河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题文【含答案】

郑州市2020年高中毕业年级第一次质量预测
数学（文科）参考答案
一、选择题：1---12 BDACB BAADC DB
二、填空题： 313.
2114.
3515.4三、解答题：17.解： ...2分
222(22)(23)(24)d d d +++=+(1)由题意知23440
d d ∴--=2
23
d d ∴==-或 ...4分{}n a 为递增数列2d ∴= ...6分
{}2.n n a a n =故数列的通项公式为 ...8分
1111(2)((21)(21)22121n b n n n n ==-+--+ ...10分11111111[(1)((...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+ 11(1221n =-+ ...12分
21n n =+18.
解：（1） ...1分2AC BC AD BD CD =====由题知图（1）中∴111,A BCD A D BD A C BC
-==在三棱锥中，1G A B 点是的中点11,DG A B CG A B
∴⊥⊥ ...4分=DG CG G ⋂又1A B DGC
∴⊥平面 ...5分1M N A C BC 又点、分别是、的中点1//MN A B ∴ ...6分
MN DGC ∴⊥平面...8分
11,=,CD A D CD BD
A D BD D ⊥⊥⋂（2）由图（1）知，且1CD A DG ∴⊥平面01160A D
B A DB ∠=∴∆又为等边三角形
11111,2,1,2
DG A B A B A G A B DG ∴⊥====
分
1111122A DG S A G DG ∆∴=⨯=⨯=
...12分
11111233G A DC C A DG A DG V V S CD --∆==⨯==19.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为
，
(0.020.040.02)100.8++⨯=所以样本中分数高于60的概率为．
0.8故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．
3分
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为
， ...5分
(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=分数在区间内的人数为． ...6分[40,50)1001000.955-⨯-=所以总体中分数在区间内的人数估计为． ...7分[40,50)550025100
⨯=（Ⅲ），，则从这5名同学中选取2人的123,,a a a 设3名男生分别为12,b b 2名女生分别为结果为：
12131112212231322312{,},{,},{,},{,},{,},{,}{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a b a b a b a b a a b b ，共10种情况. ...9分其中2人中男女同学各1人包含结果为：
，共6种. ...10分
111221223132{,},{,},{,},{,}{,},{,}a b a b a b a b a b a b ，，则{21}A =设事件抽取的人中男女同学各人63()105P A ==所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是
. ...12分3520.解：（1）由抛物线定义得2+=3， ...2分2
p 解得，所以曲线C 方程为 ....4分
2p =24x y =（2）. ...5分
O PQ 以为直径的圆过原点，OP OQ ∴⊥
设直线的方程为,与曲线C 方程联立，得OP (0)y kx k =≠24x y =24x kx =解得于是. ...7分 0(4x x k ==舍去）或2(4,4)P k k 又直线的方程为，同理： .....9分 OQ 1y x k =-244(,Q k k
-又直线斜率存在， PQ 22244,44....1404y k x k PQ k k k k --∴=---的直线方程为分即1
() 4.y k x k
=-+ ...12分
04.PQ ∴直线恒过定点（，）20.解：（1）
2()ln ,f x ax x x =-+ '1()21.f x ax x ∴=-+
'(1)2...1.k f a ∴==分因为在点处的切线与直线平行，
()f x (1,(1))f 21y x =+ ...222, 1.a a ∴==即分
(1)0,..1,.30f ∴=故切点坐标为（）.分 ...4分
2-2.y x ∴=切线方程为2'
121(2)()21,ax x f x ax x x -+=-+= 2122100,.
ax x x x ∴-+=+∞由题知方程在（，）上有两个不等实根 ...6分1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪∴+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩
10.8a ∴<<
2212121212
22121212212121212()()()ln ln ()()ln() =[()2]()ln()
11 =ln 1,24f x f x ax ax x x x x a x x x x x x a x x x x x x x x a a +=+-+++=+-+++--++--又
1,2t a =令()ln 1,(4,),2t g t t t =--∈+∞'112..9(.)0,22t g t t t -=-=<则分()(4,)g t ∴+∞在上单调递减.
()(4)ln 432ln 2 3.
g t g ∴<=-=- ...12分
12()()2ln 2 3.f x f x +<-即22.解析：(I)将点代入曲线E 的方程，3
(1,2
P
得1cos ,3,2
a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得，……2分2
4a =所以曲线的普通方程为,E 22
143
x y +=极坐标方程为.……5分2221
1
(cos sin )143
ρθθ+=(Ⅱ)不妨设点的极坐标分别为,A B 1212()()00,2A B π
ρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos (sin ()1,4
232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即……8分
22212222111cos sin ,43111sin cos ,4
3θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即……10分22121
11174312
ρρ+=+=22117||||12OA OB +=23. 解析：(I)由，得，
()f x m ≥
不等式两边同时平方，得，……3分
221)(21)x x ≥(－＋
即，解得.3(2)0x x +≤20x -≤≤所以不等式的解集为．……5分()f x m ≥{|20}x x -≤≤(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，
……8分因为，()0()f n g n m ≥⇔≥-(2)(0)0g g -==(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得，()0f n ≥所以2 1.
m -<-≤-故的取值范围为. ……10分m [1,2)12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

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河南省郑州市2020届高三第一次质量预测数学(理)答案

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12 BDACB CBCDB DA 二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解析：(I)∴即： ……3分∴ 因为所以……6分(II)若，由正弦定理，, ,由，故为锐角，……9分 ……12分 18. 解析：（I ）如图所示：连接，在中：.……2分在中：为的中点，则10;x y -+=4;;530{}.66,2,0--222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅222.ac b ac +-=2221cos .22a cb B ac +-==0,B π<<3B π∠=12,8b c ==sin sin b cB C=sin 3C =b c >C ∠cos 3C =1sin sin()sin()32A B C C π=+=+=+=OM ABC ∆2,AB BC AC ===90,ABC BO ∠=︒=OB AC ⊥MAC ∆MA MC AC ===O ACCA，且……4分在中：根据勾股定理逆定理得到相交于，故平面………………….6分（Ⅱ）因为两两垂直，建立空间直角坐标系O−xyz如图所示．因为则……8分由所以，设平面的法向量为，则令……10分因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦为所以二面角的正弦值为.……12分19．（I）由题意知，.……1分又因为解得，……3分所以椭圆方程为. ……4分（Ⅱ）设过点直线为，设，OM AC⊥OM=MOB∆BO OM MB===222BO OM MB+=OB OM⊥,AC OM OOB⊥AMC,,OB OC OMMA MB MC AC====2AB BC==(0,A B C M23BN BC=u u u r u u u r33NMAN(,,)m x y z=u r(,(,,)0,3333(,,)0AN n x y z x yAM n x y z⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r ru u u u r ry=(1)m=--u rBO⊥AMC OB=uuu rAMC(1)m=--u rOB=uuu rcos,m OB<>==u r u u u u r2|sin,|79m OB<>===u r u u u u r1b=2ca=222a b c=+a=2212yx+=1(,0)3-13x ty=-()11,A x y()22,B x y由得，且. 则又因为，，，……10分所以.因为线段的中点为，所以.……12分 20. 解析：(I)该混合样本达标的概率是，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为 221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2291812160t ty y +--=>0∆12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分()111,CA x y =-u u u r ()221,CB x y =-u u u r()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++CA CB ⊥u u u ru u u rAB M ||2||AB CM =28()39=81199-=891926416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为. 比较可得，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为，可取2,5.方案四：设化验次数为，可取；由题意得. 故当时，方案三比方案四更“优”．……12分 21解析：(I)，定义域，，由，在增，在减，……4分 (II) 46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=42()()4E E ξξ<<3η3η333()25(1)53E p p p η=+-=-4η4η1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<304p <<()ln xe f x x x x=--(0,)+∞221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x ---'=--=1x e x x ≥+>()f x (0,1](1,)+∞max ()(1)1f x f e ==-1()()e 1xf x x bx x++-≥……6分令，令，在单调递增，，在存在零点，即……9分由于在单调递增，故即在减，在增，所以.……12分22.解析：(I)将点代入曲线E 的方程，得解得，……2分所以曲线的普通方程为, 极坐标方程为.……5分(Ⅱ)不妨设点的极坐标分别为e e ln e 1x x xx x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x xb x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x --+⇔≥e ln 1()x x x x x x ϕ--+=2ln ()x x e xx xϕ+'=2()ln x h x x e x =+()h x (0,)+∞0,()x h x →→-∞(1)0h e =>()h x (0,1)0x 02000()ln 0xh x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=x y xe =(0,)+∞0001lnln ,x x x ==-001x e x =()x ϕ0(0,)x 0(,)x +∞000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===2b ≤3(1,)2P 1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩24a =E 22143x y +=22211(cossin )143ρθθ+=,A B 1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则即……8分,即……10分23. 解：(I)由，得，不等式两边同时平方，得，……3分即，解得.所以不等式的解集为．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分因为，又恰好存在4个不同的整数n ，使得，所以故的取值范围为. ……10分22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2212111174312ρρ+=+=22117||||12OA OB +=()f x m ≥221)(21)x x ≥(－＋3(2)0x x +≤20x -≤≤()f x m ≥{|20}x x -≤≤()0()f n g n m ≥⇔≥-(2)(0)0g g -==(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-()0f n ≥2 1.m -<-≤-m [1,2)12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题(含答案解析)

河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．3，6，9B ．6，7．如图，某景区为方便游客，计划在两个山头间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度在BC 同一水平面上选一点A 45MAN ∠= ，则M ，N 间的距离为（A ．1002mB ．120m8．已知抛物线2:4E x y =，圆:C x 的最小值为（）A ．2B ．221-9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（A ．66B ．1310．已知12,F F 分别为双曲线E ：a 与E 的左、右两支分别交于,A B 两点．若为（）A ．23B ．311．已知函数()sin cos sin cos 1x x f x x x +=+，将图像，则（）A ．π为()f x的一个周期B ．()f x 的值域为[-1，1]C ．()g x 的图像关于直线0x =对称D ．曲线()y f x =在点ππ,44f⎛⎛-- ⎝⎝12．设22e ,,2e ln 24ln 4a b c ===-A ．a b c>>B ．c b a>>二、填空题三、解答题17．无论是国际形势还是国内消费状况，经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060(1)求y 关于x 的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时额能突破100万元；(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，传费用的比为λ，若9λ≥，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的．从这卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有附：参考数据11752i i i nx y =∑=，回归直线方程分别为：122ˆˆˆn i i i n x y nx y b a y bx x nx=∑-⋅==-，．(1)求证：平面1A DE ⊥平面ABB (2)求点E 到平面11AC D 的距离．20．已知椭圆(2222:1x y E a a b +=A ，B 两点，当l 为双曲线22x a -(1)求E 的方程；(2)若过B 作x 轴的垂线，垂足为交E 于点P ，直线PB 的斜率为21．已知函数()2ln af x x x=+(1)若()f x 有两个不同的零点，求(2)若函数()()22xg x f x ax =-12ln 2ln 3x x +>.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(1)求C 的直角坐标方程以及C (2)若直线l 与C 交于点A ，B ，与参考答案：8．B【分析】设()00,P x y ，二次函数的性质和圆的半径即可得到答案9．A【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线【详解】设1AA c = ，AB a=，AC 由题意，111cos 602a b ⋅=⨯⨯=，1a AB c =+ ，1BC b a c =-+ ，11()()AB BC b a c a c ∴⋅=+⋅-+= ()2212a c a a c c AB =+=+⋅+ ()21111BC b a c=-+=++- 1111116cos 6AB BC AB BC AB BC ⋅∴==，∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为故选：A.10．C【分析】由双曲线的定义可求出求出答案.【详解】由双曲线的定义，得AF故答案为：114．32【分析】由数量积的运算律求出2a b ⋅=，再由向量的模长公式即可得出答案【详解】由()()2222a b a b a a b b +⋅-=-⋅-又2AC BD AB ==,所以π2APC ∠=,设球O 与PA ,PC 的切点分别为E ,F ,连接OE ,OF ,因为OE OF =,所以OPE ∠=所以πsin24OE OP ==222⨯=.即球O 的半径2R =,所以球O 的表面积ABC 为等边三角形，O 为AB 1AA ⊥ 平面ABC ，CO ⊂平面又1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面,O F 分别为1,AB A D 中点，∴1111111111332D A B C A B C V S B D -=⋅=⨯ 1BD ∴=，3122OF +∴==，则∴四边形CEFO 为平行四边形，EF ⊂ 平面1A DE ，∴平面1A DE （2）取11A C 中点M ，连接1B M111A B C 为等边三角形，M 为1AA ⊥ 平面111A B C ，1B M ⊂平面1111AA A C A ⋂= ，111,AA A C ⊂11//B D CC ，1B D ⊄平面1ACC ∴点D 到平面11ACC A 的距离即为点22112222A D C D ==+= ，1112772A C D S ∴=⨯⨯= ；又1112112A C E S =⨯⨯= ，1B M =设点E 到平面11AC D 的距离为d 解得：217d =，即点E 到平面20．(1)22142x y +=(2)3【分析】（1）根据离心率、渐近线方程和点到直线距离公式即可得到相关方程，解出即可；（2）设()()1122,,,A x y P x y ,则B 与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算【详解】（1）设E 的半焦距为【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是计算出直线到韦达定理式，再计算出1y+答案第15页，共15页。

