第六章第七节 向心力

第六章第七节向心力

理解领悟

物体做圆周运动的过程中线速度的方向不断变化，其变化的快慢可用向心加速度表示。那么，向心加速度又是怎样产生的呢？向心力是产生向心加速度的原因，使物体速度的方向不断改变，但不改变速度的大小。本节课我们通过牛顿第二定律结合向心加速度大小的表达式，推导向心力大小的表达式，并用实验来验证向心力大小的表达式。

1.向心力的概念

由牛顿第一定律我们可以知道，一切物体都将保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。做圆周运动的物体不沿直线飞去而是沿着一个圆周运动，说明这个物体必然受到了外力的作用。用绳系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，是由于绳子对它有拉力作用，不难想像，如在某时刻剪断细绳，那物体必然沿切线方向飞出做匀速直线运动；如果月球不受地球对它的吸引力，则月球不受任何外力的作用（其它天体对月球的吸引力很小，可忽略），月球必然不会绕地球转动，而是做匀速直线运动，离地球越来越远。

由于物体做圆周运动过程中，至少速度的方向在不断变化，所以物体一定具有加速度。做匀速圆周运动的物体，其加速度的方向始终指向圆心，根据牛顿第二定律，力是产生加速度的原因，所以物体一定受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。

2. 向心力的表达式

设做匀速圆周运动物体的向心加速度为a n，所受向心力为F n，根据牛顿第二定律可得

F n＝ma n。

通过上一节内容的学习，我们知道a n＝v2

r＝rω

2，

所以F n＝m v2

r＝m rω

2。

3. 用圆锥摆验证向心力的表达式

教材提供了“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验（参见教材图6.7-1）。

(1) 实验原理：

当物体做匀速圆周运动时，合力正好提供物体所需向心力，即F合＝F n，反映了一对“供”、“需”矛盾的统一，F合是物体所受外力的合力，为“供”，F n＝m rω2是物体以半径为r、角速度为ω做原圆周运动所需要的向心力，是“需”。当“供”、“需”平衡（相等）时，物体就做匀速圆周运动；当“供”、“需”不平衡时，物体原来的匀速圆周运动状态就会被破坏。

本实验即通过“供”、“需”双方分别测算钢球做圆周运动的向心力，比较它们的大小，从而验证向心力表达式。

(2) 几点说明：

①实验时，我们其实并不需要测量钢球的质量。这时因为在钢球向心力的两个表达式中我们都可以发现，向心力F与质量m都是成正比关系，只要验证了rω2与g tan θ在误差允许范围内相等，即证明了两种方法得到的向心力大小相等，也就验证了向心力的表达式。

②使钢球沿纸上的某个圆周运动，这是实验的成败与否的关键，也是这个实验操作过程中的一大难点，这需要我们在实验时多加练习，较为熟练后再正式开始计时、测量圆周运动的周期。

③在测量钢球运动周期时，一定要用秒表或手表记录钢球运动若干圈的时间，这样有

利于减小测量的误差。

④ 由于小球运动时距纸面有一定高度，所以它距悬点的竖直高度h 并不等于纸面距悬点的高度。这点差别可以通过估算解决。此外，测量小球距悬点的竖直高度时，要以小球的球心为准。

