椭圆型方程的有限差分法
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椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
第五章 椭圆型方程的差分方法
数学模型解的存在性解的唯一性解的稳定性解的一些性质解的表达式}适定性数值解存储量计算时间区域方程定解条件回顾：问题的离散第5章椭圆型方程的差分方法§1-3Poisson方程一.区域矩形圆环离散(差分法):网格剖分矩形区域i i i i二.差分格式224412(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)2. 九点差分格式x x2222222h2222121222221212三. 边界条件的处理(矩形区域)xy0(,)i x y I 10(,)x y +J+1(,)i x y )j y(注:四. 差分格式的性质:111 .i i i i i i +-解的存在唯一性与边界条件无关0000002(11002. (,)x y i i i ii ih ji i j h u u x y +→→+−−−→差分方程解的收敛性2||||||2h h hji h h jjji i h i D D D u D D a u u u a D x ∂⋃∂≤+∆插入引理：设是定义在上的函数，那么有max max max 其中为矩形区域的方向的边长.x.3差分格式的稳定性五. 极坐标下的差分格式22+x y注：r∂r(,)i j r θθπR六. 一般区域DDyO x第一类边界条件：T QP δyh第三类边界条件：PQQPnnPQ Q PnnPQR1θu u ux y n u ux y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2θQRT PS注：没有统一的近似，只要合理就好。
§4变系数方程abxy 矩形区域iP1Q 3Q 2Q 3N4Q 2N4N1N,i jD+-i i i i i i 11。
椭圆微分方程及其求解方法
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型方程差分法
(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题：计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
x
2． Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点： a b y h k x 一方向步长： I 1 ； 一方向步长： J 1
21
得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
返回
2
1） 数值计算是否必要？
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0
0
u
T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0
u
0
f ( s)dsdu
s
f ( s )duds
从而得到迭代法：
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
18
阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x
第二章_椭圆型方程的有限差分法(1)
其中 f h R 是右端 f h 的某一范数， 它可以和 相同，也可以不同， vh ( xi ) vi , i 1, 2,, N 1. Remark1.2: 不 等 式 (2.1.7) 表 明 当 右 端数据 fi 有变化时，差分方程解 vi 的变化量 不会超过 fi 变化量的 M 倍。 记误差 ei u( xi ) ui ，则误差满足下列差分 方程：
2
(2.1.1) (2.1.2)
其 中 q, f 为 [a,b] 上 的 连 续 函 数 ， q 0 ; , 为给定常数。 （1） 剖分 将区间[a,b]分成 N 等分
xi a ih, i 0,1,, N , h (b a) / N
x0 a
x1
xi
xi 1
xN 1
2
其 中 q, f C 0[a, b], q 0, 0 , 1, 为 给 定 的 常 数 0 。
N { u } （5）编程计算获得数值解 i i 0 。
2、差分逼近的性态研究
收 敛 性 问 题 ： 设 当 h0 时 , 那 么 ui u( xi ) ？可借助两个概念相容条件和关
于右端稳定来回答。 截断误差(truncation error)：将差分 算子的值 Lhu xi 与微分算子的值 Lu xi 的差称 作差分方程的截断误差
i 1,, N 1.
