高考数学三角函数,线性规划经典例题
高考数学三角函数典型例题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin ab A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A CA A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21.∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π)设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形.II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos=A , (1)求BC cos ,cos 的值; (2)若227=⋅BCBA ,求边AC 的长｡【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BCBA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴BC ==6 ．在ABC∆中,已知内角A ．B ．C所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小; (II)如果2b=,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3 ∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2a c-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a=-+ (1)求B CA 2cos 2sin2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3158 ．已知)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡ 【解析】aa -12;9 ．已知()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()f α(II)若α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值｡ 【解析】10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=++3132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡ 11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡ (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx ∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x时,23)(max =x g 12．已知cos 2sin αα=-,求下列各式的值;(1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+ (2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡ 【解析】14．已知向量)1,32(cos --=αm,)1,(sin α=n ,m 与n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 与n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα(Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此,127cos sin 2sin =-ααα15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=0.1km ｡试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°, 所以CD=AC=0.1又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin ,即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为0.33km ｡ 16．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域. 【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m=,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯ 18．已知51cos sin =+θθ，),2(ππθ∈， 求（1）sin cos θθ-（2）33sin cos θθ-（3）44sin cos θθ+【解析】：（1）3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+= 19．已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ， 0ω>，πϕ<||）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。
三角函数典型例题(高考题)及详细解答
1．已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若c=5，求sin ∠A 的值．2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值;（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值；(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值. 一．选择填空题1.在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2..在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）94.设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称5.）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______.6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ二：解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
(完整版)线性规划高考题及答案
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95• • • • • •C• 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
基本不等式三角函数客观题
考点一线性规划求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值.例题1 设z=2x+y中x,y满足下列条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求z的最大值和最小值.解：作出二元一次不等式组43 35251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域（如图阴影部分所示）即可行域.考虑z=2x+y，将它变形为y=-2x+z，这是斜率为-2,随z变化的一簇平行直线,z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时,z的值最大.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最小值.由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大.解方程组43035250x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得A的坐标为(5,2).∴zmax=2×5+2=12.当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小.解方程组4301x yx-+=⎧⎨=⎩得B的坐标为(1,1).∴zmin=2x+y=2×1+1=3.习题1设实数,x y满足不等式组250270,x yx yx+-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y≥0，若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19 【答案】B习题2 设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1 B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）【答案】A习题3 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】-6考点二 基本不等式1、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥． ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； 2a b+称为正数a 、ba 、b 的几何平均数． 2、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
高中数学 线性规划经典例题集锦
最大，点B 使Z最小。
x 4y 3 0
由
求出A 为（5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为（1，1)。
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
y
5C
B
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
zmin 2, zmax 29.
求：(1). z y 3 的范围;
O
2
4x
(2).
z
y2 x 1
的范围.
2
Q
B
x3
解: (1) z y 3 表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以 的范围为 ( , 2][0, ).
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(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
①m
0 时,
1 m
1
m1
② m 0 时,
易知, C (3,9) 到 O 距离最大,此时zmax 32 92 90 , zmin 02 02 0.
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3. (2).解: z x2 2x y2 (x 1)2 y2 1
y
6
表示可行域内任一点到定点 M ( 1,0) 距离
的平方再减去1.
过 M 作直线 AB 的垂线,垂足是 P
x 1 由 3x 5y 25 0 可得C为（1,4.4）
B
