数论知识点 5-6年级
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≠≠0)≠基础知识
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个外行人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论显得格外重要，数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“郎兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究。
小学数学竞赛和奥数学习中的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆。
数的整除在算术中应用广泛，下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特性三方面来介绍。
1、 整除的概念
在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零，两种结果
必定有一种成立。如果余数为零，我们就说被除数能被除数整除。即
整数a 除以整数b （b 0），除得的商正好是整数，我们就说a 能被b 整除
（也可以说b 能整除a ），记为b|a 如15能被3整除，记为3|15。
如果数a 能被数b （b 0）整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。
由于00，就是说零能被任何非零整数整除。因此，零是任意一
个非零整数的倍数。
(b b ÷=≠1是任意一个整数的约数，也就是说，对于整数a ，都能保证1|a 成立。
同样，由于a÷a=1（a 0），也就保证一个非零整数必能整除它本身，也
就是a|a （a 0）、
≠2、 整除的性质
性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整
除，即如果c|a ，c|a ，那么c|（a±b ）。
性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整
除，即如果b|a ，c|b ，那么c|a 。
性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除，
即如果bc|a ，那么b|a ，c|a 。
性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，
那么a 一定能被b 与c 的乘积整除，即如果b|a ，c|a ，且（b ，c ）=1，那么bc|a 。
性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除；如果b|a ，那
么bm|am （m 为非0整数）。
性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被
bd 整除；如果b|a ，且d|c ，那么bd|ac 。
3、 数的整除特征
特征1 能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征”
包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。下面“特征”
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含义相似。
特征2 能被5整除的数个位是0或5。
特征3 能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。 如123的各位数字之和是1+2+3=6，因为6能被3整除，所以3|123。再如126的各位数字之和是1+2+6=9，因为9能被9整除，所以9|126。
我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。 假设该三位数为abc =100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c ，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc 就能被9整除，反之亦然。推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立。请大家自己尝试一下。
注意：“弃九法”。看各位数字和能否被9整除，只要先把9划去，
或者其他的和是9的几个数划去，剩下的数字之和是否是9的倍数，则
可以判定这个数能否被9整除。
“得余数”。通过上面的过程。我们可以看出这个数被9除所
得余数，就是在弃九法以后的余数。
同理判断能否被3整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种
简便的方法。
特征4 能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。
如，1864=1800+64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25
的倍数。又因
为4|64，所以1864能被4整除。但因为25不能被64整除，所以1864不能被25整除。
特征5 能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。
如，29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为125|375，所以29375能被125整除。但因为8不能被375整除，所以8不能被29375整除。
特征6 能被11整除的数其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除。因为这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。因为25—20=5，又因为11不能整除5，所以11不能整除123456789。
特征7 能被7（或11）整除的数的特征：一个整数的其末三位数与末
三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数。可以把1059282分为1059和282两个数。因为1059—282=777，又7|777，所以7|1059282。因此1059282是7的倍数。
特征8 六位数abcabc 是7、11、13的倍数
仔细想一想我们会发现7×11×13=1001，正好比1000大1，由此我们
可以得到如下证明：
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我们设一个多位数的末三位是abc ，前面部分是x ，那么我们要证明的
就是这个多位数能否被7，11，13整除，决定于abc —x 能否被7,11,13整除，该数=1000x+abc=1001x+（abc —x ）。
由于1001同时是7,11,13的倍数，所以这个多位数能否被7,11,13整除决定于abc —x 能否被7,11,13整除
上面介绍了能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13整除数的特征。那么，怎么判断一个数能否被6、12、15…等整数整除呢？
显然6=2×3,12=3×4，15=3×5…这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把6,12，15…这类数的整除问题转化为同时能被2和3整除或3和4整除…等简单的问题来做。
4、 奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类、能被2整除的数叫做偶数，不能被
2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。因为0能被2整除，所以0是偶数。
奇数与偶数有许多的性质：
奇数±奇数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数±偶数=偶数
奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数
偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数
加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看成0或没有操
作）
加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看成1）
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数
a+b 与a—b 同奇或同偶
奇数的平方=4k+1，偶数的平方=4k
任何一个奇数一定不等于任何一个偶数
5、最值分析（离散）
在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。最值分析问题是数学中的一个难点和重点，可以融入到认识的题目中去考核，并因为他们的存在使题目变得更有难度。一般而言，最大与最小问题包括数、式、方程（组）中的最大最小问题、统筹方法中教学思想方法的初步应用、几何中的最大最小问题（周长、面积、最短的路线）。
这里介绍整数分拆中的最值问题。
① 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大。
把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式。对每一种分拆
计算相应的乘积：
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14=1+13，1×13=13；
14=2+12，2×12=24；
14=3+11，3×11=33； 14=4+10，4×10=40； 14=5+9，5×9=45； 14=6+8，6×8=48；
14=7+7，7×7=49；
因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大。
由此得一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a 与b（a≥b）
之和，使其积a×b 取最大值的条件是a=b 或a—b=1（a﹥b）”。事实上，假设a —b=1+m（其中m 是一个自然数），显然n=a+b=（a—1）+（b+1），而有（a—1）
×（b+1）=a×b+a—b—1=a×b+m﹥a×b。
② 试把14分拆为3个自然数之和，是它们的乘积最大。
假设n=a+b+c（a≥b≥c）且a—c﹥1时，乘积a×b×c 不是最大的。换
句话说，若n=a+b+c（a≥b≥c），当a、b、c 中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c 取最大值。
因为14=3×4+2，由分析可知当a=b=5且c=4时，乘积a×b×c=5×5×
4=100为最大值。
③ 给定一个自然数n，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大。 这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是问题中没有规定把n 拆成几个自然数的和。这也正是这题的难点，因为分拆的种类要增加许多。我们仍旧实验—观察—归纳结论这条路。先选择较小的自然数5开始实验。并把数据列表以便比较。
分拆方式 乘积
5=1+1+1+1+1 1
5=2+1+1+1 2
5=3+1+1 3
5=2+2+1 4
5=4+1 4
5=3+2 6
你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到
少的次序进行的。再注意，当被拆数n﹥3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1。因为当n﹥3，n=1+（n—1）=2+（n—2），且2×（n —2）﹥1×（n—1）。
同理得实验结果：7拆分成2+2+3时，其积12最大；8拆分成2+3+3时，其积最大；9拆分3+3+3时，其积最大；10拆分成3+3+2+2时，其积最大。 观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，
其形式有三种：
自然数=（若干个3的和）
自然数=（若干个3的和）+2
自然数=（若干个3的和）+2+2
因此，我们得到结论：把一个自然数n 分拆成若干个自然数的和，只
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有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多有两个时，这些分拆数的乘积最大。（因为2+2+2=3+3,2×2×2﹤3×3，所以拆分数中2的个数不能多于2个） 我们以上采用的“实验—观察—归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法。我国著名数学家华罗庚讲过，难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找公式。不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一，但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明。这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行。
第五讲 数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数
知识地图
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K 基础知识
1、 质数和合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素
数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。显然，在自然数范围内，最小的质数是2，2也是唯一的偶质数。最小的合数是4。
我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：0和1，质数和合数。因此，除0和1以外的自然数，不是质数就是合数。
2、 质因数与分解质因数
（1） 质因数的概念
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
（2） 分解质因数与判断
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做质因数分解。例如，12=2×2×3。
常用的是100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数。
握100以内以及其他常用合数的分解质因数。 部分特殊数的分解：111=31998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；
2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；
10101=3×7×13×37。
判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p（均为整数），使得p 能够整除P，那么P 就不是质数，所以我们只要那所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数，再列出所有小于P 的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的，那么P 就为质数。例如，149很接近169=13×13，根据整除的性质，149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
23、 公约数和最大公约数
（1） 公约数与最大公约数的概念
几个数共有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。12和18的公约数有1、2、3、6。其中6是12和18的最大公约数，记做（12、18）=6。
