2020年河北省保定市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年河北省保定市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=，则=（）A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i2.已知cosα=-，且α为第二象限角，则sin2α的值为（）A. B. - C. D. -3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|1＜2x＜4}，Q={y|y=2+sin x，x∈R}，那么P-Q=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0≤x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. {x|0＜x＜1}4.若方程=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A. m＜2或m＞6B. 2＜m＜6C. m＜-6或m＞-2D. -6＜m＜-25.在如图所示的程序框图中，如果输出p=120，则输入的N=（）A. 3B. 4C. 5D. 66.已知向量，满足||=3，||=2，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°7.已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=的取值范围是（）A. [0，2]B. [0，]C. []D. [0，+∞）8.一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则几何体的体积为A. B. C. D.9.设△ABC的内角A、B、C，满足2sin2A sin2B+sin A sin B=sin2A sin2B，则cos C=（）A. -B. -C.D.10.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为（）A. 5πB. πC. 9πD. π11.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n=a n+1，则a11=（）A. 410B. 3×48C. 3×49D. 3×21712.设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）-ln（x+e2）的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为______14.从由数字，，所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为________．15.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则x=______斤．16.已知点O为△ABC所在平面内的一点，且满足||=||=||=1，3，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且f（A）=-2，a=4，求△ABC 面积的最大值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=，AB=4，PA=PD=2．（1）若M为线段AB中点，N为线段PC中点，求证：MN∥平面PAD；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三校锥A-PBD的高．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．20.为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙[490，495）62[495，500）812[500，505）1418[505，510）86[510，515）42（2）若以频率作为概率，试着估计从两个小组的试验数据中分别任取一个数据，则其恰好是理想数据的概率各是多少？（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据不理想数据合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知函数f（x）=a ln x-+1，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线M的参数方程是（θ为参数）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，P为曲线M上的动点，求△ABP面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+a|，a∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）≥1；（2）若x∈（2，4）时，|f（x）|＜|2x+a-1|，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z==，∴=-1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得,则=-1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．2.答案：B解析：解：∵cosα=-，且α为第二象限角，∴sinα==，则sin2α=2sinα•cosα=2••（-）=-，故选：B．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．3.答案：D解析：解：P={x|0＜x＜2}，Q={y|1≤y≤3}；∴P-Q={x|0＜x＜1}．故选：D．根据P-Q的定义，可求出P，Q，然后即可求出P-Q．考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及P-Q的定义．4.答案：A解析：解：若方程=1表示双曲线，则（m-2）（6-m）＜0∴m＜2或m＞6，故选：A．利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：第一次p=1，k＜N成立，k=2，第二次p=2，k＜N成立，k=3，第三次p=6，k＜N成立，k=4，第五次p=24，k＜N成立，k=5，第六次p=120，k＜N不成立，输出p=120，故k≤4不成立，k=5成立，则N=5，故选：C．根据条件进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵，；∴；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：B．根据即可得出，从而得出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．7.答案：A解析：解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数z=的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由得A（1，2），所以k OA=2，由图可知目标函数z=的取值范围是：[0，2]．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：由题意可知几何体C-MEF的体积=V ADF-BCE-V F-AMCD-V E-MBC==．故选：D．利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可．本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力．9.答案：B解析：解：∵2sin2A sin2B+sin A sin B=sin2A sin2B=2sin A cosAsin B cosB，又∵sin A sin B≠0，∴可得：2sin A sin B+1=2cos A cos B，可得：1=2cos（A+B）=-2cos C，∴解得：cos C=-．故选：B．利用二倍角的正弦函数公式化简已知等式，结合sin A sin B≠0，可得2sin A sin B+1=2cos A cos B，进而根据两角和的余弦函数，诱导公式可得cos C的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的半径是解答本题的关键，属于较易题.由题意可得，S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的半径，代入球的表面积公式即可得到答案．解析：解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径．∵SA=1，AB=2，BC=2，∴2R==3，即R=．∴球O的表面积S=4•πR2=9π．故选：C．11.答案：C解析：解：由题意，可知：①当n=1时，a2=3S1=3；②当n≥2时，a n=S n-S n-1=，∴，即：a n+1=4a n．∴数列{a n}从第2项起是以3为首项，4为公比的等比数列．∴∴a11=3×49．故选：C．本题先根据题中公式推出前几项，然后根据公式a n=S n-S n-1得出数列{a n}从第2项起是一个等比数列，即可得出数列{a n}的通项公式，即可得到结果．本题主要考查公式a n=S n-S n-1的应用，以及等比数列的判定，本题属中档题．12.答案：C解析：解：函数g（x）=f（x）-ln（x+e2）的零点个数即为g（x）=0，即y=f（x）和y=ln（x+e2）的图象交点个数，作出y=f（x）的图象和y=ln（x+e2）的图象，可得它们共有3个交点，即零点个数为3．故选：C．由题意可得可令g（x）=0，即求y=f（x）和y=ln（x+e2）的图象交点个数，作出y=f（x）的图象和y=ln（x+e2）的图象，通过观察可得所求零点个数．本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想，考查判断能力和推理能力，属于基础题．13.答案：y=x+1解析：解：函数y=x2+e x，可得y′=2x+e x，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为：y=x+1．故答案为：y=x+1．求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.答案：解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出所求概率．【解答】解：从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，∴该数为没有重复数字的两位数的概率为p==．故答案为：．15.答案：1.2解析：解：由题意可知过第一关后剩余，过第二关后剩余•=，过第三关后剩余=，过第四关后剩余•=，过第五关后剩余=，∴x-=1，解得x=1.2故答案为：1.2计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案．本题考查了数学应用，属于基础题．16.答案：解析：解：∵||=||=||=1，3，∴，两边同时平方可得，9+16+24=25，∴=0，∵=，则==（）==0=，故答案为：．由已知可知两边同时平方可求，然后结合=，及=，结合向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题．17.答案：解：（1）函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1．=，=，所以：函数的最小正周期为．（2）由于f（A）=-2，故：，解得：A=．由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：16=b2+c2+bc≥3bc，所以：则：=．解析：（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数最小正周期．（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）如图所示，取线段PD的中点H，连结NH，AH，在△PDC中，NH∥DC，NH=，∵ABCD是菱形，M为中点，∴AM∥DC，AM=，∴HN∥AM，HN=AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，∵AH⊂面PAD，MN⊄面PAD，∴MN∥平面PAD．解：（2）∵PA=PD=2，AD=4，∴AP⊥PD，取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，则PO=2，BD=4，在Rt△POB中，PB=4，∴S△PBD==2，设三棱锥A-PBD的高为h，由V P-ABD=V A-PBD，得，解得h=，∴三棱锥A-PBD的高为．解析：（1）取线段PD的中点H，连结NH，AH，推导出AM∥DC，AM=，四边形AMNH为平行四边形，从而MN∥AH，由此能证明MN∥平面PAD．（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，设三棱锥A-PBD的高为h，由V P-ABD=V A-PBD，能求出三棱锥A-PBD的高．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c=1，又椭圆的离心率e=，∴a=2，则b=．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．△＞0即只需n2＜4k2+3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴P（），∴．∴．