ui u ( xi )
（3） 差分方程
Lhui
ui1 2ui ui1 h2
qi ui fi ,
qi q( xi ), fi f ( xi ) (2.1.3)
i 1,, N 1
边界条件的处理：
u0 , uN
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
椭圆型方程的差分方法
数值实验
通过实验验证理论分析的正确性。
参数调整
根据误差分析结果调整差分方法的参数。
稳定性分析的实例和结果
结果1
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度。
A 实例1
一维椭圆型方程的差分方法稳定性 分析。
B
C
D
结果2
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度，并比较了一维和 二维情况下的误差传播特性。
差分方法在椭圆型方程求解中的优势和局限性
优势
差分方法是求解偏微分方程的一种有效 数值方法，特别适用于大规模计算和并 行计算。它能够模拟偏微分方程的解， 并且具有较高的计算效率和精度。
VS
局限性
差分方法在处理边界条件和复杂几何形状 时可能遇到困难，有时需要引入额外的近 似和假设。此外，差分方法对于某些特殊 类型的偏微分方程可能不适用，或者需要 特殊的处理技巧。
04
差分方法的稳定性分析
稳定性分析的基本概念
数值稳定性
差分方法求解偏微分方程时，数值解对初值 和参数的敏感性。
误差传播
差分方法求解过程中误差的累积和扩散现象。
数值解的精度
差分方法得到的数值解与真实解之间的误差 大小。
稳定性分析的方法和步骤
建立数学模型
将偏微分方程转化为差分方程。
误差分析
计算差分方程的截断误差和全局误差。
差分方法的数学基础
离散化
将连续的函数或过程转换为离散的形式，以便于用数 值方法进行计分方程转化为差分 方程。
稳定性
差分方法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时，差 分方法的解收敛于微分方程的解。
差分方法的实现步骤
建立差分方程
根据微分方程和初边值条件，建立离散化的差 分方程。
通过实验验证理论分析的正确性。
参数调整
根据误差分析结果调整差分方法的参数。
稳定性分析的实例和结果
结果1
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度。
A 实例1
一维椭圆型方程的差分方法稳定性 分析。
B
C
D
结果2
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度，并比较了一维和 二维情况下的误差传播特性。
差分方法在椭圆型方程求解中的优势和局限性
优势
差分方法是求解偏微分方程的一种有效 数值方法，特别适用于大规模计算和并 行计算。它能够模拟偏微分方程的解， 并且具有较高的计算效率和精度。
VS
局限性
差分方法在处理边界条件和复杂几何形状 时可能遇到困难，有时需要引入额外的近 似和假设。此外，差分方法对于某些特殊 类型的偏微分方程可能不适用，或者需要 特殊的处理技巧。
04
差分方法的稳定性分析
稳定性分析的基本概念
数值稳定性
差分方法求解偏微分方程时，数值解对初值 和参数的敏感性。
误差传播
差分方法求解过程中误差的累积和扩散现象。
数值解的精度
差分方法得到的数值解与真实解之间的误差 大小。
稳定性分析的方法和步骤
建立数学模型
将偏微分方程转化为差分方程。
误差分析
计算差分方程的截断误差和全局误差。
差分方法的数学基础
离散化
将连续的函数或过程转换为离散的形式，以便于用数 值方法进行计分方程转化为差分 方程。
稳定性
差分方法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时，差 分方法的解收敛于微分方程的解。
差分方法的实现步骤
建立差分方程
根据微分方程和初边值条件，建立离散化的差 分方程。
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
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于是得到区间 I的一个网格剖分，记 hi xi xi 1 , 称h max hi为最大网格步长。用 I h 表示网格内点
i
x1 , x2 , xN 1的集合, I h 表示内点和界点 x0 a, xN b 的集合.
取相邻节点xi 1 , xi的中点x
i
1 2
1 ( xi 1 xi )(i 1,2, , N )， 2 x N b,
hi 1 hi d 3u 2 du du ([ p ] 1 [ p ] 1 ) [ p 3 ]i o(h 2 ), hi hi 1 dx i 2 dx i 2 12 dx hi 1 hi d 2 hi 1 hi d 3u d du du [ ( p )]i [ 2 ( p )]i [ p 3 )]i o(h 2 ), (2.6) dx dx 4 dx dx 12 dx
也可用梯形公式，此时 2 pi 1 pi a , i p p i 1 i 1 d i (qi 1 qi 1 ), 2 2 2 1 f i 2 ( f i 1 f i 1 ), 2 2
(2.23)
§3 矩形网的差分格式
考虑Poisson方程 u f ( x, y ), ( x, y ) G (3.1) G是平面上一有界区域， 其边界为分段光滑曲线 ， 在边界上满足下列边值 条件之一：
i 1 2
p
u ( xi ) u ( xi 1 ) ] hi
ri [u ( xi 1 ) u ( xi 1 )] qi u ( xi ) hi hi 1
f i Ri (u ), (2.7)
1 d2 du 其中Ri (u ) (hi 1 hi )( [ 2 ( p )]i 4 dx dx 1 d 3u 1 d 2u [ p 3 ]i [r 2 ]i ) o(h 2 ), 12 dx 2 dx 为差分算子Lh的截断误差，舍去 Ri (u ), 便得逼近边值问题 (2.1), (2.2)的差分方程 .