河南省郑州市2020届高三第一次质量预测数学(文) 含答案

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（文科）参考答案一、选择题：1---12 BDACB BAADC DB 二、填空题：三、解答题：17.解： ...2分...4分...6分...8分...10分...12分 18.解：（1） ...1分...4分...5分...6分...8分313.2114.3515.42222(22)(23)(24)d d d +++=+(1)由题意知23440d d ∴--=223d d ∴==-或{}n a 为递增数列2d ∴={}2.n n a a n =故数列的通项公式为1111(2)()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+11(1)221n =-+21nn =+2AC BC AD BD CD =====由题知图（1）中∴111,A BCD A D BD AC BC -==在三棱锥中，1G A B 点是的中点11,DG A B CG A B ∴⊥⊥=DG CG G ⋂又1A B DGC∴⊥平面1M N AC BC 又点、分别是、的中点1//MN A B ∴MN DGC ∴⊥平面11,=,CD A D CD BD A D BD D ⊥⊥⋂（2）由图（1）知，且1CD A DG ∴⊥平面01160A DB A DB ∠=∴∆又为等边三角形分...12分19.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为，所以样本中分数高于60的概率为．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．3分（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，...5分分数在区间内的人数为． ...6分所以总体中分数在区间内的人数估计为． ...7分（Ⅲ），，则从这5名同学中选取2人的结果为：共10种情况. ...9分其中2人中男女同学各1人包含结果为：，共6种. ...10分，则所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是. ...12分20.解：（1）由抛物线定义得2+=3，...2分解得，所以曲线C方程为....4分（2）. ...5分11111,2,1,2DG A B A B AG A B DG∴⊥====1111122A DGS A G DG∆∴=⨯=⨯=11111233G A DC C A DG A DGV V S CD--∆==⨯==(0.020.040.02)100.8++⨯=0.8(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=[40,50)1001000.955-⨯-=[40,50)550025100⨯=123,,a a a设3名男生分别为12,b b2名女生分别为12131112212231322312{,},{,},{,},{,},{,},{,}{,},{,},{,},{,}a a a a ab a b a b a b a b a b a a b b，111221223132{,},{,},{,},{,}{,},{,}a b a b a b a b a b a b，{21}A=设事件抽取的人中男女同学各人63()105P A==352p2p=24x y=OPQ以为直径的圆过原点，OP OQ∴⊥设直线的方程为,与曲线C 方程联立，得解得于是. ...7分又直线的方程为，同理： .....9分又直线斜率存在，即...12分20.解：（1）因为在点处的切线与直线平行，...4分...6分OP (0)y kx k =≠24x y =24x kx =0(4x x k ==舍去）或2(4,4)P k k OQ 1y x k =-244(,)Q k k-PQ 22244,44....1404y k x kPQ k k k k --∴=---的直线方程为分1() 4.y k x k=-+04.PQ ∴直线恒过定点（，）2()ln ,f x ax x x =-+'1()21.f x ax x ∴=-+'(1)2...1.k f a ∴==分()f x (1,(1))f 21y x =+...222, 1.a a ∴==即分(1)0,..1,.30f ∴=故切点坐标为（）.分2-2.y x ∴=切线方程为2'121(2)()21,ax x f x ax x x-+=-+=2122100,.ax x x x ∴-+=+∞由题知方程在（，）上有两个不等实根1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪∴+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩10.8a ∴<<221212121222121212212121212()()()ln ln ()()ln()=[()2]()ln()11=ln1,24f x f x ax ax x x x x a x x x x x x a x x x x x x x x a a+=+-+++=+-+++--++--又...12分22.详细分析：(I)将点代入曲线E 的方程，得解得，……2分所以曲线的普通方程为, 极坐标方程为.……5分(Ⅱ)不妨设点的极坐标分别为则即……8分 ,即……10分 23. 详细分析：(I)由，得，1,2t a =令()ln 1,(4,),2tg t t t =--∈+∞'112..9(.)0,22t g t t t -=-=<则分()(4,)g t ∴+∞在上单调递减.()(4)ln 432ln 2 3.g t g ∴<=-=-12()()2ln 2 3.f x f x +<-即3(1,)2P 1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩24a =E 22143x y +=22211(cossin )143ρθθ+=,A B 1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2212111174312ρρ+=+=22117||||12OA OB +=()f x m ≥不等式两边同时平方，得，……3分即，解得.所以不等式的解集为．……5分 (Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分因为，又恰好存在4个不同的整数n ，使得，所以故的取值范围为. ……10分221)(21)x x ≥(－＋3(2)0x x +≤20x -≤≤()f x m ≥{|20}x x -≤≤()0()f n g n m ≥⇔≥-(2)(0)0g g -==(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-()0f n ≥2 1.m -<-≤-m [1,2)12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)