解析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得k MN•k OP为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）根据题意，画出甲、乙两个小组的频率分布直方图如下；（2）由题意知，甲小组的理想数据为8+14+8=30，故甲小组的理想数据频率为=0.75；乙小组的理想数据为12+18+6=36，故乙小组中理想数据的频率为=0.9；据此可以估计从甲组数据中任取1个数据，该数据恰好为理想数据的概率为0.75，从乙组数据中任取1个数据，该数据恰好为理想数据的概率为0.9；（3）甲小组的理想数据为30，乙小组的理想数据为36，由此填写列联表如下；甲小组乙小组合计理想数据303666不理想数据10414合计404080由表中数据，计算K2=≈3.117＞2.706，所以有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择有关．解析：（1）根据题意画出甲、乙两个小组的频率分布直方图；（2）由题意计算甲、乙小组的理想数据和频率，由此得出结论；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．21.答案：解：（1）f（x）=a ln x-+1的定义域是（0，+∞），f'(x)=，a≥0时，f'(x)＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，a＜0时，令f'(x)＞0，解得：0＜x＜-，令f'(x)＜0，解得：x，∴f（x）在（0，-）单调递增，在（-，+∞）单调递减；（2）∵f（1）=0．由（1）可得当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，x＞1时，f（x）＞0，x＜1时，f（x）＜0．所以，此时（x-1）f（x）≥0恒成立，即a≥0符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，-）递增，在（-，+∞）递减，且f（1）=0；①当时，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，易知（x-1）f（x）≥0不恒成立；②当-＜1时，即a＜-1时，f（x）在（0，1）上由f（-）＞f（1）=0，易知（x-1）f（x）≥0不恒成立；③当-时，即-1＜a＜0时，，=-，易知（x-1）f（x）≥0不恒成立；综上，（x-1）f（x）≥0恒成立时，a的取值范围为[0，+∞）．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可得当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，（x-1）f（x）≥0恒成立，当a＜0时，分①当，②当-＜1，③当-讨论．22.答案：解：（1）由题意可知C：x2+y2=3，直线l的直角坐标方程为y=x-1．（2）将直线l方程代入C的方程并整理得t2+-2=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-2，∴|AB|=|t1-t2|=，所以点P到直线l的距离d==，所以当sin（-θ）=-1时，d的最大值为，即三角形ABP面积最大值为××=．解析：（1）消去参数t可得直线l的直角坐标方程，由ρ=可得ρ2=3，可得x2+y2=3；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值．本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≥1，得x＜-2；当-2≤x≤1时，由f（x）≥1得-2≤x≤-1；当x＞1时，由f（x）≥1，无解；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-1}（2）因为|f（x）|=||x-1|-|x+a||≤|（x-1）+（x+a）|=|2x+a-1|，当且仅当（x-1）（x+a）≤0时，等号成立．当（x-1）（x+a）＞0时，|f（x）|＜|2x+a-1|，记其解集为A，则（2，4）⊆A，①若a≥-1，显然成立；②若a＜-1，∴A=（-∞，1）∪（-a，+∞），∴-2≤a≤-1，所以a的取值范围是[-2，+∞）．解析：（1）分3段去绝对值姐不等式；（2）利用绝对值不等式取等的条件可得．本题考查了绝对值不等式，属中档题．。
河北保定2023高三数学答案
2 即 2
，得 1，…………3 分
∴ f x sin(2x ) 1 ，……….4 分
62 f ( ) 0 …………5 分
6
（2）∵ 2a ccosB bcosC ，∴由正弦定理可得 2sinA sinC cosB sinBcosC ，……6 分
∴ 2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C sinA ．
30 10 2 6 5
（2）设 B=“任取一人新药对其有效”，A =“患者来自第 i 组”（i=1,2,3，分别对应甲，乙，丙），
则Ω 贈 A1 A2 A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得 P A1 贈 0.㘲，P A2 贈 0.32，P A3 贈 0.2 ， P B∣A1 贈 0.64, P B∣A2 贈 0.7 , P B∣A3 贈 0. , …….8 分
2 2
，得
n2
1，…….10
分
又 P 在第一象限，所以 n 1, P(4,3) ………12 分
法二： p(x0 , y0 ), M (x1, y1), N (x2 , y2 ), A(2, 0), B(2, 0)
直线
AP
:
y
y0 x0
2
(x
2)
y
3x2
y0 (x 2) x0 2 4 y2 12
∴ f x ex +f x ex e ，
∴（f x ex） ex
∴ f x ex ex c （ c 为常数），
由 f 1 1，解得： c = 0 ，
∴
f
x
x e x1
，
1
m
x ex1
ln(mx)
x
2
整理可得：e1xlnmx (1 x ln mx)-1=0
2020年高考数学一模试卷(含答案)
2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．33．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．47．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．1608．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|，故选：C．3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．解：函数y＝sin2x+cos2x sin（2x），∵ω＝2，∴T＝π．故选：B．4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣2，∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．故选：B．5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．解：a，3，b，9，c成等比数列，则bc＝81，b2＝27，∴，∴log3b﹣log3c＝log31，故选：A．6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（，0），可得2，得p＝4．解：∵双曲线中a2＝3，b2＝1∴c2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2＝2px的焦点（，0）即F（2，0）∴2，即p＝4故选：D．7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：展开式的通项公式为T r+1•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为﹣8•160，故选：A．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．解：根据题意，A（cosα，sinα），．则（cosα，sinα），（cos（α），sin（α）），则有（cosα+cos（α），sinα+sin（α）），故||2＝[cosα+cos（α）]2+[sinα+sin（α）]2＝2+2cosαcos（α）+2sinαsin（α）＝2+2cos3，则||；故选：B．9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a＝5，b．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．解：∵450＝2100，∴N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣3），∴m＝6．故答案为：6．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为1．【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，故答案为：1．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V．故答案为：．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝8；a n＝15n﹣7．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．∴a1＝8，a n＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．故答案为：8，15n﹣7．15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是①②④．【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cos x的奇偶性及单调性即可得出结论．解：①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1，+∞），符合题意；②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；③∵2x＞0，∴2x+1＞1，故值域为（1，+∞），不合题意；④函数f（x）＝x2+cos x为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sin x，f''（x）＝2﹣cos x＞0，故f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC 的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条件．解：（Ⅰ）由题意得，b＝1，又a2＝b2+c2解得，所以椭圆方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），则直线AM的方程为，直线AN的方程为，则E点坐标为，F点坐标为．假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），即即|OG|2＝|OE||OF|，即所以，所以存在点G坐标为满足条件．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以f（x0）＜f（0）＝0，所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立所以a的取值范围为（﹣∞，2]．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，可得a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，因此[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，可得[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，可得：[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，可得a k+1＝0，[a k+1]＝0，可得a i ＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，可得[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，可得数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），转化为，令，即b i+1＝cb i，i≥m．经过讨论：当b m＝0时，得证．当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………∴，则令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………。