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
zmax
kOC
高三数学线性规划试题
高三数学线性规划试题1.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．D．【答案】C【解析】不等式组为如图所表示的阴影区域．由图可知当M与C重合时，直线OM 斜率最小．解不等式组得C(3，－1)，∴直线OM斜率的最小值为2.已知点满足，则的最小值是．【答案】【解析】根据线性规划的知识画出不等式的可行域如图所示,则目标函数在交点处取得最小值为,故填.【考点】线性规划3.设实数满足则的最大值等于________.【答案】2 【解析】实数满足所以x,y 的可行域如图所示.的最大值即为目标函数在y 轴的截距最小.即过点A （2,0），所以的最大值为2. 【考点】1.线性规划.2.截距最大对应的目标函数的最小值. 4. 已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】作出不等式组所表示的区域，，由图可知，在点取得最小值，在点取得最大值，故的最大值与最小值的差为．【考点】线性规划．5. 已知实数x ，y 满足若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[－1，1]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1kg 、B 原料2kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2kg ，B 原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 【答案】2800元【解析】设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－x＋，这是随z变化的一簇平行直线，解方程组∴即A(4，4)，∴z＝1200＋1600＝2800(元)．max故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．7.设变量x．y满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为（）A．3，一11B．－3，一11C．11，—3D．11，3【答案】A【解析】线性约束条件表示三角形及其内部，当目标函数经过点时，取最小值，经过点时取最大值.【考点】线性规划求最值8.若关于的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是.【答案】.【解析】当时，，因此根据图象可知，要使得不等式组所表示的平面区域是一个三角形，那么的取值范围是.【考点】线性规划.9.已知x，y满足则z＝2x＋4y的最小值为()．A．5B．－5C．6D．－6【答案】D【解析】画出线性约束条件下的平面区域．由，得点P(3，－3)．此时z＝2x＋4y达到最小值，最小值为－6.10.已知实数满足约束条件，则的最小值是____________.【答案】【解析】因为实数满足约束条件，x,y的可行域如图为三角形ABC围成的区域.又因为目标函数.所以要求z的最小值即为求出的最小值，即过原点直线的斜率的最小值.通过图形可知过点A的最小，由题意得A（3,1）.所以z的最小值为.故填.【考点】1.线性规划问题.2.构造的思想.3数形结合的思想.11.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是________．【答案】3【解析】＝2x＋y，设z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，不等式组对应的区域为BCD.平移直线y＝－2x＋z，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点C时，直线y＝－2x＋z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C(1,1)，代入z＝2x＋y得z＝2x＋y＝3，所以的最大值为3. 12.已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.【考点】线性规划求最值13.若变量满足线性约束条件，则的最大值为________．【答案】5【解析】由约束条件，得如下图所示的三角形区域，由得直线过点时，取得最大值为5．【考点】线性规划.14.已知变量x，y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用线性规划求最值(真题为例)
应用线性规划求最值典型例题：例1. （2012年天津市理5分）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ .【答案】(0,1)(1,4)。
【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。
【分析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ，当1>x 时，11112+=+=--=x x x x y ，当1<x 时，⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ， 综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，。
作出函数的图象，要使函数y 与kx y =有两个不同的交点，则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ，k 满足21<<k ，当经过蓝色区域时，k 满足10<<k ，综上实数k 的取值范围是(0,1)(1,4)。
例2. （2012年陕西省理5分）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ▲ . 【答案】2。
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。
【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D ，利用线性规划的方法求出目标函数z 的最大值即可：∵1,0()2,0x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩，(1)1f '=，∴曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-。
∴由x 轴和曲线()y f x =及1y x =-围成的封闭区域为三角形。
2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2。
高三三角函数及线性规划题目及解答
9．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则2x 3＋y 3x 2y 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559 [ω＝2x 3＋y 3x 2y ＝2x y ＋y 2x 2.令t ＝y x ，由图可知13≤t ≤2， 则ω＝t 2＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，令ω′＝2t －2t 2＝0，则t ＝1.ω在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上为减函数，在t ∈[1,2]上为增函数，t ＝1时，ω有最小值3，t ＝13时，ω有最大值559，故t 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559.15．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足a ＝3b cos C . (1)求tan Ctan B 的值；(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 及a ＝3b cos C 可得2R sin A ＝3×2R sin B cos C ，即sin A ＝3sin B cos C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C ，∴cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴cos B sin C sin B cos C ＝2，故tan Ctan B ＝2. 6分(2)法一：由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3，即tan B ＋tan C1－tan B ·tan C＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得3tan B 1－2tan 2B＝－3，解得tan B ＝1或tan B ＝－12. 根据tan C ＝2tan B ，得tan C ，tan B 同号， 又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2，∴sin B ＝22，sin C ＝255，sin A ＝31010， 由正弦定理可得331010＝b22，∴b ＝5， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×5×255＝3.14分15．(本小题满分14分)如图4，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.图4(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．[解] (1)在△AOB 中，由余弦定理得：AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB ，所以，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝12＋12－⎝⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.6分(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513， 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.13．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →取得最大值时，b a 的值为________.【导学号：56394122】2＋3 [∵C ＝π3，∴B ＝2π3－A ， 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝232＝43，∴b ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2cos A ＋23sin A ，∴AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A ＝4cos 2A ＋23sin 2A＝2＋2cos 2A ＋23sin 2A＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2A ＋32cos 2A ＋2＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2，∵A ＋B ＝2π3，∴0＜A ＜2π3，∴当2A ＋π3＝π2即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值， 此时，B ＝2π3－π12＝7π12，∴sin A ＝sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝32×22－12×22＝6－24，sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝6＋24.