2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题一、单选题1 .已知集合 A (x|a 1 x 3a 5) , B (x|3 x 22)，且 AI B A,则实数a 的取值范围是()【答案】B【解析】由AI B A 得到A B,建立不等式，即可求出 a 的取值范围. 【详解】解：Q A (x |a 1 x 3a 5) , B (x |3 x 22),且 AI B A 所以A B ，当A 时，a 1 3a 5解得a 3；当A 时，3a 5 22a 1 3a 5 解得 3 a 9 a 1 3a 9故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题.2.已知复数z 彳(i 其中是虚数单位，满足i 21)，则z 的共轴复数是()A . 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD . 1 2i【答案】C 【解析】由i 21化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数 Z,则z 的共轴复数可求. 【详解】则 z 1 2i - 故选：C . 【点睛】,9]B.,9)C. [2,9]D. (2,9)解：z2 i i(2 i)・2_.i・2本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3 .郑州市2019年各月的平均气温(C )数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A . 20B. 21C. 20.5【答案】C【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可. 【详解】解：由题意得，这组数据是： 01, 02, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 23, 28, 32, 34,,,20 21故中位数是：竺―20.5,2故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题.224.圆(x 2) (y 12) 4关于直线x y 8 0对称的圆的方程为()A . (x 3)2(y 2)24 B . (x 4)2(y 6)24C . (x 4)2(y 6)24D. (x 6)2(y 4)24【答案】C【解析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线 1的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案. 【详解】y 12x，解得y22解：圆 C(x 2) (y 12)4的圆心坐标为C 2,12 ,半径为2,设C 2,12关于直线x y8 0的对称点为C(x,y),则y 12则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为(x 4)2 (y 6)2 4. 故选：C.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题.5.在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( )A . 30 米B. 20 米C. 15J2米 D . 15 米【答案】A【解析】光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为 30米，画出轴截面图，即可得解；【详解】解：光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，如图所示 BD DC 30,又ABC 为等腰直角三角形，故 AD 30,则要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米，故选：A6.若一，,2cos2sin —，则sin 2的值为()24【解析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cossin 尘再将两边4本题考查圆锥的轴截面的相关计算，属于基础题;7 7 1 _ 1A . - B.— C. D .-8 8 8 8 【答案】A平方利用二倍角正弦公式计算可得;解：因为 2cos2 sin 一4所以c22 cossi n 2•sin — cos 4 cos —sin 4所以 2 cossincossin2 ——cos 2sin Q,2,cos sin所以 cos sin_/2 4所以 cos sin 21 一，即 82cos2cos sin.■2sin所以 sin 2 7 8故选: :A【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题;【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3,则输入的x 的取值范围是（）A . (2, )B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)解：设输入x a ,第一次执行循环体后， x 3a 2, i 1 ,不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后， x 9a 8, i 2,不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后， x 27a26 , i 3,满足退出循环的条件;故 9a & 82，且 27a 26 82,解得：a (4,10],【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题.8. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,S 为△ OKL 的面积.将Gini a ,称为基尼系数.对于下列说法:S①Gini 越小，则国民分配越公平;【答案】B【详解】② 设劳伦茨曲线对应的函数为y f（x ）③ 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y ④ 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y其中不正确的是：（）,则对 x (0,1)，均有给) 1； xx 2(x [0,1])，贝u Gini -；4 x 3(x [0,1])，则 Gini -. 2C.①③④D.①②④【解析】依题意，利用微积分基本定理求出a 的面积，即可判断;*累计收入百分此（%）-网」计人口百分比（％》a_解：依题意当a越小时，Gini一越小，则国民分配越公平，故 ①正确；S当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线OL ,此时 1 ,故②错误；x....................... c 1) 1) 1 …1 当方伦次曲线近似为 y x (x [0,1])时，a (x x )dx (-x -x ) o - o 2361 1 1 a 1 一 S OKL -11 g ,所以Gini — 〒—，故③错误；2 2 S 13 当劳伦茨曲线近似为 y x 3(x [0,1]) - 1 . . 1 ~ . a S OKL — 1 1—,所以 Gini — 2 2' S故选：B 【点睛】本题考查微积分基本定理的应用，属于基础题 ^9. 2019年10月1日，中华人民共和国成立 70周年，举国同庆.将2, 0, 1, 9, 10这 5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个 6位数，则产生的不同的 6位数的个数为( ) A . 96 B. 84C. 120 D . 360时,1 4 12 1(x x 3)dx 0 ,故④正确;1 4、4x)【答案】B 【解析】先求得所有不以0开头的排列数，再由以 1, 0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案 ^ 【详解】由题意，2, 0, 1, 9, 10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为4A 4 96, 4 其中以1, 0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为A 4 24 ,有一半是重复的，故产生的不同的 6位数的个数为96 12 84 .故选：B. 【点睛】本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题 ^ 10 .已知等差数列 a n 的公差d 0，且a 1,a 3,a 〔3成等比数列，若a 〔 1, S n 为数列a ”正!1瞧格E…-…2S n 6^ —的刖n 项和，贝U ----- 的取小值为()a n 3A . 4B. 3C. 2^/3 2D. 2【答案】D2【解析】由题意得(1 2d) 1 12d ，求出公差d 的值，得到数列｛a n ｝的通项公式,【详解】解：Qa i 1, a i 、a 3、a^成等比数列，_2-(1 2d) 1 12d .得d 2或d 0 (舍去)，a n 2n 1 ,n(1 2n 1)2s —2— n，2222S n 6 2n 6 n 3 n 1 2 n 1 4a n3 2n 2 n 1n 1令tn 1，则芝「： 2 2砰2 2… … 2S n 6……当且仅当t 2，即n 1时，—一的最小值为2.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题.11.〈〈九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形 .若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为前n 项和，从而可得2S n 6an3,换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD.底面ABCD 为矩形, 其中PD 上底面ABCD.AB = 1, AD = 2, PD = 1.则该阳马的外接球的直径为 PB J1 ―1 ~4 J6. 该阳马的外接球的表面积： 4 （寸6）26 .2与计算能力，属于中档题.2 212.过双曲线与 % 1 （a 0, b 0）的右焦点F 作直线y a b足为A ,交双曲线的左支于 B 点，若uun UUU .................FB 2FA ，则该双曲线的离心率为（B. 2【答案】C22 2 2、2, 2A .掴B. 2 C . 6 D. 24【解析】由题可知该几何体为四棱锥 P-ABCD .底面ABCD 为矩形，其中PD 上底面 ABCD , 可得该阳马的外接球的直径为PB,计算得出结果即可.本题考查了四棱锥的三视图及锥体中的数量关系、球的体积计算公式, 考查了推理能力【解析】试题分析：设双曲线的右焦点 F 的坐标（c,0），由于直线AB 与直线y直，所以直线AB 方程为yb ay —X2 Ka a .. . a ab ., —（xc ）,联立｛，求出点A （一, —）,由已知 b a / 、 c cuuuuuu2FA ,得点B （ 222a c3c2ab华），把B 点坐标代入方程3cx y < (2a c ) 4a— & 1, -------—r 1,整理得c 45a,故离心率ea2b2 9a2c2 9c2【考点】1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.二、填空题2 613 .在X 2的展开式中常数项为.X【答案】160_ _ 2 6 ........... . 「一【解析】先求出X - 的展开式的通项T r 1 2 C6X ，令6 2r 0,求出r的值即得解.【详解】由题得x -的展开式的通项为T r1 C6x6 r(-)r2r C6x62r,令6 2r 0, r 3. 一 3 3所以展开式的常数项为2 C6=8 20=160 .故答案为：160【点睛】本题主要考查二项式展开式常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平14.已知函数f (x) 云，g(x) x cosx sin x，当x ［ 3 ,3 ］且x 0时，方程f (x) g(x)根的个数是.【答案】6【解析】先对两个函数分析可知，函数f(x)与g(x)都是奇函数，且f(x)是反比例函数,g(x)在［0 ,］上是减函数，在［,2 ］上是增函数，在［2 , 3 ］上是减函数，且g(0) 0, g( ) ; g(2 ) 2 ; g(3 ) 3 ；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可.【详解】食军：g (x) cosx xsin x cosx xsin x ；令g (x) 0 得x k , k Z .g(x)在［0 ,］上是减函数，在［,2 ］上是增函数，在［2 , 3 ］上是减函数,且g(0) 0 ， g( ) ；g(2) 2 ；g(3) 3 ；故作函数f (x)与g(x)在［0 , 3 ］上的图象如下,结合图象可知，两图象在［0 , 3 ］上共有3个交点;又f (x), g(x)都是奇函数，且f (x)不经过原点，f (x)与g(x)在［3 , 3 ］上共有6个交点，故f (x) g(x)有6个零点.故答案为：6.【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题.15 .已知直角梯形ABCD, AD//BC , BAD 90 . AD 2, BC 1, P 是腰AB 皿unr上的动点，贝U | PC PD |的最小值为 .【答案】3【解析】以直线AD , AB分别为x , y轴建立平面直角坐标系，设P(0 , b)(0制b 1), 根据向量的坐标运算和模的计算得到，|PC PD | ^9 (1 2b)2-3,问题得以解决.【详解】解：如图，以直线AD , AB分别为x , y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0) , B(0,1), C(1,1), D(2,0)设P(0 , b)(0制b 1)uur 则PC (1,1 b),uuuiPD (2, b),uur uuurPC PD (3,2b),um umr ____________ 1| PC PD| J9 (1 2b)2-• 3，当且仅当b ］时取等号,iur uur …| PC PD |的取小值为3,故答案为：3.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题.3 2x x ,x e16 .设函数y |n x的图象上存在两点P,Q，使得△ POQ是以O为直角m，顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是.【答案】［e 1,)【解析】曲线y f (x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧.设P(t , f(t))(t 0),则Q( t,t3 t2),运用向量垂直的条件：数量积为0,构造函数h(x) (x 1】nx(x・・・e)，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围.【详解】解：假设曲线y f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧.不妨设P(t , f (t))(t 0),则Q( t,t3 t2),QDPOQ是以O为直角顶点的直角三角形,uuu iurOPOQ 0,即t2f(t)(t3 t2) 0(*)若方程(*)有解，存在满足题设要求的两点 P 、Q ；若方程(*)无解，不存在满足题设要求的两点 P 、Q .右 t e,则 f (t) t 3t 2代入(*)式得：t 2( t 3t 2)(t 3t 2) 0即t 4t 21 o,而此方程无解，因此t ・・・e,此时f(t) 哽， m 代入(*)式得：t 2四(t 3 t 2) 0,m即 m (t 1)lnt (**)令 h(x) (x 1)lnx(x ・・ e), 板 1 则 h (x) Inx 1 — 0x ，h(x)在［e , )上单调递增，Q t e h t h e e 1 , h(t)的取值范围是［e 1,).对于m e 1 ,方程(**)总有解，即方程(*)总有解. 故答案为：e 1, .【点睛】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题.三、解答题17 .已知数列 a n 为公差不为零的等差数列，S 7 77 ,且满足勇 a a gv(I )求数列 an 的通项公式;【解析】(I )设等差数列 a n 的公差为d ,即可得到方程组，解得即可; (口)由— a n,则—工 a n 1(n 2,n N*),再由累加法求出—的b n 1 b nb n b n1b n(n)若数列b n 1 1满足—— b n 1b na n n N ，且b 11 ...-,求数列3b n 的前n 项和【答案】(Ia n 2n 3 ；( n)T n3n 2 5n 4(n 1)(n 2)通项公式，再利用裂项相消法求和即可; 【详解】解：（ i ）设等差数列a n 的公差为d ,则7a 〔 a 1 a 121d 7760d a 110d 2解得务5, a n d 2,2n 3（n ）当n11山 ---' --b n 1 b n2时，a n,1 _1_ b nb n 1a n 1(n 2,n N*).1 b n(n 1 _1_b n 品11)(n 2 5)1 b n 1 3上Lb n 2 n(n 2).1 b2 1 b 1 1— a n 1 a nb 1L a 1 2 La 1—b 1对n 1，、一 —也适合，31b nn(n 2)(n N),bn2 1 _ n n1—— .2T n 1 1 1-1 -2 3 2 1 L 1里 n n1 31 1 3n2 5n 4 22 2 n 1 n 2 4(n 1)(n 2)【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18 .由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国最美中学生寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的最美中学生”.现随机抽取了 30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组.票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组.（l ）在这30名学生中，青春组学生中有男生 7人，风华组学生中有女生 12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（口）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（m）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用表示所选4人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望.2 n(ad bc)附：K ——————-- - - ；其中n a b c d【答案】（I ）没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关；（□）二；10 (8)（m ）分布列详见解析，数学期望为 -.5【解析】（I ）依题意作出列联表，由列联表计算出卡方，再跟参考数据比较，即可得出结论；（n）根据古典概型的概率公式计算可得；2 , …—（n ）由样本数据得到抽取1名学生是青春组学生的概率为一，则服从二项分布5_ 2B 4,一，显然的取值为0, 1, 2, 3, 4,再列出分布列，即可求出数学期望；5【详解】解：（I ）作出2 2列联表：因为 1.83 2.706,故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关..................................... C 7 (□)用A 表示至少有1人在青春组，贝U P(A) 1 £ 一 .Cl 10(ni)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取 1名学生是青春组学生的概率为122,那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是 -,30 55又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布B 4,—5显然的取值为0, 1 , 2, 3, 4.且P(... 2 8 数学期望E 4 - 一 5 5【点睛】本题考查独立性检验，古典概型的概率计算以及二项分布及其分布列，属于中档题.由列联表数据代入公式得K 22n(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)1.83,k) Ckw 519 .如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将VACD折起，使得点D在平面ABC1 【答案】（I ）详见解析；（□）一.4【解析】（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ,连接DE ,推导出DE BC ,AB BC ,从而BC ±平面ABD ，进而BC AD , AD 平面BCD ,由此能证明平面ABD 平面BCD .（口）以点B 为原点，线段 BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D AC B 的余弦值. 【详解】解：（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E, 连接DE ，则DE 平面ABC ,因为BC 平面ABC ,DE BC .Q 四边形ABCD 是矩形， AB BC , BC平面 ABD,BC AD .又 AD CD, CD 平面 BCD, BC 平面 BCD, CD BC C 所以AD 平面BCD , 而AD 平面ABD , 平面ABD 平面BCD .内的射影恰好落在边 AB 上.（I ）求证：平面 ABD 平面BCD ;.... AB -（口）当 —— 2时，求二面角 D AC B 的余弦值.AD空间直角坐标系，如图所示 .设 AD a ,贝U AB2a, A(0,2 a,0) ,C(a,0,0) 由(I )知 AD BD,又缶2, ADDBA 30 , DAB 60 ,13AE AD cos DAB—a , BE AB AE a ,22x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立（□）以点B 为原点，线段 BC 所在的直线为DE AD sin DAB--3 3 史-1 3 U四，〜D 0,—a,—a , AD 0, —a,—a , AC (a, 2a,0)-2 2 2 2ir设平面ACD的一个法向量为m (x, y,z),v八 1 3则m Av °,即2ay T az 0,m AC o c cax 2ay 0.—_ ir _ _不妨取z 1,则y 焰,x 2焰,m (2J3,J3,1).r而平面ABC的一个法向量为n (0,0,1),ir rLr r m n 1 1cos m,n ir r|mHn| ：(2 3)2 ( 3)2 12 4-…一一…—1故二面角D AC B的余弦值为一.4【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.20 .在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F(3,0)的距离与A到定直线x 4距离之比为一32(I)求动点A的轨迹C的方程;(n)设点M , N是轨迹C上两个动点直线OM ,ON与轨迹C的另一交点分别为P,Q且直线OM ,ON的斜率之积等于 -,问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明4理由.2 2【答案】(I )—匕1 ； ( n )四边形MNPQ的面积为定值12.12 3【解析】（i ）设A （X , V ），依题意可得J（X 3）2y 2.史，化简即可得解;|X 4|2 1,M X 2, y 2，由 k oM k oN匚，得4【详解】解：（I ）设A （X , y ）,依题意，（X 3） y |x 4|2 2 2 2 2 2 2 2所以，S 4 X 1y 2 X 2y 1 4 X 1 y 2 2X 1X 2 y 1y 2 X 2y 1 12 X 1 X 2 144,所以S 12所以，四边形MNPQ 的面积为定值12. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用，属于中档题.(□)设 M x 1, y 1V 1V 2 X 1X 22在椭圆C 上，得X 1X 2 12,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形 MNPQ 的面积为定值.化简得x24y 212,所以，动点(□)设 M X i , y i , M X2N2,则由斜率之积，得2X2y_12~3V 1V 2X 1X 214'| MN |所以直线 MN 离为y X 1 X 22V 12V 222令X 123 —, V3 W 44的方程为y 2 V 1 XX 1V 2X 2V 122V X 2X 1 V 2 V 1,因为点M 、N 在椭圆C 上,2X 1x 2y 1 x 1y 20 ,原点O 到直线MN 的距…， _____ ____ 1所以，△ MON 的面积S NOM - |MN | d1-X 1y 2*2乂，根据椭圆的对称性，四边形 MNPQ 的面积S2 X i y 2 X2N ,A 的轨迹C 的方程为化简得 2V】X 2 XIn x x 121.已知函数 f(x) , g(x) —厂(x 0)(i)当a 1时，求曲线y f(x) g(x)在x 1处的切线方程；— .......... 1 小、(n)讨论函数 F(x) f(x) —在(0,)上的单调性.【答案】(I)x 2y 1 0 ； (n )分类讨论，详见解析.【解析】(I )首先求出函数的导数，求 y |x 1即斜率，再由点斜式求出切线方程; (1)(口)分别求出f (x), ------- g(x)再对a 分类讨论可得; 【详解】0时,令ka 2 • a 24a 2的导函数，则F (x) f (x)(x 1)2ax7{2~ ax(x 1)解: (I )当a 1时，曲线yf (x)(1 ln x)(x 1) xln xIn x (x 1)2x 1… ,.所以y |x1(x 1)21 2 - (1 1)ln1 1 1时，切线的斜率为1 ....... .-，又切线过点(1,0)2所以切线方程为2y (n ) f (x)1ax1 g(x1 (x 1)2F (x) f (x)g(x) ax1(x 1)22(x 1) ax7<2~ax(x 1)0 时，F (x) 0, 函数F(x)在(0,)上单调递减;0时,即04, k(x) 0 ,此时 F (x)>0 ,函数 F (x)在(0,)上单调递增;时，即a 4,1 2方程一xa0有两个不等实根 x 1 x 2 ,所以x 〔此时，函数F(x)在0,x1 , x2, 上单调递增；在x1,x2上单调递减.综上所述，当a 0时，F(x)的单减区间是(0,)；2 2 2x (ya) a(n )由圆的方程可得圆心 C(0,a),半径R a ,Q |AB | -73a .2<a 2d 2••缶a,即 a 2 d 2*,当a 4时，F (x)的单减区间是a 2 . a 2 4a a 2. a 2 4a ,22a 2 . a 2 4a单增区间是 0, --------------- 2a 2 .a 2 4a2当0 a 4时，F(x)增区间是(0, ).【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.22 .在极坐标系中，圆 C 的方程为2a sin (a 0) .以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为 x 3 1,( t 为参数).y 4t 3(I)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程,(n)若直线1与圆C 交于A, B 两点，且| AB| J3a -求实数a 的取值范围. 【答案】(I ) C:x 2(y a)2a 2, l:4x 3y 5 0 ；( n 10a 10 .11【解析】(I )利用极坐标方程进行转化即可求圆 C 的标准方程,消去参数即可求直线l的普通方程;(n)利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可.【详解】解：(I )因为圆C 的方程为2asin (a 0),所以圆C 的直角坐标方程为直线l 的参数方程为x 3ty 4t 1,( t 为参数)，消去t 得到4x 3y 5 03则圆心到直线的距离 d|5 3a| |5 3a|324252则 d 2,—,4即d,已,2则 LLE1,二52nrta 3a 5 a 则一刑 ----- ---- ,252 'a 3a 5, ------ 1。