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河北省保定市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 2．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是 （ ）A ．2()f x x = B ．||()2x f x =C ．21()log f x x=D ．()sin f x x =3．在ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =u u u r u u u r ，2AE EB =u u u r u u u r，3DF FA =u u u r u u u r ，则EF =u u u r（ ）A ．1136AB AC -+u u u r u u u r B ．71126AB AC -+u u ur u u u r C ．11612AB AC -+u u u r u u u r D ．51123AB AC -+u u u r u u u r4．已知函数()()()2sin 0012f x x f πωϕϕ⎛⎫=+<<= ⎪⎝⎭，且，若函数()f x 的图象关于49x π=对称，则ω的取值可以是 A ．1B ．2C ．3D ．45．5()(2)x y x y ++的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．80B ．120C ．240D ．3206．用数学归纳法证明()()()22222222211211213n n n n n ++++-++-++=L L 时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．()2212k k ++B ．()221k k ++C ．()21k + D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦7．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦， 则()2log 3f的值为（）A．12B．45C．1 D．08．已知数列{}n a满足11a=，12nn na a+=+，则10a=（）A．1024 B．2048 C．1023 D．20479．在锐角三角形ABC中，1cos,7,2367A AB ACπ⎛⎫+=-==⎪⎝⎭，则AB BC⋅u u u r u u u r（）A．40- B．40C．34- D．3410．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形11．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．34 B．42 C．54 D．7212．若,,(0,1)m n p∈，且35log log lgm n p==，则（）A．1113510m n p<<B．1115310n m p<<C．1111035p m n<<D．1113105m p n<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省保定市2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形的周长C 与面积S 满足则该双曲线的离心率的平方为（ ）A．B．C．D．3. 在中，，，，若，，且，则的值为（ ）A．B．C．D．4. 已知，分别为双曲线的左，右焦点，过且倾斜角为锐角的直线与双曲线的右支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则的值为（ ）A．B．C．D．5. 某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种6. 设，则（ ）A ．1B ．C．D．7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于y 轴对称，下述四个结论：①在区间上单调递减；②的图象关于对称；③的图象关于对称；④在上的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④8.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则A．B．C．D．9. 如图所示，圆柱OO 1内有一个棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E 为BD 上的动点，则下面选项正确的是（）A ．△面积的最小值为B ．圆柱OO 1的侧面积为河北省保定市2022届高三一模数学试题(1)河北省保定市2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．异面直线AD 1与C 1D所成的角为D ．四面体A 1BC 1D的外接球的表面积为10. 正方体的边长为2，Q 为棱的中点，点分别为线段上两动点(含端点)，记直线与面所成角分别为，且，则( ).A ．存在点使得B ．为定值C ．存在点使得D ．存在点使得11.设是中两个子集，对，定义：，若对任意，，则的关系为（ ）A．B．C．D．12. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，则13. 已知，则函数的最小正周期为________．14.已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.15. 袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次．设拿出的白球个数为，则________，________．16.设数列的前n 项和为，．(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．(2)若数列的前m项和，求m 的值，17. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．18. 已知函数．(1)求的最小值；(2)证明：．19. 已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程．(2)若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．20. 为了解果园某种水果的产量情况，随机抽测了100个水果的质量（单位：克），样本数据分组为，，，，，，其频率分布直方图如图所示.(1)从样本中质量在，的水果中用分层抽样的方法抽取6个，再从这6个水果中随机抽取3个，记为质量在中的水果个数，求；(2)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如下表所示：质量（单位：克）等级规格二等一等特等销售价格（元/个）4710试估计果园该种水果的销售收入.21.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且___________.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为，，求c.。
2020年河北省保定市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年河北省保定市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=，则=（）A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i2.已知cosα=-，且α为第二象限角，则sin2α的值为（）A. B. - C. D. -3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|1＜2x＜4}，Q={y|y=2+sin x，x∈R}，那么P-Q=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0≤x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. {x|0＜x＜1}4.若方程=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A. m＜2或m＞6B. 2＜m＜6C. m＜-6或m＞-2D. -6＜m＜-25.在如图所示的程序框图中，如果输出p=120，则输入的N=（）A. 3B. 4C. 5D. 66.已知向量，满足||=3，||=2，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°7.已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=的取值范围是（）A. [0，2]B. [0，]C. []D. [0，+∞）8.一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M是AB的中点，则三棱锥C-MEF的高为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，b sin B-a sin A=a sin C，则cos B等于（）A. B. C. D.10.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为（）A. 5πB. πC. 9πD. π11.已知命题p：函数y=sin（2x+）和y=cos（2x-）的图象关于原点对称；命题q：若平行线6x+8y+a=0与3x+by+22=0之间的距离为a，则a=b=4．则下列四个判断：“p∨q是假命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题”中，正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（x m）=mf（x），x＞0，m∈R；②存在实数a＞1，使得f（a）=1．则下列选项正确的是（）A. f（）＞f（3）＞f（2）B. f（）＞f（2）＞f（3）C. f（3）＞f（2）＞f（）D. f（3）＞f（）＞f（2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为______14.从由数字，，所组成的所有三位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的三位数的概率为________．15.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则x=______斤．16.已知点O为△ABC所在平面内的一点，且满足||=||=||=1，3，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=S n+log2，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=，M为AB的中点.（1）在线段PC上求一点N，使得MN∥平面PAD；（2）若AB=4，PA=PD=2，且二面角P-AD-B为，求PA与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．20.为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙[490，495）62 [495，500）812 [500，505）1418[505，510）86[510，515）42（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若从甲小组测得的试验数据中，依次有放回的随机抽查5个数据，设抽到理想数据的次数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；（以频率作为概率）（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据不理想数据合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知函数f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．（1）求证：函数f（x）的零点不小于4；（2）g（x）=f（x）+a ln x，若x∈[1，+∞），求证：g（x）＞-a3-+e-2a．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线M的参数方程是（θ为参数）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，P为曲线M上的动点，求△ABP面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+a|，a∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）≥1；（2）若x∈（2，4）时，|f（x）|＜|2x+a-1|，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z==，∴=-1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得,则=-1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．2.答案：B解析：解：∵co sα=-，且α为第二象限角，∴sinα==，则sin2α=2sinα•cosα=2••（-）=-，故选：B．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．3.答案：D解析：解：P={x|0＜x＜2}，Q={y|1≤y≤3}；∴P-Q={x|0＜x＜1}．故选：D．根据P-Q的定义，可求出P，Q，然后即可求出P-Q．考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及P-Q的定义．4.答案：A解析：解：若方程=1表示双曲线，则（m-2）（6-m）＜0∴m＜2或m＞6，故选：A．利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：第一次p=1，k＜N成立，k=2，第二次p=2，k＜N成立，k=3，第三次p=6，k＜N成立，k=4，第五次p=24，k＜N成立，k=5，第六次p=120，k＜N不成立，输出p=120，故k≤4不成立，k=5成立，则N=5，故选：C．