高考数学仿真模拟卷一 (1)

仿真模拟卷二

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2} 答案 B

解析 因为集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，所以P ∩Q ＝{0,1}．

2．已知复数z 满足|z |＝2，z ＋z －＝2(z －

为z 的共轭复数)(i 为虚数单位)，则z ＝( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．1＋i 或1－i

D ．－1＋i 或－1－i

答案 C

解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，z ＋z －

＝2a ，

所以??? a 2＋b 2

＝2，2a ＝2，得???

a ＝1，

b ＝±

1，所以z ＝1＋i 或z ＝1－i.

3．若a >1，则“a x >a y ”是“log a x >log a y ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由a >1，得a x >a y 等价为x >y ，log a x >log a y 等价为x >y >0，故“a x >a y ”是“log a x >log a y ”的必要不充分条件．

4．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a

答案 A

解析 因为a ＝log 52

2，b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2,0.51

2

5．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 答案 C

解析 由题可得S ＝3，i ＝2→S ＝7，i ＝3→S ＝15，i ＝4→S ＝31，i ＝5→S ＝63，i ＝6，此时结束循环，输出i ＝6.

6．(1－x )6(1＋x )4的展开式中含x 项的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答案 B

解析 解法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6(－x )m ＝C m 6

(－1)m x m 2，(1＋x )4

的展开式的通项为

C n 4(

x )

n

＝C n 4x n 2

，其中

m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.

令m 2＋n

2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于

C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·

(－1)2·C 0

4＝－3. 解法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·

(－1)1·1＝－3. 解法三：在(1－x )6(1＋x )4的展开式中要出现x ，可分为以下三种情况： ①(1－x )6中选2个(－x )，(1＋x )4中选0个x 作积，这样得到的x 项的

系数为C 26C 04＝15；

②(1－x )6中选1个(－x )，(1＋x )4中选1个x 作积，这样得到的x 项的

系数为C 16(－1)1C 14＝－24；

③(1－x )6中选0个(－x )，(1＋x )4中选2个x 作积，这样得到的x 项的

系数为C 06C 24＝6.

故x 项的系数为15－24＋6＝－3.

7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB

→

＝3

2，则实数m ＝( )

A ．±1

B ．±32

C ．±22

D ．±

1

2 答案 C

解析 联立???

y ＝x ＋m ，

x 2＋y 2＝1，

得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，

∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋

m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →

＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，

∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →

＝x 21－x 1x 2＋y 2

1－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22.

8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a ＋b )2

－c 2

，则sin ? ??

??C ＋π4＝( ) A ．1 B.2

2 C.6－24 D.6＋24 答案 D

解析 由43S ＝(a ＋b )2－c 2，得43×1

2ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，

∴23ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，

即3sin C －cos C ＝1，即2sin ? ????C －π6＝1，则sin ? ?

???C －π6＝12，∵0

π3＋π4＝sin π3·cos π4＋cos π3sin π4

＝32×22＋12×2

2＝6＋24.

9．关于函数f (x )＝x －sin x ，下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数

B ．f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增

C ．x ＝0是f (x )的唯一零点

D ．f (x )是周期函数 答案 D

解析 f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (0)＝0，可得x ＝0是f (x )的唯一零点，故C 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．

10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 答案 D

解析 由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.

11．已知实数a >0，函数f (x )＝

?????

e x －1

＋a

2，x <0，

e

x －1

＋a 2x 2－(a ＋1)x ＋a

2，x ≥0，

若关于x 的方程f [－f (x )]＝e －a ＋a

2有三个

不等的实根，则实数a 的取值范围是( )

A.? ?

???1，2＋2e B.? ?

???2，2＋2e C.? ?

???1，1＋1e D.? ?

?

??2，2＋1e 答案 B

解析 当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1，f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f (1)＝0.

由此画出函数f (x )的大致图象如图所示．令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，

则有?

??

??

f (t )＝e －a

＋a 2，

f (t )＝e t －1＋a 2，解得－a ＝t －1，

所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2

e ＋2.

12．已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π

6，

则线段BC 长度的取值范围为( )

A ．[2－3，1]

B ．[1，7]

C ．[7， 7＋23]

D ．[1,

7＋23]

答案 B

解析 如图，过点B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ，

则四边形BMNC 为直角梯形．

在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E .