河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题文(含解析)

河南省郑州市 2020 届高三数学上学期第一次质量预测试题文（含解
析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
3.设
a
1
25
，
b
(
1
)
1 3
4
，
c
log2
1 2
，则（
）
A. a b c
B. a c b
C. b a c
D.
bca
【答案】A
【解析】
【分析】
c
log2
1 2
=
1
，由指数函数的单调性有
a
1
25
20
0 1，
b
(
1
)
1 3
4
( 1 )0 4
1
，从而
得到答案.
【详解】由指数函数的单调性有
a
1
25
【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题. 5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2000 个点，己知恰有 800 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
3ex2
2 (x2 e
3)
变形为
x2 3 ex
3ex e2 (x2 3)
2 e
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第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

河南省郑州市郑州中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题(解析)

2024-2025学年上学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 若集合{}4log 1A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B = （）A. []1,3-B. []1,4-C. (]0,4 D. (]0,3【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到(]0,4A =，解一元二次不等式得到[]1,3B =-，由交集概念求出答案.【详解】集合{}(]4log 10,4A x x =≤=，{}[]22301,3B x x x =--≤=-，则(]0,3A B =I .故选：D.2. 若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（）A. 1 B. -1C. iD. 16【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取1x =-、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取1x =-，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.4. 已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A. x y z << B. y z x <<C. z y x << D. z x y<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较x 、y 、z 三个数与0、1的大小关系，由此可得出x 、y 、z 三个数的大小关系.【详解】0.40221x =>= ，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.5. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x ax =+，则()2025f =（）A. 0B. 1C. 2D. 2025【答案】C 【解析】【分析】由函数奇偶性，确定()f x 为周期函数，再结合()10f -=，求得a ，即可求解.【详解】因为()21f x -为奇函数，所以()f x 关于点()1,0-中心对称，又()1f x +为偶函数，所以()f x 关于直线1x =对称，所以()f x 为周期函数且周期()4118T =⨯--=，∴()()()20258253111f f f a =⨯+==+，∵()110f a -=-+=，∴1a =，∴()202512f a =+=.故选:C ．6. 若函数()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩，在(1,)-+∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A. []3,9- B. [)3,∞-+C. []0,9 D. (],9-∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数性质判断13x -<≤上()f x 的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当13x -<≤时，2log (1)y x =+单调递增且值域为(,2]-∞，而()f x 在(1,)-+∞上单调递增，则ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，且3233a a +≥⇒≥-，当30a -≤≤时，ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，满足题设；当0a >时，ay x x=+在)+∞3≤，即09a <≤；综上，39a -≤≤.故选：A7. 已知函数()2sin ,f x x ax a =-∈R ，若曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（）A. π5π[,33B. (0,π]C. [π,2π)D. π5(0,],[π,2π)33【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出a ，再利用导数求出单调递减区间.【详解】函数()2sin f x x ax =-，求导得()2cos f x x a '=-，则ππ()2cos22f a a '=-=-，由曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，得π(12a f '-==-，解得1a =，于是()2cos 1f x x '=-，由()2cos 10f x x '=-<，得1cos 2x <，而(0,2π)x ∈，解得π5π33x <<，所以函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是π5π[,]33.故选：A8. 已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若方程()1f x =在[]0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）．A. 523,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 239,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 523,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 239,62⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】将()f x 化简为π2sin 3x ω⎛⎫+⎪⎝⎭，根据方程可知ππ2π36x k ω+=+或π5π2π36x k ω+=+，根据π3x ω+整体的范围可知需满足ππ5π4ππ4π636ω+≤+<+，解不等式得到ω的取值范围.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，令()1f x =，则π2sin 13x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π36x k ω∴+=+或π5π2π36x k ω+=+，[]0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()1f x = 在[]0,π上有且只有四个实数根，ππ5π4ππ4π636ω∴+≤+<+，解得：239,62ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.二、多选题9. 定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +-=，则（）A. ()10f = B. ()()110f x f x -++=C. ()()1212f x f x +=- D.201()10i f i ==∑【答案】AC 【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A ；根据已知条件得(2)()0f x f x +--=、(1)(1)0f x f x +--=判断B 、C ；根据函数的性质，举反例()0f x =判断D.【详解】由()()()21f x f x f +-=，令1x =-，则()()()0111(1)f f f f ⇒--==-，又()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f =-=，A 对；由上，得()()0(2)()02f x f f x f x x ⇒=---+=+①，在①式，将1x -代换x ，得(1)(1)0f x f x +--=②，B 错；在②式，将2x 代换x ，得(21)(12)0(21)(12)f x f x f x f x +--=⇒+=-，C 对；由()()2f x f x +=且(1)(1)f x f x +=-，即()f x 周期为2且关于1x =对称，显然()0f x =是满足题设的一个函数，此时201()0i f i ==∑，D 错.故选：AC10. 函数()cos 2cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-（π02ϕ<<）的图象的一个对称中心为 π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A. 直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴B. 函数()f x 在ππ,612⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得到cos2y x =的图象D. 函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得ϕ，再根据三角函数性质分别判断各选项.【详解】由()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，由π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数图象的一个对称中心，即πππ262k ϕ⨯+=+，Z k ∈，解得ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项：令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =-+，Z k ∈，当1k =时，5π12x =，即直线5π12x =是函数的一条对称轴，故A 选项正确；对于B 选项：令π2π2π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递减区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以函数在ππ,612⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项：函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；对于D 选项：当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ7π2,666⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，所以函数()πcos 26f x x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，即最大D 选项错误；故选：AC.11. 下列结论正确的是（）A. 若2()1ax bf x x +=+是奇函数，则必有0a ≠且0b =B. 函数31x y x =-的单调递减区间是11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2(3)f x x x =+，则当0x <时，()f x =23x x -D. 若()f x 在R 上是增函数，且1a m =-，2b m =，则()()()()f a f b f a f b +-<-+【答案】CD 【解析】【分析】根据奇函数的性质判断A ，分离常数后结合反比例函数的单调性判断B ，根据奇函数性质求解析式判断C ，根据单调性比较大小即可判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，由奇函数性质知(0)0f b ==R a ∈，事实上当0a b ==时，()0f x =，即是奇函数也是偶函数，故A 错误.对于B ，因为11393y x =+-，所以函数31x y x =-的单调递减区间是1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故B 错误.对于C ，当0x <时，0x ->，则2()()3()f x x x f x -=--=，即2()3f x x x =-，故C 正确.对于D ，因为22112b a m m m ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭304+>，所以b a >.又因为()f x 在R 上增函数，所以()()f a f b <，b a -<-，所以()f b -<()f a -，所以()()()()f b f a f a f b -+<-+，故D 正确故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12. tan20tan40tan40︒+︒+︒︒= ______【解析】【分析】利用602040︒=︒+︒，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【详解】因为tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40︒+︒︒=︒+︒==-︒︒20tan 40tan 20tan 40-︒︒=︒+︒，所以tan 20tan 40tan 20tan 40︒+︒+︒︒=是.。