一般的，如果两个数a、b 的最大公约数是d，我们简便地记为（a，b）=d。对于较小的两个数a，b 可用短除法求最大公约数。
（2） 最大公约数的性质
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① 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质，即若（a ，b ），b= 1b ×（a ，b ），则（1a ，1b ）=1
1a a =×
② 两个数的最大公约和最小公倍等于这两个数的乘积，即[a，b]×（a ，
b ）=ab 。
③
几个数都乘以一个自然数的最大公约数乘以n。 （3） 求最大公约数的方法 ① 连乘起来。 ② 短除法：先找所有共有的约数，然后相乘。
③ 就是所求的最大公约 数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：
先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。 例如：求600和1515的最大公约数。
第一次用600除1515，商2余315；
第二次用315除600，商1余285；
第三次用285除315，商1余30；
第四次用30除285，商9余15；
第五次用15除30，商2余0。
所以1515和600的最大公约数是15。
辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果球几个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后所得的一个最大公约数，就是所求的几个数的最大公约数。
（4） 求一组分数的最大公约数
先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；a 即为所求。 b
例如：（34，512
）=(3,5)[4,12]=11212341...(n a a a a a a ×××××2a n a 123(1)(1)(1)...(1)n p p p p （5） 求一个数所有的约数的个数
用分解质因数形式表示N=、、…、为合数N 的质因数）。
1234p p p p pn 所求的约数的个数A=×+×+××+。
+
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23237××23×23× 例如：504=，那么它有约数（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个； 我们不妨先来把“一个数的约数个数公式”做一个剖析。
而且约数的质因子的指数必不大于这个数里德这一质因子的指数。例如： A|2。
3 这里A 是2的约数，则A 中可能有质因子2或者3，没有其他的
质因子，完全平方数有奇数个约数。
3 互质数。如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
4、 公倍数和最小公倍数
（1） 公倍数和最小公倍数
几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如12的倍数由12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数由18，36，54，72，90，…
12和18的公倍数有36，72，…。其中36是12和18的最小公倍数，记为[12，18]=36。
一般地，如果两个数a、b 的最小公倍数是d，我们可以简单地记为[a，b]=d。与求最大公约数方法相似，也可用短除法求最小公倍数。
（2） 最小公倍数的有关性质
性质1 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
性质 2 两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
性质3 两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，
最小公倍数是较大的数。
（3） 求最小公倍数的方法
① 分解质因数的方法。如231=3×7×11，252=2223××7，所以[231，
252]= 2223××7×11=2772。
② 短除法求最小公倍数 如：2 | 18 12
3 | 9 6 [12，18]=2×3×3×2=36
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③ 辗转相除法求出最大公约数后，再求出最小公倍数。 （4） 求一组分数的最小公倍数的方法步骤
[a，b]= (,)
a b a b × 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；a b
即为所求。
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25、 最大公约数和最小公倍数的关系
（1） 利用最大公约数求最小公倍数
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。这就是说，求两个数的最小公倍数，可以先求出两个数的最大公约数，再用这两个数的最大公约数去除这两个数的积，所得的商就是两个数的最小公倍数。
（2） 两个数的最小公倍数和最大公约数的和或差也是最大公约的整数
倍。
6、 完全平方数
（1） 平方数问题
，，，其中222a =223b =25c =224=，239=，2525=。由这里的4、9、25，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如1=1，…，11=121，12=144，…其中1，…121,141，…都叫做完全平方数。平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。
222 大家知道，如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积为；如果正方形的棱长为a,那么正方形的体积为。这里a 示a×a ，叫做a 的平方。而3a 示a ×a ×a ，叫做a 的三次方。同样，把a ×a ×a ×a 记做4a 叫做a 的四次方。一般地，把n 个a 相乘之积a ×a ×…×a 记做n a ，叫做a 的n 次方。这种求n 个相同因数a 乘积的运算叫做乘方。在n a ，相同的因数a 叫做底数，a 的乘积中的个数n 叫做指数，乘方运算的结果n a 叫做幂。
2a 3a 2表表中如果一个数能写成某个整数a 的平方，则叫这个数为完全平方数，简
称为平方数。
（2） 完全平方数的有关性质
性质1 完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。
性质2 完全平方数被3、4、5、8、12、16除得余数一定时完全平方数。
性质3 完全平方数的约数一定有奇数个，反之亦然。因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，约束的个数是若干个奇数的乘积。
性质4 如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。 性质5 如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。
性质6 如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质7 平方差公式a —b =（a+b ）(a —b)。
22 性质8 偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被3除余2
（3） 完全平方数的判别方式
① 两个连续自然数的乘积不是完全平方数。
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② 两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
③ 一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完
全平方数。