(3) 实验结果：

如果仔细实验，通常实验结果在误差允许范围内都能很好地说明两个方法得到的向心力大小相等，也就验证了向心力的表达式。

4. 对向心力的进一步说明

匀速圆周运动中物体受到的向心力大小不变，但方向始终沿半径方向

指向圆心，如图6－105所示，显然，向心力方向不断发生变化，所以向心力是一个变力。 我们对物体进行受力分析时，经常提到重力、弹力、摩擦力等，它

们都是按其产生的性质命名的，而向心力则不然，我们是根据它的作用效果（方向始终指向圆心，使物体产生向心加速度，迫使物体做圆周运

动）命名的。凡是产生向心加速度的力，不管它属于什么性质，都是向心力。在圆锥摆实验中，即是重力和细绳拉力的合力提供了向心力。

如图6－106所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转

动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动，在此问题中向心力

F n 由静摩擦力提供，由于静摩擦力具有被动应变特性，所以物体所受静

摩擦力的大小一定等于mr ω2，方向指向圆心，且静摩擦力F f 的大小随ω的增大而增大；又因为F f 有最大值μmg ，所以ω有最大值，由μmg ＝mr ω2

可知，ω的最大值为μg r ，当ω＞μg r

时，物块便不能随圆盘做匀速圆周运动。 5. 变速圆周运动

我们可以自己动手做一小实验。如图6－107所示，我们通过一根细

线系一小球，用手抓住细线的另一端使小球在光滑水平面上做圆周运动，

开始小球速度较小，让我们仔细体会一下我们是如何使它逐渐加速的？

大家不难得到这样的体会：使小球加速时，手牵引绳子的一端并不

是固定于圆心O 点不动，而是以较小的半径做圆周运动。如图6－108

这样，手通过绳子对小球的拉力方向并不是指向圆心，而是如图中所

示。

由此可知，做圆周运动的物体，其所受合外力不一定总是指向圆

心，但总可以把合力分解为两个方向的作用力，沿半径方向的分力和

沿切线方向的分力（切向分力）。前者提供向心力，改变速度的方向；而后者使物体产生切向加速度，改变速度的大小。如切向分力始终为

零，则物体做圆周运动的速度大小始终保持不变，物体即做匀速圆周运动。

物体在竖直平面内做圆周运动时，由于物体所受重力的大小和方向都是恒定不变的，因此，当物体经过圆周上的各个不同位置时，重力对物体做圆周运动所需的向心力是否能做出贡献、以及贡献的程度如何都是不相同的。所以，在竖直平面内绳系小球的圆周运动是变速圆周运动。

仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动就是变速圆周运动。

6. 一般曲线运动的研究

图6－

105 图6－

106 图6－108

运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲

线运动。

如图6－109所示，质量为m 的质点的运动轨迹是一条曲线，

我们可以采用圆周运动的分析方法来研究质点经过曲线上某位置

的运动规律。

设质点经过A 、B 两点时速度分别为v 1、v 2，所受合外力分别

为F 1、F 2，A 、B 两点所在圆弧的曲率中心分别为O 1、O 2，曲率半

径分别为r 1、r 2，则根据圆周运动的分析方法我们可得

F 1 cos θ1＝m 121r v ，F 2 cos θ2＝m 222r v 。 注意：① 曲线可分割成许多极短的小段，每一小段曲线都可看作一小段圆弧，但这些圆弧的弯曲程度通常是不一样的，所以我们用r 1、r 2分别表示A 、B 两点处的曲率半径，反映圆弧的弯曲程度。

② F 1、F 2沿曲线切线方向的分力使物体产生切线方向的加速度，使质点加速或减速。如图中质点经过A 点时减速，而经过B 点时加速。

7. 对“做一做”栏目实验的说明

上节课我们从理论上判断过向心加速度与半径的关系：如果做圆周运动的线速度大小一

定，则由公式a n ＝v 2

r

可知，向心加速度大小与圆周运动的半径成反比；如果做圆周运动的角速度大小一定，则公式a n ＝rω2可知，向心加速度与半径成正比。因为向心力与向心加速

度大小成正比，所以我们可以知道：如果做圆周运动的线速度大小一定，则由公式F n ＝m v 2

r 可知，向心力大小与圆周运动的半径成反比；如果做圆周运动的角速度大小一定，则公式F n ＝mrω2可知，向心力大小与半径成正比。

对此，教材在“做一做”栏目安排了一个感受向心力的实验（参见教材图6.7-5），以体验向心力的大小与哪些因数有关：

操作一 手握绳结A ，如图6.7－5乙。使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每2次口令运动1周，即每秒运动一周。体会此时绳子拉力的大小。