又BM ＝AB ·sin ∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝AB ·cos ∠BAM ＝2cos π

3＝1，

CN ＝AC ·sin ∠CAN ＝3sin π6＝3

2， AN ＝AC ·cos ∠CAN ＝3cos π6＝32，

所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤ 7，故选B.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(3,1)，c ＝(1,2)，若向量2a －b 与c 共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为________．

答案 0

解析 向量2a －b ＝(－1,2λ－1)，

由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a ＝? ????1，－12， ∴向量a 在向量c 方向上的投影为|a |cos 〈a ，c 〉＝a ·c

|c |＝

1－2×1

2

5

＝0.

14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2ab sin C ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________．

答案 3 3

解析 由题意得2ab sin C

2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ， 即a sin C

c ＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π

3.

由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π

3，

解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×3

2＝3 3.

15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直

线x ＝2上，则AM →·AO →

的最小值为________．

答案 2

解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，

则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →

＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.

令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.

16．已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．

答案 (3，＋∞)

解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，

则???

f (1)<0，m >0或???

m >0，

Δ>0，f (1)≥0，

m <1，

即m >3或???

m >0，

m 2

－m －2>0，

3－m ≥0，

m <1，

故m >3.

当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解，所以???

f (1)<0，

m <0，此

不等式组无解．

综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (3sin x －cos x )＋1

2.

(1)求f ? ??

??

π3的值；

(2)当x ∈???

???0，π2时，不等式c

解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ? ????2x －π6，所以f ? ???

?

π3＝1.

(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π

6， 所以－12≤sin ? ?

?

??2x －π6≤1.

由不等式c

c <－12，

c ＋2>1，

解得－1

2.

所以实数c 的取值范围为? ?

?

??－1，－12.

18．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，AB ＝1，AD ＝2，∠ADE ＝60°，沿AE ，BF 折成三棱柱AED －BFC .

(1)若M ，N 分别为AE ，BC 的中点，求证：MN ∥平面CDEF ； (2)若BD ＝5，求二面角E －AC －F 的余弦值． 解 (1)证明：如图，取AD 的中点G ，连接GM ，GN ，

在△ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，

∴MG∥DE，

∵DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，

∴MG∥平面CDEF.

由于G，N分别为AD，BC的中点，

由棱柱的性质可得GN∥DC，

∵CD?平面CDEF，GN?平面CDEF，

∴GN∥平面CDEF.

又GM?平面GMN，GN?平面GMN，MG∩GN＝G，

∴平面GMN∥平面CDEF，

∵MN?平面GMN，∴MN∥平面CDEF.

(2)如图，连接EB，

在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝3，

∴BE＝2，又ED＝1，DB＝5，

∴EB2＋ED2＝DB2，

∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，AE，EB?平面ABFE，∴DE⊥平面ABFE.

以E 为坐标原点，分别以EA ，EF ，ED 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得E (0,0,0)，A (3，0,0)，F (0,1,0)，C (0,1,1)，

AC →＝(－3，1,1)，AE →＝(－3，0,0)，FC →

＝(0,0,1)． 设平面AFC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则?????

m ·AC →＝－3x ＋y ＋z ＝0，m ·FC →＝z ＝0，

则z ＝0，令x ＝1，得y ＝3，则m ＝(1，3，0)为平面AFC 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则?????

n ·AE →＝－3x 1＝0，n ·AC →＝－

3x 1＋y 1＋z 1＝0，

则x 1＝0，令y 1＝1，得z 1＝－1，

∴n ＝(0,1，－1)为平面ACE 的一个法向量． 设m ，n 所成的角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝322＝64，

由图可知二面角E －AC －F 的余弦值是6

4.

19．(本小题满分12分)为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：

利润率是指一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值．

(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；

(2)从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两

台机器的利润率不同的概率；

(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利x 1万元，销售一台第二类机器获利x 2万元，……，销售一台第五类机器获利x 5万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为E (x )，设x －

＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5

5，试判

断E (x )与x －

的大小．(结论不要求证明)

解 (1)由题意知，本月共卖出30台机器， 利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台． 设“这台机器利润率高于0.2”为事件A ，则 P (A )＝1030＝13.

