矩阵的特征根的求法及应用
矩阵的特征根的求法及应用
摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。
关键字 矩阵 特征值 特征多项式
1.特征值与特征向量的定义及其性质；
1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质
1.1 矩阵特征值与特征向量的定义
设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量.
1.2 矩阵特征值与特征向量的性质
矩阵特征值与特征向量的性质包括：
（1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤.
（2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量.
（3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，
其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.
（4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则
nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21.
（5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交.
（6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.
2．特征值与特征向量的常规求法；
1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法.
1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。
列1：求实数域上矩阵122212221A -????=--????--??
的特征值与特征向量。
传统解法；解
()()()21
221422
12232221001
1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+??
令()()()
()()
11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c
kc r kr π???? ??
?+-0E A λ-=,得121λλ==（二重），35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时，对应的特征方程；
12312312322202220
2220x x x x x x x x x --=??-++=??-++=?
的基础解析为
1110ξ????=??????，2101ξ????=??????
所以A 的属于121λλ==全部特征向量为1122k k ξξ+，其中1k ，2k 为不全为零的常数； 当35λ=时，对应的特征方程
123123123422024202240x x x x x x x x x ---=??--+=??-+-=?
的基础解析为
3111ξ????=??????
所以A 的属于35λ=的全部特征向量为33k ξ其中3k 不为零. 定理1：A 是n 阶方阵, λ为待求特征值.若对矩阵(A- λE) 施行一系列行初等变换, 可得到上三角矩阵B ' (λ) , 令B ' (λ) 的主对角线上元素乘积为零, 求得值即为矩阵A 的特征值.
例 求实数域上矩阵
122212221A -????=--????--??
的特征值与特征向量.
解
第九章矩阵特征值问题的数值方法
第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.
如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式，称为矩阵A 的特 征多项式， 其中a 0=(-1)n ｜A ｜. (2)
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是的根. 反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x T y=0 .
9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H，那么，A称为Hermite矩阵.
用QR算法求矩阵的特征值
一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容：给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求： （1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10 5 -）。 （2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)
plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果： >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
矩阵的特征多项式与特征根
矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．
一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用 作者：高英 学号： 2010012491 所属学院：金融与数学书院 专业班级：应数1002班 指导教师：赵建中职称：院长 完成时间： 2014 年 4月 10日 皖西学院教务处制
独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学生签名：日期：年月日 论文版权使用授权书 本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学生签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月
目录 摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。 1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。 1.2 研究现状 (1) 1.3研究方法 (2) 1.4研究内容 (2) 第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。 2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。 2.2 幂零矩阵 (2) 2.3 对称矩阵 (3) 2.4 三对角矩阵 (4) 第3章矩阵特征值的求法与应用 (4) 3.1 一般矩阵的求法与应用 (4) 3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7) 结语 (20) 致谢 (20) 参考文献 (21)
矩阵特征根的有关问题
矩阵特征根的有关问题 吴晗 数学系 数学与应用数学 06180226 [摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义，接着介绍了矩阵特征根的有关求法，其次讨论了矩 阵特征根的性质，最后利用其求法与性质解决一些代数问题。 [关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用 矩阵，线性代数研究的基本对象。按照矩阵的观点，线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容，与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。 所以二者有相辅相成之意。涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举： 1 矩阵的特征根的定义 设() ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 ()11 12121 22212.......... ............n n A n n nn x a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式，而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。即在方程中求解出x （x 在复数域内）,其中I 是n 阶单位矩阵。而在矩阵的特征根研究中，我们不只是就仅仅要知道特征根是什么，它不是一个孤立存在的知识点，往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。就像前面所说特征值与特征向量的引入是为
雅克比过关法求特征值和特征向量
1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数： 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组，长度为矩阵的阶数，返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵，其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数，默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度，默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值：BOOL型，求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素，并记住位置
幂法求矩阵最大特征值
幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代
POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
矩阵的特征值和特征向量
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
解方程、求表示法、求特征向量
一、计算 1.求齐次线性方程组 x x x x x x x x x x x x --+= ? ? --+= ? ?--+= ? 1234 1234 1234 42420 33320 75740 的一个基础解系 2.求齐次线性方程组 --+= ? ? --+= ? ?--+= ? 1234 1234 1234 44420 34320 78740 x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系 3.求4元齐次线性方程组 1245 1245 1245 32420 3390 2570 x x x x x x x x x x x x +-+= ? ? --+= ? ?+--= ? 的一个基础解系 4.求4元齐次线性方程组 1245 1245 1245 42430 4330 42470 x x x x x x x x x x x x ---= ? ? +-+= ? ?+--= ? 的一个基础解系 5.解齐次线性方程组 12345 1345 12345 220 320 220 x x x x x x x x x x x x x x ++-+=? ? ++-=? ?--+++=? 6.解齐次线性方程组 12345 1345 12345 20 30 20 x x x x x x x x x x x x x x ++-+=? ? ++-=? ?--+-+=? 7.已知实对称矩阵 141 411 114 A ?? ? = ? ? ?? ，计算A的全部特征值，并求最大特征值相应 的一个特征向量。 8.已知实对称 453 543 332 A - ?? ? =- ? ? ?? ，计算A的全部特征值，并求最大特征值相应的 一个特征向量。 9.已知实对称 331 151 117 ?? ? = ? ? ?? A，计算A的特征值，并求最大特征值相应的全体特 征向量。
矩阵的特征根的求法及应用
矩阵的特征根的求法及应用
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矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21Λ的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21Λ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21Λ，则 nn n a a a +++=+++ΛΛ221121λλλ，A n =λλλΛ21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
矩阵特征值的意义
矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=
? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ
特征值和特征向量的性质与求法
特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量
1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值
矩阵的特征根的求法及应用
矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值， 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2．特征值与特征向量的常规求法； 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。 列1：求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法；解 ()()()21 221422 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ?+-0E A λ-=,得121λλ==（二重），35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时，对应的特征方程； 12312312322202220 2220x x x x x x x x x --=??-++=??-++=?