专题3 导数解决不等式的恒成立和证明

第三章导数专题3 导数解决不等式的恒成立和证明【三年高考精选】（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题） 1. 已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令11,m n a b==，命题转换为证明：2m n e <+<，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+．由()()1ln f x x x =-得，()ln f x x '=-，当1x =时，()0f x '=；当()0,1x ∈时()0f x >′；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在区间(]0,1内为增函数，在区间[)1,+∞内为减函数， (2)[方法一]：等价转化由ln ln b a a b a b -=-得1111(1ln )(1ln )a a b b -=-，即11()()f f a b=．由a b ，得11a b ≠．由（1）不妨设11(0,1),(1,)b a ∈∈+∞，则1()0f a >，从而1()0f b >，得1(1,)e b∈，①令()()()2g x f x f x =--，则22()(2)()ln(2)ln ln(2)ln[1(1)]g x f x f x x x x x x ''=---'=-+=-=--，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1内为减函数，()()10g x g >=，从而()()2f x f x ->，所以111(2)()()f f f a a b->=，由（1）得112a b -<即112a b<+．①令()()h x x f x =+，则()()'11ln h x f x x '=+=-，当()1,x e ∈时，()0h x '>，()h x 在区间()1,e 内为增函数，()()h x h e e <=，从而()x f x e +<，所以11()f e b b +<．又由1(0,1)a ∈，可得11111(1ln )()()f f a a a a b <-==，所以1111()f e a b b b+<+=．②由①②得112e a b<+<． [方法二]【最优解】：ln ln b a a b a b -=-变形为ln ln 11a b a b b a-=-，所以ln 1ln 1a b a b ++=．令11,m n a b ==．则上式变为()()1ln 1ln m m n n -=-，于是命题转换为证明：2m n e <+<．令()()1ln f x x x =-，则有()()f m f n =，不妨设m n <．由（1）知01,1m n e <<<<，先证2m n +>．要证：()()()222)2(m n n m f n f m f m f m +>⇔>-⇔<-⇔<-()()20f m f m ⇔--<．令()()()()2,0,1g x f x f x x =--∈，则()()()()()2ln ln 2ln 2ln10g x f x f x x x x x '='+'-=---=⎡⎤⎣≥-⎦--=， ()g x ∴在区间()0,1内单调递增，所以()()10g x g <=，即2m n +>．再证m n e +<．因为()()1ln 1ln m n n m m -=⋅->，所以()1ln n n n e m n e -+<⇒+<．令()()()1ln ,1,h x x x x x e =-+∈，所以()'1ln 0h x x =->，故()h x 在区间()1,e 内单调递增．所以()()h x h e e <=．故()h n e <，即m n e +<．综合可知112e a b<+<． [方法三]：比值代换证明112a b+>同证法2．以下证明12x x e +<．不妨设21x tx =，则211x t x =>，由1122(1ln )(1ln )x x x x -=-得1111(1ln )[1ln()]x x tx tx -=-，1ln 1n 1l t x t t=--，要证12x x e +<，只需证()11t x e +<，两边取对数得1ln(1)ln 1t x ++<，即ln(1)1ln 11t t t t++-<-，即证ln(1)1ln t t t t+<-．记ln(1)(),(0,)s g s ss ∈=+∞+，则2ln(1)1()s s s g s s '-++=. 记()ln(1)1sh s s s=-++，则211()0(1)1h s s s '=-<++，所以，()h s 在区间()0,∞+内单调递减．()()00h s h <=，则()'0g s <，所以()g s 在区间()0,∞+内单调递减．由()1,t ∈+∞得()10,t -∈+∞，所以()()1g t g t <-，即ln(1)1ln t t t t+<-． [方法四]：构造函数法由已知得ln ln 11a b a b b a-=-，令1211,x x a b ==，不妨设12x x <，所以()()12f x f x =．由（Ⅰ）知，1201x x e <<<<，只需证122x x e <+<．证明122x x +>同证法2．再证明12x x e +<．令2ln 21()(0)()(ln ,)exh x x e h x x e x xe x '-++-=<<=--．令()ln 2(0)e x x x e x ϕ=+-<<，则221()0e x ex x x xϕ-'=-=<．所以()()()0,0x e h x ϕϕ>='>，()h x 在区间()0,e 内单调递增．因为120x x e <<<，所以122111ln ln x e x e x x --<--，即112211ln ln x x x ex e -->-- 又因为()()12f x f x =，所以12212112ln ln 1,1x x x ex x x ex x --=>--，即()()2222111212,0x ex x ex x x x x e -<--+->．因为12x x <，所以12x x e +<，即11e a b+<．综上，有112e a b<+<结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于120e x x +-<的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.视频(2020年高考全国Ⅰ卷文数20) 2. 已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2xea x =+有两个解，令()(2)2xe h x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)x f x e x =-+，'()1xf x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0x e a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2x e a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线x y e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线x y e =的切线斜率，结合图形求得结果. 【三年高考刨析】【2022年高考预测】预测2022年高考仍是考查函数的单调性，根据不等式恒成立求参数的取值范围或不等式的证明..【2022年复习指引】由前三年的高考命题形式，在2022年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打，加强常规题型的练习，关于集合2022高考备考主要有以下几点建议：1.涉及本单元知识点的高考题，综合性强.所以在复习中要熟记相关的定义，法则；2.利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理.4.要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法.数形结合思想，如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征，或求两曲线交点个数等；等价转化思想，如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等.【2022年考点定位】考点1 证明不等式典例1 （安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检查）已知函数()()212,2e 21x x f x x x g x x =+-=---. （1）求()f x 的单调区间；（2）当(),1x ∈-∞时，求证：()()g x f x .【答案】（1）在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题可以求函数的导函数，则可得()f x 的单调区间；（2）由题知要证()()g x f x ，即证2201e 2x x x x x x ---+≥-，然后利用导函数判断函数的单调性，最后利用单调性证明即可. 【详解】（1）因为()21e 2x x f x x x =+-，所以()()()21e 1e e 1e ex x x x x x x f x x +--=+-='，令()0f x '=，解得1x =，∴当(),1x ∈-∞时，()()0,1,f x x ∞∈'>+时，()0f x '< 所以()f x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）要证()()g x f x即证22121e 2x x x x x --+--，即22e 0112x x x x x x --+-≥-，设2()11e 21x F x x x=---+-，即证()0xF x .因为()2211(1)e 2xF x x =++-' 所以当(),1x ∈-∞时，()0F x '>恒成立，()F x 单调递增，又当0x =时，()0F x =，所以当01x <<时，()0F x >，当0x <时，()0F x <；所以当()(),1,0x xF x ∞∈-，即当(),1x ∈-∞时，()()g x f x .【规律方法技巧】利用导数证明不等式f (x )>g (x )的基本方法 (1)若f (x )与g (x )的最值易求出，可直接转化为证明f (x )min >g (x )max ；(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )>0. 2.证明不等式时的一些常见结论(1)ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时取到； (2)e x ≥x ＋1，等号当且仅当x ＝0时取到； (3)ln x <x <e x ，x >0； (4)≤ln(x ＋1)≤x ，x >－1，等号当且仅当x ＝0时取到.【考点针对训练】（2022贵州省贵阳市五校联考）3. 已知函数()xe f x x =.（1）函数()()f xg x x=，求()g x 的单调区间和极值. （2）求证：对于()0,x ∀∈+∞，总有()13ln 44f x x >-. 【答案】（1）()g x 在(0,2)上单调递减，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增；极小值()2e 24g =，无极大值；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）写出()g x 的函数表达式，通过求导写出单调区间和极值即可（2）证明()13ln 44f x x >-恒成立，结合（1）得，等价于2e 1(ln 3)4x x x x >-恒成立，且已知左式的最小值，只要大于右式的最大值，则不等式恒成立【详解】（1）解：2243e e 2e e (2)()()x x x x x x x g x g x x x x --'=⇒==，当02x <<时，()0g x '<；当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,2)上单调递减，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增；故()g x 有一个极小值2e (2)4g =，无极大值．（2）证明：要证13()ln 44f x x >-成立，只需证e 13ln 44x x x >-成立，即证2e 1(ln 3)4x x x x>-成立，令1()(ln 3)4h x x x =-，则24ln ()=4xh x x -'，当40e x <<时，()0h x '>；当4e x >时，()0h x '<，()h x ∴在()40,e 上单调递增，在()4e ,+∞上单调递减，()4max 41()e 4e h x h ==∴， 2e ()x g x x =∵由（1）可知2min e ()(2)4g x g ==，min max ()()g x h x >∴，()()g x h x >∴，13()ln 44f x x >-∴．【点睛】题目比较综合，第一小题是已知函数求单调性极值的问题，属于常规题目；第二小题证明不等式成立，有两种类型，一种是构造左右两个函数，若最小值大于最大值，则不等式恒成立，但是只能做证明题；若最小值不大于最大值，不能说明不等式不成立；另外一种是构造一个函数，证明最小值大于0恒成立，这种的函数会比较困难，所以优先用第一种尝试，再选取第二种方法考点2 不等式恒成立问题典例2 （2020辽宁省沈阳市2019届高三一模）已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式()()1xf x f e +>在()1,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2a ≤B.2a ≥C.0a ≤D.02a ≤≤ 【答案】A【分析】先证明11x x e <+<恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，问题转化为2(1)a x x ≤>恒成立，即可求出a 的范围. 【详解】设()1,x g x e x =--则()1x g x e '=-，当0x >时()0110x g x e e =->-='，所以()1x g x e x =--在()0,∞+上递增，得()()00010,g x g e >=--=所以当0x >时，11x x e <+<恒成立.若不等式()()1xf x f e +>在()1,x ∈+∞上恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，所以()20af x x-'=≤ 即2ax≤，可得2(1)a x x ≤>恒成立，因为22x >，所以2a ≤，故选A .【规律方法技巧】利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解.(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题. 【考点针对训练】（山西省运城市2021届高三检测）4. 当0x <时，不等式()2e e 3xxx x k k -≥恒成立，则实数k 的取值范围是__．【答案】[]3e,0- 【解析】【分析】由题意可得()232e 3x k x x +≤对0x <恒成立，讨论320x +=，320x +>，320x +<，运用参数分离和构造函数，利用导数判断单调性，求最值，可得所求范围．【详解】解：当0x <时，不等式()2e e 3xxx x k k -≥恒成立，即为()232e 3x k x x +≤对0x <恒成立，Ⅰ当320x +=即23x =-时，403≤恒成立；Ⅰ当320x +<，即23x <-时，()2332e x x k x +≥恒成立，等价为()2max 332e x x k x ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦≥，设()()2332e x x f x x =+，()()()()()232222632e 335e 931232e 32e x x x x x x x x x x x f x x x +-+-++'==++ ()()()2313432exx x x x -+-=+，可得1x <-时，()0f x >′，()f x 递增；213x -<<-时，()0f x <′，()f x 递减，可得()f x 在1x =-处取得最大值，且为3e -，则3e k ≥-；Ⅰ当320x +>，即203x -<<时，()2332e x x k x +≤恒成立，等价为()2min332e x x k x ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦≤，设()()2332e x x f x x =+，()()()()2313432e x f x x x x x -+-'=+，可得203x -<<时，()0f x <′，()f x 递减，可得()0f x >，则0k ≤，综上可得，k 的范围是[]3e,0-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，参变分离是常用的解题方法，属于中档题．