令p
1 i 2
p( x
1 i 2
), ri r ( xi ), qi q( xi ), f i f ( xi ),
则由(2.3), (2.6)知, 边值问题的解 u( x)满足方程：
Lhu ( xi ) u ( xi 1 ) u ( xi ) 2 [p 1 hi hi 1 i 2 hi 1
x x
其中 W ( x) p( x)
du ， (2.15) dx
把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶， 从而可减弱对函数光滑性的要求。
特别于(2.14)取[ x (1) , x ( 2 ) ]对偶单元[ x 则 W (x
1 ) W (x 2 1) 2 x
i 1 2
i
i
x 1 2 i 2 f ( x ) dx i . x 1 hi hi 1 i
2
如果系数p, q及右端f光滑，则可用中矩形公 式 计算(2.17), (2.19)和(2.21)，从而 ai p 1 p( x 1 ), i i 2 2 d i qi q( xi ), f f ( x ), i i i (2.22)
(2.9)
u0 , u N ,
有限体积法
考虑守恒型微分方程： d du Lu ( p ) q( x)u f ( x)， (2.13) dx dx 如果把它看作是分布在 一根杆上的稳定温度场 方 程，则在 [a, b]内任一小区间 [ x (1) , x ( 2) ]上的热量守 恒律具有形式
称为半整数点，则由节 点 a x0 x 1 x 3 x 1 x
2 2 i 2
N
1 2
又构成[a, b]的一个网格剖分，称为 对偶剖分.
其次用差商代替微商将 方程(2.1)在节点xi离散化， 为此，对充分光滑的解 u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) u ( xi 1 ) hi hi 1 hi 1 hi d 2u du [ ]i [ 2 ]i o(h 2 ), (2.3) dx 2 dx 其中[ ]i 表示括号内函数 xi点取值。
p( x
i
1) 2
u ( xi ) u ( xi 1 ) hi hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ] 1 o(h 3 ), dx i 2 24 dx i 2 hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.4) dx i 2 24 dx
, 为给定常数.
区间剖分
将区间 [a, b]分成N等分，分点为 xi a ih i 0,1,2, N , h (b a) / N . 于是我们得到区间 I [a, b]的一个网格剖分， xi 称为网格结点（节点） ，间距h称为步长.
微分方程离散(差分方程）
现在将方程(1.1)在节点xi离散化，对充分光滑 的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 d 2u ( x ) h 2 d 4u ( x ) 3 [ ] [ ] O ( h ), (1.3) i i 2 4 dx 12 dx 其中 [ ]i 表示括号内函数在 xi点取值.
注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点 x1 , x2 ,, xN 1的 个数,因此它是N 1阶方程组 .
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题： d du du Lu ( p ) r qu f a x b, (2.1) dx dx dx (2.2) u (a) , u (b) 其中p C 1[a, b], p( x) pmin 0, r , q, f C[a, b],
1 2
1 2
,x
i
1 2
],
i
i
x
i
1 2
qudx
x
x
fdx, (2.14)
i
1 2
考虑到p( x)允许有间断点，由 (2.15)进一步差分 化是不合适的。但“热 流量” W ( x)恒连续,
故将(2.15)改写成 du W ( x) , dx p ( x) 再沿[ xi 1 , xi ]积分，得 ui ui 1 W ( x) dx, xi 1 p ( x )
第2章 椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的 边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx (1.2) u (a) , u (b) 其中q, f为[a, b]上的连续函数, q 0;
截断误差 Ri (u ) Lhu ( xi ) [ Lu]i ， (1.7) Ri (u )是用差分算子 Lh 代替微分算子 L所引起的 截断误差 .
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立， 加上边值条件就得到关 于ui的线性代数方程组： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , u N . (1.9) 它的解ui是u ( x)于x xi的近似.称(1.8), (1.9)为逼近(1.1), (1.2)的差分方程或差分格式 .此格式称为中心差分格 式.
于是在xi可将方程(1.1)写成 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) q( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ), (1.4) 2 h h 2 d 4u ( x ) 3 其中 Ri (u ) [ ] O ( h ), (1.5) i 4 12 dx
u u u u 2 [ p 1 i 1 i p 1 i i 1 ] i hi hi 1 i 2 hi 1 hi 2
(2.8)
Lhui
ri [ui 1 ui 1 ] qi ui f i , i 1,, N 1, hi hi 1 (2.10)
2 2
p( x
i
1) 2
u ( xi 1 ) u ( xi ) hi 1 du h 2 i 1 d 3u [p ] 1 [ p 3 ]i o(h3 ), (2.5) dx i 2 24 dx
由(2.5)减(2.4)，并除以
hi hi 1 ，得 2 u ( xi 1 ) u ( xi ) u ( xi ) u ( xi 1 ) 2 [ p( x 1 ) p( x 1 ) ] i i hi hi 1 hi 1 hi 2 2
当h足够小，Ri (u )是h的二阶无穷小量 . 若舍去Ri (u )，则得逼近方程 (1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q ( xi ), f i f ( xi ).记[ Lu ]i f ( xi )， 称Ri (u )为差分方程(1.6)的截断误差 .