操作二 改为手握绳结B ，仍使沙袋在水平方向上每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小。

操作三 又改为手握绳结A ，仍使沙袋在水平方向上每秒运动2周，体会此时绳子拉力的大小。

操作二与操作一中物体做圆周运动的角速度相同，但沙袋转动半径是操作一的2倍，由理论分析可知，操作二中向心力较大（是操作一中的2倍），实验时应可体会到这点。

操作三与操作二中物体做圆周运动的线速度相同，但沙袋转动半径是操作二的一半，由理论分析可知，操作三中向心力较大（是操作二中的2倍），实验时也可体会到这点。

8. 对“做一做”栏目实验的改进

我们也可对教材“做一做”栏目的上述实验作如下改进：

取一根空心管子（如圆珠笔管），在管口涂一些石蜡（主要是为减小摩擦），用一根细绳穿过它，一头拴一块橡皮块，另一头拴一金

属螺母（另有几个相同的螺母），用手握住空心管（保持竖直），使管

图6－109

2 1

图6－110

在很小范围内划圆，就能使橡皮块旋转起来，增大转速，可以使拴住橡皮块的细绳几乎保持水平，如图6－110所示。请你思考怎样根据这一装置设计一个研究向心力大小与转动半径关系的实验方案，并试一试。

应用链接

本节知识的应用主要涉及匀速圆周运动向心力的分析与向心力大小的计算，并拓展到变速圆周运动和一般曲线运动的研究。

例1 关于向心力，下列说法中正确的是（ ）

A. 物体由于做圆周运动而产生一个向心力

B. 向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小

C. 做匀速圆周运动的物体的的向心力是个恒力

D. 做一般曲线运动的物体的合力即为向心力

提示 由向心力的概念对各选项作出判断，注意一般曲线运动与匀速圆周运动的区别。 解析 与速度方向垂直的力使物体运动方向发生改变，此力指向圆心命名为向心力，所以向心力不是物体做圆周运动而产生的。向心力与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向。做匀速圆周运动的物体的的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是个变力。做一般曲线运动的物体的合力通常可分解为切向分力和法向分力。正确选项为B 。

点悟 对向心力概念要有正确的认识。物体做一般曲线运动时，物体所受的合力可分解为切线方向与法线方向的分力。切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小；法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向。

例2 设地球半径为R ＝6400km ，自转周期T ＝24h ，试计算赤道上一个质量为m ＝10kg 的物体绕地轴做匀速圆周运动的向心加速度和所需的向心力。

提示 赤道上物体绕地轴做匀速圆周运动的半径即地球半径R ，根据向心加速度、向心力的表达式即可求解。

解析 因赤道上的物体绕地心做圆周运动，故该物体做圆周运动的向心加速度为

a ＝R (2πT )2＝6.4×106×(2×3.1424×3600

)2m/s 2≈0.034 m/s 2。 该物体做圆周运动所需向心力为

F ＝ma ＝10×0.034N ＝0.34N 。

点悟 若物体不在赤道上，而在纬度60°处，你能求出它绕地轴做匀速圆周运动的向心加速度和所需的向心力吗？

例3 如图6－111所示，将一质量为m 的摆球用长为L 的细绳吊起，

上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是

（ ） A ．摆球受重力、拉力和向心力的作用

B ．摆球受拉力和向心力的作用

C ．摆球受重力和拉力的作用

D ．摆球受重力和向心力的作用

提示 做匀速圆周运动的物体的向心力即为物体所受的合力，进行受力分析时，不能重复分析。 解析 物体只受重力G 和拉力F T 的作用，而向心力F 是重力和图6－112

F

图6－111

拉力的合力，如图6－112所示。也可以认为向心力就是F T 沿水平方向的分力F T2，显然，F T 沿竖直方向的分力F T1与重力G 平衡。正确选项为C 。

点悟 常有同学错选A ，即认为摆球除了受到重力G 、拉力F T 外，还受到一个大小等于m v 2r

的向心力F 的作用。其错误在于忘了向心力是物体做匀速圆周运动时受到的合力。可想而知，如果把向心力当做一个额外的力，认为小球受三个力的作用，显然与物体的实际受力情况相矛盾，即相当于把物体受到的力计算了两遍，是完全错误的。