方法点睛：（1）将参数和变量分离，转化为求最值问题；（2）构造函数，求导数，分析单调性；（3）求函数的最值，求出参数的范围.考点3 不等式存在成立问题典例3 （黑龙江省大庆铁人中学2021届高三第三次模拟）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞B.1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.()2,-+∞【答案】D 【分析】将函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1()22，内存在单调递增区间，转化1()20f x ax x '=+>在区间1()22，成立，再转化为min 212()a x>-，进而可求出结果. 【详解】因为函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1()22，内存在单调递增区间，所以1()20f x ax x '=+>在区间1()22，上成立，即min 212()a x>-在区间1()22，上成立，又函数2yx 在1()22，上单调递增，所以函数21y x =-在1()22，上单调递增，故当12x =时21y x =-最小，且min 21()=4x --，即24a >-，得2a >-. 故选：D【规律方法技巧】1.有关存在成立问题的解题方法∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)＞g (x 2)等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值，即f (x )min ＞g (x )min (这里假设f (x )min ，g (x )min 存在).其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的任意一个函数值大于函数y ＝g (x )的某一个函数值，但并不要求大于函数y ＝g (x )的所有函数值.∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)<g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于函数g (x )在D 2上的最大值(这里假设f (x )max ，g (x )max 存在).其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的任意一个函数值小于函数y ＝g (x )的某一个函数值，但并不要求小于函数y ＝g (x )的所有函数值.2.注意不等式恒成立与存在成立的异同不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f (a )≥g (x )(f (a )≤g (x ))对存在x ∈D 能成立等价于f (a )≥g (x )min (f (a )≤g (x )max )，f (a )≥g (x )(f (a )≤g (x ))对任意x ∈D 都成立等价于f (a )≥g (x )max (f (a )≤g (x )min )，应注意区分，不要搞混. 【考点针对训练】 (2019·吉林白山联考)5. 设函数f (x )＝e x 33x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－ax (e 为自然对数的底数)，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为________. 【答案】e 【解析】【分析】已知不等式转化为2(33)x a e x x ≥-+，此不等式有正数解，只要求得2()(33)x g x e x x =-+在(0,)+∞上的最小值即可得a 的范围．【详解】原问题等价于存在x Ⅰ(0，＋∞)，使得a ≥e x (x 2－3x ＋3)，令g (x )＝x e (x 2－3x ＋3)，x Ⅰ(0，＋∞)，则a ≥g (x )min ，而g ′(x )＝x e (x 2－x )，由g ′(x )>0，得x Ⅰ(1，＋∞)，此时()g x 递增，由g ′(x )<0，得x Ⅰ(0，1)，此时()g x 递减，Ⅰ函数g (x )在区间(0，＋∞)上的极小值也是最小值为g (1)＝e ， Ⅰa ≥e ，即实数a 的最小值为e . 故答案为：e ．【点睛】本题考查不等式有解问题，解题关键是用分离参数法转化为求函数的最值．只是求解时要注意与不等式恒成立区分开来，不等式恒成立也常常用分离参数法转化为求函数的最值，但两者所求最值一个是最大值，一个是最小值，要根据题意确定.考点4 利用导数研究方程的根(或函数的零点)典例4 （河南省郑州市商丘市名师联盟 2020-2021学年高三质量检测）已知函数()2ln f x x x =-，()33g x x xm =-+，方程()()f x g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的实根，则m 的取值范围是（）A.2121,333e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B.2221e -2,33e 3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C.221,133e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.21e 2,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】A 【分析】由题可得232ln m x x =-，构造函数()22ln h x x x =-，讨论其在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变化情况即可得出答案. 【详解】由()()f x g x =，得232ln m x x =-，令()22ln h x x x =-，则()()()211x x h x x-+'=，所以()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，所以()()min 11h x h ==，()221122h e e h e e ⎛⎫=->=+ ⎪⎝⎭，则21132m e <≤+，即2121333m e <≤+. 故选：A.【规律方法技巧】求解涉及函数零点或方程根的问题的注意点 (1)利用函数零点存在性定理求解.(2)分离参数a 后转化为函数的值域(最值)问题求解，如果涉及多个零点，还需考虑函数的图象与直线y ＝a 的交点个数.(3)转化为两个熟悉的函数的图象的上、下位置关系问题，从而构建不等式求解. 【考点针对训练】（重庆市秀山高级中学校2022届高三上学期9月月考） 6. 已知函数2eln ()x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【答案】324⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导数求出函数()f x 的单调区间和最值，设()f x t =，则要使方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程2108t mt -+=在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的实数根，故12121201102201t t t t t t ∆>⎧⎪⎛⎫⎛⎫⎪-->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，从而可求出实数m 的取值范围【详解】依题意，求导243e 2eln e(12ln )()x x xx x f x x x ⋅--'==，令()0f x '=，解得：x =当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当)x ∈+∞，()0f x '<，函数单调递减，且max 1()e 2f x f ===，又0x →时，()f x →-∞；又x →+∞时，()0f x →；设()f x t =，显然当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()f x t =有两个实数根，则要使方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程2108t mt -+=在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的实数根，故121212011022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎛⎫⎛⎫⎪-->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩，解得：324m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：3,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是利用导数判断出函数()f x 的单调区间和最值，设()f x t =，将问题转化为方程2108t mt -+=在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的实数根，然后利用一元二次方程根的分布情况求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题【二年模拟精选】（2020河北省衡水市第二中学高三检测） 7. 已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围为A. [4,)+∞B. (4.?)+∞C. (,4]-∞D. (,4)-∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意先确定g （x ）＝f （x ）﹣4x 在（0，+∞）上单增，再利用导数转化，可得24x a x ≥-恒成立，令()24h x x x =-，求得()h x max ，即可求出实数a 的取值范围．【详解】令()()4g x f x x =-，因为()()12124f x f x x x ->-，所以()()12120g x g x x x ->-，即()g x 在()0,+∞上单调递增，故()40ag x x x=-'+≥在()0,+∞上恒成立，即24x a x ≥-，令()()24,0,h x x x x =-∈+∞.则()()2424h x x x h =-≤=，()h x max 4=，即a 的取值范围为[4,+∞）.故选A.【点睛】本题考查了函数单调性的判定及应用，考查了原函数单调与导函数正负的关系，确定g （x ）在（0，+∞）上单增是关键，属于中档题．（2020辽宁省沈阳市高三上学期一模）8. 已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式()()1xf x f e +>在()1,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 2a ≤ B. 2a ≥C. 0a ≤D. 02a ≤≤【答案】A 【解析】【分析】先证明11x x e <+<恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，问题转化为2(1)a x x ≤>恒成立，即可求出a 的范围．【详解】设()1,x g x e x =--则()'1x g x e =-，当0x >时()0110x g x e e =->-='，所以()1x g x e x =--在()0,∞+上递增，得()()00010,g x g e >=--=所以当0x >时，11x x e <+<恒成立.若不等式()()1xf x f e +>在()1,x ∈+∞上恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，所以()20af x x-'=≤ 即2ax≤，可得2(1)a x x ≤>恒成立，因为22x >,所以2a ≤，故选A ．【点睛】本题考查了构造新函数，也考查了导数的应用以及由单调性求参数的问题，属于中档题．（江西省萍乡市2021届高三上期数学期中复习试卷）9. 已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. 2⎡⎤-⎣⎦B. (],1-∞C. ()2-D. 2⎡⎤-⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围．【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知：要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方，可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <，由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +，即有22a m =+，222am m m =++，解得m =2a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[2-1]．故选：A【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解. （四川省内江市威远中学2020-2021学年高三月考）10. 已知函数32()f x x x ax b =-++，12,(0,1)x x ∀∈且12x x ≠，都有1212|()()|||f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（）A. 2(1,]3--B. 2(,0]3-C. 2[,0]3-D. [1,0]-【答案】C 【解析】【分析】原不等式等价于()()211212x x f x f x x x --<-<恒成立，得到()()()321g x f x x x x a x b =-=-+-+，()()()321h x f x x x x a x b =+=-+++在()0,1上严格单调，转化为()0g x '≤在()0,1上恒成立，()0h x '≥在()0,1上恒成立，利用分离参数思想转化为求最值问题即可. 【详解】不妨设1210x x >>>，则1212|()()|||f x f x x x -<-等价于()()211212x x f x f x x x --<-<，即()()()()11221122 f x x f x x f x x f x x ⎧-<-⎪⎨+>+⎪⎩，设()()()321g x f x x x x a x b =-=-+-+，()()()321h x f x x x x a x b =+=-+++，依题意，函数()g x 在()0,1上为严格的单调递减函数，函数()h x 在()0,1上为严格的单调递增函数，Ⅰ()23210g x x x a '=-+-≤在()0,1上恒成立，()23210h x x x a '=-++≥在()0,1上恒成立，Ⅰ2321a x x ≤-++在()0,1上恒成立，2321a x x ≥-+-在()0,1上恒成立，而二次函数2321y x x =-++在[0,1]上的最小值在1x =时取得，且最小值为0，二次函数2321y x x =-+-在[0,1]上的最大值在13x =时取得，其最大值为23-，综上，实数a 的取值范围是2[,0]3-，故选：C.【点睛】关键点点睛：去绝对值，得到两个函数的单调性，结合导数与单调性的关系，利用分离参数的思想转化为求二次函数最值问题. （2020湖南省益阳市高三上学期期末）11. 已知变量()()12,0,0x x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（e 2.71828=为自然对数的底数）（） A. eB.C.1eD. 1【答案】A 【解析】【分析】不等式两边同时取对数，然后构造函数()ln xf x x=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论. 【详解】21122112ln ln x x x x x x x x <⇒<，()12,0,,0x x m m ∈>，1212ln ln x x x x ∴<恒成立，设函数()ln xf x x=，12x x <，()()12f x f x <，()f x ∴在()0,m 上为增函数，函数的导数()21ln xf x x -'=， ()00f x x e '>⇒<<，即函数()f x 的增区间是()0,e ，则m 的最大值为e . 故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，211212211212ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x <⇒<⇒<，转化为求函数()ln xf x x=的单调区间. （山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练）12. 