根据条件进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵，；∴；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：B．根据即可得出，从而得出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．7.答案：A解析：解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数z=的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由得A（1，2），所以k OA=2，由图可知目标函数z=的取值范围是：[0，2]．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：根据题意知，三棱柱ADF-BCE是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图所示；过点C作CN⊥BE，垂足为N，则CN⊥平面ABEF，所以CN是三棱锥C-MEF的高，在R△BCE中，BC=CE=1，所以CN=BE=．故选：D．根据题意知三棱柱ADF-BCE是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，过点C作CN⊥BE，则CN是三棱锥C-MEF的高，求出即可．本题考查了空间中的位置关系与应用问题，是基础题．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2-a2=ac=a2，利用余弦定理即可求得cos B的值．【解答】解：∵若c=2a，，∴则由正弦定理可得：b2-a2=ac=a2，即：，∴．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的半径是解答本题的关键，属于较易题.由题意可得，S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的半径，代入球的表面积公式即可得到答案．解析：解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径．∵SA=1，AB=2，BC=2，∴2R==3，即R=．∴球O的表面积S=4•πR2=9π．故选：C．11.答案：C解析：解：y=cos（2x-）=sin[-（2x-）]=sin（-2x）=-sin（-2x）则函数y=sin（2x+）关于原点对称的函数为-y=sin（-2x+），即y=-sin（-2x），即命题p是真命题，若两直线平行则得b=4，∴两平行直线为6x+8y+a=0与6x+8y+44=0，平行直线的距离为═=a，即|a-44|=10a，a＞0，则a-44=10a或a-44=-10a，得a=4或-（舍），则a=b=4，即命题q是真命题，则“p∨q是真命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题，正确的命题有3个，故选：C．根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题的真假是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：在（0，+∞）上若f（x）满足：①f（x m）=mf（x），x＞0，m∈R；∴f（x）为对数型函数，设f（x）=log a x，若在实数a＞1，使得f（a）=1．即当a＞1时，f（x）=log a a=1，则函数f（x）=log a x为增函数，则f（3）＞f（2）＞f（），故选：C．根据抽象函数关系，确定f（x）为对数型函数，设f（x）=log a x，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．13.答案：y=x+1解析：解：函数y=x2+e x，可得y′=2x+e x，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为：y=x+1．故答案为：y=x+1．求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.答案：解析：解：由1，2，3组成的所有的三位数有33=27个，由1，2，3组成的所有没有重复数字的三位数有=6个，故=．故填：．计算出由1，2，3组成的所有数字，及由1，2，3组成的所有没有重复数字的三位数，即可得到概率．本题考查了古典概型的概率计算，分步乘法原理，属于基础题．15.答案：1.2解析：解：由题意可知过第一关后剩余，过第二关后剩余•=，过第三关后剩余=，过第四关后剩余•=，过第五关后剩余=，∴x-=1，解得x=1.2故答案为：1.2计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案．本题考查了数学应用，属于基础题．16.答案：解析：解：∵||=||=||=1，3，∴，两边同时平方可得，9+16+24=25，∴=0，∵=，则==（）==0=，故答案为：．由已知可知两边同时平方可求，然后结合=，及=，结合向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题．17.答案：解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1-2．①当n=1时，a1=2．当n≥2时，②①-②得：（首项符合通项），故：．（2）由于：，则：．数列{b n}满足b n=S n+log2=2n+1-2-n．所以：+（23-2-2）+…+（2n+1-2-n），=（22+23+24+…+2n+1）-2n-（1+2+3+…+n），=，=．解析：（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：（1）设线段PC的中点为N，则N为所求．设线段PD的中点为H，连接NH，AH，在△PDC中，HN∥DC，HN=，∵四边形ABCD是菱形，M为AB的中点，∴AM∥DC，AM=，∴HN∥AM，HN=AM，∴四边形AMNH是平行四边形，∴AH∥MN又∵AH⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.即N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连接BO，∵∠BAD=，∴△ABD是等边三角形，由三线合一得：BO⊥AD，连接PO，∵PA=PD，则PO⊥AD，∴∠POB是二面角P-AD-B的平面角，即∠POB=，∴∠POG=，∴OG=，PG=1；如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，-，1），C（-4，2，0），=（2，，-1），=（0，3，-1），=（-4，0，0），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取得=（0，，9），∴PA与平面PBC所成角的正弦值为sin θ=|cos＜＞|==．解析：本题考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．（1）设线段PC的中点为N，线段PD的中点为H，连接NH，AH，推导出AM∥DC，从而HN∥AM，HN=AM，从而四边形AMNH是平行四边形，进而MN∥平面PAD，由此得到N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连接BO，则BO⊥AD，连接PO，PA=PD，则PO⊥AD，∠POB是二面角P-AD-B的平面角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PBC所成角的正弦值．19.答案：解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c=1，又椭圆的离心率e=，∴a=2，则b=．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．△＞0即只需n2＜4k2+3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴P（），∴．∴．解析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得k MN•k OP为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）甲乙两个小猪的频率分布直方图如图，（2）易知甲小组的理想数据为8+14+8=30．故甲小组中理想数据的频率为=0.75由题意知，ξ～B（5，），所以ξ012345PE（ξ）=5×=，（或者E（ξ）=0×+1×+……+5×=．（3）甲小组的理想数据为30，乙小组的理想数据为36，甲小组乙小组合计理想数据30 3666不理想数据 10 4 14合计 4040 80∵由表中数据得K2的观测值k===30117＞2.706．∴有90%的把握任务抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择与有关．解析：（1）根据频数计算各小组对应的概率，画频率分布直方图．（2）根据题意，ξ～B（5，），ξ的取值为从0到5，列出分布列，计算期望即可．（3）列出2×2列联表，计算k，查表，判断即可．本题考查了频率分布直方图，二项分布，独立性检验等知识，属于中档题．21.答案：证明：（1）由f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．得零点x=≥=4，当且仅当a=1时取等号，故结论成立．（2）g（x）=f（x）+a ln x=ax2-（a2+1）x+a ln x，x∈[1，+∞），g′（x）=ax-（a2+1）x+==，∴由g′（x）=0，解得x=a，．由a=≥1时，解得a=1．（i）当a=1时，g′（x）≥0，在x∈[1，+∞）上恒成立，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=-（1+1）=-，而-a3-+e-2a=-．结论成立．（ii）当＜a，即a＞1时，g（x）在x∈（a，+∞）上单调递增，在x∈（1，a）上单调递减．∴g（x）min=g（a）=a lna--a=-，而-a3-+e-2a=-．结论成立．要证明：g（x）＞-a3-+e-2a成立．即证明：a lna+a＞-+e成立．令u（a）=a lna+a，v（a）=-+e，a＞1．u′（a）=ln a+2＞2，∴u（a）在a∈（1，+∞）上单调递增．∴u（a）＞u（1）=1．v′（a）=-=-＜0，∴v（a）在a∈（1，+∞）上单调递减，v（a）＜v（1）=0＜1．∴a lna+a＞-+e恒成立．因此g（x）＞-a3-+e-2a．解析：（1）由f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．得零点x=，利用基本不等式的性质即可证明．（2）g（x）=f（x）+a ln x=ax2-（a2+1）x+a ln x，x∈[1，+∞），g′（x）=ax-（a2+1）x+=，由g′（x）=0，解得x=a，．由a=≥1时，解得a=1．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由题意可知C：x2+y2=3，直线l的直角坐标方程为y=x-1．（2）将直线l方程代入C的方程并整理得t2+-2=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-2，∴|AB|=|t1-t2|=，所以点P到直线l的距离d==，所以当sin（-θ）=-1时，d的最大值为，即三角形ABP面积最大值为××=．解析：（1）消去参数t可得直线l的直角坐标方程，由ρ=可得ρ2=3，可得x2+y2=3；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值．本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≥1，得x＜-2；当-2≤x≤1时，由f（x）≥1得-2≤x≤-1；当x＞1时，由f（x）≥1，无解；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-1}（2）因为|f（x）|=||x-1|-|x+a||≤|（x-1）+（x+a）|=|2x+a-1|，当且仅当（x-1）（x+a）≤0时，等号成立．当（x-1）（x+a）＞0时，|f（x）|＜|2x+a-1|，记其解集为A，则（2，4）⊆A，①若a≥-1，显然成立；②若a＜-1，∴A=（-∞，1）∪（-a，+∞），∴-2≤a≤-1，所以a的取值范围是[-2，+∞）．解析：（1）分3段去绝对值姐不等式；（2）利用绝对值不等式取等的条件可得．本题考查了绝对值不等式，属中档题．。
2020年高三第一次模拟考试(保定一模)理科数学 试卷及答案
= ( x0 − 1)2
+
y02
=
1 2
x02
−
2
x0
+
3
因为二次函数的对称轴为直线 x=2
所以，该函数在[ − 2,2]上单调递减，所以当 x0 = 2时取得最小值，x0 = −2时取得最大值
所以 M 到点 D 的最短与最长距离分别为1,3………………………………5 分
（2）假设存在点 P( 2, m) ,使得 ∆ABP 的内切圆恰好为 x2 + y2 = 1 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 因为直线 AB 与圆 x2 + y2 = 1相切，
则 h′(a) = 2mea (a + 2) − 2a − 4 = 2(a + 2)(mea −1) ．
Q a ∈[−1, 0),∴ea ∈[1 ,1), 且 a + 2 ≥1． e
①当 m ≤1(m ≠ 0) 时， mea −1 < 0,∴h′(a) ≤ 0 ，即 a ∈[−1, 0) 时， h(a) 单调递减.