④ 一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。
⑤ 完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个
位数字是6时，其十位上的数字必为奇数。
平方差的公式 a —b =（a+b ）(a —b)。
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第六讲 数论（三）带余除法、同余性质、中国剩余定理 知识地图
基础知识
1、余数问题
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
（1）带余除法
一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0），那么一定有另外两个整数q 和r ，0≤r
当r=0时，我们称a 能被b 整除。
当r ≠0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商（亦简称为商）。用带余数的除式又可以表示为a ÷b=q …r ，0r
≤例如：给出整数13，整数5，那么就存在另外两个2和3，使得13=5×2+3，其实也就是表达了13÷5=2…3这么一个简单的意思。
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（2）和余数相关的性质
余数有如下一些重要性质（a ，b ，c 均为自然数）
性质1 余数小于除数。
性质2 被除数=除数×商+余数
除数=（被除数—余数）÷商
商=（被除数—余数）÷除数
这条性质，要与整除性联系，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。因为在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
性质3 如果a ，b 除以c 的余数相同，那么a 与b 的差能被c 整除。
此时可以把a ，b 都分别表示成c 的整数倍加余数的形式，既然余数相同，那么做差的话就把彼此的余数减掉了，c 的整数倍之间的差剩下的当然也是c 的整数倍。比如9与34除以5的余数都是4，他们的差25就能被5整除。 性质4 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和（或这个和除以c 的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
性质5 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之积（或这个积除以c 的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×
16）除以5的余数等于3×1=3。
当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质4、5都可以推广到多个自然数的情形。对于性质4和5，前半部分的解释类似性质3的解释。这儿关键要强调的是两个注意的部分，也就是一定要看看所得的余数的和或积是否大于除数，不能和余数要小于除数这条性质产生矛盾。
性质5可以推广到求几个多位数的乘积除以某个数的余数，以及一个数的很多次幂除以一个数的余数等，结合具体的例题我们再扩展，这两条性质是非常值得探讨的。
（3）同余定义
若两个整数a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a ，b 对于模m 同余，用式子表示为a b （mod m ）
≡同余式（a b （mod m ））意味着（我们假设a≥b ）a-b=mk ，k 是整数，即m|（a-b ）。
≡于是，若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被c 整除。
例如：①15≡365（mod 7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod 9），因为56-20=36=9×4。
③90≡0（mod 10），因为90-0=90=10×9。
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由③我们得到启发，a 可被m 整除，可用同余式表示可a ≡0（mod m ）。 例如，表示a 是一个偶数，可以写为a ≡0（mod 2）；表示b 是一个奇数，可以写为b ≡1（mod 2）。
补充定义：若m|（a-b ），就说a 、b 对模m 不同余，用式子表示为a|b （mod m ）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。同余式有如下一些性质（其中a 、b 、c 、d 是整数，而m 是自然数）。
性质1 a ≡a （mod m ）（反身性）
性质2 若a b （mod m ），那么b a （mod m ）（对称性）。
≡≡性质3 若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），那么a ≡c （mod m ）（传递性）
性质4 若a b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么a±c ≡≡b±d （mod m ）（可加减性）
性质5 若a b （mod m ），c ≡≡d （mod m ），那么ac ≡bd （mod m ）（可乘性）
性质6 若a b （mod m ），那么≡n n a b ≡（mod m ）,（其中n 为自然数）。 性质7 若ac bd （mod m ），（c ，m ）=1，那么a ≡≡b （mod m ），（记号
（c ，m ）表示c 与m 的最大公约数）
。 注意同余式性质7的条件（c ，m ），否则如普通等式一样两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod 4），而3与5关于4不同余，因为（2，4）1
≠ 同余式研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
（4）中国剩余定理
①趣题。中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类题又称为“物不知其数”类型，又叫“韩信点兵”，“鬼估算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算”等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。
②口诀诗。程大位的算法口诀诗，就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为中国剩余定理或孙子定理，是我国古代数学的一项辉煌成果。我们就从上述四句诗中来找答案：
“三人同行七十稀”，把除以3所得的余数用70乘，
“五数梅花廿一枝”，把除以5所得的余数用21乘，
“七子团圆正半月”，把除以7所得的余数用15乘，
“除百零五便得知”，把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求。
列式为2×70+3×21+2×15=233，233-105×2=23。
③释疑。 为什么70、21、15、105有如此神奇的作用？70、21、15、105
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是从何而来？
先看70、21、15、105的性质，70除以3余1，被5、7整除，所以70a 除以3余a，也被5、7整除；（这里为什么不是其他两个数的积，而是5×7×2=70，因为70除以3余1）
21除以5余1，被3、7整除，所以21b 除以5余b，也被3、7整除；15除以7余1，被3、5整除，所以15c 除以7余c，被3、5整除。而105则是3、5、7的最小公倍数。
总之，70a+21b+15c 是被3除余a，被5除余b，被7除余c 的数，这个数如果大了，还要减去它们的公倍数。
④推广： 注意中国剩余定理不一定只能解决3、5、7的“物不知其数”问题。
对于其他的情况，又要乘以哪些类似70、21、15这样的常数，可以依据“余1”这个关键，推断出来；比如3、5、11。