例4 如图6－113所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中

所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）

A ．A 球的线速度必定大于

B 球的线速度 B ．A 球的角速度必定小于B 球的线速度

C ．A 球的运动周期必定小于B 球的运动周期

D ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力

提示 先作出小球的受力分析图，求出向心力，再由圆周运动的向心力与线速度、角速度、周期等的关系式进行分析。 解析 小球A 或B 的受力情况如图6－114所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G 和支持力F N 的合力，建立如图6－114所示的坐标系，则有

F N1＝F N sin θ＝mg ，F N2＝F N cos θ＝F ， 所以 F ＝mg cot θ。

也就是说F N 在指向圆心方向的分力或重力G 和支持力F N 的合力F ＝mg cot θ提供了小球做圆周运动所需的向心力，可见A 、B 两球的向心力大小相等。

比较两者线速度大小时，由F ＝m v 2r

可知，r 越大，v 一定较大，故选项A 正确。 比较两者角速度大小时，由F ＝mrω2可知，r 越大，ω一定较小，故选项B 正确。

比较两者的运动周期时，由F ＝mr (2πT

)2可知，r 越大，T 一定较大，故选项C 不正确。 由受力分析图可知，小球A 和B 受到的支持力F N 都等于mg ，故选项D 不正确。 综上所述，本题正确选项为A 、B 。

点悟 应用向心力公式解题的基本思路是：首先明确向心力的来源，即哪些力提供向心力；其次要确定物体做圆周运动的轨迹平面，确定向心力的方向；最后应用向心力表达式求解。当然，要正确解决问题，我们须熟记向心力的各种表达式，并注意在不同的情况下灵活选用。

例5 如图6－115所示，在光滑的水平桌面上钉有两枚

铁钉A 、B ，两者相距l 0＝0.1m ，长l ＝1m 的轻质柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为500g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上钉子A 的一侧，把细线拉直，再给小球垂

直细线方向的2m/s 的水平速度，使它做匀速圆周运动，由于钉子B 的存在，使细线逐步缠在钉子A 、B 上，若细线能承受的最大拉力为F m ＝

7N ，则从开始运动到细线断裂历时多长时间？

图6－113

图6－115 图6－114

提示 小球每转半周，细线就会碰到另一枚钉子，小球便以这枚钉子为圆心做圆周运动，运动的半径就相应减小了0.1m ，但由于细线对小球的拉力只改变速度方向，因此，小球的

速度大小将保持不变。根据F ＝m v 2r

可知，细线每一次碰钉子后，细线的拉力（大小等于小球圆周运动所需的向心力）都要增大，当细线的拉力增大到7N 时，小球做圆周运动的半径最小，这样就可以求出相应所需的时间。

解析 小球交替地绕钉子A 、B 做匀速圆周运动，细线碰钉子的瞬间，细线的拉力和速度的方向仍然垂直，小球的速度大小不变，而细线的拉力随半径的突然减小而突然增大，当然，每转半圈所用的时间不断减小。

在第一个半圆内 F 1＝m v 2l ，又T ＝2πl v ，t 1＝T 2 ，即t 1＝πl v

； 同理，在第二个半圆内 F 2＝mv 2

l －l 0

，t 2＝π（l －l 0）v ； 在第三个半圆内 F 3＝mv 2

l －2l 0

，t 2＝π（l －2l 0）v ； 则在第n 个半圆内

F n ＝mv 2

l －（n －1）l 0

，t n ＝π（l －（n －1）l 0）v 。 令F n ＝F m ＝7N ，即 mv 2

l －（n －1）l 0

＝7N ， 解之可得 n ＝8。

因此，经历的时间为 t ＝t 1＋t 2＋t 3＋……＋t n

＝πv

｛nl －〔1＋2＋3＋……＋（n －1）〕l 0｝ ＝3.142 ×〔8×1－8×（8－1）2

×0.1〕s ＝8.2s 。 点悟 圆周运动的显著特点是它的周期性，通过对运动规律的研究，用递推法得出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义。