法 1：因为 AO 为 ∠BAP 的角平分线，所以
kAP = −kAB = −1——————————————————9 分
所以 kAP
=
2 −m 0− 2
2022年河北省保定市高考数学一模试卷及答案解析
2022年河北省保定市高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（1﹣2i ）2﹣（1+i ）2＝（ ） A ．﹣3﹣2iB ．﹣3﹣6iC ．3﹣2iD ．3﹣6i2．若向量a →=（2，3），b →=（8，m ），则（ ） A ．∃m ∈Z ，a →⊥b →B ．∃m ∈Z ，a →∥b →C ．∀m ∈R ，a →•b →≠m D ．∃m ∈R ，|a →|＝|b →|3．设集合A ，B ，C 均为非空集合．（ ） A ．若A ∩B ＝B ∩C ，则A ＝C B ．若A ∪B ＝B ∪C ，则A ＝C C ．若A ∩B ＝B ∪C ，则C ⊆BD ．若A ∪B ＝B ∩C ，则C ⊆B4．若P （0，1）为圆x 2+2x +y 2﹣15＝0的弦MN 的中点，则直线MN 的方程为（ ） A ．y ＝﹣x +1B ．y ＝x +1C ．y ＝2x +1D ．y ＝﹣2x +15．已知f （x ）为偶函数，且函数g （x ）＝xf （x ）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣x ）f （x ﹣1）+2xf （2x ）＞0的解集为（ ） A ．(−∞，13)B ．（﹣∞，﹣1）C ．(13，+∞)D ．（﹣1，+∞）6．为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公益组织分别在A ，B 两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试（满分100分），这20名学生得分的散点图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是（ ）A．A校学生分数的平均分大于B校学生分数的平均分B．A校学生分数的众数大于B校学生分数的众数C．A校学生分数的中位数等于B校学生分数的中位数D．A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差7．已知函数f(x)=|sin(x+π3)|，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．0＜f(log54)＜1 2C．f（x）的图象关于点(−π3，0)对称D．f(log413)＜f(log52)8．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线AB与曲线CD）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm，点A与点C，点B与点D 均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36cm，则|AD|＝（）A．12√10cm B．6√38cm C．38cm D．6√37cm二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．若tanα−√3=tan6α+√3tanαtan6α，则α的值可能为（）A．−π15B．2π15C．4π15D．14π15（多选）10．如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形（多选）11．已知P（x，y）为曲线x=2√y上一动点，则（）A．√x2+(y−1)2的最小值为1B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C．P到直线y＝﹣x﹣2的距离的最小值小于√2D．√x2+(y−1)2+√(x−1)2+(y−5)2的最小值为6（多选）12．对于正整数n，φ（n）是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数φ（n）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ（9）＝6，则（）A．log7φ(77)=6+log76B．数列{φ（3n）}为等比数列C．数列{φ（2n）}单调递增D．数列{nφ(2n)}的前n项和恒小于4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．x2+4+x2+4x2的最小值为．14．函数f(x)=1x+1+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为．15．某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有A，B，C 三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种．16．如图，DE是边长为4的等边三角形ABC的中位线，将△ADE沿DE折起，使得点A 与P重合，平面PDE⊥平面BCDE，则四棱锥P﹣BCDE外接球的表面积是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步叕．17．（10分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝α＝35°，∠BDC＝β＝100°，CD＝400m．在点C测得塔顶A的仰角为50.5°．（1）求B与D两点间的距离（结果精确到1m）；（2）求塔高AB（结果精确到1m）．18．（12分）在数列{a n}中，a3＝12，且数列{a n﹣2n}是公差为2的等差数列．（1）求{a n }的通项公式； （2）设b n ＝2n•a n+1−2a n a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面PCD ⊥底面ABCD，且BC＝2，AB＝4，BD＝2√5．（1）证明：BC⊥PD；（2）若PC＝PD=√13，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元．在使用期间，每台设备需要更换的零件个数m 的分布列为m567P0.30.50.2X表示2台设备使用期间需更换的零件数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数．（1）求X的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在n＝11和n＝12中，应选哪一个？21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x．（1）若a∈（0，+∞），讨论f（x）在（0，a）上的单调性；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2在[1，2]上的最大值小于−2e3，求m的取值范围．22．（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过A（2，0），B（1，1），C（﹣1，﹣1），D （1，2）四个点中的三个． （1）求E 的方程．（2）若M ，N 为E 上不同的两点，O 为坐标原点，且BM →|BM →|+BN→|BN →|与OA →垂直，试问E 上是否存在点G （异于点A ），使得MN →∥AG →？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．2022年河北省保定市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（1﹣2i ）2﹣（1+i ）2＝（ ） A ．﹣3﹣2iB ．﹣3﹣6iC ．3﹣2iD ．3﹣6i解：（1﹣2i ）2﹣（1+i ）2＝1﹣4i ﹣4﹣（1+2i ﹣1）＝﹣3﹣4i ﹣2i ＝﹣3﹣6i ． 故选：B ．2．若向量a →=（2，3），b →=（8，m ），则（ ） A ．∃m ∈Z ，a →⊥b →B ．∃m ∈Z ，a →∥b →C ．∀m ∈R ，a →•b →≠m D ．∃m ∈R ，|a →|＝|b →|解：∵a →=（2，3），b →=（8，m ）， A ：若a →⊥b →，则16+3m ＝0，∴m =−163∉Z ，∴A 错误， B ：若a →∥b →，则2m ＝24，∴m ＝12∈Z ，∴B 正确，C ：若a →•b →=16+3m ＝m ，则m ＝﹣8，∴m ＝﹣8时，a →•b →=m ，∴C 错误， D ：若|a →|＝|b →|，则22+32＝82+m 2，∴m 2＝﹣51不成立，∴D 错误， 故选：B ．3．设集合A ，B ，C 均为非空集合．（ ） A ．若A ∩B ＝B ∩C ，则A ＝C B ．若A ∪B ＝B ∪C ，则A ＝C C ．若A ∩B ＝B ∪C ，则C ⊆BD ．若A ∪B ＝B ∩C ，则C ⊆B解：由于集合A ，B ，C 均为非空集合，所以对于A ，若A ∩B ＝B ∩C ，则A ＝C 是假命题，例如A ＝{1，2，3}，B ＝{1}，C ＝{1，2}，满足A ∩B ＝B ∩C ，但A ≠C ； 对于B ，若A ∪B ＝B ∪C ，则A ＝C ，是假命题；例如A ＝{1}，B ＝{1，2，3}，C ＝{1，2}，满足A ∪B ＝B ∪C ，但A ≠C ； 对于C ，由于C ⊆B ∪C ，已知A ∩B ＝B ∪C ，所以C ⊆A ∩B ，则C ⊆B 成立； 故C 正确；对于D ，若A ∪B ＝B ∩C ，则C ⊆B 是假命题，例如A＝{1}，B＝{1，2，3}，C＝{1，2，3，4}，满足A∪B＝B∩C，但是B⊆C．故选：C．4．若P（0，1）为圆x2+2x+y2﹣15＝0的弦MN的中点，则直线MN的方程为（）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1解：x2+2x+y2﹣15＝0化为标准方程为（x+1）2+y2＝16，∵P（0，1）为圆（x+1）2+y2＝16的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为1−00−(−1)=1，∴弦MN所在直线的斜率为﹣1，∴弦MN所在直线的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣1＝0．故选：A．5．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣x）f（x﹣1）+2xf（2x）＞0的解集为（）A．(−∞，13)B．（﹣∞，﹣1）C．(13，+∞)D．（﹣1，+∞）解：由f（x）为偶函数，可得函数g（x）＝xf（x）为奇函数，由g（x）在[0，+∞）上单调递减，可得g（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得g（x）在R上单调递减．不等式（1﹣x）f（x﹣1）+2xf（2x）＞0即为（x﹣1）f（x﹣1）＜2xf（2x），即有g（x﹣1）＜g（2x），由g（x）在R上单调递减，可得x﹣1＞2x，解得x＜﹣1，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）．