(2)用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万元，第一类有5台，第三类有10台，共有15台，随机选取2台有C 215种不同方法，

两台机器的利润率不同则每类各取一台有C 15C 1

10种不同方法， 设“两台机器的利润率不同”为事件B ，则P (B )＝C 15C 1

10C 215

＝10

21.

(3)由题意可得，获利x 可能取的值为8,5,3,10， P (x ＝8)＝530＝16，P (x ＝5)＝230＝1

15， P (x ＝3)＝10＋830＝35，P (x ＝10)＝530＝1

6， 因此E (x )＝16×8＋115×5＋35×3＋16×10＝77

15； 又x －＝8＋5＋3＋10＋35

＝29

5，所以E (x )

.

20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知|DF 1|＝5

2.

(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求点E 的坐标．

解 (1)设椭圆C 的焦距为2c .

因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，c ＝1. 又因为|DF 1|＝5

2，AF 2⊥x 轴， 所以|DF 2|＝|DF 1|2

－|F 1F 2|2

＝

? ??

??522－22＝32，

因此2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝4，从而a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.

因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)解法一：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1，a ＝2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16， 解得y ＝±4.

因为点A 在x 轴上方，所以A (1,4)． 又F 1(－1,0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2. 由???

y ＝2x ＋2，(x －1)2＋y 2

＝16，得5x 2＋6x －11＝0， 解得x ＝1或x ＝－11

5.

将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－12

5， 因此B 点坐标为? ??

??－11

5，－125.

又F 2(1,0)，所以直线BF 2：y ＝3

4(x －1)． 由?????

y ＝34(x －1)，x 24＋y 2

3＝1，

得7x 2－6x －13＝0，

解得x ＝－1或x ＝137.

又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1. 将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－3

2. 因此E 点坐标为? ?

?

??－1，－32.

解法二：由(1)知，椭圆C ： x 24＋y 2

3＝1. 如图，连接EF 1.

因为|BF 2|＝2a ，|EF 1|＋|EF 2|＝2a ， 所以|EF 1|＝|EB |， 从而∠BF 1E ＝∠B .

因为|F 2A |＝|F 2B |，所以∠A ＝∠B ， 所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴． 因为F 1(－1,0)，由????

?

x ＝－1，x 24＋y 2

3

＝1，得y ＝±

3

2.

又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－3

2.

因此E 点坐标为? ?

?

??－1，－32.

21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x e x ＋ax (a ∈R )． (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝1，求f (x )的最大值．

解 (1)由题意知，f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x )＋a ＝1

x －(x ＋1)e x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立，

所以a ≤(x ＋1)e x －1

x 在[1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)e x －1

x ， 则g ′(x )＝(x ＋2)e x ＋1

x 2>0， 所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝2e －1，所以a ≤2e －1. (2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x ＋x (x >0)． 则f ′(x )＝1x －(x ＋1)e x ＋1＝(x ＋1)? ????

1x －e x ，

令m (x )＝1x －e x ，则m ′(x )＝－1

x 2－e x <0， 所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减．

由于m ? ????

12>0，m (1)<0，所以存在x 0>0满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0

.

当x ∈(0，x 0)时，m (x )>0，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )<0，f ′(x )<0. 所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x

0＋x 0，

因为e x

0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0，所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1，

所以f (x )max ＝－1.

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为???

x ＝2t ，

y ＝2＋t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程

为ρcos 2θ＝8sin θ.

(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.

解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ， 所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线． (2)设点M (x 1，y 1)，点N (x 2，y 2)，

直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程???

x ＝2t ，

y ＝2＋t 化为一般方程为y

＝1

2x ＋2，代入曲线C 的直角坐标方程，得x 2－4x －16＝0，

所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－16， 所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋? ????

122·(x 1－x 2)2 ＝1＋? ????

122·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

1＋? ??

??

122·42－4×(－16)＝10. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M . (1)求M ；

(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )． 解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式， 整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.

①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8， 解得x <－10

3，所以x ≤－4；

②当－48， 解得x <－2，所以－4

③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8， 解得x >2，所以x >2.

综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．

(2)证明：因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |，

所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )， 只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，

即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，

即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，

即证(a2－4)(b2－4)>0，

因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，

所以原不等式成立．