已知函数()ln f x x x x =+，()g x kx k =-，若k Z ∈，且()()f x g x >对任意2x e >恒成立，则k 的最大值为（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】由不等式，参变分离为ln 1x x x k x +⎛⎫< ⎪-⎝⎭，转化为求函数()ln 1x x x u x x +=-，()2,x e ∈+∞的最小值，利用导数求函数的最小值.【详解】()()f x g x >，即ln x x x kx k +>-.由于()()f x g x >对任意()2,x e ∈+∞恒成立，所以ln 1x x x k x +⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即min ln 1x x x k x +⎛⎫< ⎪-⎝⎭.令()ln 1x x x u x x +=-，()2,x e ∈+∞，()()2ln 21x x u x x --'=-.令()ln 2h x x x =--，()1110x h x x x='-=->，所以()h x 在()2,x e ∈+∞上单调递增，所以()()22e e 40h x h >=->，可得()0u x '>，所以()u x 在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223e 3e 33,4e 1e 1u x u >==+∈--.又k Z ∈，所以max 3k =. 故选：B.（广西柳州市2021届高三摸底考试）13. 已知函数212,(0)()2ln ,(0)x x x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在0x R ∈，使得()2012f x m m ≤-成立，则实数m 的取值范围是（）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】分析函数()f x 的最小值，只需使()2min 12f x m m ≤-成立即可．【详解】当0x ≤时，()2122f x x x =++，根据二次函数的性质可知，当1x =-时，()f x 有最小值12-；当0x >时，()ln f x x x =，由()ln 10f x x '=+=得1=x e当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()ln f x x x =在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()ln f x x x =最小值为11111ln 2f e e ee ⎛⎫==->- ⎪⎝⎭，则()min 12f x =-若存在0x R ∈，使得()2012f x m m ≤-成立，则()2min 12f x m m ≤- 所以21122m m -≤-，解得112m -≤≤故选：A ．（重庆实验外国语学校2022届高三上学期入学考试）14. 关于函数()xf x e =，()lng x x =下列说法正确的是（）A. 对0x ∀>，()1g x x ≤-恒成立B. 对x R ∀∈，()f x ex ≥恒成立C. 若a b e >>，()()ag b bg a <D. 若不等式()()f ax ax x g x -≥-对1x ∀>恒成立，则正实数a 的最小值为1e【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ：构造函数()()ln 10h x x x x =-+>，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；选项B ：构造函数()()x f x ex ϕ=-，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；选项C ：构造函数()()()0g x m x x x=>，根据导数判断函数在(),e +∞内单调递减，从而判断选项错误；选项D ：把不等式()()f ax ax x g x -≥-变形为ln ln ax x e ax e x -≥-，所以只需研究函数()xF x e x =-的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.【详解】选项A ：令()()ln 10h x x x x =-+>，则()111xh x x x -'=-=，因为0x >，所以由()0h x '>得01x <<；由()0h x '<得1x >，所以()h x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，所以()h x 的最大值为()10h =，所以对0x ∀>，()0h x ≤恒成立，即对0x ∀>，()1g x x ≤-恒成立，故选项A 正确；选项B ：令()()x x f x ex e ex ϕ=-=-，则()xx e e ϕ'=-，由()0x ϕ'>得1x >；由()0x ϕ'<得1x <，所以()x ϕ在()1,+∞内单调递增，在(),1-∞内单调递减，所以()x ϕ的最小值为()10ϕ=，所以对x R ∀∈，()0x ϕ≥恒成立，即对x R ∀∈，()f x ex ≥恒成立，故选项B 正确；选项C ：令()()ln ()0g x x m x x x x==>，则21ln ()xm x x -'=，所以由()0m x '>得0x e <<；由()0m x '<得x e >，所以()m x 在()0,e 内单调递增，在(),e +∞内单调递减，所以当a b e >>时，()()m a m b <，即()()g a g b a b<，所以a b e >>，()()ag b bg a >成立，故选项C 错误；选项D ：因为不等式()()f ax ax x g x -≥-对1x ∀>恒成立，即不等式ln ax e ax x x -≥-对1x ∀>恒成立，又因为ln ln ln x x x e x -=-，所以不等式ln ln ax x e ax e x -≥-对1x ∀>恒成立；令()xF x e x =-，则 ()1x F x e '=-，当0x >时，()10x F x e '=->恒成立，所以()xF x e x =-在()0,∞+单调递增，所以由不等式ln ln ax x e ax e x -≥-对1x ∀>恒成立，得ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即ln xa x≥对1x ∀>恒成立，由选项C 知，()ln ()1xm x x x=>在()1,e 内单调递增，在(),e +∞内单调递减，所以()m x 的最大值为1()m e e =，所以只需1a e ≥，即正实数a 的最小值为1e .故选：ABD.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，通常要构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，求出最值进而得到结论或求出参数的取值范围；也可分类变量构造函数，把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题常见的处理方式有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）()f x a >恒成立型的可转化为min ()f x a >；（3）()()f x g x >恒成立型的可以通过作差法构造函数()()()h x f x g x =-，然后求min ()0h x >，或者转化为min max ()()f x g x >.（T 8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考） 15. 已知函数()()ln 202x af x ae a x =+->+，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(),e +∞ 【解析】【分析】根据()0f x >恒成立，可得到含有x a ，的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”’转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a 的范围. 【详解】()ln202x af x ae x =+->+，则()ln ln ln 22x a e a x ++>++，两边加上x 得到()()()ln 2ln ln 2ln 2ln 2x x aex a x x ex ++++>+++=++，x y e x =+单调递增，()ln ln 2x a x ∴+>+，即()ln ln 2a x x >+-，令()()ln 2g x x x =+-，则()11121x g x x x --'=-=++，因为()f x 的定义域为()2,-+∞()2,1x ∴∈--时，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈-+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max ln 11a g x g ∴>=-=，a e ∴>.故答案为：(),e +∞【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的x ，使得()f x a >恒成立，可得出()min f x a >；对于任意的x ，使得()f x a <恒成立，可得出()max f x a <. （浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考）16. 已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为______.【答案】3e【解析】【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln x x xe x x a a x x a a e e -≤-⇔-≤-，利用同构函数()ln f x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x xe x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤- 令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， Ⅰ()f x 在[)1,+∞上单调递增.Ⅰ1a >，1[,)3x ∈+∞，Ⅰ[)3,1,xe x a ∈+∞，Ⅰ33x x eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33xxg x e -'=，Ⅰ1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，Ⅰ(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，Ⅰ3a e ≥，Ⅰa 的最小值为3e.故答案为：3e【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键. （河北省部分学校2022届高三上学期第一次月考）17. 已知函数()32f x x x ax =--在R 上单调递增，则a 的取值范围是____________.【答案】1(,]3-∞-【解析】【分析】求出函数()f x 的导函数()f x '，再由()0f x '≥恒成立即可得解.【详解】依题意：()232x x a f x '=--，因函数()32f x x x ax =--在R 上单调递增，于是得2320x x a --≥对x ∈R 恒成立，则4120a ∆=+≤，解得13a ≤-，所以a 的取值范围是1(,]3-∞-.故答案为：1(,]3-∞-18. 已知函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意(),2x R f x '∈>，则()24f x x >+的解集为____________．【答案】(1,)-+∞. 【解析】【分析】构造()()24g x f x x =--，根据题意得到()g x 在R 为单调递增函数，又由()12f -=，得到()10g -=，进而得到1x >-时，()0g x >，即可求解.【详解】设()()24g x f x x =--，可得()()2g x f x ''=-，因为对任意(),2x R f x '∈>，所以()0g x '>，所以()g x 在R 为单调递增函数，又由()12f -=，可得()12240g -=+-=，所以当1x >-时，()0g x >，即不等式()24f x x >+的解集为(1,)-+∞. 故答案为：(1,)-+∞.（浙江省宁波市北仑中学2021-2022学年高三上学期返校考试） 19. 设函数()ln 2ef x x mx n x=--+，若不等式()0f x ≤对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则nm的最大值为______________．【答案】2e 【解析】【分析】根据()0ln 22e n f x x m x x m ⎛⎫≤⇒-≤- ⎪⎝⎭转化成两个函数比较大小的问题.【详解】不等式()0f x ≤对任意(0,)x ∈+∞恒成立,即ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，0x >恒成立，设()()'21ln 0e e g x x g x x x x=-⇒=+> 所以()g x 在()0,∞+单调递增，且()0g e =，当0x →时()g x →-∞ 当x →+∞时()g x →+∞ 作出()g x 的图像如图，再设()22n h x m x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0x >可得()h x 表示过点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为2m 的一条射线（不含端点），要求nm 的最大值且满足不等式恒成立，可求2n m的最大值，由点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上方移动，只需找到合适的0m >，且()h x 与()g x 图像相切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示，此时22n n e e m m =⇒= 故答案为：2e（江苏省扬州市仪征市精诚高级中学2021-2022学年高三上学期9月月考） 20. 已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】（1）11()(0)axf x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x e xϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增.又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()020010x x ex ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；所以()0200()ln x x x ex ϕϕ-≥=-，结合021x e x -=，知002ln x x -=-，所以()()22000000001211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->，即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.（贵州省铜仁市思南中学2021届高三第十次月考）21. 已知函数()e (0)x f x ax a -=≠存在极大值1e ．（1）求实数a 的值；（2）若函数F （x ）＝f （x ）﹣m 有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），求实数m 的取值范围，并证明：x 1+x 2＞2．【答案】（1）a ＝1 （2）10e m ＜＜，证明见解析【解析】【分析】（1）利用极值的定义，列式求出a 的值，然后进行验证即可；（2）利用（1）中的结论，确定()f x 的单调性、极值以及函数的取值情况，由零点的定义，即可得到m 的取值范围，利用12()()F x F x =，得到2211lnx x x x -=，将问题转化为证明2122111ln 2x x x x x x -<+，即证明21221111ln 21x x x x x x -<+，不妨设12x x <，令21x t x =，则1t >，从而将问题转化为证明1112t lnt t -<+对于1t >恒成立，构造函数11()ln 21t g t t t -=-+，利用导数研究函数的单调性，求解函数的取值情况，即可证明．【小问1详解】解：函数()e (0)x f x ax a -=≠，则(1)()e xa x f x -'=，令()0f x '=，解得1x =，所以f （1）1e ea ==，解得1a =，此时1()e xxf x -'=，当1x <时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值f （1）1e=，符合题意，。