故选：B．6．为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公益组织分别在A，B 两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试（满分100分），这20名学生得分的散点图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是（）A ．A 校学生分数的平均分大于B 校学生分数的平均分 B ．A 校学生分数的众数大于B 校学生分数的众数C ．A 校学生分数的中位数等于B 校学生分数的中位数D ．A 校学生分数的方差大于B 校学生分数的方差 解：对于A ，A 校学生分数的平均分为110×（60+50+76+74+51+69+65+78+76+63）＝66.2，B 校学生分数的平均分为110×（65+55+53+63+64+56+73+61+65+67）＝62.2，所以选项A 正确；对于B ，A 校学生分数的众数是76，B 校学生分数的众数是65， 所以选项B 正确；对于C ，A 校学生分数从小到大排列为：50，51，60，63，65，69，74，76，76，78，所以中位数是12×（65+69）＝67，B 校学生分数从小到大排列为：53，55，56，61，63，64，65，65，67，73，所以中位数是12×（63+64）＝63.5，所以选项C 错误；对于D ，A 校学生分数的方差为110×[（﹣6.2）2+（﹣16.2）2+9.82+7.82+（﹣15.2）2+2.82+（﹣1.2）2+11.82+9.82+（﹣3.2）2]＝94.36， B 校学生分数的方差为110×[2.82+（﹣7.2）2+（﹣9.2）2+0.82+1.82+（﹣6.2）2+10.82+（﹣1.2）2+2.82+4.82]＝33.948， 所以选项D 正确．故选：C．7．已知函数f(x)=|sin(x+π3)|，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．0＜f(log54)＜1 2C．f（x）的图象关于点(−π3，0)对称D．f(log413)＜f(log52)解：对于函数f(x)=|sin(x+π3)|，它的最小正周期为12×2π1=π，故A错误；当0＜x＜π2时，（x+π3）∈（π3，5π6），所以sin（x+π3）∈（12，1]，所以f（x）∈（12，1]，而0＜log54＜1＜π2，所以12＜f（log54）＜1，故B错误；若（x）的图象关于点（−π3，0）对称，则f（x−2π3）＝﹣f（﹣x），又f（x−2π3）＝|sin[（x+π3）−2π3]|＝|sin（x−π3）|，﹣f（﹣x）＝﹣|sin（﹣x+π3）＝﹣|﹣sin（x−π3）|＝﹣|sin（x−π3）|，所以f（x−2π3）≠﹣f（﹣x），故C错误；由于函数y＝|sin x|的图象是将函数y＝sin x在x轴下方的图象翻折到y轴上方，所以可知y＝|sin x|在（kπ，π2+kπ）．k∈Z上单调递增，令kπ＜x+π3＜π2+kπ，k∈Z，所以f（x）在区间（−π3+kπ，π6+kπ），k∈Z上单调递增，所以f（x）在（−π3，π6）上单调递增，又−π3＜−1＜﹣log43＝log413＜log52＜12＜π6，所以f（log413）＜f（log52），故D正确．故选：D．8．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线AB与曲线CD）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm，点A与点C，点B与点D 均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36cm，则|AD|＝（）A．12√10cm B．6√38cm C．38cm D．6√37cm 解：以双曲线的对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，不妨设双曲线方程为x2a2−y23a2=1（a＞0），所以2a＝30，则a＝15，即双曲线方程为x2152−y23×152=1，因为|AB|＝36，所以A的纵坐标为18，代入x2152−y23×152=1可得x＝±3√37，故|AD|＝6√37，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．若tanα−√3=tan6α+√3tanαtan6α，则α的值可能为（）A．−π15B．2π15C．4π15D．14π15解：由tanα−√3=tan6α+√3tanαtan6α，可知tanα−√3=（1+√3tanα）tan6α，当1+√3tanα＝0，即tanα=−√33时，即α=−π6+kπ（k∈Z）时，tanα−√3=−4√33，tan6α+√3tanαtan6α＝0，显然tanα−√3=tan6α+√3tanαtan6α不成立，故1+√3tanα≠0，所以√31+√3tanα=tan6α，则tan（α−π3）＝tan6α，所以6α＝α−π3+kπ（k∈Z），即α=−π15+kπ5（k∈Z），当k＝0时，α=−π15，当k＝1时，α=2π15，当k＝5时，α=14π15，令−π15+kπ5=4π15，得k=53∉Z，故α的值不可能为4π15．故选：ABD．（多选）10．如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解：根据题意，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为四边形和六边形，如图：故选：BD．（多选）11．已知P（x，y）为曲线x=2√y上一动点，则（）A．√x2+(y−1)2的最小值为1B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C ．P 到直线y ＝﹣x ﹣2的距离的最小值小于√2D ．√x 2+(y −1)2+√(x −1)2+(y −5)2的最小值为6解：由x =2√y ，得x 2＝4y （x ≥0），则曲线x =2√y 为抛物线x 2＝4y 的右半部分（含原点）．因为抛物线x 2＝4y 的焦点为F （0，1），准线为l ：y ＝﹣1，所以B 正确， √x 2+(y −1)2=|PF|≥1，A 正确，原点到直线y ＝﹣x ﹣2的距离为√2，数形结合可知，原点到直线y ＝﹣x ﹣2的距离是最短距离，C 错误．设点A （1，5）到准线l ：y ＝﹣1的距离为d ，P 到准线l ：y ＝﹣1的距离为d 1， 则√x 2+(y −1)2+√(x −1)2+(y −5)2=|PF|+|PA|=d 1+|P A |≥d ＝5+1＝6，D 正确． 故选：ABD ．（多选）12．对于正整数n ，φ（n ）是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数φ（n ）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ（9）＝6，则（ ） A ．log 7φ(77)=6+log 76 B ．数列{φ（3n ）}为等比数列C ．数列{φ（2n ）}单调递增D ．数列{nφ(2n )}的前n 项和恒小于4 解：因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，⋯，77，共有777=76个，所以log 7φ(77)=log 7(77−76)=6+log 76，故A 正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n ﹣2，3n ﹣1，共有（3﹣1）⋅3n﹣1＝2⋅3n﹣1个，所以φ（3n ）＝2⋅3n ﹣1，则数列{φ（3n ）}为等比数列，故B 正确；因为φ（2）＝1，φ（4）＝2，φ（6）＝2，所以数列{φ（2n ）}不是单调递增数列，故C 错误；因为φ（2n ）＝2n ﹣1，所以∑n i=1i φ(2i )=∑ n i=12i 2i =2∑ ni=1i 22． 设S n =∑ n i=1i 2i =12+222+⋯+n2n ，则12S n =122+223+⋯+n−12n +n 2n+1， 所以12S n =12+122+123+⋯+12n−n 2n+1=12−12n+11−12−n 2n+1=1−n+22n+1，所以S n =2−n+22n ，从而数列{n φ(2n )}的前n 项和为2S n =4−n+22n−1＜4，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．x 2+4+x 2+4x2的最小值为 9 ．解：由题意可得x 2+4+x 2+4x 2=x 2+4+1+4x 2≥2√x 2⋅4x 2+5＝9， 当且仅当x 2=4x 2，取得最小值， 故答案为：9．14．函数f(x)=1x+1+lnx 的图象在点（1，f （1））处的切线的斜率为 34 ．解：由f(x)=1x+1+lnx ，得f ′（x ）=−1(x+1)2+1x ，∴f ′（1）=−14+1=34，即函数f(x)=1x+1+lnx 的图象在点（1，f （1））处的切线的斜率为34．故答案为：34．15．某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有A ，B ，C 三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为 128，每个入口都有女志愿者的分配方案共有 540 种．解：由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者， 分配方案共有C 82⋅C 63⋅C 33A 22⋅A 33=1680 种，3名女志愿者在同一 个入口的分配方案共有C 53A 33=60 种，故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为601680=128，每个入口都有女志愿者的分配方 案共有C 52⋅C 32⋅A 33A 22⋅A 33=540 种．故答案为：128；540．16．如图，DE 是边长为4的等边三角形ABC 的中位线，将△ADE 沿DE 折起，使得点A 与P 重合，平面PDE ⊥平面BCDE ，则四棱锥P ﹣BCDE 外接球的表面积是 52π3．解：如图所示：根据转换关系：在四棱锥体P ﹣BCDE 中， 由于DE ＝2，BC ＝4，由于DH ＝EH ＝BH ＝CH ，设GH ＝x ，利用勾股定理：22+(√3−x)2=1+x 2，解得x =√3． 利用OH =√33，所以DH ＝EH ＝2， 所以OE =22+(√33)2=√133；所以S 表=4⋅π⋅(√133)2=523π． 故答案为：52π3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步叕．17．（10分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝α＝35°，∠BDC＝β＝100°，CD＝400m．在点C测得塔顶A的仰角为50.5°．（1）求B与D两点间的距离（结果精确到1m）；（2）求塔高AB（结果精确到1m）．