(1 )
x x( 2 ) x( 2) x( 2) d du ( p )dx (1) qudx (1) fdx, x x dx dx (1) ( 2) x( 2) x( 2)
或 W ( x ) W ( x ) (1) qudx (1) fdx, (2.14)
, 为给定常数.
我们将介绍差分格式的 两种方法： 直接差分化法、有限体 积法
直接差分化
首先取N 1个节点： a x0 x1 xi xN b, 将区间I [a, b]分成N个小区间： I i : xi 1 x xi , i 1,2, N .
xi
利用中矩形公式，得 W ai ห้องสมุดไป่ตู้ [ 又 1 hi
i
x1 , x2 , xN 1的集合, I h 表示内点和界点 x0 a, xN b 的集合.
取相邻节点xi 1 , xi的中点x
i
1 2
1 ( xi 1 xi )(i 1,2, , N )， 2 x N b,
hi 1 hi d 3u 2 du du ([ p ] 1 [ p ] 1 ) [ p 3 ]i o(h 2 ), hi hi 1 dx i 2 dx i 2 12 dx hi 1 hi d 2 hi 1 hi d 3u d du du [ ( p )]i [ 2 ( p )]i [ p 3 )]i o(h 2 ), (2.6) dx dx 4 dx dx 12 dx
也可用梯形公式，此时 2 pi 1 pi a , i p p i 1 i 1 d i (qi 1 qi 1 ), 2 2 2 1 f i 2 ( f i 1 f i 1 ), 2 2
(2.23)
§3 矩形网的差分格式
考虑Poisson方程 u f ( x, y ), ( x, y ) G (3.1) G是平面上一有界区域， 其边界为分段光滑曲线 ， 在边界上满足下列边值 条件之一：
i 1 2
p
u ( xi ) u ( xi 1 ) ] hi
ri [u ( xi 1 ) u ( xi 1 )] qi u ( xi ) hi hi 1
f i Ri (u ), (2.7)
1 d2 du 其中Ri (u ) (hi 1 hi )( [ 2 ( p )]i 4 dx dx 1 d 3u 1 d 2u [ p 3 ]i [r 2 ]i ) o(h 2 ), 12 dx 2 dx 为差分算子Lh的截断误差，舍去 Ri (u ), 便得逼近边值问题 (2.1), (2.2)的差分方程 .
令p
1 i 2
p( x
1 i 2
), ri r ( xi ), qi q( xi ), f i f ( xi ),
则由(2.3), (2.6)知, 边值问题的解 u( x)满足方程：
Lhu ( xi ) u ( xi 1 ) u ( xi ) 2 [p 1 hi hi 1 i 2 hi 1
x x
其中 W ( x) p( x)
du ， (2.15) dx
把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶， 从而可减弱对函数光滑性的要求。
特别于(2.14)取[ x (1) , x ( 2 ) ]对偶单元[ x 则 W (x
1 ) W (x 2 1) 2 x
i 1 2
i
i
x 1 2 i 2 f ( x ) dx i . x 1 hi hi 1 i
2
如果系数p, q及右端f光滑，则可用中矩形公 式 计算(2.17), (2.19)和(2.21)，从而 ai p 1 p( x 1 ), i i 2 2 d i qi q( xi ), f f ( x ), i i i (2.22)
(2.9)
u0 , u N ,
有限体积法
考虑守恒型微分方程： d du Lu ( p ) q( x)u f ( x)， (2.13) dx dx 如果把它看作是分布在 一根杆上的稳定温度场 方 程，则在 [a, b]内任一小区间 [ x (1) , x ( 2) ]上的热量守 恒律具有形式
称为半整数点，则由节 点 a x0 x 1 x 3 x 1 x
2 2 i 2
N
1 2
又构成[a, b]的一个网格剖分，称为 对偶剖分.