运用递推规律写出通式及对数列求和都是物理解题中常用的数学方法。数学和物理是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的能力之一。因此，在平时的学习中，应注意数学知识和物理知识的结合，能在正确分析、清楚理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解。

例6 如图6－116所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，物体A 到圆心的距离为r ，物体A 通过轻绳与物体B 相连，物体B 的质量也为m 。若物体A 与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A 才能随盘转动？

提示 由于A 在转盘上随转盘做匀速圆周运动，所以它所受的

必然指向圆心。对物体A 进行受力分析可知，重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，因此A 所受的摩擦力方向一定沿着半径方向，或指向圆心，或背离圆心。具体而言，当ω较小时，A 有向圆心O 运动的趋势，故转盘对A 的摩擦力方向背离圆心；当ω较大时，A 有远离圆心O 运动的趋势，故转盘对A 的摩擦力方向指向圆心。

解析 当A 将要沿转盘背离圆心滑动时，A 所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A 做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即

图6－116

F ＋F m ＝mrω12， ①

由于B 静止，则有 F ＝mg ， ② 又因为 F m ＝μF N ＝μmg ， ③ 由①②③式可得 ω1＝g （1＋μ）r

。 当A 将要沿转盘指向圆心滑动时，A 所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A 做圆周运动所需的向心力为 F －F m ＝mrω22， ④

由②③④式可得 ω2＝g （1－μ）r

。 故要使A 随转盘一起转动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即 g （1－μ）r

≤ω≤g （1＋μ）r 。 点悟 根据向心力表达式解题的关键是分析物体做匀速圆周运动时的受力情况，明确哪些力提供物体做圆周运动的向心力。另外，静摩擦力的大小和方向是由物体的运动状态确定的，不同的运动状态对应不同的摩擦力大小和方向。

课本习题解读

]

1. 太阳对地球的引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，所以太阳对地球的引

力大小为F ＝mrω2

＝m 4π2r T 2 ＝≈???????N )360024365(105.114.34100.6211224 3.58×1022N 。 本题旨在让我们理解向心力的产生，同时为下一章知识做准备。

2. 如图6－117所示，小球受到重力和漏斗壁对它的弹力的作用，它做

圆周运动所需向心力由这两个力的合力提供。

3. ⑴ 物体做圆周运动时所受向心力大小

F ＝mrω2＝N 1.041.02??＝0.16N 。 ⑵ 甲的意见是正确的，物体的向心力等于圆盘对物体的静摩擦力，方向指向圆心。这是因为物体有相对圆盘沿半径向外运动的趋势（设想圆盘上表面如果光滑，则物体将沿切线方向飞出，离圆心越来越远）。

本题旨在让我们综合运用做匀速圆周运动的物体的受力和运动之间的关系。

4. 由题意可知当细绳与钉子相碰开始，小球改做以A 点为圆心的圆周运动，设小球从一定高度摆下，到达最低点时的速度大小为v ，钉子的位置离小球的距离为l ，细绳对小球的拉力大小为F ，如图6－118所示，则有 F －mg ＝m v 2

l

， 故 F ＝mg ＋m v 2

l

。 根据牛顿第三定律可得，细绳受到的拉力大小

F ′＝mg ＋m v 2

l

。 显然，钉子越靠近小球（即l 越小），细绳受到的拉力越大，绳就越容

易断。

图6－

118 图6－117

图6－119

5. 题图中的丙图是正确的。这是因为汽车所受到的合力F的作用效果应该分为两个方面，一是提供汽车沿曲线运动的向心力F n，二是提供使汽车做减速运动的切向力F t，如图6－119所示。

本题旨在让我们理解做一般曲线运动的物体的受力情况。