（Niels Henrik David Bohr） （1885-1962）
15
一、经典物理遇到的困难与能量量子化(13)
玻尔的假设：(1913 “论原子分子结构” ) （1）定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续