∴b a ＝sin Bsin A ＝6＋26－2＝2＋ 3.]。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是( )A．(1－，2)B．(0，2)C．(－1，2)D．(0，1+)【答案】A【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想2.若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线交直线于点，交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.3.已知 (x＋y＋4)< (3x＋y－2)，若x－y<λ恒成立，则λ的取值范围是()A．(－∞，10]B．(－∞，10)C．[10，＋∞)D．(10，＋∞)【答案】C【解析】已知不等式等价于不等式x＋y＋4>3x＋y－2>0，即，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z＝x－y，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z取最大值，由得，A(3，－7)，故z<3－(－7)＝10，所以λ≥10.4.若满足条件的整点恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为整数的点），则整数的值为（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图，要使整点恰有9个，即为，，，，，，，，，故整数的值为.故选C.【考点】简单的线性规划，整点的含义.5.已知，则满足且的概率为 .【答案】【解析】因为满足且的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.【考点】古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.6.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z=13．min故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．7.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划8.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划9.若，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，，令，则，为原点与点之间连线的斜率，直线与直线交于点，直线与直线交于点，显然，直线的倾斜角最大，且为锐角，此时取最大值，即，直线的倾斜角最小，且为锐角，此时，取最小值，即，因此，所以，即目标函数的取值范围是，故选A.【考点】1.线性规划；2.斜率10.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____．【答案】【解析】在同一坐标作出不等式组所表示的平面区域，与不等式组所表示的平面区域，由图可知，的面积为，与重叠的面积为，故从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率为．【考点】几何概率．11.（2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3]【答案】D【解析】∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，故z的取值范围为[﹣3，3]故选D12.已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是 .【答案】5【解析】由变量满足约束条件如图可得可行域的范围．目标函数取到最大值则目标函数过点A（2,1）即.【考点】1.线性规划问题.2.列举对比数学思想.13.若，满足约束条件，则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】（C）【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.14.原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a=0或a=1D．a＜0或a＞1【答案】B【解析】∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，故选：B．15.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】画出可行域及直线（如图所示）.平移直线，当其经过点时，【考点】简单线性规划16.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出可行域，如图所示，当点A,B分别与点重合时，向量与的夹角最大，且是锐角，，则，又，故当时，取到最大值为．【考点】1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关系式. 17.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为是()A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z＝5×1 600＋2 400×12＝36800，min故租金最少为36800元．选C.18.若实数满足，则的值域是()A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是，选B.19.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得m的取值范围是()A．(－∞，)B．(－∞，)C．(－∞，)D．(－∞，)【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)若存在满足条件的点在平面区域内，则只需点A(－m，m)在直线x－2y－2=0的下方，即－m－2m－2>020.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】作出满足条件的可行域(如图)∵a>0，b>0，∴直线ax+by=0的图象过二、四象限，∴平移直线ax+by=0知，目标函数z=ax+by在点M(4，6)处取得最大值12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6设m=，把2a+3b=6代入m=并整理得，b2－2b+2－2m=0∵方程有正数解，∴Δ=4－4(2－2m)≥0m≥∴的最小值为21.若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.【答案】.【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线交轴于点，交直线于点，当直线与直线在线段（不包括线段端点）时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形，将点的坐标代入直线的方程得，即，将点的坐标代入直线的方程得，因此实数的取值范围是.【考点】线性规划22.设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.(1)若与有且只有一个公共点，则＝;(2)记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是.【答案】,【解析】当直线与圆相切时，与有且只有一个公共点，此时解得．当或时，与有公共部分，为弓形．其面积为扇形面积减去三角形面积．当直线过圆心时，扇形面积最大，三角形面积最小，即弓形面积最大，但直线不过所以函数的取值范围是．【考点】直线与圆位置关系23.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】10【解析】作出可行域如图，令，则，作出目标直线，经过平移，当经过点时，取得最大值，联立得，代入得，∴【考点】线性规划。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
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设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤10x ＋2y ≤14x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )
A.252
B.492C ．12 D ．16
变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.
若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0x －y ＋2m ≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积
等于43，则m 的值为( )
A ．－3
B ．1 C.43D ．3
3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;
II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.
14．已知向量)1,3
2(cos --=αm ,)1,(sin α=,与n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求α
ααcos sin 2sin -的值.｡27．在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ．
(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；
(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n
｜的取值范围．
ACB.
4【解析】:I.)4
2sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2
242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号, 此时面积的最大值为()24632-.
:(Ⅰ) 与为共线向量, 0sin )1(1)3
2(cos =⨯--⨯-∴αα, 即3
2cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,9
72sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,
916)32(
2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[π
α-∈ ,0cos sin <-∴αα,3
4cos sin -=-αα 因此, 127cos sin 2sin =-ααα。