解：（1）在△BCD中，∠CBD＝180°﹣α﹣β＝45°，由正弦定理得CDsin∠CBD −BD sinα，则BD=CDsinαsin∠CBD=400sin35°sin45°=400√2sin35°=400×0.811＝324.4≈324m．（2）由正弦定理得CDsin∠CBD =BCsinβ，则BC=CDsinβsin∠C′BD=400sin100°sin45°=400sin80°sin45°=400√2sin80°−400×1.393=557.2m．故塔高AB＝BC tan50.5°＝557.2×1.2＝668.64≈669m．18．（12分）在数列{a n}中，a3＝12，且数列{a n﹣2n}是公差为2的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n ＝2n •a n+1−2a n a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）由a 3﹣23＝12﹣8＝4， 可得a n ﹣2n ＝4+2（n ﹣3）＝2n ﹣2， 即a n ＝2n +2n ﹣2，n ∈N *； （2）b n ＝2n•a n+1−2a n a n a n+1=2n a n−2n+1a n+1，所以S n =2a 1−22a 2+22a 2−23a 3+ (2)a n −2n+1a n+1=2a 1−2n+1a n+1=1−2n+1a n+1=1−2n+12n+1+2n＝1−2n 2n +n =n n+2n ． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面PCD ⊥底面ABCD ，且BC ＝2，AB ＝4，BD ＝2√5． （1）证明：BC ⊥PD ；（2）若PC ＝PD =√13，求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．（1）证明：∵底面ABCD 为平行四边形，AB ＝4，∴CD ＝4， 又BC ＝2，BD ＝2√5，∴BC 2+CD 2＝BD 2，即BC ⊥CD ， ∵平面PCD ⊥底面ABCD ，且平面PCD ∩底面ABCD ＝CD ， BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面PCD ， 得BC ⊥PD ；（2）解：取CD 的中点O ，连接PO ， ∵PC ＝PD =√13，∴PO ⊥CD ，又平面PCD ⊥底面ABCD ，且平面PCD ∩底面ABCD ＝CD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，取AB 中点E ，以O 为坐标原点，分别以OE 、OC 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （2，﹣2，0），B （2，2，0），C （0，2，0），P （0，0，3）， ∴AB →=(0，4，0)，PB →=(2，2，−3)，BC →=(−2，0，0)， 设平面ABP 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅AB →=4y =0m →⋅PB →=2x +2y −3z =0，取z ＝2，得m →=(3，0，2)； 设平面PBC 的一个法向量为n →=(a ，b ，c)， 由{n →⋅BC →=−2a =0n →⋅PB →=2a +2b −3c =0，取c ＝2，得n →=(0，3，2)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√13×√13=413．由图可知，二面角A ﹣PB ﹣C 为钝角， ∴二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为413．20．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元．在使用期间，每台设备需要更换的零件个数m 的分布列为 m 5 6 7 P0.30.50.2X 表示2台设备使用期间需更换的零件数，n 代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数．（1）求X 的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在n＝11和n＝12中，应选哪一个？解：（1）X的可能取值为10，11，12，13，14，P（X＝10）＝0.3×0.3＝0.09，P（X＝11）＝2×0.3×0.5＝0.3，P（X＝12）＝2×0.3×0.2+0.5×0.5＝0.37，P（X＝13）＝2×0.5×0.2＝0.2，P（X＝14）＝0.2×0.2＝0.04，则X的分布列为：X1011121314P0.090.30.370.20.04（2）记Y1为当n＝11时购买零件所需费用，P（Y1＝1100 元）＝P（X≤11）＝0.39，P（Y1＝1400 元）＝P（X＝12）＝0.37，P（Y1＝1700 元）＝P（X＝13）＝0.2，P（Y1＝2000 元）＝P（X＝14）＝0.04，E（Y1）＝1100×0.39+1400×0.37+1700×0.2+2000×0.04＝1367 元，记Y2为当n＝12时购买零件所需费用，P（Y2＝1200 元）＝P（X≤12）＝0.76，P（Y2＝1500 元）＝P（X＝13）＝0.2，P（Y2＝1800 元）＝P（X＝14）＝0.04，E（Y2）＝1200×0.76+1500×0.2+1800×0.04＝1284 元，显然E（Y1）＞E（Y2），所以应选择n＝12．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x．（1）若a∈（0，+∞），讨论f（x）在（0，a）上的单调性；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2在[1，2]上的最大值小于−2e3，求m的取值范围．解：（1）f（x）＝（x﹣2）e x，则f′（x）＝（x﹣1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，①0＜a≤1时，f（x）在（0，a）递减，②a＞1时，f（x）在（0，1）递减，在（1，a）递增；（2）g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2＝（x﹣2）e x﹣m（x﹣1）2，g′（x）＝（x﹣1）（e x﹣2m），①m ≤0时，e x ﹣2m ＞0，令g ′（x ）＝0，解得：x ＝1， 故g （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g （x ）在[1，2]递增，g （x ）max ＝g （2）＝﹣m ≥0，不合题意；②0＜m ≤e2时，ln 2m ≤1，f （x ）在[1，2]单调递增，g （x ）max ＝g （2）＝﹣m ， 故{−e2≤−m ＜0−m ＜−2e 3，无解，不合题意③e2＜m ＜e 22时，1＜ln 2m ＜2， 令g ′（x ）＞0，解得：x ＞ln 2m 或x ＜1， 令g ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜ln 2m ，故g （x ）在[1，ln 2m ）递减，在（ln 2m ，2]递增， 故g （x ）max ＝g （1）或g （2），若g （1）是最大值，则g （1）＝﹣e ＜−2e3，此时g （2）＝﹣m ≤﹣e ，则m ≥e ，故e ≤m ＜e 22；若g （2）是最大值，则﹣e ＜g （2）＝﹣m ＜−2e3，故2e 3＜m ＜e ， 故2e3＜m ＜e 22；④m ≥e 22时，ln 2m ≥2， 故g （x ）在[1，2]单调递减，g （x ）max ＝g （1）＝﹣e ＜−2e3，符合题意； 综上：m 的取值范围是（2e 3，+∞）．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过A （2，0），B （1，1），C （﹣1，﹣1），D （1，2）四个点中的三个． （1）求E 的方程．（2）若M ，N 为E 上不同的两点，O 为坐标原点，且BM →|BM →|+BN→|BN →|与OA →垂直，试问E 上是否存在点G （异于点A ），使得MN →∥AG →？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵B （1，1），C （﹣1，﹣1）关于坐标原点对称，则B 、C 要么都在椭圆E 上，要么都不在，而椭圆E 经过A （2，0），B （1，1），C （﹣1，﹣1），D （1，2）四个点中的三个， ∴B 、C 都在椭圆上，则D 不在，A 在椭圆上， ∴a ＝2，则14+1b 2=1，得b 2=43， 则椭圆方程为x 24+3y 24=1；（2）M ，N 为E 上不同的两点，O 为坐标原点，且BM→|BM →|+BN→|BN →|与OA →垂直，则∠MBN 的角平分线与x 轴垂直，可得BM 所在直线的斜率与BN 所在直线的斜率互为相反数，设BM ：y ﹣1＝k （x ﹣1），则BN ：y ﹣1＝﹣k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)+1x 24+3y 24=1，得（1+3k 2）x 2+6k （1﹣k ）x +3k 2﹣6k ﹣1＝0，∴x M ×1=3k 2−6k−11+3k2，则x M =3k 2−6k−11+3k2，同理可得x N =3k 2+6k−11+3k2，则y M =k(3k 2−6k−11+3k2−1)+1=−3k 2−2k+11+3k2，y N =−k(3k 2+6k−11+3k2−1)+1=−3k 2+2k+11+3k2，k MN =y M −y Nx M −x N=−3k 2−2k+11+3k 2−−3k 2+2k+11+3k 23k 2−6k−11+3k 2−3k 2+6k−11+3k2=−4k −12k =13． 若E 上存在点G （异于点A ），使得MN →∥AG →，则AG ：y =13(x −2)， 联立{y =13(x −2)x 24+3y24=1，得x 2﹣x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或x ＝2， 当x ＝﹣1时，y ＝﹣1；当x ＝2时，y ＝0．又点G 异于点A ，∴E 上存在点G （异于点A ），使得MN →∥AG →，点G 的坐标为（﹣1，﹣1）．。
河北省保定市2020届高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案)
_，`EabFc?defg}，ݤhý，eMci，eM:¢． “|JKL，eMNO”@j'ûkl： “狊犲犻狕犲 狋犺犲 犱犪狔 犪狀犱 犾犻狏犲 犻狋 狋狅 狋犺犲 犳狌犾犾． ” （１）6mjnl'{，犲，犻，狋，犪xy(o;¹+pñ （=Ú?qrÅ}
４． 犪→ V犫→ ，犫→⊥（２犪→＋犫→），犪→ V犫→ +
Ａ．３０°
Ｂ．４５°
Ｃ．６０°
Ｄ．１２０°
５． 《》~ ¡¢Z£¤¥¦+§-¨，©{}Jª«4： “¬}®
¯，°6±®²fVª³®´，«µf¶n？”T·¸~： “¹}º、»、¼、½、