2020年高考数学(理)之高频考点解密18 圆与方程(解析版)

解密18 圆与方程考点1 圆的方程题组一直接求圆的方程调研1 一个圆经过以下三个点12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为A ．22211344x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2251344x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设圆心坐标为()0,b ，半径为r ，则圆的方程为()222x y b r +-=，将12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -三点代入，得()222222110292b rb r b r ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得54b =，216916r =． ∴圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 题组二利用圆的几何性质求圆的方程调研2 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去），故所求圆的方程为()()22112x y -++=．故选C ．调研3 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x −2y −1=0上的圆的标准方程为________________．【答案】(x −5)2+(y −2)2=17【解析】根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB 的垂直平分线上，又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB 的垂直平分线方程为2x +2y −14=0，则有{x −2y −1=02x +2y −14=0 ，解得{x =5y =2，即圆心为(5，2)，圆的半径r 2=(5−1)2+(2−3)2=17，故圆的方程为(x −5)2+(y −2)2=17．☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2=r 2．（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．考点2 直线与圆的位置关系题组一与圆有关的对称问题调研1 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称，所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上，所以2260a b -++=，即3a b -=，，当点(a,b )与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a,b )≥4.故答案为4.☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组二直线与圆、圆与圆的位置关系调研2 圆C 1:x 2+(y −1)2=1与圆C 2：(x +4)2+(y −1)2=4的公切线的条数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【解析】∵|C 1C 2|=√(0+4)2+(1−1)2=4，r 1=1，r 2=2，r 1+r 2=1+2=3，∴|C 1C 2|＞r 1+r 2，所以圆C 1与圆C 2相离，有4条公切线．故选A ．调研3 直线y =x +3被圆(x +1)2+y 2=4所截的弦长为 A ．1 B ．2 C ．√2D ．2√2【解析】直线方程可化为x −y +3=0，圆心到直线的距离为d =√12+12=√2，由垂径定理可得半弦长为√22−(√2)2=√2，所以截直线所得弦长为2√2，故选D ．调研4 两圆x 2+y 2+4x −4y =0和x 2+y 2+2x −8=0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为 A ．4 B ．35√5 C ．125√5D ．65√5【答案】C【解析】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y =0 ①，x 2+y 2+2x ﹣8=0 ②，①﹣②可得x ﹣2y +4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y =0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2√2， ∴圆心到公共弦的距离为d =√12+22=25√5， ∴公共弦长=2√(2√2)2−(25√5)2=125√5．故选C ．调研5 已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则⋅u u u r u u u rCP CQ ＝_______．【答案】0【解析】根据题意，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ==，则|PQ |＝2=PCQ ＝90°，故CP CQ ⋅=u u u r u u u r 0.故答案为0.调研6 若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33) D ．[－33，33]【解析】解法1：如图，BC =1，AC =2，∴∠BAC =30°，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法2：设直线l 的方程为y =k (x －4)，则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法3：过A (4，0)的直线l 可设为x =my ＋4，代入(x －2)2＋y 2=1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3=0，由Δ=16m 2－12(m 2＋1)=4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥3．∴l 的斜率k =1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k =0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]．故选D ．调研7 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u r u u u r＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y =kx +1，即：kx -y +1=0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标为（2，3），半径R =1．1=，解得：12k k==故当4433k <<时，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ，N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=，可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++，∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+，由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k =1，故直线l 的方程为 y =x +1，即 x -y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 的长即为圆的直径，所以|MN |=2.☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．题组三与圆有关的综合问题调研8 已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A或 BCD【答案】B【解析】∵直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，O ∴到直线AB 的距离为11,a =∴=故选B ．调研9 若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】因为圆的方程为22(3)9x y -+=2=，可设一条渐近线方程为0bx ay -=322c b a e =⇒=⇒=⇒== 故选C ．调研10 已知点M 是抛物线y 2=2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为 A ．10 B ．4√3 C ．8 D ．2√15【答案】D【解析】设圆心M (a 22， a)，而r 2=(a 22)2+(82)2，∴圆M 的方程为(x −a 22)2+(y −a )2=a 44+16，当y =0时，得x 2−a 2x +a 2−16=0，x 1+x 2=a 2，x 1x 2=a 2−16，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 4−4a 2+64=√(a 2−2)2+60≥√60=2√15．故选D ．调研11 已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则a =________________．【答案】−2【解析】因为点P 在圆()2215x y -+=上，所以过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切的切线为()()21125,260x y x y --+=+-=，又该切线方程与直线10x ay -+=平行，得2, 2.a a -==-调研12 已知点()()2,0,0,2,A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为________________．【答案】2【解析】将圆22220x y x y +-+=化简成标准方程，得()()22112x y -++=，其圆心坐标为()1,1-，半径为r =()()2,0,0,2A B -，所以AB =，要求ABM △的面积最小，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线距离为，所以min d ==，故ABM S △的最小值22⨯=．调研13 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为圆M:x 2+y 2−4x =0的圆心，直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P ，Q ，且P ，Q 的纵坐标分别为3t −1t ，2t(t ∈R ，t ≠0)．（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 恒与圆M 相切．【解析】（1）圆心为(2，0)，半径为2，设抛物线C 的方程为y 2=2px(p ＞0)，因为焦点为圆M ：x 2+y 2−4x =0的圆心，所以p =4，因此抛物线C 的方程为y 2=8x ．（2）由题意可知，P (−2，3t −1t )，Q(0，2t)，则直线PQ 方程为y −2t =2t−(3t−1t)2x ，即(t 2−1)x +2ty −4t 2=0，圆心M(2，0)到直线PQ 的距离2(2)22=2，因此直线l 恒与圆M 相切．调研14 已知以点C （t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证：OAB △的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程．【答案】（1）见解析；（2）()()22215x y -+-=．【解析】（1 设圆C 令0x =，得10y =，2y =；令0y =，得10x =，22x t =，，即OAB △的面积为定值4．（2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ．因为2MN k =-，所以12OC k =，所以212t t =，解得2t =或2t =-．当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1，OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<，圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--， OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>，圆C 与直线24y x =-+不相交，所以2t =-不符合题意，舍去．综上，可得所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．调研15 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--u u u u r u u u r，由题意知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3N为半径的圆. 由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥，因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，所以l 的方程为1833y x =-+.又OM OP ==O 到lPM =，所以POM △的面积为165.1．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）直线3y kx =+被圆()22-+x ()234-=y截得的弦长为AB．C．3D．3±【答案】D【解析】因为直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为()2,3到直线的距离1d ==1==，解得3k =±，故选D ．2．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．3．（河南省郑州市2019-2020学年高三上学期第一次质量预测数学）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m = A ．-5或15 B ．5或-15 C ．-21或1D ．-1或21【答案】A【解析】由圆22410x y x y +-++=，即22(1)(2)4x y -++=, 得圆心为(1,2)-，半径为2.直线340x y m ++=与圆22410x y x y +-++=相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2d ==，解得：15m =或5-. 故选A.4．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =ABC ．3D．【答案】D【解析】根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2，又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==. 故选D ．5．（河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高三上学期第二次质检数学）已知圆22:2+-=M x y ay()00>a截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=-<<12r r +⇒两圆相交. 故选B.6．（重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，∵圆C 与直线3440x y ++=2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．7．（四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考）已知两点A(a ，0)，B(−a ，0)(a >0)，若曲线x 2+y 2−2√3x −2y +3=0上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为 A ．(0，3] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[1，3]【答案】D【解析】因为∠APB =90°，所以点P 在圆x 2+y 2=a 2上，又点P 还在圆(x −√3)2+(y −1)2=1上，故|a −1|≤2≤a +1，解不等式可得1≤a ≤3，故正实数a 的取值范围为[1，3]，故选D ．8．（安徽首合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．【答案】B【解析】设圆心坐标为P （a ,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a =1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长为，∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长的最小值为故选B ．9．（安徽省黄山市2019届高三第一次质检）直线2x −y −√3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x +1)2+y 2=36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】令x =0代入2x −y −√3=0可得P(0，−√3)，圆心坐标为(−1，0)，则P 与圆心的距离为√1+3=2，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2．故选A ．10．（河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期第三次联考）已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点，又两圆的圆心距5d ==，∴151r r -≤≤+，解得46r ≤≤.故选D.11．（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检）若直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为 A ．(−1，1]∪{−√2} B ．{−√2，√2} C ．[−1，1)∪{√2} D ．(1，√2]【答案】C【解析】y =√1−x 2表示半圆，如图所示，∵直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点， ①d =√12()2=1，解得m =√2，m =−√2（舍去）；②代入（-1，0）可得0=−1+m ，m =1，代入（1，0）可得0=1+m ，m =−1．综上，结合图象可得−1≤m <1或m =√2，故选C ．12．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学）若直线x ﹣my +m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D【解析】将圆与直线联立()22110x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120m y m m y m m +-+++=，Q 图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，即>0∆，由()()()22224142180=+-++=->mm m m m m ∆，得0m <.Q 圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，∴交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限，2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D.13．（四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．【答案】22(2)10x y -+=.【解析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上，结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)=22(2)10x y -+=.14．（山东省济南市2019届高三上学期期末考试）过圆C:x 2+y 2−2x −3=0内一点P(2，1)作直线l ，则直线l 被圆C 所截得的最短弦长为________________．【答案】2√2【解析】圆方程可化为（x ﹣1）2+y 2＝4，∴圆心C （1，0），半径r ＝2，|CP |=√1+1=√2，当截得的弦长最短时，CP ⊥l ，即P 为弦的中点，∴最短弦长为2√4−2=2√2．15．（甘肃省白银市会宁县第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则nm=______________．【答案】8 【解析】21111,,0(11),4,8.2-=∴=++=∴=∴=QQ nm n n m m16．（广东省茂名市2019届高三第一次综合测试）已知O(0，0)，A(−2，2)，点M 是圆(x −3)2+(y −1)2=2上的动点，则ΔOAM 面积的最大值为________________．【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心C(3，1)，半径r =√2，OA =√22+22=2√2，直线OA 的方程为x +y =0，则ΔOAM 边OA 上的高ℎ就是点M 到直线OA 的距离，圆心C(3，1)到直线OA 的距离为d =√2=2√2，可得圆(x −3)2+(y −1)2=2上的点M 到直线OA 的距离的最大值为ℎmax =d +r =3√2，故ΔOAM 面积的最大值S =12OA ⋅ℎmax =12×2√2×3√2=6．17．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________________．【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小，即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222△==⨯=BMF S S ，故答案为12．18．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点()1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意. ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径22=，解得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=，则圆心到直线l 1的距离d =又∵△CPQ的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2.∴d =，∴ k ＝1 或k ＝7.故所求直线l 1的方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .19．（江西省临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年高三上学期第三次月考数学）已知椭圆22:+x E a21221(0),、=>>y a b F F b为其左、右焦点，12B B 、为其上、下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O . （1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”，此时a =故长轴12A A的最小值为此时椭圆E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒22220x y x ++-=，两式作差得公共弦的方程为：()00110x x y y ++-=，所以弦心距====d，则弦长2MN ==，所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2.20．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r求实数t 的取值范围.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，所以……①，因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②，将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.21．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 为△ABC 的内切圆，其中(,),(2,1),(1,3)A m n B C --. （1）求圆O 的方程及A 点坐标；（2）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q 使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数 )？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(2,1),(1,3)B C --知直线BC 的方程为4350x y +-=，由于圆O 与线段BC 相切，所以半径|5|15r -==，即圆O 的方程为221x y +=. 由题意221x y +=与线段AC 相切，所以线段AC 的方程为1x =-，即1m =-. 又221x y +=与线段AB 也相切，所以线段AB 的方程为1y =-，即1n =-. 故(1,1)A --.（2）设()00,,(,)Q x y P x y，则||PA =||PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数)，=，对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y x x y y λλ+++=-+-，整理得：()()()()()2222222200001222220xy x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=.故()22220022()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A重合，舍去. 当λ=11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，此时λ= 22．（河南省郑州市2019届高三第一次质量预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点．（1）若AR//FN ，求|MR||MN|的值；（2）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．【解析】（1）F(1，0)，设直线l 方程为x =my +1，由{y 2=4x ，x =my +1，得y 2−4my −4=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1，2=4m±√16m 2+162=2m ±2√m 2+1，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4．由题知M(−1，y 1)，N(−1，y 2)，设R(−1，y R )，把各个点坐标代入方程，分别求出以下点坐标：A(2m 2+1−2m√m 2+1，2m −2√m 2+1)，F(1，0)，N(−1，2m +2√m 2+1)，利用平行关系，可得AR =λFN ，代入点坐标，可得|MR||MN|=12．（2）若R 是MN 的中点，则R(−1，2m)，RA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅RB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+1，y 1−2m)⋅(x 2+1，y 2−2m) =(my 1+2，y 1−2m)⋅(my 2+2，y 2−2m) =(my 1+2)⋅(my 2+2)+(y 1−2m )⋅(y 2−2m )=(m 2+1)y 1y 2+4m 2+4=0．因此，R 在以AB 为直径的圆上．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =．Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△．故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可．2．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ．5．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，则()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．6．（2016新课标全国Ⅲ理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ，,AB DE 交x 轴于,M F 点，则||AM =，即A点纵坐标为A 点横坐标为4p，即4||OM p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||AM OM AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．7．（2016新课标全国Ⅲ理科）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得1d ==，解得43a =-，故选A ．【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断．若d >r ，则直线与圆相离；若d =r ，则直线与圆相切；若d <r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ=0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．8．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________________．【答案】3【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =．在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===． 9．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =||CD =________________．【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为r =，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=的距3=，3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去）或1k =，因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=；或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+．由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-．又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==．因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-，所以OA OB ⊥，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+．故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=，由（1）可得12124,4y y x x =-=．所以2210m m --=，解得1m =或12m =-．当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．12．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.。

专题14 不等式选讲解答题30题学生版--高考数学专题训练

专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b++的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题）已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10f x 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +++的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b c c b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。

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