乘幂法求特征值及特征向量
#include 第五章 求矩阵特征值与特征向量 n 阶方阵A 的n 个特征值就是其特征方程 det()0λ-=A I 的n 个根，方程A 属于特征值λ的特征向量x 是线性方程组 λ=Ax x 的非零解。本章讨论求方阵A 的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。 5.1 幂 法 在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。 5.1.1幂法的基本思想 幂法是求实方阵A 按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零 初始向量0x ，然后作迭代序列 1k k +=x Ax ，0,1,k =??? （5。1） 再根据k 增大时，k x 各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A 的按模最大特征值及其特征向量。 先看一个计算实例。 例1 设矩阵 122 1??= ??? A 用特征方程容易求得A 的两个特征值为 11-=λ，32=λ 下面用幂法来计算，取初始向量()01,0T =x ，计算向量序列 1k k +=x Ax ，0,1,k =??? 具体结果如表5.1所示. 表5.1 幂法计算结果 k ()1k x () 2 k x 0 1 1 2 3 1 5 13 2 4 14 4 5 6 7 41 121 365 1093 40 122 364 1094 考察两个相邻向量对应分量之比： 5) 1(1)2(1=x x ,6.2)2(1 )3(1=x x ,(4)1(3)1 3.154x x =,(5)1(4)1 2.951x x =,(6)1(5)1 3.016x x =，(7) 1(6)1 2.994x x = 2) 1(2)2(2=x x ,5.3)2(2 )3(2=x x ,(4)2(3)2 2.857x x =,(5)2(4)2 3.05x x =,(6)2(5)2 2.983x x =, (7) 2 (6)2 3.005x x = 由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k 的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰 好就是矩阵A 的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。 5.1.2 幂法的计算公式 为简便起见，设矩阵A 的几个特征值按模的大小排列如下： n λλλ≥≥≥ 21 其相应特征向量为12 ,,n u u u ，并且是线性无关的，因此可作为n 维向量空间的一组基。 任取初始向量( )(0)(0) (0)012,, 0T n x x x =≠x ，首先将0x 表示为 01122n n a a a =++ +x u u u 作迭代序列 1k k +=x Ax , 0,1,k =??? 则 10111222n n n a a a λλλ==++???+x Ax u u u …… …… 1111222k k k k k n n n a a a λλλ-==++???+x Ax u u u 于是 21112211k k k n k n n a a a λλλλλ?????? ?=++???+ ? ? ??????? x u u u 为了得出计算1λ和1u 的公式，下面分三种情况讨论。 1.1λ为实根，且 12λλ> 第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得 求矩阵特征向量的三种方法 文爱民 （湘南学院数学系2000级1班中国郴州 423000） 摘要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法 得当，将大大提高计算速度. 关键词：行初等变换列初等变换矩阵特征向量 Three methods of requesting matrix eigenvector Aimin-W en （Class 1,Grade 2000,Department of Mathematics XiangNan University ,Chenzhou 423000 ,China） Abstract: D ifferent from the thought of only considering to use row elementary Counterchange to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation. Key words:row elementary counterchange;tier elementary counterchange; matrix;eigenvector. §1、定义 定义1 所谓数域P上矩阵的初等变换是指下列三种变换：1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）. 2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）第五章 求矩阵特征值和特征向量
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
用列初等变换求矩阵的特征向量