¾，®¿ÀÁ´Ãv¯，ĺ、»Å®²f+¯V¼、½、¾³®²f
Ａ． －１０１０．５
Ｂ． －１０１１
Ｃ． －２０１９．５
)、*+(：r4u４=4，<=4５v，u２０v。
Ｄ．２０２０
１３． ２犪＝１０，犫＝ｌｏｇ５１０，犪１＋犫１＝
．
１４． þÿ犳（狓）＝２ｓｉｎ狓ｓｉｎ（狓＋π３＋φ）~ÿ，T{φ∈（０，π），φ＝
．
１５．犚狋△犃犅犆 {，∠犃＝π２，犅犆＝６，i犅犆 +{ÚÑ，i１ÒÓ+Ñ，vÌt
DE+!4XY+!>abcd。ef@ghij+Bk^!4，ef3!456lm nGo。
４． $[pq?，(r["k!45ast7。
、：r4u１２=4，<=4５v，u６０v。3<=4w;+xy8z{，|
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2020届河北省保定市高考第一次模拟考试数学(文)模拟试题含解析(精品)
高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B I 的子集个数为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =L L ，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=u u u r u u u r u u u u r L L ，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-r r，则0x <或4x >是向量a r 与b r 夹角为锐角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知00:,5100np n N ∃∈<，则p ⌝为（ ） A ．,5100n n N ∀∈< B ．,5100nn N ∀∈≥ C. 00,5100nn N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．43310+ B ．43310- C. 43310-+ D ．43310-- 7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A．99223- B ．100223- C.101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=L L （ ）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 3263266346 D ．53610. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C.()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b -=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F e 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F e 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ） A ．8 B ．2 C. 23．4312.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a =． 14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且22cosB a ac b =-+，则B =．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈g g ，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD-中，1A A⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC====，平面11A ACC⊥平面11,C CDD M为1C C的中点.（1）证明：1AM D D⊥；（2）若030ABC∠=，且AC BC≠，求点A到平面11B BCC的距离.20. 椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）求椭圆C的方程；（2）设(),P x y为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足()4,0PP x'=-u u u r.①证明：PPPF'u u u ru u u r为定值；②设直线12y x m=+与椭圆C有两个不同的交点A B、，与y轴交于点M.若,,AF MF BF成等差数列，求m的值.21. 已知函数()af x xx=+.（1）判断函数()f x的单调性；（2）设函数()ln1g x x=+，证明:当()0,x∈+∞且0a>时，()()f xg x>.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为21x ty ta=⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数，0a>），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin0l bρθρθ-+=与2:4cosCρθ=-e相交于A B、两点，且090AOB∠=.（1）求b的值；（2）直线l与曲线1C相交于M N、，证明：22C M C Ng（2C为圆心）为定值.23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题13. ±甲 15. 9 16. 6π（或30°） 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+g ，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++L ，23111231222222n n n n nT --=+++++L ， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--L ， 所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙，22S S <甲乙，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=， 另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种，其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况， 则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D :四边形ABCD ， ∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ，则AN ⊥平面11B BCC ， 在Rt ABM ∆中可求得AM BM ==5AN =， 所以，点A 到平面11B BCC的距离为5. 20.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，142PF x ====-u u u r ，而4PP x '=-u u u r，∴2PP PF'=u u u r u u u r 为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-g ， 由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴1244,22x x mAF BF MF ++=-=+= ∵,,AF MF BF 成等差数列， ∴2AF BF MF +=，即42m +=125m =或43m =-， 又因为22m -<<，所以43m =-. 21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x -'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数； ②若0a >，则()200f x x a x '>⇒->⇒<x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x=-=+-->，()22211a x x a h x x x x --'=--=，设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数， 又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >， 所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==g ， 所以22128C M C N t t ==g g 为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥g 时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。
2020年保定一模——数学答案
2020年保定一模数学参考答案一、选择题（本大题共16个小题，共42分。
1—10小题各3分；11—16小题各2分。
）1—5：BCCBB 6—10：CBBAB 11—16：CABCDD二、填空题（本大题共3个小题，共11分。
17小题3分；18—19小题各2个空，每空2分）17．201918．（1）4（2）5或－319．135；（n －2）·180n.三、解答题（本大题共7个小题，共67分）20．解：（1）－6－2＋1＋4＝－8＋5＝－3-----------------------------2分（2）①（―6）―4＝―10--------------------4分②（―6）×（－2）＝12--------------6分（3）答案不唯一，符合要求即可。
如：―2―1×4＝―6；―6＋4÷1＝－2；4―（―6）÷（－2）＝1；（－2）×1―（―6）＝4-----------8分21．尝试：1013---------------------------4分发现：（3n ＋1）------------------------6分当n ＝2020时，3n ＋1＝6061，即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061-------------7分探究：不能。
----------------------------------------8分设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m ，则m ＝3n ＋1。
若m ＝1001，则1001=3n ＋1。
解得31333=n 。
这个数不是整数，所以不能。
-----------------------------9分22．解：（1）设另一个球面上标的数是x .由题意，得022=+x ，x ＝－2。
∴众数是－2.------------------3分（2）摸出的球面上的数是正数的概率2142==。