三人同行：5×11=55，55≡1（mod 3）
；正好合适！ 五树梅花：3×11=33，33≡3（mod 5）；不合适！
3×2=6≡1（mod 5），33×2=66。
十一国庆：3×5=15，15≡4（mod 11）；不合适！
4×3=12≡1（mod 11），15×3=45。
⑤应用： 一个数被3除余2，被5除余1，被11除余3，这个数最小是多少？
分析：（2×55+1×66+3×45）≡146（mod 3×5×11=mod 165）
⑥方法：
现在我们从中提炼出一种方法，不妨称为“逐级满足法”，请大家仔细体会。 先把题目改动一下：今有物不知数，五五数之余三，七七数之余一，九九数之余四，问物几何？
先找除以9余4的数，4这个数正好满足“除以9余4”的特征；
再看既满足前面一级的条件，又满足“除以7余1”的数有4+9n 1（mod 7），因为4≡4（mod 7），所以9n ≡≡4（mod 7）；而9≡2（mod 7）；
所以要有2n ≡4（mod 7），所以n 最小是2，4+9×2=22
所以满足第二级“除以7余1”的数最小为22。（请注意这个数已经满足前面两个条件）
再看满足第三个条件“除以5余3”的数为22+[7，9]m ≡3（mod 5）， 因为22≡2（mod 5），所以要63m 1（mod 5）；
≡ 因为63≡3（mod 5）
，所以要3m ≡1（mod 5）； 因为3×2≡1（mod 5），所以m 最小值为2；
所以22+[7，9]m=22+63×2=148。
⑦总结：我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N 除以A 余a，除以B 余b，除以C 余c 这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”。
绝招一：减同余
例如a=b，则有A|N-a，且B|N-a，N-a=[A，B]n，而N 得最小值就是N=[A，B]+a。
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1722202绝招二：加同补
例如：A-a=B-b=d；则有N+d=[A，B]n，而N 的最小值是N=[A，B]-d。 绝招三：中国剩余定理
绝招四：逐级满足法
2、进制与位值原则：整数的几种表示方法；
记数法的数的记录和表示方法，不同民族、不同历史时期，有着不同的记数方法。在古代人类就用十个指头来计数，从而创造了1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数字。后来，又把十个物体放在一起，作为一个较大的单位，在单位数满十个时，又将这十个单位放在一起作为一个更大的单位…这样就产生了百、千、万…这就是我们目前常用的记数法——十进制记数法（又称十进位值制记数法）。
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值之外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在十位上，就表示2个十，写在百位上，就表示2个百。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成与它相邻的较高的一个单位。如：10个1，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位…它们的计数单位分别是1、10、100、1000、10000…（用乘方的形式来表示，计数单位依次为1、
10、、、…）这样、用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如：1594=1×10+5×10+9×10+4等号右边的式子叫做十进制数的展开式。
21031041032在位值制记数法中，除了用十进制外，也可以用其他大于1的自然数的进位制。例如，计算机科学中常用的有二进制、八进制等。过去十六两是一斤（十六进制）。常用的还有五进制和十二进制。
计算机采用二进制计数法。通俗地说是“满二进一”。因此，二进制只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、2、、、…二进制数也可以写成展开式的形式。例如，100110在二进制的表示法为
23454321(100110)120202121202=×+×+×+×+×+×
注意：数学上规定2=1。
0下表是十进制与二进制、三进制、八进制、十六进制的位值（计数单位）对比图：
十进制
… 510 410 310 210 110 010 二进制
… 52 42 32 22 12 02 三进制
… 53 43 33 23 13 03 八进制 … 58 48 38 28 18 08
十六进制 … 5161616161616 4 3 2 1 0
n 进制运算法则是“逢n 进一”、“借一当n ”、n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号，先算括号里面的。
小学奥数知识点归纳和总结
小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：
两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
小学科学知识点归纳
三~~~~六年级科学知识归类 ●《冷与热》 ●1、水受热时体积会膨胀，水受冷时体积会缩小，我们把水的体积的这种变化叫热胀冷 缩。 ●2、物体的冷热程度叫温度。常用的温度单位是摄氏度（℃）。测量温度的仪器叫温度 计。 ●3、我知道的温度计有水温计、室温计、体温计、高温计、数字温度计。测量人体温度 的温度计叫体温计，它的测量范围一般在35℃- 42℃之间，因为人体正常体温是37℃。 ●4、水烧开时的温度大致是100℃；水结冰时的温度是0 ℃。 ●《溶解》 ●1、溶解在水中的物质微粒是均匀地分散的，不能用过滤或沉降的方法分离出来。 ●2、有些物质能够溶解在水中，有些物质则不行。因此我们可把它们分为可溶物质和不 可溶物质。 ●3、我们常用的加快溶解的方法有：切碎、加热以及搅拌等。 ●4、用蒸发的方法可以分离出溶解在水中的盐，这种方法被广泛应用于生活中。 ●5、溶解现象不仅发生在液体与固体之间，还发生在液体与液体以及液体与气体等多种 状态的物质之间。 ●6、水里的动物和植物呼吸的就是溶解在水里的空气。 ●《电》 ●1、发电厂发出通过电线送到各家各户的电是220V交流。（这是足以引发触电事故，致 人死亡的电）5500V以上是高压电，不要靠近高压电线，铁塔、变电所。这些地方的电更危险。5500V以上的高压电，能越过一段距离电击，使人触电死亡。 ●2、我们将电分为没有触电危险和有触电危险的两大类，直流电一般比较安全，交流电 一般比较危险，不安全。 ●3、由电池、电线、灯泡组成的电流动的环路叫电路。在点亮小灯泡的电路中，电从电 池的一端流出，通过电线、小灯泡流回到电池的另一端，形成一个完整的环路，灯泡就会发光。 ●4、一节电池的电压是1.5V，两节电池串联起来的电压就是3v。所以小灯泡特别亮。两 节电池并联起来，电压还是1.5V。所以小灯泡不太亮。 ●5、干电池的一端是铜帽，另一端是锌壳。当电池的这两端被电线直接连接在一起时， 就会发生短路。短路时，电池和电线会在一瞬间发热变烫，不仅灯泡不能发光，电池也会很快坏掉。所以一般在电线中间安一个开关。 ●6、像铜丝那样可以通过电流的物质叫导体；像电线外包着的塑料那样不能通过电流的 物质叫绝缘体。例如金属是导体，铜、铁、铝、锌、大地等是导体；丝绸、陶瓷、塑料、橡胶、干木材、空气是绝缘体。） ●7、在户外遇到雷雨时，不要躲在树下。因为大树容易遭雷击。
高中数学必修、选修全部知识点精华归纳总结
高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
小学科学知识点总结