其次用差商代替微商将 方程(2.1)在节点xi离散化， 为此，对充分光滑的解 u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) u ( xi 1 ) hi hi 1 hi 1 hi d 2u du [ ]i [ 2 ]i o(h 2 ), (2.3) dx 2 dx 其中[ ]i 表示括号内函数 xi点取值。
p( x
i
1) 2
u ( xi ) u ( xi 1 ) hi hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ] 1 o(h 3 ), dx i 2 24 dx i 2 hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.4) dx i 2 24 dx
, 为给定常数.
区间剖分
将区间 [a, b]分成N等分，分点为 xi a ih i 0,1,2, N , h (b a) / N . 于是我们得到区间 I [a, b]的一个网格剖分， xi 称为网格结点（节点） ，间距h称为步长.
微分方程离散(差分方程）
现在将方程(1.1)在节点xi离散化，对充分光滑 的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 d 2u ( x ) h 2 d 4u ( x ) 3 [ ] [ ] O ( h ), (1.3) i i 2 4 dx 12 dx 其中 [ ]i 表示括号内函数在 xi点取值.
注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点 x1 , x2 ,, xN 1的 个数,因此它是N 1阶方程组 .
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题： d du du Lu ( p ) r qu f a x b, (2.1) dx dx dx (2.2) u (a) , u (b) 其中p C 1[a, b], p( x) pmin 0, r , q, f C[a, b],
1 2
1 2
,x
i
1 2
],
i
i
x
i
1 2
qudx
x
x
fdx, (2.14)
i
1 2
考虑到p( x)允许有间断点，由 (2.15)进一步差分 化是不合适的。但“热 流量” W ( x)恒连续,
故将(2.15)改写成 du W ( x) , dx p ( x) 再沿[ xi 1 , xi ]积分，得 ui ui 1 W ( x) dx, xi 1 p ( x )
第2章 椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的 边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx (1.2) u (a) , u (b) 其中q, f为[a, b]上的连续函数, q 0;
截断误差 Ri (u ) Lhu ( xi ) [ Lu]i ， (1.7) Ri (u )是用差分算子 Lh 代替微分算子 L所引起的 截断误差 .
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立， 加上边值条件就得到关 于ui的线性代数方程组： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , u N . (1.9) 它的解ui是u ( x)于x xi的近似.称(1.8), (1.9)为逼近(1.1), (1.2)的差分方程或差分格式 .此格式称为中心差分格 式.
于是在xi可将方程(1.1)写成 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) q( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ), (1.4) 2 h h 2 d 4u ( x ) 3 其中 Ri (u ) [ ] O ( h ), (1.5) i 4 12 dx
u u u u 2 [ p 1 i 1 i p 1 i i 1 ] i hi hi 1 i 2 hi 1 hi 2
(2.8)
Lhui
ri [ui 1 ui 1 ] qi ui f i , i 1,, N 1, hi hi 1 (2.10)
2 2
p( x
i
1) 2
u ( xi 1 ) u ( xi ) hi 1 du h 2 i 1 d 3u [p ] 1 [ p 3 ]i o(h3 ), (2.5) dx i 2 24 dx
由(2.5)减(2.4)，并除以
hi hi 1 ，得 2 u ( xi 1 ) u ( xi ) u ( xi ) u ( xi 1 ) 2 [ p( x 1 ) p( x 1 ) ] i i hi hi 1 hi 1 hi 2 2
当h足够小，Ri (u )是h的二阶无穷小量 . 若舍去Ri (u )，则得逼近方程 (1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q ( xi ), f i f ( xi ).记[ Lu ]i f ( xi )， 称Ri (u )为差分方程(1.6)的截断误差 .
(1 )
x x( 2 ) x( 2) x( 2) d du ( p )dx (1) qudx (1) fdx, x x dx dx (1) ( 2) x( 2) x( 2)
或 W ( x ) W ( x ) (1) qudx (1) fdx, (2.14)
, 为给定常数.
我们将介绍差分格式的 两种方法： 直接差分化法、有限体 积法
直接差分化
首先取N 1个节点： a x0 x1 xi xN b, 将区间I [a, b]分成N个小区间： I i : xi 1 x xi , i 1,2, N .
xi
利用中矩形公式，得 W ai ห้องสมุดไป่ตู้ [ 又 1 hi