小学科学知识点总结 第一单元微小世界 1、放大镜是（凸透镜），凸透镜具有（放大物体图像）的功能，用放大镜观察物体能看到（更多的细节）。 2、（放大镜）广泛应用在人们生活生产的许多方面。 3、放大镜镜片的特点是（透明）和（中间较厚，四周较薄）(凸起)。只要具有放大镜片透明、中间较厚的结构（比如加满水后的烧杯、烧瓶等），就具有同样的（放大）功能。 4、放大镜的放大倍数和（镜片的直径）没有关系，和（镜片的凸度）有关。放大镜的（凸起程度越大，放大的倍数也越大）。 5、使用工具能够观察到许多用（肉眼）观察不到的（细节）。如通过（放大镜）能观察到更多关于昆虫的细节：蝇的（复眼）；蟋蟀的耳朵在（足的内侧）；蝴蝶翅膀上布满的彩色小鳞片是（扁平的细毛）。 6、科学研究表明昆虫头上的（触角）就是它们的（“鼻子”），能分辨各种气味，比人的鼻子灵敏得多。 7、（一些固体物质）的内部有一定的结构，如果构成这些物质的微粒按一定的空间次序排列，形成了（有规则的几何外形），这就是（晶体），如食盐、白糖、味精、碱面等。 8、至少两个以上的（凸透镜）组合起来可以使物体的（图像放得更大）。 9、（显微镜）的发明是人类认识世界的一大飞跃，把人类带入了一个（微观世界）。显微镜是人类认识（微小世界）的重要观察工具。 10、荷兰生物学家（列文虎克）制成世界上最早的可放大近300倍的（显微镜），发现了（微生物）。 11、洋葱表皮是由（细胞）构成的。（生物）都是由（细胞）组成的。 12、英国科学家（罗伯特·胡克）最早在显微镜下发现了生物的（细胞）结构。 13、生物细胞的（形态）是多种多样的，（不同生物）的细胞是不同的，生物（不同器官）的细胞也是不同的。 14、（细胞）是生物最基本的（结构单位），也是生物最基本的（功能单位）。 15、（细胞学说的建立）被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。 16、用（显微镜）能看到肉眼不能看到的（微小生物）。 17、在水中生活着很多形态各异的（微生物），如草履虫、变形虫等。 18、微生物通常都有特殊的（构造和功能），以适应周围的环境。 19、（微生物）具有（生物）的特征，如：对环境有一定的需求、对外界的刺激有反应、能繁殖等。 20、人类（观察工具）的改进，使人类观察的范围扩大，发现了仅靠肉眼无法发现的自然界的许多秘密：肉眼（能看清昆虫等较小的动物）——放大镜（能看清小于毫米的肉眼看不清的东西）——光学显微镜（能看清细胞和微生物）——电子显微镜（能看到更小的组成物质的原子、分子）。 21、人类探索（微小世界）的成果，促进了科学技术的发展、社会的进步和人类生活的改善。如：（1）利用显微镜发现细菌、病毒，抵抗制服疾病（2）克隆生物（3）利用微生物酿酒、发面、制作酱油、醋、酸奶等（4）利用微生物处理垃圾和污水。 第二单元物质的变化 1、世界是（物质）构成的，物质是（变化）的，物质的变化有相同和不同之处。 2、一些物质的变化（产生了新的物质），另一些变化（没有产生新的物质）。
小学奥数知识点梳理—数论
数论：1、奇偶； 2、整除； 3、余数； 4、质数合数‘ 5、约数倍数； 6、平方； 7、进制； 8、位值。 一、奇偶： 一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。 奇偶数有如下运算性质： （1）奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数偶数±奇数=奇数 （2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。 （3）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数 （4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。 （5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。 二、整除： 掌握能被30以下质数整除的数的特征。 被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除. 被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。 被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。 被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。 下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7×11×13=1001。判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。 此法则可以连续使用。 例：N=987654321.判定N是否被11整除。
因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。 例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。 由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N 能被13整除，不能被7、11整除。 此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用
最全面小学三年级科学知识点总结 (3)(精华版)
小学三年级科学知识点总结 科学，即分科而学，后指将各种知识通过细化分类( 如数学、物理、化学等) 研究，形成逐渐完整的知识体系。小学三年级科学知识点总结，我们来看看。 第一单元植物的生长变化 1. 绿色开花植物一般是用种子繁殖后代的。 2. 播种前，挑选那些饱满、没有受过损伤的种子的过程叫选种。 3. 种子萌发先长根，再长茎、叶，根总是向下生长的，根的生长速度很快。 4. 植物的根能够吸收水分和矿物质，还能将植物固定在土壤中。 5. 植物的绿叶可以制造植物生长所需要的养料，植物生长所需的养料是由植物绿色的叶依靠太阳提供的能量，利用水和二氧化碳制成的。 6. 绿色开花植物如凤仙花的身体由根、茎、叶、花、果实、种子六个部分组成。 7. 植物的生长过程中需要阳光、温度、土壤和适宜的水分等条件。 8. 植物的茎具有支撑植物和运输水分和养料的作用。能从下到上将根吸收的水分和矿物质运输到植物的各个部分；从上到下将植物制造的养料运输到植物的各个部分。
第二单元动物的生命周期 1. 鸡、青蛙、鱼、乌龟等动物都产卵，卵是动物生命的开始。 2. 蚕卵的孵化需要适宜的温度和湿度。在放蚕卵的盒子上要扎些不孔，因为蚕卵需要呼吸。 3. 蚕宝宝最爱吃的食物是桑叶，蚕能吐丝结茧，蚕宝宝的生长过程中，要经过四次蜕皮，蚕和蝴蝶等昆虫的一生要经过卵、幼虫、蛹、成虫四个时期，蚕蛹被茧包裹，茧能起到保护蛹的作用。蚕蛹经过10-15 天，会变成蚕蛾，蚕蛾是蚕的成虫，分雌蛾和雄蛾。雌蛾和雄蛾交配后，雌蛾产卵繁殖后代。 4. 养蚕、抽取蚕丝，是我国的伟大发明之一。远在4000 多年以前，我国劳动人民就开始养蚕，利用蚕丝织成华丽的丝绸和各种丝织品，并远销国外。 5. 蚕的一生是不断生长变化的，要经历蚕卵、蚕、蛹、蚕蛾四个不同形态的变化阶段。 6. 蚕的身体分为头、胸、腹三部分，胸部有三对足。蚕长到一定阶段会长出新皮，换下旧皮，这叫蜕皮。 7. 蚕的一生会经历出生、生长发育、繁殖、死亡四个阶段，这一过程称为蚕的生命周期，一般大约为56 天；自然界中的动物都有生命周期，也都要经历出生、生长发育、繁殖、死亡四个阶段；人也要经历出生、生长发育、繁殖、死亡四个阶段；人和动物一样也具有生命周期。
学而思小学奥数知识点梳理
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算
6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理
小学科学四年级上册科学知识点整理
小学科学四年级上册科学知识点整理 第一单元《溶解》复习提纲 1、溶解的特征：物质在水中化成了肉眼看不见的微粒，均匀分布在水中，且不能用过滤或沉降的方法分离出来。 2、做过滤实验时，要注意“两低”。两低：液面低于滤纸，滤纸低于漏斗口。漏斗下端的管口靠紧烧杯的内壁。 3、高锰酸钾溶解于水后形成了一种紫色、透明的溶液，它常被用来消毒和防腐。 4、食盐、高锰酸钾、胶水、洗发液、肥皂、醋、酒精、小苏打都能溶解在水中，沙、面粉、食用油不能溶解在水中。 5、轻轻开启一瓶汽水，用注射器吸出约1/3管汽水，再用橡皮帽封住管口，向外拉注射器的活塞,看到注射器里的气泡变大，变多了，向下推注射器活塞，看到注射器里的气泡变小，变少了。 6、水除了能溶解固体和液体外，还能少量地溶解氧气、二氧化碳等气体，水听动物和植物就是靠溶解在水中的氧气进行呼吸的。 7、切碎（弄得小些）、加温、搅拌等方法可以加快物质在水中的溶解。 8、一杯水（100毫升）大约能溶解36克食盐。 9、溶解在水中的食盐能用蒸发的方法把食盐和水分离出来。 10、酒精灯的火焰分为外焰、内焰、焰心三个部分，外焰的温度最高，内焰其次，焰心的温度最低。 11、点燃酒精灯时一定要用燃着的火柴，决不能用燃着的酒精灯对火。加热完毕需要熄火时，可用灯帽将其盖灭，盖灭时需再重盖一次，以避免以后使用时灯帽打不开，绝对禁止用嘴吹灭火！
12、酒精是容易挥发和燃烧的液体，万一有洒出的酒精在灯外燃烧，不要惊慌，可用湿抹布或沙土扑灭。 13、人们利用“盐能够溶解在水中，也能从水中分离出来”的这个特点，把海水引进盐田，用太阳的热量使海水中的水分蒸发，最后析出盐的结晶。 《声音》单元复习提纲 1、用同样的力敲大小不同的两个音叉，听到的声音是音量不同还是音高不同？答：音高不同。 2、用同样的力敲大小不同的两个音叉，哪个音叉发出的音高？ 答：大的音叉音低，小的音叉音高。 二胡有两根弦，空弦拉的时候音有高有低，这是什么原因造成的？ 答：弦的粗细。 3、振动物体有长有短，长的与短的比较，哪个声音高？答：短的。 4、振动物体有粗有细，粗的与细的比较，哪个声音高？答：细的。 5、振动物体有大有小，大的与小的比较，哪个声音高？答：小的。 6、振动速度有快有慢，快的与慢的比较，哪个声音高？答：快的。 7、在声音强弱、声音大小，声音轻重中，哪些是指音高？哪些是指音量？ 答：声音强弱、声音大小，声音轻重都是指音量。
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论总复习题及知识点总结 最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题 的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经 说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相 当于只身来到宝库而空手返回而异。数论有丰富的知识和悠久的 历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅 导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马 大定理的阅读材料。初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；： 1，2，5；：1。第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。习题要求：1，2，4；：2，3。第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、 费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；： 2，3；1，2。第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方 程威尔逊定理。习题要求：1；：1，2；：1，2。第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同
余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。 第一章整除 一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。 二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数，掌握高斯函数[x]的性质及其应用。 三、重点和难点（1）素数以及它有关的性质，判别正整数a 为素数的方法，算术基本定理及其应用。（2）素数有无穷多个的证明方法。（3）整除性问题的若干解决方法。（4）[x]的性质及其应用，n！的标准分解式。 四、自学指导整除是初等数论中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq成立。因此这一标准作为
小学奥数数论知识点总结
小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3.数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
小学三年级科学知识点总结
小学三年级科学(教科版)上册复习教学知识点归纳总结 上册复习教学知识点归纳总结 第一单元植物 1、（看）、（听）、（摸）、（问）、（量）等方法都是迷信观察的基本方法。 2、在经过观察活动的过程中，让学生（学会小组配合进修）、（相易）、（表达）、（讨论）、（记录）等进修方法。 3、大树的特征可以用树的（高矮）、树冠的（形状）、树干的（粗细）、树皮的（样子）和树叶的（样子）等来描述。 4、小草与大树一样，具有（生命体）的共同特征。 5、大树和小草的主要不同之处是：植株的（高矮）不同、茎的（粗细）不同、茎的（质地）不同。 6、大树和小草的共同点是：都生长在（土壤）中，都有（绿色）的叶，花木知识。都会（开花结果），都需要（水分）、（阳光）和（空气）。 7、水葫芦叶柄部位膨大的海绵体充斥（空气）是浮在水面上的原因。 8、水生植物都有（根）、（茎）、（叶）等器官。它们的生长需要（水分），（阳光）和（空气）。 9、水生植物有（水葫芦），（金鱼藻），（水花生），（浮萍）等。 10、水葫芦和狗尾草的相通点：生长需要（水分）、（阳光）和（空气）；有（根）、（茎）、（叶）；都会（繁殖后代）；寿命（短）；都是（草本植物）。 11、树叶是（多种多样）的，同一种树的叶具有（共同）的基本特种植。 12、植物的叶一般由（叶片）和（叶柄）组成。叶片上有（叶脉）。 13、树叶是有（生命）的，叶从（叶芽）开始生长，到最后衰老（作古），完成了一生。 14、植物的变化主要表现在（发芽）、（生长）、（开花）、（结果）等方面。 15、能用（丈量）的方法比较树叶的大小，能用（数据）记录植物的变化。 16、植物按生存的环境不同，可以分为（陆生）植物和（水生）植物。你看花木知识。 17、植物的生存需要（水分），（阳光），（空气）和（营养）。 18、植物的一生是有（生命周期）的，每种植物都有必定的（寿命）。 19、植物的共同特征是：生长在必定的（环境）里；需要（水分），（阳光），（空气）和（营养）；都会（生长发育）；都会（繁殖后代）；都有从生到死的（生命）过程。 20、向日葵一生的典型生长阶段是：（发芽）、（生长）、（开花）、（结果）。知识。 第二单元动物 1、动物具有（多样景观），动物生存依赖于（环境），不同的环境生长着不同的（动物）。 2、我们观察蜗牛，要当心观察蜗牛的（外形）、（生活）、（运动）、（反应）、（吃食）、（渗透）、（繁殖）等。 3、蜗牛运用（腹足）能在各种物体上匍匐。 4、蜗牛能对外界的安慰产生相应的反应。如（触角伸缩）、（身体缩进）壳内。 5、蚯蚓喜欢生活在（暗淡）、（湿润）的环境。 6、蚯蚓身体由许多（环节）构成，身体上有（口）、（环带）、（肛门）。 7、蜗牛和蚯蚓的相通点是：都适应（湿润）的环境，身体（柔软），都会（匍匐），会吃（食物），会（渗透），会（繁殖后代）等。 8、蚂蚁的身体分为（头）、（胸）、（腹）三部分，头部有一对（触角），胸部有六只（脚）。 9、蚂蚁适应在（陆地）上生活。 10、蚂蚁的特质：生活在（陆地）上，身体有（头、胸、腹）三节，长着六只（脚），运动（匍匐），（群
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用
天津高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结
高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等 函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线 与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证 明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其 分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平 面向量，圆锥曲线，立体几 何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运 算、简易逻辑、充 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与 定义域、值域与最值、反函 数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用
小奥数论整除和余数知识点总结及例题
小奥数论整除和余数知识 点总结及例题 Prepared on 21 November 2021
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯 定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能 整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能 整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）
从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除） 除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。 除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。 例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0； 此时，a=b ×c;b=a ÷c
小学科学教师知识结构梳理
小学科学教师知识结构梳理 小学科学学科知识内容包括: 物质科学、生命科学、地球和宇宙科学这三个领域。每个领域主要内容和科学概念目标概括如下：
1、"物体与物质"部分经过对物体--材料--物质这三个层次的观察与探讨，了解物质一些基本的性质及变化过程，使学生的认识逐渐由具体向抽象过渡。这个主题包括：1.物体的特征；2. 材料的性质与用途；3.物质的变化；4.物质的利用。 2、"运动与力"部分使学生了解位置与运动的概念，知道力与运动变化的关系，了解常见的简单机械。 3、"能量的表现形式"部分讨论了声、热、光、电、磁这些物理现象，并使 学生知道它们都是能量的不同表现形式，能量可以转换。 4、小学生对物质的认识，更多的是从身边的自然现象、生活生产中一些事实、情景当中感受到物质是无处不在的，物质的性质是多种多样的，不同的物质会有一些相同的性质，有些物质有自己的特性，人们根据物质（材料）的性质对物质（材料）加以利用，而且物质的变化也是非常奇妙的，从而建构起物理变化、
化学变化的概念。例如在三年级学习了水和空气，学生对水和空气的性质有了比较系统、全面的认识；四年级学了物体的导电性，知道会导电和不会导电的物体都会得到应用；六年级学习《物质的变化.》，是对上几个学期关于物质科学方面的相关模块知识的拓展，使学生认识到物质是不断变化的，变化是有一定规律的，会区分物质的物理变化和化学变化。核心概念是物质的变化，重点是研究物质的化学变化。物理变化和化学变化的区别是是否产生新物质。而判断有没有产生新物质，需要学生去寻找证据，观察变化过程中伴随的现象，透过现象看本质：有没有新物质生成。 二、生命世界 1、科学课程要让学生接触生动活泼的生命世界，感受生命的丰富多彩。“生命世界”是要让学生尽可能多地去认识不同种类、不同环境中的生物，进而对多种多样的生物有比较全面的认识，整合学生对生命零散的认识，并能联系生活实际，学以致用。 2、新科教版小学科学三年级上册先学习了《植物》单元，再紧接着《动物》单元，让学生能运用《植物》单元的探究方法和思路来研究《动物》，并能在此基础上有所提升，体现了初步上下位学习的思想。三年级下册第一单元是《植物的生长变化》，第二单元是《动物的生命周期》，这两个部分的知识无疑是对《植物》、《动物》学习的深入和延续，学生在了解常见动植物的特征之后，再进一步了解它们一生的生长变化和生命周期，这在为学生后面的探究学习打下了基础，能使学生有效构建该部分内容的核心概念。四年级上册学习了《我们的身体》，认识了自己的身体，倡导健康的生活。当学生开始关注自己的身体的结构、身体各种器官功能和工作时，他们对健康便会有新的理解和认识。四年级下册《新的生命》单元，学生在前面的科学课中，已经观察认识了生命体的特征，建立起了生命体的概念，并通过种植凤仙花、养蚕等活动，认识了动植物的一生所要经历的主要生长过程及其变化，建立起了生命周期的概念。在此基础上，本单元试图帮助学生建立起核心概念“繁殖”。通过本单元的研究学习，为学生以后一按就生物与环境、生物多样性打下基础。五年级上册第一单元《生物与环境》，学生通过植物对环境的需要、动物对环境的需要，生物之间及生物与非生物之间相互依存、相互作用的研究，建立起初步的生物与环境关系的认识。六年级上册第
(完整版)最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》(最新整理)
引言 1.课程内容： 必修课程由5 个模块组成：教师版 2015 高中数学必修+选修知识点归纳 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充 与复数 选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。 选修 3—1：数学史选讲。 选修 3—2：信息安全与密码。 选修 3—3：球面上的几何。选 修 3—4：对称与群。 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、 反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函 数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列 求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、 倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数 的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积 及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、 线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、 平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理 及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正 态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修 1 数学知识点 第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体 叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合 相等。 选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 3、常见集合：正整数集合：N *或N + ，整数集合：Z ， 选修 4—1：几何证明选讲。 选修 4—2：矩阵与变换。 选修 4—3：数列与差分。 选修 4—4：坐标系与参数方程。 选修 4—5：不等式选讲。 选修 4—6：初等数论初步。 选修 4—7：优选法与试验设计初步。 选修 4—8：统筹法与图论初步。 选修 4—9：风险与决策。 选修 4—10：开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意 一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。记作A ?B . 2、如果集合A ?B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规 定：空集合是任何集合的子集. - 0 -